Ta biết các lý thuyết thống nhất lớn đều dựa vào các nhóm Lie với biểu diễn được lấp đầy bởi những hạt với spin cố định. Tuy nhiên các lý thuyết này không thiết lập được quan hệ giữa các hạt spin khác nhau. Hơn nữa, nguyên lý gauge chỉ cố định được các tương tác véctơ, còn tương tác Yukawa và tương tác vô hướng vẫn không chịu một ràng buộc nào cả. Do đó sự mở rộng các lý thuyết thống nhất lớn cần phải theo hướng xây dựng một đối xứng liên quan giữa các hạt có spin khác nhau. Đối xứng này được gọi là siêu đối xứng (SUSY).
Trước đây người ta cũng tìm cách kết hợp các đối xứng định xứ không – thời gian với đối xứng bên trong nhưng không thực hiện được do một chứng minh tổng quát của Coleman và Mandula (định lý no – go) [1] khẳng định rằng: sự kết hợp của đối xứng không – thời gian bên ngoài P và đối xứng nội tại bên trong G chỉ là sự kết hợp tầm thường, tức là tích trực tiếp P G .
Trong siêu đối xứng, sự kết hợp này là không tầm thường nhờ đưa vào 2 spinơ thỏa các hệ thức (phản) giao hoán:
Q , Q Q , Q 0 (1.80)
Q , Q 2 p (1.81)
, , 0
Q p Q p
(1.82)
Các hệ thức này cùng với đại số Lie của nhóm Poincaré được gọi là đại số Lie phong cấp (graded). Các vi tử Poincaré được gọi là các phần tử chẵn, còn
Q
Q , là các phần tử lẻ.
Để xây dựng biểu diễn của đại số Lie phong cấp, người ta dùng tính chất các spinơ Q , Q khi tác dụng lên boson sẽ cho ta fermion và ngược lại.
- Xét trước tiên trường hợp không khối lượng. Khi đó P sẽ thỏa:
0
p
p (1.83)
- Ta có thể chọn P dạng :
1 ( 1, 0, 0,1) 4
p (1.84)
Lúc này, đại số siêu đối xứng trên kia thành:
1 2 2
{ Q , Q i} 1 , { Q , Q } 0 (1.85)
1 2 2
{ Q , Q } { Q , Q i} 0 (1.86)
{ Q i , Q i } { Q i , Q i } 0 , i 1 , 2 (1.87)
Từ trạng thái không khối lượng với helicity thỏa:……….
…….Q i Q 2 0 (1.88)
người ta thấy rằng từ chỉ dựng được một trạng thái khác 0 là Q1 , các
trạng thái khác đều có chuẩn bằng 0 do đại số viết trên đây.
Do đú biểu diễồn khụng khối lượng của đại số siờu đối xứng gồm hai trạng thỏi với helicity và + ẵ.
Nếu định nghĩa thêm toán tử P với:
( 0Q)
pQ (1.89)
thì biểu diễn sẽ bao gồm các helicities ) 2 ( 1 ,
Mở rộng cho các trạng thái có khối lượng, người ta đi đến kết luận là: mọi hạt trong biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng đều có cùng khối lượng và nhúm thành từng cặp với spin (J, J + ẵ) hay (J, J – ẵ). Như vậy mỗi hạt thụng thường sẽ cú một bạn đồng hành siờu đối xứng với spin khỏc ẵ đơn vị, tức fermion có đồng hành là boson và ngược lại.
Ta có thể mở rộng đại số siêu đối xứng bằng cách thêm chỉ số “mùi” i vào các tích Q : Qi, i 1 , 2 ,... N , các “tích” này giờ đây là đại số SO (N) của đối xứng bên trong và thỏa:
[ , i ] ( ) i
i M Q Q (1.90)
Qi , Qj 2 ( ) p i j Z i j 5 Z ,i j (1.91)
[ Z i j , Q ] [ Z 'i j , Q ] 0 (1.92)
' , '
[Zij,Zm] [Z ij,Z m][Zij,Z m] 0 (1.93)
ở đây Zij,Z'ij thực, là các tích trung tâm.
