30 đề thi học sinh giỏi toán cấp 2 phần 1

Trang 1

NGUYEN VU THANH

Đề thi học sinh giỏi

(Biên soạn theo chương trình mới

của Bộ Gido duc va Dado tao)

NHA XUAT BAN TONG HỢP THÀNH PHỐ HỖ CHÍ MINH

Trang 2

® NGUYÊN VŨ THANH

30 DE THI

Trang 3

1

Chứng mỉnh rằng nếu x,y c Z thì 2x + 3y chia hết

cho 17 khi và chỉ khi 9x + 5y chia hết cho 17

2

Giải phương trình :

xx-2+xŸ10—x = x” -— 12x + 40 3

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y số

A=(x+ y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + yÌ là số chính phương

4

Cho hình vuông ABCD cạnh a, E là điểm bất kỳ nằm

giữa A và B, đường thẳng CE cắt đường thẳng AD tại

I, đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt đường

thẳng AB tai K

œ) Chứng minh rằng tứ giác ACRI nội tiếp và Cl= CK Suy ra trung điểm của IW di động trên một đường cố định

ð) Từ E kẻ đường vuông góc với IE tại M, khi E di

Trang 4

HUGNG DAN VA NHAN XET CACH GIAI Ì BÀI 1: Ta có: 4(2x + 3y) + (9x + by) = 17(x + y) Do đó: 2x+3y:17 <= 9x + By : I7 Ở đây chúng ta đã sử dụng hai tính chất chia hết : « Nếu n : cvàb : cthìa+b:e , ø Nếu ab : c và (b,e) = 1 thì a : c

Cùng với loại bài tập này có các bài sau :

1⁄ Biết N = đcba, chứng minh rang :

a)N : 4khivachikhia+ 2b: 4

bìN : 8 khi và chikhia +2b+ 4c: 8

c)N : 16 khi va chi khi a + 2b + 4c + 8d : 16 và b chẵn 2/ Cho a, b e N, chứng minh rằng :

a)a + 4b : 13 khi và chỉ khi 10a + b : 13

b) 3b + 2b :¡ 17 khi và chỉ khi 10a +b : 17

3/ Chứng minh rằng nếu một số có ba chữ số mà chữ số hàng

chục và hàng đơn vị giống nhau và tổng ba chữ số đó chia hết cho

7 thì số đã cho chia cho 7 :

4/ Chứng minh ring néu a” + b* chia hét cho 5 thì hai số

Trang 5

5/ Cho n số nguyên aj, a, ., a, c6 téng a; + ag + + ay chia hét cho 6, chimg td ring téng a} +aj+ ta° cing chia hét cho 6

Trang 7

I nhận xét cách giải : e Phương pháp giải trên đây gọi là phương pháp đối lập A<M A=M B>aM ‘ = (oom \A=B - Với phương pháp này các em nhớ dấu bất đẳng thức xảy ra của bất đẳng thức dang “>” hoặc “<” « Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có thể chứng minh bất đẳng thức : (ac + b.đ) < (a2? + b2) (c2 + đ”) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Ê = 2 Bất đẳng thức trên gọi c là bất đẳng thức Bunhiacopxki Áp dụng bất đẳng thức trên ta chứng minh A < 4 như sau : A? =(1.4x+2+14/10- x} < (1? + 1) [(x - 2) + (10 - x)] = 16 = A<4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4x -2=2/10—x © x = 16

Trang 8

BÀI 3:

Ta có :

A=(x + y)(x + 4y) (x + 2y) (x + 38y) + y*

= (x? + Bxy + 4y”) (x? + xy + By”) + y4

= [(x? + õxy + By”) - y*] [(x? + Bxy + 5y?) + y+ y4

= (x? + Bxy + By? (dpem)

Nhận xét cách giải :

Khi gap dạng tích (x + 4) (x + b)&x + c) + đ) với a + b=c+ dta

thường khai triển (x + a) (x + b) và (x + c) (x + đ) để được :

x? + (a+ bx =x? + (c+ dx

Loại này có các bài toán sau : :

1/ Giải và biện luận theo tham số m phương trình : x(x + L) (x +2) (x+ 3) =m~ 1 2/ Định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : (x2 ~ 1)(x + 3) (x+ 5)=m 3/ Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương 4/ Gọi S = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1) (n + 2) Chứng minh rằng 48 + 1 là số chính phương 5/ Giải phương trình (x + a) (x + 2a) (x + 3a) (x + 4a) = 3a! 6/ Cho y = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) a Tìm giá trị nhỏ nhất của y

b Giải phương trình y=3

7/ Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không thé

Trang 9

a) Tu gide ACKI c6 hai dinh A và C nhìn cạnh IK dưới góc

vuông nên nội tiếp trong đường

tròn đường kính IK và tâm O

là trung điểm IK

Ta có : GAK =GIK (hai góc nội tiếp chắn cung CK)

