Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán câp 2 (trước đây)

. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN Trung Học Cơ Sở (Từ Năm học 1986–1987 đến Năm học 1994–1995) 2005 1 1 Năm học 1986–1987 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: Một lớp gồm 40 học sinh đứng thành vòng tròn và quay mặt vào trong vòng tròn để chơi bóng. Mỗi học sinh nhận được bóng phải ném bóng qua mặt 6 bạn đứng bên trái mình. Chứng minh rằng tất cả học sinh trong lớp đều nhận được bóng ném tới mình sau 40 lần ném bóng liên tiếp. Bài 2: Người ta viết n số nguyên khác 0 thành một hàng ngang (theo thứ tự từ trái qua phải) sao cho mỗi tổng ba số liên tiếp bất kì là số dương và tổng n số nguyên đó là số âm. a) Chứng minh n không thể là bội của 3. b) Giả sử n − 2 chia hết cho 3 và số đầu tiên là số dương. Chứng minh rằng số thứ 3k + 2 là số âm, còn số thứ 3k (với k = 0, 1, 2, ...) là số dương. Bài 3: Tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu các bán kính của bốn đường tròn nội tiếp các tam giác EAB, EBC, ECD, EDA mà bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi. Bài 4: Cho góc xOy và đường thẳng t bất kì đi qua điểm A trên cạnh Ox. Trên cạnh Oy lấy điểm B. Hãy tìm điểm M trên Ox, điểm N trên Oy sao cho AM = BN và đường thẳng t đi qua trung điểm của MN. BẢNG B Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và H là trực tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác BHCD là hình thoi ? là hình chữ nhật ? Hãy giải thích điều đó. Bài 2: Cho A = n3 + 3n2 + 2n. a) Chứng minh A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n. b) Tìm giá trị nguyên dương của n, với n < 10 để A chia hết cho 15. Bài 3: Phân tích tùy ý số 1987 thành tổng hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của hai số hạng đó. Trong các cách phân tích số 1987 như trên, hãy tìm tích số có giá trị nhò nhất. Bài 4: Hãy nêu cách dựng hình bình hành khi biết độ dài hai cạnh và biết đường chéo chia góc ở đỉnh của hình bình hành sao cho tỉ số giữa số đo độ hai góc đó là 1 : 3 Khi nào thì bài toán có nghiệm hình và lúc đó có bao nhiêu nghiệm hình ? 2 2 Năm học 1987–1988 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 8(2 − x) + y 2 − z 2 = 0 với y < x < 10. Bài 2: Chứng minh rằng trong 90 số tự nhiên liên tiếp nào đó k + 1, k + 2, . . . , k + 90 với k > 10 thì bao giờ cũng có ít nhất 66 số là hợp số. Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm P. Nửa đường tròn đường kính BC với tâm E cắt các cạnh AB, AC tại M, N theo thứ tự đó. Gọi giao điểm ba đường cao của các tam giác ABC và AMN tương ứng là H và K. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. a) Chứng minh ba điểm A, K, P thẳng hàng; ba điểm A, I, H thẳng hàng. b) Chứng minh KH, MN, IE cắt nhau tại một điểm. Bài 4: Một kho vật liệu K nằm ở giao điểm hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật ABCD, trong đó AB là đoạn đường sắt, BC là đoạn đường ôtô, CD là bờ sông. Trên cạnh AD có nhà máy M với AM = 2MD. Một ôtô xuất phát từ K phải chở vật liệu đến cạnh đơờng sắt trước, sau đó đến cạnh đường ôtô, rồi đến cạnh bờ sông và cuối cùng đến nhà máy M. Biết rằng ôtô có thể chạy thẳng trên mặt đất theo hướng nào cũng được, hãy tìm xem ôtô đi theo con đường gấp khúc như thế nào là ngắn nhất. BẢNG B Bài 1: Cho tam giác ABC vuông góc ở A. Từ trung điểm K của BC kẻ đường thẳng vuông góc với AK; đường thẳng này cắt AB tại D và cắt AC tại E. Gọi I là trung điểm của ED. a) Chứng minh AI vuông góc với BC. b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? Tại sao ? Bài 2: Có mảnh gỗ hình tam giác ABC. Hãy tìm cách cưa mảnh gỗ đó theo đường thẳng đi qua điểm M nằm trên cạnh BC (M khác A, C), để chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Bài 3: Hãy tìm các chữ số thích hợp x, y, z để số A = x54y199z chia hết cho 330. Bài 4: Cho phương trình hai ẩn số: x2 + y 2 1 − = 1. 2 2 xy 2xy a) Chứng minh rằng với mọi cặp số x, y thỏa mãn điều kiện: |x| ≥ 2 và |y| ≥ 2 không thể là nghiệm của phương trình trên. b) Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình trên. 3 3 Năm học 1988–1989 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: Tìm số tự nhên sao cho khi cộng ba số: số đó, số các chữ số của số đó và tổng các chữ số của số đó, ta được 1988. Bài 2: Cho P = 1 1 1 1 − − − 2 x x+y x+y+z . Hãy tìm các giá trị của x, y, z để P đạt giá trị dương nhỏ nhất. