MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI

CHƯƠNG 4. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VŨ TRỤ HỌC

4.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI…

4.2.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI

Từ phần trên ta đã thấy rằng mật độ năng lượng Vũ trụ trong mô hình này sụt giảm theo dạng R2. Như vậy, nếu căn cứ trên sự sụt giảm mật độ năng lượng theo “bán kính” Vũ trụ R thì năng lượng Vũ trụ giống với vật chất dạng bụi (có mật độ sụt giảm theo dạng m  R3)hơn là giống với bức xạ (có mật độ sụt giảm theo dạng R R4). Do sự việc này, chúng tôi giả thuyết rằng phân bố Bolzmann cổ điển có thể được dùng để diễn tả sự phân bố năng lượng Vũ trụ quanh các thiên hà và các cụm thiên hà.

Ta xét một thiên hà với khối lượng hấp dẫn Mg, nó nằm trong một biển của năng lượng Vũ trụ. Ta khảo sát trường hấp dẫn tại một điểm A trong biển này.

Ta gọi N0là mật độ các hạt năng lượngVũ trụ tại một điểm N rất xa từ thiên hà này.

Tại đó thế hấp dẫn của thiên hà này xem như bằng khônggN=0. Ta gọi g là thế hấp dẫn tạiA. Theo phân bố Bolzmann, ta có mật độ các hạt tại A là:

. )

0exp(

kT N m

N gg



 (4.13)

ở đây mg là khối lượng hấp dẫn của một hạt, T là nhiệt độ tuyệt đối của đám khí hạt.

Như vậy, mật độ khối lượng hấp dẫn tại A là:

. ) exp(

. .

. 0

kT N m

m m

N g g g g

g

     (4.14)

Khi ta khảo sát A xa từ thiên hà, động năng của hạt rất lớn hơn thế năng của nó vì vậy ta có thể giả thuyết rằng:

g

mg. << kT (4.15)

Ta khai triển hàm e và dừng lại ở gần đúng bậc nhất ta có:

. .

e x p ( m g g ) 1 m g g

k T k T

 

   (4.16)

Từ (4.14): 0 .

. (1 g g)

g g

m N m

kT

   

kT N N m

m g g . . g

. 0

2 0 

 (4.17)

Từ phương trình (2.37)ở trên:

g g / g

E  

  

(4.18) Chú ý rằng: Dg gEg

và G = 1/ 4g ( 4.19)

và: Eg  g

do A g  0

(4.20)

Như vậy: 2g   g / g (4.21)

Khi thay (4.17) vào (4.21), ta có:

g g

g g

g

g kT

N m N

m 



 

.

. 0 2 0

2  

 (4.22)

Ta viết lại (4.22) trong dạng sau:

2 2

g a b . g

 

   (4.23)

ở đây:

g

g N

a m

 . 0

 (4.24)

kT N b m

g g



0 2

2  (4.25)

Khi giả thuyết rằng các hạt năng lượng Vũ trụ phân bố đối xứng quanh thiên hà Mg, ta có thể viết (4.23) trong dạng sau:

2

2 2

1 d ( g) g

r b a

r dr      (4.26)

Ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (4.26). Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất trong phương trình (4.26):

2

2 2

1 d ( g) g 0

r b

r dr     (4.27)

là: 0 1 2

1 ( i b r i b r )

g C e C e

  r    (4.28)

Một nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất (4.26) là:

1 2

1 ( i b r i b r )

g

e e a

r b

      (4.29)

Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không thuần nhất (4.26) là:

0 1

g g g

  

=1( )

2 1

ibr

ibr C e

e r C



  +

) 2

1(

b e a

r e

ibr

ibr   

 (4.30)

Do gvà a/b2 là thực, vì thế C1=C2 và chúng đều là thực hay C1=- C2 và chúng đều là thuần ảo.

Chúng ta đòi hỏi rằng khi r0, ta thu được giới hạn Newton cho thế hấp dẫn, tức

là: g g G M g

c o n s t

     r  (4.31)

Khi r0,g trong (4.30) trở thành:

1 2 2

1 2

( )

g

C C a

r r b

     (4.32)

Từ (4.31) và (4.32), ta thu được:

GMg

C

C11 21 và a/b2 = const (4.33) Trong trường hợp còn lại, khi C1=- C2 và thuần ảo, ta không thu được giới hạn Newton cổ điển. Ta không xét trường hợp này.

Như vậy, nghiệm tổng quát của (4.26) là:

2 2

( ) / cos /

g ibr ibr g

g

GM GM

e e a b br a b

r r

         (4.34)

Ta thu được trường hấp dẫn quanh thiên hà Mg khi có mặt năng lượngVũ trụ như sau:

sin 2 cos

g g

g g

GM b GM

E grad br br

r r



   (4.35)

Cuối cùng, lực hấp dẫn tác dụng lên một ngôi sao có khối lượng hấp dẫn mg1 khi nó chuyển động trong trường hấp dẫn này là:

1 1

1 2

. g g . sin g g cos

g g g

GM m b GM m

F m E br br

r r

    (4.36)

Ta viết lại (4.36) trong dạng sau:

N V

g F F

F   (4.37)

ở đây:

r br b m

FV GM g g1. sin



 (4.38)

Ta gọi là lực hấp dẫn vacuum.

và: br

r m

FN   GM g2 g1 cos (4.39)

Ta gọi là lực hấp dẫn Newton.