Ma GAK=45° > CIK = 45°

Suy ra A CIK vudng can tai A do dé CI = CK

Tam O nkm trén đường trung trực của AC là BD cố định

b) Tứ giác AIME nội tiếp (vì có Â + M = 180°)

= EAM = EIM = 452 (cùng chắn cung EM)

=> tia AM là tia phân giác của góc vuông IAB

Trang 11

-_ ĐỀ 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x°+(X+ 1°=y!+(y+ 1#

Tìm 11 số không âm sao cho mỗi số bằng bình

phương của tổng 10 số còn lại Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của : y=3vx-1+4V5-x (l<x<5)

Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm

của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh AB và

Trang 12

a) Nếu x > 0 thì từ x” < x?+x + 1< (x + 1 Suy ra (1) không có nghiệm nguyên x>U0 b) Nếu x = 0 hoặc x œ - 1 thì từ (1) Suy ra: y+y+1=+1 my=0vy=-1 Ta có nghiệm : (0, 0); (0 ; - 1) (1;0); (1; 1) ec) Nếu x < - 1 thì từ (x + L < x + x+1<x?

Suy ra (1) không có nghiệm nguyên %x < - 1

Tóm lại, những trình đã cho có 4 nghiệm nguyên :

(0;0) ;(0;~1) ;C1;0) ;(-1;~1)

I Nhận xét cách giải :

Trang 13

Phương pháp giải trên gọi là phương pháp loại trừ, trong đó sử

dụng tính chất :

“Nếu có số nguyên m sao cho m” < n < (m + 1} thì n không thể

là số chính phương”

@ Các bài toán cùng loại này :

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :

Trang 16

Ì BÀI 3:

œÍ Giá trị lớn nhất :

Dùng biến đổi tương đương, chứng minh bất đẳng thức :

(ac + bđ) < (a? + b”) (c? + d*) (BĐT Bunhiacopxki)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi : oP c d Áp dụng bất đẳng thức trên ta có : y? = (3 Vx-14+4/5-x } < (32 + 42 (x— 1 + õ — x) = 100 > y<S10 NX-1 5-x 61 i = hay x= — 3 4 25 61 Vậy : M: ay ax y = 10 khi i x a a5 b/ Gia tri nhé nhdt : Tacéd: yo 3(Vx—-1+VJ5-x)+ V5-x 5-x Dat Az Vx-1 + J5-x > A? =4+42(x-DG-» 24 > Az 2 và dấu bằng xảy ra khi x = 1 hoặc x = ð

Vậy y > 3.2 + 0 = 6 Dấu bằng xảy ra khi x = 5

Do đó : miny =6 khỉ x=5

Trang 17

A/ Trường hợp P nằm trong đường tròn nội tiếp A ABC Ta có : A MOP = A QOP (c.g.c) = OMP-0QP @ Mặt khác :

OMP = GNP (AMON can) (2)

Tir (1) va (2) suy ra ONP =OQP

=> Td gide OPNQ néi tiép

=> 5 diém O, P, N, C, Q ndm trên đường tròn đường kính

OC => OPC = 90° (ge nbi tiép chắn nửa đường tròn)

b/ Trường hợp P nằm trên đường nội tiếp AABC Khi đó

AABC là A cân tại A và P là chân đường cao kẻ từ A

e/ Trường hợp P nằm ngoài đường tròn nội tiếp A ABC Bạn

đọc chứng mình tương tự

Trang 18

DE 3 1 Cho (x - y)’ + (y—2)? + @ ~ xP = (x + y — 22)" 4 fy + 2 Ox)? +(x +2 -2y)*: Chứng minh rằng : x = y = z 2 Cho ba số a,b,e thỏa điều kiện : t +b+efx1 a?+bŠ+e2 =1 Chứng minh rằng : a + bỶ + c7 = 1 Cho dãy số 49, 4489, 444889 được xây dựng bằng

cách thêm 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh

rằng tất cả các số của đãy số là số chính phương

`

Cho tam giác ABC, trên AB và AC về phía ngoài tam giác ta dựng hai hình vuông ABDE và ACMN

