BÀI TOÁN NÂNG CAO về PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA đa THỨC

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®.. Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.. Bạn chỉ cầ

Trang 1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Trang 2

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn

2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký

3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm

để tiện truy cập

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

Trang 3

CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

1. Chứng minh rằng biểu thức n(2n − 3) − 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với

n ∈ Z .

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/468/811123

2. Tìm x, biết

a. 5x − 7(2x − 5) < 2(x − 1)

b. 6 − 7(x − 4) ≥ 3x + 2(3 − x)

c. 10x − 3(x − 5) > 3x − 2(x − 4)

3. Tìm:

a. Tìm các hệ số a, b, c biết rằng

3x2 a x2 − 2bx − 3c = 3x4 − 12x3 + 27x2 với mọi x

b. Tìm các hệ số m, n, p biết rằng

− 3x k mx2 + nx + p = 3x k + 2 − 12x k + 1 + 3x k với mọi x

4. Cho a, b là các số nguyên. CMR

a. Nếu 2a + b ⋮ 13 ; 5a − 4b ⋮ 13 thì a − 6b ⋮ 13

b. Nếu 100a + 4b ⋮ 7 thì 4a + b ⋮ 7

5. Cho biểu thức: B = (x2 + 1)(y2 + 1) − (x + 4)(x − 4) − (y − 5)(y + 5)

Trang 4

a. n2 chia cho 7 dư bao nhiêu? b. n3 chia cho 7 dư bao nhiêu?

Chứng minh B ≥ 42 ∀x, y. Với giá trị nào của x; y thì B = 42.

6. Tìm GTLN, GTNN

a. Tìm GTNN của f(x) = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

b. Tìm GTLN của A = (1 − x n )(1 + x n ) + (2 − y n )(2 + y n ) (n ∈ N∗)

7. Chứng minh rằng:

a. Nếu x; y ∈ N thì: A = (2x2 + x)(2y2 − y) − xy(4xy − 1) ⋮ 2

b. Nếu x; y ∈ N và x + y ⋮ 13 thì: B = x n (x + 1) + x n (y − 1) ⋮ 13

8. Chứng minh rằng nếu x; y ∈ Z thì:

M = (xy − 1)(x2015 + y2015) − (xy + 1)(x2015− y2015) ⋮ 2

9. Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi:

10. Rút gọn biểu thức

a. A = x2 − 2x + 2 x2 − 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2

b. B = (x + 1)3 + (x − 1)3 + x3 − 3x(x + 1)(x − 1)

c. C = 3 22 + 1 24 + 1 264 + 1 + 1

( )( )( )( )

( )( ) ( )

Trang 5

a. A = 4x − x2 + 3 b. B = − 9x2 + 12x − 15

c. C = − 5 − (x − 1)(x + 2)

11. CMR các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x, y:

a. A = x2 + xy + y2 + 1 > 0

b. B = x2 + 5y2 + 2x − 4xy − 10y + 14 > 0

c. C = 5x2 + 10y2 − 6xy − 4x − 2y + 3 > 0

12. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = x2 − 20x + 101

b. B = 4a2 + 4a + 2

c. C = x2 − 4xy + 5y2 + 10x − 22y + 28

13. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

14. Xét biểu thức f(x) = (2x − 5)2 − 4(2x − 5) + 5

a. Chứng minh f(x) ≥ 1 với mọi giá trị của x.

b. Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

15. Cho x2 − y2 − z2 = 0 . Chứng minh rằng

(5x − 3y + 4z)(5x − 3y − 4z) = (3x − 5y)2

Trang 6

16. Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) . Chứng minh rằng a = b = c = 1.

a. 719 + 720 + 721 ⋮ 57

b. 2102.850 − 3277 ⋮ 31

18. Chứng minh rằng: a = b = c biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

19. Cho A = x3 + y3 + z3 − 3xyz

a. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì A = 0

b. Điều ngược lại có đúng không?

20. Tìm các số tự nhiên n để:

a. n3(n − 3) − 5(3 − n) là số nguyên tố.

b. 2(n − 2) − n4(2 − n) là số nguyên tố.

21. Tính giá trị của biểu thức:

Trang 7

A = 16

8 − 1 (2 + 1) 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1

22. Tính:

a. Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5 . Tính x3 + y3

b. Cho x – y = 5 và x2 + y2 = 15. Tính x3 − y3

23. Cho a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1; ac + bd = 0 . Chứng minh rằng ab + cd = 0.

24. Tìm các hệ số nguyên a, b, c, d sao cho đa thức x4 + ax3 + bx2 − 8x + 4 viết được dưới dạng bình phương của đa thức x2 + cx + d.

25. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n3 + 3n2 − n − 3 ⋮ 8

26. Cho x2 + y2 + z2 = 10. Tính giá trị biểu thức:

P = (xy + yz + xz)2 + (x2 − yz)2 + (y2 − xz)2 + (z2 − xy)2

( )( )( )( )

Trang 8

a. a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)

b. (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

28. Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = 14

Tính giá trị biểu thức: A = a4 + b4 + c4

29. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến

a. A = (x − y)2 z2 − 2z + 1 − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2

b. B = x2 + y2 z2 − 4z + 4 − 2(z − 2) x2 + y2 + x2 + y2

30. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì

a. m3 − m ⋮ 6

b. m3 + 5m và m3 − 19m cũng luôn chia hết cho 6.

31. Cho x2 + y2 + z2 = 10 . Tính giá trị của biểu thức

P = (xy + yz + xz)2 + x2 − yz 2 + y2 − xz 2 + z2 − xy 2

32. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Trang 9

33. Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp biết tích của chúng là 120

34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với

n ∈ Z.

a. A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1

b. B = n4 − 4n3 − 2n2 + 12n + 9

35. Tìm n ∈ N để P = n3 − n2 − n − 2 là số nguyên tố.

36. Cho a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1

37. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức

M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên

38. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng

B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương

Trang 10

39. Chứng tỏ rằng đa thức A = x2 + 1 4 + 9 x2 + 1 3 + 21 x2 + 1 2 − x2 − 31 luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x

40. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd với a, b, c, d là các số dương

thì a = b = c = d

41. Tìm đa thức dư trong phép chia: (x2005 + x2004) : (x2 − 1)

42. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 8x + 10

43. Tìm m để đa thức x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho

x + y + z (x; y; z ≠ 0, x + y + z ≠ 0)

44. Cho x; y; z ∈ Z∗, biết a = x2 − xy; b = y2 − xz; c = z2 − xy.

Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c

( ) ( ) ( )

Trang 11

45. Chứng minh rằng với n lẻ thì

a. n2 + 4n + 3 chia hết cho 8.

b. n3 + 3n2 − n − 3 chia hết cho 48.

46. Chứng minh rằng 111 111

81 s ố 1

⋮ 81

47. Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 993 + 1003 chia hết cho

B = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 .

48. Tìm:

a. Số dư khi chia 2100 cho 9

b. Số dư khi chia 2222 + 5555 cho 7

49. Chứng minh rằng ∀m; n ∈ N thì:

x 6m + 4 + x 6n + 2 + 1 ⋮ x4 + x2 + 1

50. Tìm n ∈ N sao cho: x 2n + x n + 1 ⋮ x2 + x + 1

Trang 12

51. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0); f(1) là các số lẻ. Chứng minh đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

52. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên và a; b ∈ Z; a ≠ b

a. Chứng minh rằng: f(a) − f(b) ⋮ a − b

b. Có thể đồng thời xảy ra f(5) = 7; f(19) = 15 không?

53. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

54. Tính giá trị biểu thức:

a. Cho x + y + z = 0; xy + yz + zx = 0.

Tính giá trị của biểu thức: A = (x − 1)2014 + y2015 + (z + 1)2016

b. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1

55. Cho a2 − b2 = 4c2. Chứng minh rằng:

(5a − 3b + 8c)(5a − 3b − 8c) = (3a − 5b)2

56. Cho 1

a +

1

b +

1

c =

1

a + b + c. Chứng minh rằng: 1

a n +

1

b n +

1

c n =

1

a n + b n + c n

Trang 13

57. Chứng minh rằng: Nếu x4 + y4 + z4 + t4 = 4xyzt và x , y, z, t là các số dương

thì x = y = z = t

58. Cho a + b = 1 tính M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b)

59. Phân tích đa thức F = a(b + c)2(b − c) + b(c + a)2(c − a) + c(a + b)2(a − b)

thành nhân tử

60. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a. A = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc

b. B = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4

61. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. A = bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b)

b. B = 8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3

62. Chứng minh rằng n6 + n4 − 2n2 chia hết cho 72

Trang 14

63. Tính

a. Cho 3 số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 0

xy + yz + zx = 0

Tính S = (x + 1)2014 − (y − 1)2015+ (z + 1)2016

b. Cho a − b = 100 .Tính a2(a + 1) − b2(b − 1) + ab − 3ab(a − b + 1)

64. Tìm x, y, z thoả mãn x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y − 4z − 14

65. So sánh A =

24 + 1

4 44 +

1

4 64 +

1

4 324 +

1 4

1 + 1

4 34 +

1

4 54 +

1

4 314 +

1 4

và B = 2013.

a. Nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x; y ≠ 0 thì a

x =

b y

b. Nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x; y; z ≠ 0 thì a

x =

b

y =

c z Xem lời giải tại:

67. Tính

{

Trang 15

a. Cho a3 − 3ab2 = 19; b3 − 3a2b = 98 Tính A = a2 + b2.

b. Cho a; b thỏa mãn: a3 − 3a2 + 5a − 17 = 0; b3 − 3b2 + 5b + 11 = 0. Tính

B = a + b

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	798,35 KB