Trường hợp siêu đối xứng đơn:
0
1 '
Z Z
N (1.94)
1.4.2Sơ lược về siêu hấp dẫn
Ở trên ta mới xét siêu đối xứng toàn cục, ta chuyển qua xét siêu đối xứng định xứ.
Đại số siêu đối xứng có chứa đại số Poincaré, do đó nếu ta áp dụng nguyên lý gauge thì sẽ xuất hiện trường hấp dẫn như là trường gauge đối với đối xứng Poincaré. Ngoài ra còn một trường gauge khác ứng với siêu đối xứng thuần túy (định xứ) đó là trường spinơ – vectơ với spin 3/2 mà ta gọi là gravitino, là bạn đồng hành siêu đối xứng của graviton. Lý thuyết thu được trên đây được gọi là sieâu haáp daãn.
Đến năm 1976 có hai hình thức siêu hấp dẫn: hình thức luận của Deser – Zumino[1] và hình thức luận của Freedman- Niewwenhuizen- Ferrara [41, 68].
Ta xét qua hình thức luận của Deser – Zumino:
+ Xét siêu đối xứng đơn, định xứ, các trường gauge bao gồm như sau:
*Tetrad h tương ứng P
*Liên kết tương ứng với M (Lorentz)
*Trường Rarita – Schwinger , tương ứng với Q.. Chú ý là
không độc lập, mà biểu diễn được qua h :
0
1[ ( ) ( ) ( )
2
c
ab ha hb hb h ha b hc h a b
(1.95)
Lagrangian Deser – Zumino có dạng:
S R
Einstein L
L
L (trong khoâng gian cong) (1.96)
2
1 , d e t
E i n s t e i n 2
L R h h h
x
(1.97)
2 5
R S
L i D (1.98)
ở đây
h h
R
R (1.99)
R
(1.100)
( ) ( ) ( ) ( )
g x h x h x d i a g (1.101) 1
2
D (1.102)
Trên quan điểm lý thuyết trường lượng tử, siêu hấp dẫn có mấy ưu điểm:
- Là lý thuyết trường đầu tiên phù hợp để mô tả tương tác của trường Rarita – Schwinger với trường khác (là trường hấp dẫn).
- Các yếu tố ma trận S ở bậc 1 và 2 vòng kín là hữu hạn. Hiện nay, siêu hấp dẫn đơn có vai trò như nguyên tử hydro trong cơ học lượng tử, dùng để thử các kỹ thuật tính toán. Nó là quá nhỏ để có thể đủ là lý thuyết thống nhất tất cả các tương tác.
Siêu hấp dẫn mở rộng tương ứng với siêu đại số Lie mở rộng bao gồmđại số Poincaré {M, P} và đại số đối xứng bên trong SO (N) với vi tử
( 1,..., )
Q ii N biến đổi theo biểu diễnvéctơ của SO (N). Tất cả các lý thuyết này đều có đặc trưng quan trọng là mô tả hợp nhất trường hấp dẫn tương tác với các trường khác có spin thấp hơn [1].
Siêu hấp dẫn mở rộng N=2: thống nhất lý thuyết Maxwell với hấp dẫn, photon nằm chung trong một đa tuyến với graviton cùng với 2 hạt có spin 3/2. Lý thuyết này có các bổ chính 1 và 2 vòng kín hữu hạn trong các quá trình tán xạ trong khi ở
lý thuyết Maxwell – Einstein không siêu đối xứng, tán xạ photon- photon phân kỳ ở một vòng kín.
Để không có các hạt với spin lớn hơn 2 ( graviton có spin bằng 2), tối đa ta có N
= 8. Do SO(8)SU(3), lý thuyết này có thể xem là thống nhất hấp dẫn với sắc độnglực.