Chứng minh rằng trung tuyến qua Á của tam giác

Trang 20

BÀI 3: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng : #a = 44 4 88 89 = 44 4 88 8 + 1 mi số 4 ~ m+1nổ8 nega L1) = 44 4.10” + 88 8 +1=4 11 1.10? +811 1+1 nid n nổ 8 nail nhấ1 n n ` - 4 10 1 -1o" +g 10 =i 4.10% 44.10" +1_(2.10" +1), 9 3 (vi 11 1- ao ay nad 1 9 9 BÀI 4:

Ta chứng minh đường cao AH của tam giác ABC kéo dài cắt

EN tại trung điểm của EN

Goi E, N' lần lượt là hình chiếu củ E, NÑ lên AH kéo dài

Xét hai tam giác vuông AEE và BHA có :

Trang 21

AE = AB Ế BA = HAB (= 90° - E“AE) => AAR’E = A BHA = EE’ = AH (1) Tương tự ta cũng có : A AN’B = ACHA => NN’ = AH (2)

Ti (1) và (2) suy ra : EE’ #/ = NN’; do dé tif gidc EENN' là

hình binh hanh = AH cdt EN tai trung diém cia EN (dpem)

Nhận xét : Bạn đọc hãy chứng minh bằng phương pháp trực tiếp ĐỀ 4 Giả sử x,y là số đương Gọi ma là số nhỏ nhất trong các số x ; y + = § „ Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể đạt được của mm ,

Với những số nguyên nào của x (O < x < 9) thì các số

#426 a va _ xx x đồng thời là tích của hai

n sở nei x - n nes a

số tự nhiên liên tiếp với mọi số tự nhiên n > 1

Trang 22

Choa+b+c=0, iaraneneds

a-b boc c~a

( +

c a b ` * hoe

Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên

các cạnh AB, AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vi

tam giác APQ bằng 2 Chứng minh rằng ECQ = 45° HƯỚNG DẪN VÀ NHẬN XÉT CÁCH GIẢI P BÀI 1: Đặt z.= & thi m = min {xizit+2} : ¥ x £

x, Z CÓ vai trò như nhau nên ta có thể giả sử x < z

Trang 23

DBAI 2:

Với n = 1 hai sO 4x va 1x đông thời là tích của hai số tự

nhiên liên tiếp chỉ với x = 2 (42 = 6.7 ; 12 = 3.4) Ta chứng minh

với x = 2 thì kết quả đúng với mọi n > 1 Ta có : 44 4 22 2 =44 4.10" +22 2=4.11 1.10" + 2.11 1 SSS aS — ——— SoS mn—— “ = 4.10 =1 1p ra =2, 40 19 10" +1) a(10* -1) [ 210" -1) =o | 3 3 1 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp “Tương tự : 11.192.23= 10-1 ‡ạ,a 18-1 L1 1 88 3 = ny age _ 10-2 age yg) 20-1 20"-1 3

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

§ Hhận xét cách giải : (Xem nhận xết cách giải bài 8 đề 3}

Trang 25

BÀI 4: E Ta có : AP + AQ + PQ = 2 = AQ+QD+ AP + D C PB = PQ = PB+QD Trên đoạn PQ lấy điểm M sao cho : Q DQ = QM ; MP= PB

Trên tỉa đối với tia DA lấy điểm E sao

A PB cho: DE = PB Khi dé : ACBP = ACDE

=> PC=EC>ACEQ=ACQP (e.c.c}

=> '€QỒ-CQP =+ACMGQ vuông tại M

Ta có : ACDQ = ACMGQ và ACMP = ACBP

=> DCQ- QCM va MCP =PCB

== Ũ

= PGQ- 2-20 455 (deni)

Trang 26

ĐỀ 5

Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một

Trang 27

Cho tam giác ABC cân tại A Các đường thẳng qua đỉnh B, O và trung điểm O của đường cao tương ứng đỉnh A

cắt các cạnh AB, AC ở M và N Cho diện tích tam giác ABC bằng 8 Hãy tính diện tích tứ giác AMON HƯỚNG DẪN VÀ NHẬN XÉT CÁCH GIẢI P BÀI 1: Giả sử số điện thoại là : abcd Ta có: abcd =x”; (a+1IXb+1)(œ+1)(d+1) = y => y-X=I11ll1 Ð = (y- x) (y + x) = 111

Trang 30

Ta có : = => ä)

Ạ Gọi 1 là trung điểm NC ta có :

