Luận án tiến sĩ một mô hình véctơ cho trường hấp dẫn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ VĂN ỚN MỘT MÔ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN Chuyên ngành : VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 1.02.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009 i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ VĂN ỚN MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN Chun ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT & VẬT LÝ TOÁN Mã số: 1.02.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học GSTS NGUYỄN NGỌC GIAO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình riêng tơi Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác iii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy tơi, Giáo sư Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Giao, người dạy từ năm đại học, năm cao học Nếu thiếu dạy dỗ hướng dẫn tận tâm Thầy, chắn tơi khơng thể hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy Nguyễn Quốc Khánh, người dạy dỗ từ năm học đại học, năm học cao học tận tình bảo, giúp đỡ suốt thời gian học nghiên cứu sinh làm luận án Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Nguyễn Nhật Khanh, người dạy dỗ từ năm học đại học, năm học cao học Thầy đóng góp nhiều ý kiến q báu cho tơi q trình làm luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy Hồng Dũng, người dạy tơi từ năm học đại học, năm học cao học người giúp đỡ thật nhiều làm luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thật nhiều đến Thầy Hoàng Ngọc Long Viện Vật Lý Điện Tử, người giúp đỡ thật nhiều thời gian làm việc Viện, người có phản biện sâu sắc đề tài buổi sêmina viện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thật nhiều đến Thầy Đặng Văn Soa ĐHSP1 Hà Nội, người giúp đỡ thật nhiều thời gian làm việc viện, người có phản biện sâu sắc đề tài buổi sêmina viện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS.TS Huỳnh Thành Đạt, người cho nhiều ý kiến quý báu học nghiên cứu sinh iv Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Tiến sĩ Đỗ Hồng Sơn, người giúp đỡ tơi nhiều học nghiên cứu sinh, người góp cho tơi nhiều ý kiến thật chân tình q báu Tôi xin cảm ơn đến Tiến sĩ Võ Hồng Văn, người giúp đỡ có ý kiến quý báu Tôi xin cảm ơn đến Tiến sĩ Vũ Quang Tuyên, người có giúp đỡ quý báu cho Tôi xin cảm ơn đến Thạc sĩ Nguyễn Thị Huyền Nga, người bạn đồng học cao học, người giúp đỡ thật nhiều học nghiên cứu sinh *** Con xin thành kính dâng lên hương hồn Ba Má cơng trình tâm huyết Con xin mãi khắc ghi công ơn trời biển Ba Má, người đời cuốc bẩm, cày sâu nuôi dạy nên vóc nên hình *** Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Anh, Chị tơi, người với Cha, Mẹ nuôi dạy thành người *** Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến vợ tôi, người chổ dựa đằm thắm, nguồn động viên lớn lao đàng sau bước tiến *** Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, bạn hữu tổ Vật lý, cô Thịnh trường THPT Tân Phước Khánh giúp đỡ nhiều thời gian học cao học làm nghiên cứu sinh v Mục lục Trang TỜ BÌA LUẬN ÁN ……………………………………………………………………………… i LỜI CAM ĐOAN …………………………………………………………………………………ii LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………………………… …….iii MỤC LỤC……………………………………………………………………………………… v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ………………………………………………………… ix