Bây giờ ta xem tương quan về độ lớn giữa FV và FN khi rthay đổi 0 tới .

4.2.2.1 Vùng Newton

Khi br << 1, ta có: sinbr 0, cosbr 1 vì vậy FV << FN

Ta thấy rằng: Fg = FN GM mg2 g1

  r (4.40)

Ta trở về trường hợp Newton cổ điển.

4.2.2.2 Vùng vật chất tối

Khi br  2 , ta có: sinbr 1, cosbr 0 vì vậy FV >> FN

do đó: Fg =

r b m FV GMg g1.



 (4.41)

Bây giờ ta khảo sát chuyển động của một ngôi sao khối lượng hấp dẫn mg1, khối lượng quán tính mi1 trong vùng này, ta có:

2

1 1

. g g .

i

GM m b m v

r  r (4.42)

Do sự tỉ lệ chặt chẽ giữa khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn, tức 1

1

1 

g i

m

m ,.ta có :

2

v GM bg (4.43)

Như vậy, vận tốc ngôi sao v là độc lập đối với khoảng cách r từ tâm thiên hà. Điều này giải thích một cách rất đơn giản và phù hợp với các đường cong quayphẳng

của các thiên hà. .

Một cách chính xác hơn, khi tính đến số hạng sin(br), ta có: .

……… … ….v2 GM bg sin( )br (4.44)

hay: v  G M bg . sinbr1 / 2 (4.45)

với      2

2 br .

Trong hình 4.1 dưới đây, ta biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốccác sao quay quanh thiên hà vào khoảng cách từ tâm thiên hà theo định luật Keple kinh điển, theo công thức (4.43) và công thức (4.45).

Hình 4.1. Sự phụ thuộc của vận tốc ngôi sao vào khoảng cách r từ tâm thiên hà. Đường hyperbol là đường phụ thuộc vận tốc vào bán kính r tính từ tâm thiên hà theo như định luật Keple kinh điển. Đường nằm ngang là đường cong quay phẳng của các sao quanh thiên hà, vận tốc các sao không phụ thuộc vào khoảng cách từ tâm thiên hà.. Đường dạng quả núi là

đường là đường cong quay của các sao thực sự. Ở br lân cận 2

 , đường này gần trùng với đường cong quay phẳng nằm ngang.

Hình 4.2 biểu diễn đường cong quay phẳng của Thiên hà của chúng ta (Milky Way) và vị trí của mặt trời trong Thiên hà của chúng ta. Hình 4.3 biểu diễn đường cong quay phẳng của một số thiên hà điển hình trong Vũ trụ.

Hình 4.2: Đường cong quay của Thiên hà chúng ta (Milky Way) và vị trí của mặt trời trong thiên hà. Mặt trời của chúng ta có vận tốc vào khoảng200 km/s .

(hìnhđược lấy từtrang http://cse.ssl.berkeley.edu/…/2002/notes/lec16.html)

Hình 4.3:Hìnhảnh đường cong quay của các thiên hà thu được từ quan sát.

Theo thứ tự từ trái sang phải, từ dưới lên trên là: thiên hà NGC 6503, thiên hà NGC 2903, thiên hà NGC 2403, thiên hà NGC 7331, thiên hà NGC 3198, thiên hà NGC 2841.

Đường trên cùng là đường cong quay phẳng ứng với halo vật chất tối.

(hìnhđược lấy từtrang http://burro.astr.cwru.edu/heather/cms36/mar29p4.GIF)

4.2.2.3 Vùng năng lượng tối

Khi cosbr brsinbr hay br, FN thay đổi dấu, trở thành lực đẩy. Ta có

V

N F

F  hay cả FN và FV đều trở thành những lực đẩy. Một ngôi sao hoặc một

thiên hà khác nếu đi vào trong vùng này sẽ bị đẩy ra xa và tăng tốc.Khi xét 2 thiên hà hay 2 cụm thiên hà, nếumộtthiên hà hay mộtcụm thiên hà này nằm trong vùng năng lượng tối của thiên hà hay cụm thiên hà kia, chúng sẽ đẩy nhau và tăng tốc.

4.2.2.4 Vùng hút xa

Khi br lớn hơn nữa, FV và FN thay đổi dấu một lần nữa và trở thành các lực hút. Ta gọi vùng này là vùng hút xa. Do các hàm sinbr và cosbr thay đổi tuần hoàn nên các vùng này xen kẽ lẫn nhau. Chúng tôi minh họa các vùng này trên các hình 4.4 và hình 4.5.

Hình 4.4: Sự phân bố và tỉ lệcác vùng quanh thiên hà theo góc br. Khi br nhỏ( r nhỏ) ta có vùng Newton. Khi br

2

 , ta có vùng vật chất tối. Khi br lớn hơn, ta có vùng năng lượng tối. Khi br lớn hơn nữa, ta có vùng hút xa.

Hình 4.5: Hình vẽ sự phân bố các vùng theo khoảng cách từ tâm thiên hà r trở ra. Hình cầu trong cùng nhất là vùng Newton. Hình cầu kế đến là vùng vật chất tối, hình cầu kế bên là vùng năng lượng tối. Hình cầu ngoài cùng là vùng hút xa.