30 đề thi học sinh giỏi toán cấp 2 chuyên toán

Trang 1

NGUYÊN VŨ THANH

Đề thi học sinh giỏi (Biên soạn theo chương trình mới

của Bộ Gido duc va Dado tao)

Trang 2

® NGUYÊN VŨ THANH

30 ĐỀ TH

Trang 3

1

Chứng mỉnh rằng nếu x,y c Z thì 2x + 3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x + 5y chia hết cho 17

2,

Giải phương trình :

Vx—2+10—x = x" -— 12x + 40

3

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y số

A=(+y)(x+ 2y) œ + 3y) (x + 4y) + yÌ là số chính phương

4

Cho hình vuông ABCD cạnh a, E là điểm bất kỳ nằm giữa A và B, đường thẳng CE cắt đường thẳng AD tại I, đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt đường thẳng AB tại K

œ) Chứng minh rằng tứ giác ACRI nội tiếp và Cl= CK Suy ra trung điểm cia [IK di động trên một đường cố định

ð) Từ E kẻ đường vuông góc với IE tại M, khi E di

động trên AB, chứng tỏ M di động trên một đường

cố định

c) Dat BE = x, tinh các dé dai BK, CK, IK và diện

tích tứ giác ACRKIT theo và x

Trang 4

HƯỚNG DẪN VÀ NHẬN XÉT CÁCH GIẢI Ì BÀI 1: Ta có: 4(2x + 3y) + (9x + by) = 17(x + y) Do đó: 2x+3y:17 <= 9x + By : 17 Ở đây chúng ta đã sử dụng hai tính chất chia hết : « Nếu n : cvàb : cthìa+b:e , « Néu ab : c vA (b,c) = 1 thia: c

Cùng với loại bài tập này có các bài sau : 1 Biết N = đcba, chứng minh rang :

a)N : 4khivachikhia+ 2b: 4 bìN : 8 khi và chỉ khi a + 3b + 4c : 8

c)N : 16 khi va chi khi a + 2b + 4c + 8d : 16 và b chẵn

2/ Cho a, b e N, chứng minh rằng :

a)a + 4b : 13 khi và chỉ khi 10a + b : 13 b) 3b + 2b :¡ 17 khi và chỉ khi 10a +b : 17

Trang 5

5/ Cho n số nguyên aị, a;, , an có tổng a; + a; + + an chia hết cho 6, chứng tổ rằng tổng a; +a;+ +a; cũng chia hết cho 6

Trang 7

I nhận xét cách giải : e Phương pháp giải trên đây gọi là phương pháp đối lộp < À5 A=M B>aM ‘ = B=M (A=B s Với phương pháp này các em nhớ dấu bất đẳng thức xảy ra của bất đẳng thức dang “>” hoặc “<” « Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có thể chứng minh bất đẳng thức : (ac + b.d} < (a? + b2) (c? + đ”) b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Ê = i Bất đẳng thức trên gọi c là bất đẳng thức Bunhiacopxki Ap dụng bất đẳng thức trên ta chứng mỉnh A < 4 như sau : A? = (1.x +2+1V10-x)’ < (1? + 1”) [(x - 2) + (10 - x)] = 16 => A<d

Trang 8

BÀI 3:

Ta có :

A= (x+y) (x + 4y) (x + 2y) (x + 3y) + y* = (x? + Bxy + 4y”) (x? + 5xy + By”) + y4

= [(x? + Sxy + Sy”) - y?] [(x? + Bxy + By?) + y?] + yÌ

= (x2 + Bxy + By? (dpem)

M@ Nhan xét cách giải :

Khi gặp dang tích (x + a) (x + b)(x + c)x + d) với a + b =c + d ta

thường khai triển (x + a) (x + b) và (x + c) (x + đ) để được :

X? + (a + b)x = XÃ + (ce + đ)x

Loại này có các bài toán sau :

Trang 9

a) Tứ giác ACKI có hai đỉnh A và € nhìn cạnh IK dưới góc

vuông nên nội tiếp trong đường

tròn đường kính IJK và tâm O

là trung điểm IK

Ta có : €AR-=ỐIR (hai góc

nội tiếp chắn cung CK)

Ma GAK=45° > CIK = 45°

Suy ra A CIK vuông cân tai A do dé CI = CK

Tam O nkm trén đường trung trực của AC là BD cố định

b) Tứ giác AIME nội tiếp (vì có Â + M = 180°) = _ BAM = ÊIM =48° (cùng chắn cung EM)

=> tia AM là tia phân giác của góc vuông IABĐ

Trang 10

-_ ĐỀ 2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x°+(X+ 1°=y!+(y+ 1#

Tìm 11 số không âm sao cho mỗi số bằng bình

phương của tổng 10 số còn lại -

3

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của :

y=3vx-1+4V5-x (1<x<5)