DANH MỤC CÁC BẢNG…………………………………………………………………… .ix DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ …………………………………………………………x MỞ ĐẦU………………………………………………………………………………… …… CHƯƠNG TỔNG QUAN ……………………………………………………………………3 ….1.1 SƠ LƯỢC VỀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN ……………………………………………… 1.2 SƠ LƯỢC VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT …………………………………5 1.2.1 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN…………………………………………………… 1.2.2 CÁC HỆ QUẢ SUY RA TỪ PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN………………………6 1.2.3 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN VỚI HẰNG SỐ VŨ TRỤ………………………….8 1.2.4 CÁC HẠN CHẾ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT……………………9 1.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN KHÁC……………………………………………… 11 1.3.1 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VÔ HƯỚNG…………………………………… 11 1.3.2 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VÉCTƠ………………………………………… 13 1.3.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ………………………………………… 15 1.3.4 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN LƯỠNG MÊTRÍC……………………………….16 1.3.5 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ – VÔ HƯỚNG…………………………18 1.3.6 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ- VÉCTƠ……………………………… 22 1.3.7 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN GAUGE………………………………………….22 1.3.8 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VỚI XOẮN………………………………………25 1.4 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN……………………………………………………… 28 1.4.1 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU ĐỐI XỨNG…………………………………………………28 1.4.2 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN………………………………………………… 31 1.5 SƠ LƯỢC VỀ THẾ GIỚI MÀNG (BRANE)……………………………………… …33 1.5.1 SỰ RA ĐỜI CỦA THẾ GIỚI MÀNG ……………………………………………33 1.5.2 MƠ HÌNH RANDALL- SUNDRUM…………………………………………… 34 vi CHƯƠNG MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN…………………….37 … 2.1 CÁC VẤN ĐỀ LÊN QUAN ĐẾN KHOIÁ LƯNG HẤP DẪN……………………… 37 2.2 MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG HẤP DẪN……………… …42 2.2.1 CƯỜNG ĐỘ TRƯỜNG HẤP DẪN……………………………………………….42 2.2.2 VÉCTƠ CẢM ỨNG HẤP DẪN………………………………………………… 43 2.2.3 MẬT ĐỘ DÒNG HẤP DẪN- CƯỜNG ĐỘ DÒNG HẤP DẪN………………….43 2.2.4 VÉTƠ TỪ HẤP DẪN…………………………………………………………… 43 2.3 HỆ THỐNG TIÊN ĐỀ……………………………………………………………… 44 2.4 PHƯƠNG TÌNH TRƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG PHI TƯƠNG ĐỐI……………………………………………………………………………44 2.4.1 TÍCH CHẬP……………………………………………………………………….45 2.4.2 LAGRANGIAN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG PHI TƯƠNG ĐỐI……46 2.4.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG PHI TƯƠNG ĐỐI……………………… 49 2.5 PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG-PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 52 2.5.1 THẾ CHIỀU- MẬT ĐỘ DÒNG CHIỀU………………………………………52 2.5.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH……………………… 53 2.5.