HI là đường trung bìnhACBN

= HI/BN = ON là đường trung bình A AHI MIỄN KÀ X = N là trung điểm AI BA H \ Cc Do đó : AC "6 đó: ÂN ig Từ (1) và (2) suyra: Samon = ¿ = 8

Mi Nhan xét cach giai :

Trên day la dang bài tỷ số diện tích

Trang 31

Giả sử N = 1.3.5 2001 chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N, 2N + 1 không có số nào là số chính phương

Cho 2001 điểm trên mặt phẳng, Mt ring trong méi

nhóm ba điểm bất kỳ của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách bé hơn

1 Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất

1001 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính

bằng 1

Tìm các chữ số x,y sao cho nếu xxxxx cho yyyy có

thương là 16 dư là r; nếu chia xxxx cho yyy có

Trang 33

D BAI 2:

Ta có: 2001 = 2 1000 + 1

Gọi A là một điểm trong 2001 điểm đã cho Về đường tròn tâm

^ bán kính 1, nếu tất cả 2000 điểm còn lại đểu nằm trong đường

tròn tâm A bán kính 1 thì bài toán được giải

Giả sử có điểm B nằm ngoài đường tròn (A,1) tức là AB > 1 Vẽ đường tròn tâm"B bán kính 1, ký hiệu là (B, 1) Ta chứng minh

tất cả 2001 điểm đã cho đêu nằm trong (A,1) hoặc (B,1) Thật vậy,

lấy C bất kỳ, ta có nhóm ba điểm A, B, C theo giả thiết vì AB > 1

nén AC < 1 hoặc-BC < 1, khi đó C năm trong (A,1) hoặc (B,1)

Vậy theo nguyên tắc Dirichlet, một trong hai đường tròn này

phải chứa ít nhất 1001 điểm (đpcm)

Trang 35

- Nếu xzO thi yO va xzO Hiệ đã cho trở thành: : 1+x? al „11 2 1,4, Qx* y 2x? 2 y y x L+y? == => = pea => Sun 2y? z ay? 2 z z y* 1+z?° 1 1,11 27 ga Qz* x 277 2 x x zz Cộng vế với ba phương trình của hệ và chuyển sang một vế ta có 1 1 1 23 2 2 ae SS SS 3=0 x y z x wW 2 => 2-a? x +4 -1* + 4-1 =0 ¥ z => X=y=Z=

"Thử lại rõ ràng ( 1 ; 1 ; 1) là nghiệm của hệ

Trang 36

1 Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức : X°+y°+z?< xy + By + 22-3 2 Chứng minh rằng nếu {aj > 2 thì hệ sau vô nghiệm : x-9y=a x’,+ w? =1 3

Ký hiệu [x]| là phân nguyên của x (là số nguyên lớn

nhất không vượt quá x) Tính tổng : A= [1234 |+ [2.3.4.5 }+- +[Yatn + Din +2) +3) ] 4,

Cho tam giác ABC vuông tại B, trên tia đối với tia

BA, lấy điểm D sao cho AD = 3AB Đường thẳng

vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc

Trang 39

Nhận xét cách giải :

Đây là bài toán về “phần nguyên của một số”

« Định nghĩa : Phần nguyên của số a, ký hiệu là [œ] là số

nguyên lớn nhất không vượt quá ơ

[ø]a < [ø] + 1

« Tính chất :

a)neZ vàn<ơ<n+1 thì Ja] =n

Trang 41

=> A BED cân

@ Bai tap tương tự :

(dpem)

Gọi N, I, M lần lượt là trung diểm của CE, AD, BD Từ

giả thiết AD = 3AB suy ra I

là trung điểm BM

Ta có: AN=DN

=sŒ do các A ACE,

A DCE vuông)

= NILAD (A AND cân) Gọi J là giao điểm của NI kéo dài với BE thì NJ là

đường trung bình A BE = IJ

là đường trung bình của A

BME = ME //IJ = ME I BD

1/ Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB = CD Gọi M, N, lần

lượt là trung điểm của AD và BC Kéo dài AB, MN, CD gặp nhau

đôi một tại E và F Chứng minh ring : AEM=MFED

2/ Chứng minh rằng tổng eác khoảng cách từ 3 đỉnh của tam

giác đến một đường thẳng ngoài tam giác bằng ba lần khoảng

cách từ trọng tâm đến tam giác đó

3/ Lấy điểm P trong tam giác ABC sao cho EBA -ÉCA Vẽ PK

vuông góc với AB, PH vuông góc với AC Chứng minh rằng