4,

Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm

của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh AB và BC Phân giác góc A cắt MN tại P Chứng minh rằng

APE = 90°

Trang 11

) BÀI 2:

1) Chứng minh xyz : ð

a)Néu xyi5 thì xyz:5

b)NếuxyZ5 thì x°=1; 4 (mod 5)

và y =1; 4 (mod 5) suy ra: z?=x? + y?=0, 2, 3 (mod 5)

Vìz2#3,3(mod 5)>z:5 Vay xyz: 6 2) Chứng minh xyz :ö ' Nếu x, y : 3 thì x?, y? = 1 (mod 3) => ?z? =x +y?°=<2(mod3) (vd li) Vậy : xy : 3= xyz : 3 3) Chứng mình xyz : 4 a) Néu x, y chẵn thì xyz :4 b) Nếu + = 2k, y = 2( + 1= zlẻ,z = 2m + 1 thì (2m + 1 = 4k? + (2£ + L > k? = mim + 1) ~ £(£ + 1):3 => xia c) Néu x lẻ, y chẵn thì y : 4 Vậy : xyz : B.3 4 = 60 BÀI 3:

Giả sử A MNP là tam giác nội tiếp trong A ABC M; Mg lan lượt là

Trang 12

Ta cdn tim M trên BC sao cho MìM; nhỏ nhất Vì A MIAM;

cân và M/AM, = 2A không đổi nên M;M; nhỏ nhất khi M;A hay

MA nhỏ nhất Vậy M là chân đường cao kẻ từ A xuống ABC Từ đó suy ra các điểm N, P BÀI 4: Ta có: a?+B?+c?2=(a+b+ c}! - 2(ab + be + ca) =0 =a=b=c-=Ũ0 Vậy: T=0 _ BÊ23 Cho f(x) = x? - 2(m + 2)x + 6m + 1

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm lớn

Trang 13

Cho số nguyên n

a) Chứng minh rằng n + 3n + 5 chia hêt cho 11 khi va chi khio = 11k + 4 (keZ)

b) Ching minh n°’ + 3n + 5 không chia hết cho 191

Trang 14

} BÀI 2: a’? +b? a) Áp dụng bất đẳng thức : ah < ~ 2 " xì -y? Ta cé: xJ1—y? soa oe (a) ; dấu bằng xảy ra khi x= v1 - yỀ 2 cacy —

yvl-x’ sot “_ (b); dấu bằng xây ra khi y = v1 - x” Cộng (a) và (b) sa được : xi1-y?+y 1~-x <1

Dấu bằng xây ra thì La có : X” + y°=1

Trang 16

ĐỀ 24

ab

a) Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho a- bị la sé nguyén té

b) Véi 100 số tự nhiên bất kỳ, hỏi có thể chọn ra

được hay không 10 số để sao cho hiệu hai số tùy ý trong 10 số này chia hết cho 11 ?

3

Cá thể biểu diễn số 1 thành tổng các hình phương

nghịch đảo của n số tự nhiên khác nhau được hay

Trang 17

Cho lục giác lỗi ABCDEF Các đường thẳng AB va

EF, EF và CD, CD và AB lần lượt cắt nhau tại P, Q,

R Các đường thang BC va DE, DE va FA, FA va BC

lần lượt cắt nhau tại 8, T, Ũ AB CD EF 4 ‘ ếu : ——=—— =— thì Chứng minh rằng nếu : PR QR QP BC _DE_FA US TS TU BÀI 3 Giả sử ` vdi 1< ai< 8;¿< <ay,(n>9) a A, a,

Bang qui nap, ta chung minh duge :a,2k+1 (k>1)

Khi đó ta có : Loe cits Bingley Cop ar Độ ap 9 8 - (n+1 : Tuy nhiên ta lại có :

1 1 1 1 ct 1 1

=+†t—t + Pe aes (n+U 12 23 s + + + nn+l) =1- nel 1

Trang 18

P BÀI 1: a) Vì a, b có vai trò như nhau nên giả sử a >b a.b a~b => ab: p=>ai phodcb: p > p= 2,3,5 hodc7 (1) = ab = pa— pb © (a+ p) (p—b)= p” XS 2 es 2 Ja+P=P c a=p*-p p-b=l b=p-1 Giả sử = p(1) Với p là số nguyên tố « Với p = 2, ta có số ab = 21, 22 e Với p = 3, ta có số ab = 62, 26 «Ư Với p = 5, p = 7 thì ta có 2 chữ số (oại)

b) Lấy 100 số đã cho chia cho 11 thì được các dư Q, 1, , 1Q

Mà 100 = 11.9 + 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất 10 số có cùng dư khi chia cho 11; 10 số này có hiệu hai số tùy ý chia

hết cho 11

4,

BC là dây cung của dường tròn tâm Ö bán kính R

(BC z 2R) Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong A ABC Các đường cao AD, BE, CF của A ABC đồng qui tại H