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG DẠNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH………………55 2.6 MỘT TIẾP CẬN TỚI NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ BẢN CHẤT CỦA CÁC.LỰC QUÁN TÍNH………………………………………………………….56 2.6.1 CÁC QUAN ĐIỂM CHÍNH VỀ LỰC QN TÍNH…………………………… 56 2.6.2 VÙNG KHƠNG GIAN CHUẨN ĐẲNG THẾ HẤP DẪN… .57 2.6.3 MỘT TIẾP CẬN TỚI BẢN CHẤT CÁC LỰC QUÁN TÍNH……………………59 2.6.4 BAØN LUẬN……………………………………………………………………… 65 2.7 MỘT TIẾP CẬN ĐẾN KIỂM TRA KINH ĐIỂN CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT …………………………………………………………66 2.7.1 MỘT TIẾP CẬN TỚI TENXƠ MÊTRÍC CỦA KHƠNG - THỜI GIAN KHI CÓ MẶT TRƯỜNG HẤP DẪN ……………………………………………67 2.7.2 BÀN LUẬN……………………………………………………………………….71 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN TRONG MƠ HÌNH ………… HẤP DẪN VÉCTƠ………………………………………………………………73 3.1 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN………………………………………… ….73 3.1.1 LAGRANGIAN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỆ GIỮA TRƯỜNG HẤP DẪN VỚI MÊTRÍC CỦA KHƠNG – THỜI GIAN……………………… 74 vii 3.1.2 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN CHO VẬT ĐỐI XỨNG CẦU …………………………… DỪNG………………………………………………………………………… 76 3.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG HẤP DẪN TRONG KHƠNG-THỜI GIAN CONG……………………………………………………….77 3.3 TENXƠ MÊTRÍC CỦA KHƠNG-THỜI GIAN BÊN NGỒI MỘT VẬT ĐỐI XỨNG CẦU DỪNG ………………………………………………77 3.3.1 TENXƠ MÊTRÍC TỰA SCHWARZSCHILD ………………………………… 77 3.3.2 BÀN LUẬN……………………………………………………………………….88 3.4 MỘT MƠ HÌNH VŨ TRỤ KHƠNG DỪNG……………………………………………88 3.4.1 MÊTRÍC TỰA FRIEDMAN – ROBERTSON – WALKER……………………88 3.4.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH FRIEDMAN CẢI TIẾN………………………… ….89 3.4.3 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA VŨ TRỤ……………………………… 95 CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VŨ TRỤ HỌC………………………………………… 102 4.1 MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ………………………………………………… 102 4.1.1 VEÀ NĂNG LƯNG VŨ TRỤ……… …………………………………………102 4.1.2 MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ…………………………………………….103 4.1.3 BAØN LUẬN …………………………………………………………………… 105 4.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI… 105 4.2.1 CÁC HƯỚNG CHÍNH TIẾP CẬN ĐẾN VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯNG TỐI………………………………………………………………… 105 4.2.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI……………………………………………………… 108 4.2.3 BÀN LUẬN VÀ SO SÁNH VỚI THỰC NGHIỆM………………………….….117 4.3 TỪ HẤP DẪN……………………………………………………………………… 122 4.3.1 SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG TỪ HẤP DẪN…………………………….… 122 4.3.2 TỪ HẤP DẪN TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT……………….123 4.3.3 VÀI HIỆU ỨNG CỦA TRƯỜNG TỪ HẤP DẪN TRONG MƠ HÌNH NÀY …125 4.3.4 VIỆC XÁC NHẬN THỰC NGHIỆM CÁC HIỆU ỨNG TỪ HẤP DẪN……….131 PHẦN KẾT LUẬN KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN……………………………………………136 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC TRONG LUẬN ÁN………………………… …… 136 viii MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN BÀN LUẬN THÊM VÀ CÁC KIẾN NGHỊ………………….137 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ……………………………………………138 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………………140 PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………………….150 …… PHỤ LỤC I.