Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K... Hoàn.[r]
(1)50 đề thi học sinh giỏi toán lớp phần (có đáp án chi tiết)
ĐỀ 1 Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2:
a) Rút gọn biểu thức:
2
6
4 18
x x
x x x
b) Cho
1 1
0( , ,x y z 0)
x yz Tính 2
yz xz xy x y z
Bài 3:(3đ)
Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳmg cắt AC K Chứng minh AB = CK
Bài 4 (1đ)
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + 5
ĐÁP ÁN Bài 1 : (3đ)
a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức:
an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44.
Bài 2 : (3đ)
a) (1,5đ) Ta có: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)
= (x+3)(x-2)
x3 – 4x2 – 18x + = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9
=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)
=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)
(2)50 đề thi học sinh giỏi tốn lớp phần (có đáp án chi tiết)
=>
2
6
4 18
x x
x x x
= 2
(x+3)(x-2) ( 2) (x+3)(x -7x +3) x -7x +3
x
Với điều kiện x -1 ; x2 -7x +
0
b) (1,5đ) Vì
3
3 3 2
1 1 1
0
1 1 1 1 1
3
x y z z x y
z x y z x x y x y y
3 3 3
1 1 1 1 1 1
3
x y z x y x y x y z xyz
Do : xyz(
1 x +
1
y +
1
z )= 3 3 2
xyz xyz xyz yz zx xy
x y z x y z
Bài 3 : (3đ)
Chứng minh :
Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM Thật xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân C => B1E
góc C1 góc ngồi tam
giác BCE =>
1 1
1 C B E B C
mà AC // BM (ta vẽ) =>
1
1 C CBM B CBM
nên BO tia phân giác CBM Hồn
tồn tương tự ta có CD tia phân giác góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB
(3)50 đề thi học sinh giỏi toán lớp phần (có đáp án chi tiết)
Mà : BAC BMC , hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng
Ta lại có :
1
1
( );
M BMC cmt A M
1
M A
mà A2 K1 (hai góc đồng vị) =>
1
K M CKM cân C => CK = CM Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm)
Bài 4: (1đ)
Ta có M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
= (2x + 1)2 + 4.
Vì (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + M 4
Vậy giá trị nhỏ M = x =
-1
-ĐỀ 2
Câu Tìm số có chữ số: a a a1 thoã mãn điều kiện a b sau:
a)
2
a a a = a a
b)
3 8 a a a a a a a
Câu Chứng minh rằng: ( xm + xn + ) chia hết cho x2 + x + 1.
khi ( mn – 2) ⋮ 3.
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1.
Câu Giải phương trình:
(1.2.31 +
2.3.4 + +
1
2005.2006.2007) x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007).
Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh:
EF // AB
b) AB2 = EF.CD
c) Gọi S1 , S2, S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC
(4)50 đề thi học sinh giỏi toán lớp phần (có đáp án chi tiết)
Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.
ĐÁP ÁN
Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2)
Từ (1) (2) => 22≤a7 a8 ≤31
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng:
a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 số 57613824
b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625
c) a7a8 = 26 => không thoả mãn
câu Đặt m = 3k + r với 0≤r≤2 n = 3t + s với 0≤s≤2
xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs +
= xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
ta thấy: ( x 3k – 1) ⋮ ( x2 + x + 1) ( x3t –1 ) ⋮ ( x2 + x + 1)