1.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN KHÁC
1.3.8 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VỚI XOẮN
Lý thuyết hấp dẫn với xoắn được phát triển đầu tiên trong các công trình của Cartan vàocác năm 1922,1923 [30, 6]. Ở đó, ông ấy khảo sát mô hình không – thời gian của đa tạp 4 chiều với mêtríc giả Riemann và liên kết không đối xứng
. Trong các công trình sau đó, ông ấy giả thiết rằng xoắn được liên kết với mật độ mômen góc nội tại của môi trường vật chất, tức là thực tế với spin. Nhưng vào thời gian này, spin chưa được biết và vì vậy ý tưởng của Cartan không được chú ý. Nó bắt đầu được quan tâm chỉ vào cuối những năm 1940. Một cách độc lập với Cartan, các ý tưởng tương tự cũng đãđược đề cập tới bởi Sciama, Kibble và Heyl trong các năm từ 1958 tới 1966 [57]. Giai đoạn quan trọng nhất của lý thuyết hấp dẫn với xoắn được bắt đầu với các tiếp cận gauge của trường hấp dẫn. Lý thuyết gauge đã chứng minh được rằng: nguồn gốc vật chất của trường xoắn là spin của vật chất [120]. Công cụ toán học của lý thuyết
không gian với xoắn là hình học Riemann – Cartan. Trong đó cả độ cong và độ xoắn của không – thời gian đều có thể khác không.
Phương trình của đường trắc địa trong không gian Riemann – Cartan có cùng dạng ngoài như phương trình đường trắc địa trong không gian giả Riemann.
Nhưng khác là liên kết trong nó chứa cả ký hiệu Christoffel lẫn tenxơ xoắn:
2
2 ( { } ) 0
d x d x d x
d s k d s d s
(1.74)
ở đây
là ký hiệu Christoffel thông thường, k là tenxơ đồng xoắn (contorsion tensor). Nó được biểu diễn qua tenxơ xoắn bởi:
( )
k Q Q Q (1.75)
Như vậy, đường trắc địa ở trong không gian với xoắn (được gọi là các đường tự song song) không trùng với đường trắc địa trong không gian giả Riemann và không là những đường ngắn nhất. Đường ngắn nhất trong không gian với xoắn là quỹ đạo chuyển động của hạt điểm không spin.
Để nhận được Lagrangian toàn phần của lý thuyết hấp dẫn với xoắn, cần phải bổ sung vào Lagrangian của trường vật chất Lagrangian của trường hấp dẫn và trường xoắn.Trong các lý thuyết hấp dẫn cổ điển với xoắn, lý thuyết Einstein – Cartan được ủng hộ rộngrãi nhất.
Lagrangian có dạng:
g Q L
R x g
L 1 (g) 2 (1.76)
ở đây :
- là hằng số tương tác không hấp dẫn với trường xoắn.
-L là Lagrangian của trường Dirac trong không gian với xoắn
- Q là trường xoắn;R là độ cong vô hướng.
Biến thiên L theo trường hấp dẫn cho phương trình Einstein với vế phải của nó là tenxơ năng – xung của fermion và trường xoắn.
Biến thiên L theo tenxơ xoắn dẫn đến phương trình đại số biểu diển xoắn qua dòng fermion spinơ:
Q J
2
1 (1.77)
Biến thiên L theo trường dẫn đến phương trình Dirac trong không gian Riemann – Cartan:
~ 0
D (1.78)
Thay (1.77) vào (1.78), ta nhận được phương trình spinơ phi tuyến Ivanenko (1938) [120] trong trường hấp dẫn:
0 )
. ( 8
3 5
5
D (1.79)
Từ phương trình (1.77) rõ ràng rằng nguồn của xoắn là spin của trường fermion.
Điều này đúng cho Lagrangian bất kỳ của trường xoắn.
Trong lý thuyết Einstein – Cartan, xoắn liên kết với spin một cách đại số (không là động lực). Điều này có nghĩa rằng xoắn chỉ là nơi có các hạt với spin.
Nếu không có các hạt như thế, lý thuyết Einstein – Cartan dẫn đến Lý thuyết tương đối tổng quát.
Cần chú ý ở đây là nguồn của trường xoắn chính là spin của trường vật chất, trường điện từ và các trường calip khác dù có spin 1 không là nguồn của xoắn.
Một nguồn của xoắn nữa thường gặp trong lý thuyết Einstein – Cartan là chất lỏng spin. Nó mô hình hóa vật chất của các sao và thiên hà, là chất lỏng lý
tưởng, mỗi phần tử của nó được đặc trưng bằng xung lượng, năng lượng và mômen góc nội tại khác zero trong hệ quy chiếu gắn với phần tử đang xét.
* Cuối cùng, các hiệu ứng nào có thể so sánh với Thuyết tương đối tổng quát khi tính đến xoắn? Trước hết, đó là chuyển động của các hạt với spin trong trường xoắn. Xoắn có thể gây nên sự mở rộng bổ sung của vạch điện tử trong nguyên tử, phá vỡ bất biến -CP trong phân rã các hạt. Tất cả các hiệu ứng này có thể được dùng để phát hiện xoắn. Tuy nhiên, một vấn đề còn bỏ ngõ là độ lớn của hằng số liên kết của trường xoắn. Nếu nĩ quá nhỏ, các kiểm tra thực nghiệm trong các phòng thí nghiệm hiện nay chưa thể phát hiện được