………………………………………………………………………………150 …… PHỤ LỤC II………………………………………………………………………………152 PHỤ LỤC III…………………………………………………………………………… 156 PHỤ LỤC IV…………………………………………………………………………… 159 ix DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT EEP: Nguyên lý tương đương Einstein (Einstein Equivalence Principle) SM: Mơ hình chuẩn (Standard Model) SUSY: Siêu đối xứng (supersymmetry) MOND: Động lực học Newton cải tiến (Modified Newton Dynamics) BGT: Lý thuyết hấp dẫn lưỡng mêtríc (Bimetric Gravitation Theory) AdS: Khơng gian phản de Sitter (Anti-de Sitter Space) COBE: Vệ tinh khảo sát xạ Vũ trụ (Cosmic Background Explorer) MACHOs: Vật chất tối có nguồn gốc baryon nơtrơn, lỗ đen… (Massive Astrophysical Compact Halo Objects) WIMPs: Vật chất tối có nguồn gốc không baryon axion, nơtrino,… (Weakly Interacting Massive Particles.) CDM: Mơ hình vật chất tối lạnh có số vũ trụ (- Cold Dark Matter Model) LAGEOS: Vệ tinh địa động lực định vị laser (Laser Geodynamic Satellite) NASA: Cơ quan quản trị hàng không không gian quốc gia Hoa Kỳ (National Aeronautics and Space Administration) GP-B: Vệ tinh thăm dò hấp dẫn B (Gravity Probe – B) DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 4.1: bảng khối lượng hạt vật chất tối đề nghị ………………122 148 98 M S Turner (2002), “Dark matter and dark energy: the critical … …… …… questions”, arXiv:astro-ph/0207297 99 S Ulrych (2006), “Gravitoelectromagnetism in a complex Clifford algebra”, arXiv: gr-qc/0602018 99a G Holzmuller (1870), Z Math Phys 15,69 ; F Tisserand (1872), Compt ………Rend 75, 760; F Tisserand(1890), Compt Rend 110, 313 99b L Brillouin ( 1970), Relativity Reexamined , Academic Press, New york 99c A Singh(1982), Lett Nuovo Cimento 34, 193 ( 99a, 99b, 99c dẫn qua tài liệu 99) 100 R Utiyama (1956), “Invariant theoretical interpretation of interaction” … …… Phys Rev 101, pp.1597-1607 101 Tran Thanh Van J et al (1997), “Microwave background ………anisotropies”,.Editions Frontieres, Gifsur- Yvette, France, p.333; …… W.Hu, et al (1996), “ Measuring the curvature of the universe”, …… arXiv: astro-ph/9606140 …… 102 G J Whitrow and G E Morduch (1960), “General relativity and Lorentz – …… invariant theories of gravitation”, Nature 188, pp.790- 794 103 G J Whitrow and G E Morduch (1965), “Relativistic theories of ………gravitation”, Vistas in Astronomy 6, pp.1-67 104 Steven Weinberg (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and … …… Applications of The General Theory of Relativity Copyright 1972, …… by.John Wiley & Sons, Inc 105 R V Wagoner (1970), “Scalar-tensor theory and gravitational waves”, …… ……….Physical ReviewD 1, pp.3209- 3216 106 C M Will and K Nordtvedt Jr (1972), “Conservation laws and …… …… preferred frames in relativistic gravity I”, The Astrophysical Journal 177, pp.757-775 107 N Wu (2003), “Renormalizable quantum gauge General relativity”, …… ……….arXiv:gr-qc/0309041 149 108 C M Will (2005), “Confrontation between General relativity and ………experiment”, arXiv: gr - qc/0510072 109 C Wetterich (2002), “Cosmon dark matter?”, Phys Rev D 65,123512 (22 pages) 110 J.G Williams, and X.X Newhall, J.O Dickey (1996), “Relativity …… ……….parameters determined from Lunar laser ranging”, Phys Rev D 53, pp.6730-6739 111 H Yilmaz (1958), “New approach to General relativity”, Phys Rev.111, pp.1417-1426 112 H Yilmaz (1973), “ New approach to relativity and gravitation”, Annals of ……….Physics 81, pp.179-200 113 B M.Yavorsky & A.A.Pinsky (1975), Fundamentals of Physics, Mir …… …… Pub Moscow vol.1 114 B Yavorsky and A Detlaf (1975), Handbook of physics, Translated from the Russian by Nicholas Weinstein, Mir …… Publishers,.Moscow, pp.274-280 115 G Zet, V Manta (2002), “Self-dual Poincaré gauge theory of …… ………gravitation”, Int J Mod Phys C, Vol.13, (4), pp 509–516 116 G Zet, V Manta, S Babeti (2003), “De Sitter gauge theory of …….gravitation”, Int J Mod Phys C 14, pp.41-57 117 I Zlatev, L Wang and P.J Steinhardt (1998), “Quintessence, … …… c cosmic Coincidence, and the Cosmological Constant”, arXiv:astro-ph/9807002 …… TIẾNG NGA 118 I N Bronstein K A Semendaev (1986), Sổ tay toán học cho … ……….kỹ sư chuyên gia, M Nauka (tiếng Nga) 119 A N Matveev (1986), Cơ học lý thuyết tương đối, Moscow ( tiếng Nga ) 120 D Ivanenko G Sardanashvily(1985), Hấp dẫn, Kiev, trang.145-55(tiếng …… Nga ) 150 PHẦN PHỤ LỤC PHỤ LỤC I THẾ HẤP DẪN DO MỘT VẬT CHUYỂN ĐỘNG SINH RA Trong Mơ hình hấp dẫn véctơ, hấp dẫn véctơ chiều tương tự điện từ Trong phụ lục I này, ta khảo sát hấp dẫn sinh vật có khối lượng hấp dẫn mg chuyển động với vận tốc v không đổi Xét quan sát viên A đứng yên với vật, hấp dẫn gây vật hệ quy chiếu gắn với A tĩnh:  mg  g   4 g r A   A   g G  4 g (I.1) , r khoảng cách từ vật đến điểm khảo sát Một quan sát viên B khác đứng hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc v quan sát viên A theo trục X hệ gắn với A Các hấp dẫn hệ gắn với B, theo phép biến đổi Lorentz : g mg      g  4 g v2 v2  1 r 1  c c  mg v g v    B  Agx  c c 4 g v2 v2   r   c2 c2    Agz  Agy    Mặt khác, theo phép biến đổi Lorentz: r  x2  y  z  ( x  vt )  y 2  z 2 v 1 c (I.2) 151  Đặt : Ta có : ( x  vt )  ( y2  z 2 )(1  v2 ) c2 v2 1 c 2  ( x  vt )  ( y2  z 2 )(1  r v2 ) c2  v2 1 c (I.3) (I.4) (I.5) Ta viết lại công thức (I.2) thành:  mg   g      g   v mg   B  Agx c 4 g    A  A  gz  gy  (I.6) Trường hấp dẫn hệ A tính theo cơng thức:   Ag Eg   grad g  t   Bg  rotAg (I.7) (I.8) hệ B:   Ag Eg   grad  g  t    Bg  rot Ag (I.9) (I.10) 152 PHỤ LỤC II MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ II.1 Các phép biến đổi vơ hướng, véctơ tenxơ Xét phép biến đổi tọa độ tổng quát: Vi phân: (x)(x) , .0,.1,.2,.3 (II.1) x   x  ( x0 , x1 , x2 , x3 ) (II.2) x   x  dx    dx   dx (qui ước Einstein) x    x   (II.3) * – véctơ phản biến biến đổi dx  : x   A   A x   (II.4) * Một vô hướng  bất biến phép biến đổi tọa độ:  ( x )   ( x ) (II.5) * Đạo hàm vô hướng  : x   x  x  x  * 4- véctơ hiệp biến biến đổi A  (II.6)  : x  x A x  (II.7) * Tenxơ lần phản biến, lần hiệp biến hay hỗn hợp biến đổi: A  x  x    A x x (II.8) x x  A x  x (II.9) A  153 x  x  A    A x x   (II.10) II.2 Tenxơ mêtríc Mêtríc dùng để xác định khoảng cách độ dài véctơ Bình phương khoảng cách vơ bé điểm (sự kiện) lân cận: ds  g ( x  )dx dx  (II.11) g ( x  ) tenxơ mêtríc hiệp biến tenxơ mêtríc phản biến g  ( x  ) cho bởi: g  g      (II.12)  ab tenxơ Kronecker a b  ab   10 a  b (II.13) g  g  (II.14) Tenxơ mêtríc đối xứng: Ta dùng tenxơ mêtríc để nâng hay hạ số tenxơ: A  g  A , A  g A b a ab T a  g abT , T  g T b (II.15) (II.16) Trong tọa độ Galileo: (0) g  g (0) 1   1       1   1  (II.17) 154 II.3 Đạo hàm hiệp biến Đạo hàm hiệp biến véctơ phản biến véctơ hiệp biến định nghĩa sau: A  ; A   x A  ;      A  (II.18)     A  (II.19) A x    gọi ký hiệu Christoffel hay hệ số liên thông affin Các ký hiệu Christoffel khơng phải tenxơ Ta có:     ,   g   ,    g  ,        (II.20) (II.21) Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng cao: A ;   A ,      A       A   (II.22) A   ;   A   ,      