Trang 19

a) Tứ giác BFEC nội tiếp

= AFE = ACB , g6c A chung

=> AAEF A ABC

b) Kê dường kính AI, tứ giác

HBLC là hình bình hành nên A’ Ja

trung điểm HL, do đó A'O = > AH

ec) A AEF © A ABC > ng (Rape; Rare lan lượt là bán kính đường tròn AA, Rags ngoại tiếp của A ABC và A AEF)

Ma Rapo=R và Rau = 5 AH = OA’ nén :

BB Jt => AA’ OA'= R AA, AA, OA

d) 2S anc = 25opc + 2Soac + 25oan

Trang 20

a) Nếu x > 0 thì từ x” < x?+x + 1< (x + 1 Suy ra (1) không có nghiệm nguyên x>0 b) Nếu x = 0 hoặc x œ - 1 thì từ (1) Suy ra: y+y+1=+1 âđ@y=00vy=-l Ta cú nghim : (0, 0); (0 ; - 1) (1;0); (1; 1) ec) Nếu x < - 1 thì từ (x + L < x + x+1<x? Suy ra (1) không có nghiệm nguyên %x < - 1

Tóm lại, những trình đã cho có 4 nghiệm nguyên :

(0;0) ;(0;~1) ;C1;0) ;(—=1;-1)

Trang 21

Phương pháp giải trên gọi là phương pháp loại trừ, trong đó sử dụng tính chất :

“Nếu có số nguyên m sao cho m” < n < (m + 1) thì n không thể là số chính phương”

@ Cac bai toán cùng loại này :

Trang 23

BÀI 2: Giả sử aj, ay, ,a:; là 11 số không âm thỏa điểu kiện của bài toán Ta có : , a; = (aj + a3+ tar)? ag = (A, + ag + + an)?

=> 8,- a) = (a+ 43+ + ay) - (ap tag + + ayy)” = (ag — ai Ì(â¿ + ai + 28g + + 2ay)

=_ (ai-a;)(1 + ai +a¿ + 28ạ + + 2air) = Ú — ai = Đ; Tương tự ta có : ai = 8; = = 8¡¡= ñ

Rhi đó : a = (10a)? > a=0- hoặc HH

Trang 24

Ì BÀI 3:

œÍ Giá trị lớn nhất :

Dùng biến đổi tương đương, chứng minh bất đẳng thức :

(ac + bđ} < (a? + b”) (c? + d*) (BĐT Bunhiacopxki)

Trang 25

P BÀI 4: „ A A/ Trường hợp P nằm trong đường tròn nội tiếp A ABC Ta cé6 : A MOP = A QOP (c.g.c) = OMP=O0QP @ Mặt khác :

OMP = GNP (AMON can) (2) Tiy (1) va (2) suy ra ONP = OQP

2 Ñ ad 'Tứ giác OPNG nội tiếp

=> 5 điểm O,P,N,C, Q nằm trên đường tròn đường kính

OC = OPC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

b/ Trường hợp P nằm trên đường nội tiếp AABC Khi đó

AABC là A cân tại A và P là chân đường cao kẻ từ A

e/ Trường hợp P nằm ngoài đường tròn nội tiếp A ABC Bạn

Trang 26

ĐỀ 3 1 Cho (x - y)’ + (y — z} + (2 ~ x)? = (x+ yS— 92)? + (y + z — 9x) +(x+z_—9yÊ' Chứng minh rằng : x = y = z 2 Cho ba số a,b,e thỏa điều kiện : a?+b?+ce? x1 a”+bf+ct =1 Chứng minh rằng : a + bỶ + c7 = 1 3

Cho dãy số 49, 4489, 444889 được xây dựng bằng

cách thêm 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của đãy số là số chính phương

4, `

Trang 28

BÀI 3: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng : @, = 44 4 88 89 = 44 4 88 8 + 1 mì số 4 ~m-~1nổ 8 nega L1) II 44 4.10° + 88 +1=4 J1 1.10" +811 14+1 nsid n Bố 8 n1 nRế1 n n * =4.“ 10"+g.10=1,¡ — 4.10?" +4.10% +1_(2.10" +1) 9 ~ 3 (vi 121-88 wat ay nad 1 9 9 BÀI 4:

Ta chứng minh đường cao AH của tam giác ABC kéo dài cắt EN tại trung điểm của EN

Trang 29

N N AE = AB ẾTEA =HAB= 90° - É'AE) M ~4ABE=ABHA E› =EE=AH () Tương tự ta cũng có : A AN’B = ACHA = NN’ = AH (2) BH C

Từ (L) và (2) suy ra : EE' # = NN); do đó tứ giác EENN' là hình bình hành — AH cắt EN tại trung điểm của EN (dpem)

Nhận xét : Bạn đọc hãy chứng minh bằng phương pháp trực tiếp

ĐỀ 4

Giả sử x,y là số đương Gọi ma là số nhỏ nhất trong

1 _ 1 ‘

cAc sO x;y + ae = Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể

đạt được của am ,

Với những số nguyên nào của x (O < x < 9) thì các số

44 4 xx x và 11 1 xx x đồng thời là tích của hai

nad nấm - naất nes

Trang 30

Cho a +b +c = 0, chting minh ring :

a-b bre c~a c a b._

e c 7 a b a nh han ch

Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên

các cạnh AB, AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vi

tam giác APQ bằng 2 Chứng minh rằng ECQ = 45° HƯỚNG DẪN VÀ NHẬN XÉT CÁCH GIẢI

P BÀI 1:

Đặt z= a thi m = min {xizst+2} :

¥ x £

x, Z CÓ vai trò như nhau nên ta có thể giả sử x < z

Trang 31

Ð BÀI 2:

Với n = 1 hai sO 4x va 1x đông thời là tích của hai số tự

nhiên liên tiếp chỉ với x = 2 (42 = 6.7 ; 12 = 3.4) Ta chứng minh với x = 2 thì kết quả đúng với mọi n > 1 Ta có : 44 4 29 2 =44 4.10" +29 3=4.11 1.10° + 2.11 ] eS mm cứ CÁ Reh tees eee “ = 4.10 =1 1p ta =s,10ˆ~ 12 10" + 1) 2(10°-1) [2(10° ~1) =—————.Ì——Ì 3 3 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp “Tương tự : 11.192 2=10`-1 ‡ạ,a 18-1 L1 1 88.3 = ¬— " ẽẻ 3

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Trang 32

P BÀI 3: Đặt m= BSE py = BOB ig BR a b c Thi đó : 111 Y+7z Z+X X+ÿy (x+wy+z) (—t+—+—-)=3+ + + Œq) xXx y Z x y Zz Ơ+t_ a ,cơa a-b _ a c-ac+ab-b Ta có : x bre! b + : Jar be = a fc=bile+b-a)_ 2a" (vie +b=- a) b-c be be

Tương tạ: Z£X_SP” và X+y _Êc” am: y ac z ab

Trang 33

BÀI 4: E Ta có : ÁP + AQ + PQ = 2= ÁQ + QD + ÁP + D C PB=SPQ=PB+QD Trên đoạn PQ lấy điểm M sao cho : Q DQ = QM ; MP= PB

Trên tia đối với tia DA lấy điểm E sao

A PB cho: DE = PB Khi dé : ACBP = ACDE

=> PC=EC>ACEQ=ACQP (e.c.c}

= '€QD-CQP =+ACMGQ vuông tại M

Ta có : ACDQ = ACMGQ và ACMP = ACBP

=> DCQ- QCM va MCP =PCB

== Ũ

Trang 34

ĐỀ 5

3

Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một

số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương

Chứng mình rằng với mọi số tự nhiên n > 1, ta có :

11 1 1 9

Trang 35

Cho tam giác ABC cân tại A Các đường thẳng qua đỉnh B, O và trung điểm O của đường cao tương ứng đỉnh A

cắt các cạnh AB, AC ở M và N Cho diện tích tam giác

ABC bằng 8 Hãy tính diện tích tứ giác AMON

HƯỚNG DẪN VÀ NHẬN XÉT CÁCH GIẢI

BÀI 1:

Giả sử số điện thoại là : abcd

Trang 38

P BÀI 4:

Ta có : Sanon _ Saon VÌ — q)

Ạ Gọi 1 là trung điểm NC ta có :

HI là đường trung bìnhACBN = HI/BN = ON là đường trung bình A AHI

.Â, KÀ

VIX = N 14 trung diém Al

BA H VW \ C Do đó : AC ag: SN Lis 76

Từ (1) và (2) suyra: Samon = ze e 8

Mi Nhan xét cach giai :

Trang 39

Giả sử N = 1.3.5 2001 chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N, 2N + 1 không có số nào

là số chính phương

Cho 2001 điểm trên mặt phẳng, Mt ring trong méi nhóm ba điểm bất kỳ của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách bé hơn 1 Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất

1001 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính

bằng 1

Tìm các chữ số x,y sao cho nếu xxxxx cho yyyy có