A       A     A ;  A ,   A  ;   A  ,         A      A A       A      A      A  (II.23) (II.24) (II.25) ý rằng, ta ký hiệu: A ,  A x (II.26) II.4 Các ký hiệu Christoffel tenxơ mêtríc Ta có công thức quan trọng sau đây:    g ( g ,  g ,   g  , )   (ln  g ),   [ln( g )],  (II.27) (II.28) 155 g  d et( g  ) đây: (II.29) II.5 Tenxơ độ cong Riemann Tenxơ độ cong Riemann xác định sau :  R   ,   ,       (II.30) Tenxơ Riemann có tính chất quan trọng sau:   R   R    R  R  R 0 Cịn dùng tính chất: (II.31) (II.32) R   R (II.33)  R  g  R (II.34) Đồng thức Bianchi: R    ;  R   ;   R  ;   (II.35) Tenxơ Ricci định nghĩa sau: R Cụ thể là: R    x       x   R            R  R  Nó có tính chất: (II.36) (II.37) (II.38) Độ cong vơ hướng không gian định nghĩa là:   R  R  g R (II.39) Tenxơ Einstein định nhgĩa là: G   R   R g  (II.40) 156 PHỤ LỤC III PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG HẤP DẪN TRONG KHÔNG –THỜI GIAN CONG Chúng ta có phương trình trường hấp dẫn khơng thời gian phẳng, tức chưa kể đến ảnh hưởng trường hấp dẫn ngồi khác, hay trường xét lên mêtríc khơng – thời gian (2.80), (2.84) Khi kể đến ảnh hưởng trường hấp dẫn lên mêtríc, ta phải viết lại phương trình không – thời gian cong Cách viết tương tự viết phương trình trường điện từ không – thời gian cong [1] * Đầu tiên ta chuyển (2.84) trước:  k E gmn   m E gnk   n E gkm  (III.1) tương tự điện động lực ta có khơng – thời gian phẳng: E g m n   A gn x m   A gm x n (III.2) Trong không thời gian cong, ta thay đạo hàm thường thành đạo hàm hiệp biến có tương ứng: E g m n  A gn ;m  A gm ;n với A gn ;m  A gm ;n  nên:  A gn x m  A gm x n (III.3)   n m A g  (III.4)   m n A g  (III.5) 157 E g m n    A gn x m  A gn x m      A gm A g  ( nm x n    mn A g )  A gm x n   (III.6) nm    mn (III.7) Vì phương trình (2.84) khơng thay đổi, viết lại dạng sau: E gm n ; k  E gnk ; m  E gkm ; n  (III.8) * Bây đến phương trình (2.80):  i Dgik  J gk (III.9) Ta định nghĩa 4- véctơ dịng tọa độ cong Yếu tố thể tích không gian cong là:  dV   dx1dx dx3 với   det(  ) (III.10)  ik tenxơ mêtríc chiều khơng gian Mật độ khối lượng hấp dẫn  g định nghĩa là: dmg   g  dV (III.11) đó: dmg dx   g dx  dV  g g 00  d  dx , d   dx dV dx (III.12) Ta dùng hệ thức:  g   g 00 (III.13) 158 Trong tọa độ Galileo { x  } tích phân vơ hướng theo d   dx0 dx1dx2 dx3  vô hướng, tức d  khơng đổi ta tích phân Khi chuyển qua tọa độ  cong { x } : d x  dx d    gd  J (III.15) D ( x , x1 , x , x ) D ( x0 , x1 , x2 , x3 ) (III.16) d  J Jacobian: g Do J2   Ta có Do  x x (0)     g x x (III.17) , det( g ( ) )   g (III.18) det( g  )  (III.14) g nên J  g (III.19)  gd  yếu tố 4- thể tích bất biến Do đó, ta định nghĩa 4- véctơ dòng hấp dẫn J   g  g g c 0 d x d x  (III.20) Ta có mật độ khối lượng hấp dẫn là: g 00 c  g  J g0 (III.21) Ta có định luật bảo tồn khối lượng hấp dẫn là: J g;     g x (  gJ g )  (III.22) Phương trình (2.80) lúc thành: E;    g x  ( gEg )   4 c J g (III.23) 159 PHỤ LỤC IV CÁC THÀNH PHẦN CỦA TENXƠ RICCI ĐỐI VỚI MÊTRÍC TỰA SCHWARZSCHILD Trong phụ lục này, ta xác định tenxơ Ricci mêtríc đối xứng cầu tựa Schwarzschild Mêtríc đối xứng cầu có dạng schwarzschild sau: ds  e ( r ) c dt  e  ( r ) dr  r ( d  sin  d  ) (IV.1)  (r ),  (r ) tiến đến không r tiến đến vô để bảo đảm tính phẳng khơng – thời gian xa nguồn trường hấp dẫn Để tính tenxơ Ricci phương trình Einstein, ta phải tính 40 ký hiệu Christoffel Đây công việc nặng nhọc Thường người ta tính ký hiệu Christoffel khác khơng từ phương trình đường trắc địa Các phương trình đường trắc địa có dạng sau:        x   x x  , x  dx (IV.2) ds Các phương trình trắc địa thu từ biến phân sau: 1/   ds    e ( x )2  (e r  r 2  r sin  )  ds  (IV.3) Do s biến tích phân, tốn biến phân (IV.3) hồn tồn tương đương với toán biến phân sau:   ds    e ( x )2  (e r  r 22  r sin  ) ds  (IV.4) Dùng F để biểu diễn tích phân (IV.4), phương trình trắc địa có dạng: d F F ( )  ds x x (IV.5) * Phương trình trắc địa cho x  x là: d (2e x )  ds (IV.6) 160  0  x   rx hay: (IV.7) ý rằng, dấu chấm ký hiệu vi phân thời gian, dấu phẩy ký hiệu vi phân biến r So sánh (IV.7) với (IV.2) ta thu ta thu ký hiệu Christoffel khác không với số sau đây: 0 10   01   (IV.8) * Tương tự cho biến r, ta có phương trình đường trắc địa sau: 1  r   r   e  ( x )  e   r  r sin  2e    2 (IV.9) Ta có số Christoffel khác không với số sau: 1 100   e  , 111    , 122  e   r , 133   r sin  e   2 (IV.10) * Đối với biến  , ta có phương trình sau: r   r  sin  cos   (IV.11) Các ký hiệu Christoffel khác không với số sau: 2  221  12  ,  33   sin  cos  r (IV.12) * Phương trình trắc địa cuối cho biến  là: r    r    cot  (IV.13) Các ký hiệu Christoffel có số khác khơng sau: 3  323   32  cot  , 13   31  r (IV.14) * Dùng (II.28), tenxơ Ricci (II.37) viết lại sau:  (ln R    g ) x x      x              ln(  g ) x  (IV.15) 161 Tenxơ mêtríc có dạng:  e   0  0 g  0 e 0 r       r sin   (IV.16) Nên định thức g g  g    e   r sin  ln  g  Như vậy:   (IV.17)  2ln r  2ln sin  (IV.18) * Bây ta tính tenxơ Ricci: R00   (ln  g ) x x 0  00  0   00 (  ln  g x ) (IV.19) - Khi ý đến ký hiệu Christoffel khác khơng kể trên, ta có: R00   100  ln  g r 1      (  e  )  (  2e  )  (  e  )(  ) 2 2 r            e       4 r  R11  r  2100001  100 2 g rr    11 x         1  g x (IV.20) (IV.21) - Loại bỏ số hạng triệt tiêu, ta có: 2 ln g 111 0  ln g R11   1010 111111 221221 331331 111 rr r r    1     (  )     2  2   (  ) r 4 r 2 r    2        4 r - Tiến hành tương tự, ta có: (IV.22) 162 R22   ln  g    22 x   2   22  ln  g  (IV.23) Thay vào ký hiệu Christoffel khác khơng trên, ta có:   g 122  ln  g   122 21   221122   323 323  122  r r       (ln sin  )  (e   r )  2(e   )  cot   e   r (  )  r  r  r     e   1   1 2   R22  (IV.24) - Tiến hành tương tự trên: R 33   ln  g    3 x        3  ln x g (IV.25) Loại bỏ số hạng không, ta  ln  g 133 33 2  ln  g R33     213 33  2332 33  133   33 r  r    (re  sin  )  (sin  cos  )  2(e  sin   cot  sin  cos  )   (IV.26)      re  sin  (  )  cos  r 2  sin  R22 - Đối với thành phần lại khác: R      (IV.27) ... GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ VĂN ỚN MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT & VẬT LÝ TOÁN Mã số: 1.02.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa... ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG HẤP DẪN……………… …42 2.2.1 CƯỜNG ĐỘ TRƯỜNG HẤP DẪN……………………………………………….42 2.2.2 VÉCTƠ CẢM ỨNG HẤP DẪN………………………………………………… 43 2.2.3 MẬT ĐỘ DÒNG HẤP DẪN- CƯỜNG ĐỘ DÒNG HẤP DẪN………………….43... dị trường hấp dẫn Một vấn đề nghiêm trọng khác mà lý thuyết hấp dẫn Einstein gặp phải tính kỳ dị hấp dẫn Một kỳ dị hấp dẫn kỳ dị không thời gian nơi mà đại lượng dùng để đo trường hấp dẫn độ cong