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cạnh AB kéo dài về phía B lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với CD tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O tại E. Tam giác BDE là tam giác gì ? Hãy chứng minh điều em khẳng định. Bài 4: Dựng tam giác biết vị trí ba điểm phân biệt: một đỉnh của tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp và giao điểm ba đường cao của tam giác đó. BẢNG B Bài 1: Đường tròn tâm P bán kính rvà đơờng tròn tâm Q bán kính s cắt nhau tại A và B (A không trùng với B và s không bằng r). CD là tiếp tuyến chung, C thuộc đường tròn (P) và D thuộc đường tròn (Q). Đường thẳng qua C song song với AD và đường thẳng qua D song song với AC cắt nhau tại E. a) Chứng minh ba điểm A, B, E thẳng hàng. b) So sánh độ dài của đoạn BE với tổng r + s. Bài 2: Cho 1989 điểm phân biệt trên cùng một mặt phẳng, biết rằng trong ba điểm bất kì có thể chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh trong các diểm đã cho có ít nhất 995 điểm cùng nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính 1cm. Bài 3: Một vận động viên chạy với vận tốc đều từ A đến B rồi quay ngay về A. Một người đi bộ với vận tốc đều (không quá 7km/h) từ B đến A rồi quay ngay về B. Hai ngơời cùng khởi hành cùng một lúc và gặp nhau lần thứ hai tại D, trong khi quay về điểm xuất phát của mình. Thời gian của người đi bộ từ D về B gấp 2,5 lần thời gian của vận động viên chạy từ D về A. Tính vận tốc mỗi người, biết vận tốc của họ tính theo km/h đều là các số nguyên. 4 4 Năm học 1989–1990 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ (với đơn vị dài ở trục tung và trục hoành bằng nhau), ta gọi điểm M (x, y) là một “điểm nguyên” nếu cả x và y đều nguyên. Vẽ đường tròn có tâm O ở gốc tọa độ và bán kính R khác 0. a) Chứng minh rằng số các “điểm nguyên” nằm trên đường tròn (O,R) chia hết cho 4. b) Bán kính R phải thuộc tập hợp số nào để số các “điểm nguyên” nằm trên đường tròn khi chia cho 8 thì có số dư là 4 ? Bài 2: Giả sử x, y là các số tự nhiên khác 0, thỏa mãn phương trình 2x2 + x = 3y 2 + y (1) . a) Chứng minh rằng: (x − y), (2x + 2y + 1), (3x + 3y + 1) đều là các số chính phương. b) Hãy tìm một nghiệm nguyên dương của phương trình (1). Bài 3: Cho đường tròn tâm O và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Qua P kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. 1. Chứng minh rằng: a) PA.PB = PC.PD b) Tổng P A2 + P B 2 + P C 2 + P D2 có giá trị không đổi với bất cứ vị trí nào của P trong đường tròn đã cho. 2. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các cạnh AC, BC, BD và AD thứ tự là H, I, K, L; và gọi trung điểm của AC, BC, BD và AD thứ tự là M, N, R, Q. Chứng minh 8 điểm H, I, K, L, M, N, R, Q cùng nằm trên một đường tròn. Bài 4: Cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Gọi độ dài các đoạn thẳng thứ tự như sau: AB = a, BC = b, CD = d, DA = d, AC = x, BD = y. ad+bc x a) Chứng minh: xy = ac + bd và y = ab+cd . b) Tính độ dài các đường chéo của ABCD khi biết độ dài các cạnh của nó. 5 BẢNG B Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để n + 7 chia hết cho n − 2 Bài 2: Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành số sau đây: 1234567891011 . . . 9899100 Bằng cách đặt một dấu (+) vào giữa hai chữ số nào đó của số trên ta được một tổng của hai số. Chứng minh tổng hai số đó không chia hết cho 1989. √ √ √ Bài 3: Với điều kiện nào của các số hửu tỉ dương: a, b, c, d thì căn thức a + b + c + d √ √ √ biễu diễn được thành tổng của ba căn thức x + y + t, trong đó x, y, t là các số hửu tỉ dương. Hãy cho một thí dụ bằng số cụ thể. Bài 4: Cho hình chữ nhật có bốn đỉnh A, B, C, D nằm hoàn toàn bên trong một đường tròn. Các tia DA, AB, BC, CD theo thứ tự cắt đường tròn ở P1 , P2 , P3 , P4 . Các tia AD, BA, CB, DC theo thứ tự cắt đường tròn ở M1 , M2 , M3 , M4 . a) Chứng minh: AP1 + CP3 = BM3 + DM1 và AM2 + CM4 = BP2 + DP4 b) So sánh diện tích hai tứ giác P1 P2 P3 P4 và M1 M2 M3 M4 . c) Chứng minh rằng nếu hai dây cung P1 P2 và P1 P4 bằng nhau thì hai dây cung M1 M2 và M1 M4 cũng bằng nhau. 6 5 Năm học 1990–1991 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: Cho 1991 điểm trên một mặt phẳng P. Biết rằng trong mỗi nhóm ba điểm bất kì của các điểm nói trên bao giờ cũng có thể chọn ra hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm nói trên có ít nhất 996 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1. Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Lấy A, B, C làm tâm dựng ba đường tròn có cùng bán kính là a. Hãy tính diện tích phần chung của ba hình tròn nói trên. Bài 3: Cho hệ phương trình:  2 2   x +z =9   y 2 + t2 = 16 xt + yz ≥ 12 Trong tập hợp nghiệm của hệ phương trình trên, hãy tìm nghiệm (x0 , y0 , z0 , t0 ) sao cho tổng (x0 + y0 ) đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi I là trung điểm của BC và D là điểm bất kì trên BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E, F. a) Chứng minh năm điểm A, E, I, D, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Tam giác AEF và tam giác ABC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? c) Cho biết độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC là b và c ; điểm D chạy trên đoạn BC và gọi độ dài của AD là x. Hãy chứng tỏ rằng diện tích S của tam giác AEF là một hàm số bậc hai của x. Tìm khoảng xác định của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong khoảng xác định đó. 7 BẢNG B Bài 1: a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn điều kiện: (a, b) = 1; và 29 5a + 7b = 6a + 5b 28 b) Chứng minh các công thức sau với a > 0, b > 0, √ a+ a− b= √ b= a+ a+ √ 2 √ a2 − b a2 − b 2 và a2 − b ≥ 0 : + − a− a− √ a2 − b 2 √ a2 − b 2 Hãy áp dụng để rút gọn tổng: √ 2+ 2+ √ 2− 3 √ +√ 2+ 3 2− √ 3 2+ √ 3 Bài 2: Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và giả sử rằng R = a2 + b2 + c2 , S = (a + b + c)2 . Chứng minh: 1 R 1 ≤ ≤ 3 S 2 Bài 3: Xem bài 2 Bảng A Bài 4: Xem câu a và câu b bài 4 Bảng A (không có câu c) 8 6 Năm học 1991–1992 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố khác 2 và khác 3 có dạng 6m + 1 hoặc 6m − 1. b) Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng 6m − 1. Bài 2: a) Giải hệ phương trình:  1    1 1 x + y + z = 1 2    xy − z 2 = 4 2 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1 + x + x2 + x3 = y 3 . Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A, có độ dài các cạnh là: BC = a, AC = b, AB = c. Về phía ngoài tam giác ABC dựng hai nửa đường tròn đường kính AB và AC. Cát tuyến di động qua A cắt nửa đường tròn đường kính AB ở D và cát nửa đường tròn đơờng kính AC ở E. a) Tìm tập hợp các trung điểm F của đoạn DE. b) Gọi P là chu vi của tứ giác BDEC, tìm giá trị lớn nhất của P theo a, b, c. Bài 4: Tam giác ABC vuông tại A, có độ dài các cạnh là: BC = a, AC = b, AB = c nội tiếp trong đường tròn đường kính BC. Từ một điểm P bất kì trên cung BC (P và A khác phía so với BC) kẻ PK vuông góc với BC yại K, PL vuông góc với AC tại L và PM vuông góc với AB tại M. Gọi độ dài các đoạn PK, PL, PM lần lượt là x, y, z. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S= a b c + + x y z 9 BẢNG B Bài 1: a) Cho hai số dương a và b, chứng minh rằng: a+b √ ≥ ab. 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào ?. b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: (1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xn ) = 2n . √ x1 x2 . . . xn . Bài 2: Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, chia cho 12 thì được số dư là 3. a) Hãy chứng tỏ rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép chia. b) Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 phải có số dư là bao nhiêu ?. Hãy tìm số bị chia. Bài 3: Xem câu a, bài 2 của Bảng A. Bài 4: Xem bài 3 của Bảng A. 10 7 Năm học 1992–1993 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Chứng minh nếu a1 , a2 là các nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và b1 , b2 là các nghiệm của phương trình x2 + qx + 1 = 0 thì (a1 − b1 )(a2 − b1 )(a1 + b2 )(a2 + b2 ) = q 2 − p2 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: 1! + 2! + 3! + . . . + x! = y 2 Bài 2: Cho x, y là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu x2 − yz = a, y 2 − zx = b, z 2 − xy = c thì tổng (ax + by + cz) chia hết cho tổng (a + b + c). Bài 3: Qua điểm O bất kì bên trong tam giác ABC vẽ ba đường thẳng tương ứng song song với ba cạnh của tam giác đó. b c a a) Chứng minh a1 + b1 + c1 = 2, trong đó a1 , b1 , c1 là các đoạn thẳng gồm giữa các cạnh và theo thứ tự song song với các cạnh a, b, c của tam giác. a b c b) Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c , trong đó a , b , c là các đoạn thẳng theo thứ tự nằm trên các cạnh a, b, c và gồm giữa các đường thẳng nói trên. Bài 4: Một nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau. Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào đó gần nhất. Chứng minh rằng trên bất kì sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay bay đến. BẢNG B Bài 1: a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình bậc hai sau: √ 85 5 2 x − x + 1 = 0. 4 16 b) Với giá trị nguyên nào của k, các nghiệm của phương trình kx2 + (2k − 1)x + k − 2 = 0 là các số hữu tỉ ?. Bài 2: Xem bài 2 Bảng A Bài 3: Xem câu a bài 3 Bảng A Bài 4: Trong tam giác ABC có ba goc nhọn, lấy một điểm P bất kì. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B, C không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ P đến các cạnh của tam giác đó. 11 8 Năm học 1993–1994 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7x2 + 13y 2 = 1820. b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của p4 là một số chính phương. Bài 2: a) Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad − bc = 1 √ 1. Chứng minh S ≥ 3 √ 2. Tính giá trị của tổng (a + c)2 + (b + d)2 , khi biết S = 3. b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây: xy yz zx x2 + y 2 + z 2 = = = 2 ay + bx bz + cy cx + az a + b2 + c 2 (trong đó a, b, c là các số cho trước). Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R. Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có A < B. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC. 12 BẢNG B Bài 1: Xem bài 1 của Bảng A. Bài 2: a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) b) Xem phần b câu 2 bài 2 của Bảng A. Bài 3: Cho tam giác ba góc nhọn ABC. Lấy điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh AC, BC ta lấy các điểm M và L tương ứng, sao cho: P AC = P AB và P M C = P LC = 900 . a) Chứng minh đường trung trực của M L đi qua trung điểm D của cạnh AB. b) Hỏi với điều kiện nào của tam giác ABC thì trung trực của M L cũng là trung trực của cạnh AB ? Chứng minh điều đó. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có A < B. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. a) Chứng minh tam giác BIO vuông ở I. b) Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC. 13 9 Năm học 1994–1995 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Chứng minh số N sau đây là số chính phương: N = 111 . . . 111 . có 1995 chữ số 1 x 1000000 . . . 005 + 1 có 1994 chữ số 0 b) Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn điều kiện: (1994!)1995 .. . 1995k . Bài 2: a) Cho x, y là số thực bất kì khác 0. Chứng minh: x y x2 y 2 + + 4 ≥ 3 + y 2 x2 y x b) Giải hệ phương trình sau:  2 2   x + y + xy = 37   x2 + z 2 + xz = 28 y 2 + z 2 + yz = 19 Bài 3: Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, √ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng 2, có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không ba điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm đó ? Bài 4: Tam giác ABC có góc A nhọn và có độ dài các cạnh AB = c, AC = b. Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N . a) Gọi độ dài đoạn AM là x, diện tích tứ giác BMNC là S. Hãy tính S theo b, c, A cho trước và x. b) Xét dự đống biến, nghịch biến của hàm số S theo biến số x trong khoảng xác định của nó và tính giá trị lớn nhất cuả S trong khoảng xác định đó. c) Dựng tam giác cân AMN sao cho M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, AM = AN và MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. 14 . TÀI LIỆU THAM KHẢO ————————-oOo————————- [1]. Đinh Gia Phong và Nguyễn Hữu Thảo, Các bài thi Chọn Học sinh giỏi Toán cấp II , NXB Giáo Dục, 1987.1 [2]. Đinh Gia Phong và Nguyễn Hữu Thảo, Các bài toán thi Học sinh giỏi Toán Phổ thông Trung học Cơ sở, NXB Giáo Dục, 1996.2 [3]. Nguyễn Lắm, Nguyễn Đức Tấn, Phan Huy Triều, Giải các đề thi Học sinh giỏi Toán 9 Toàn quốc , NXB Đồng Nai, 1995.3 [4]. Phạm Văn Hoàn (Chủ biên), Toán Chọn lọc cấp hai, NXB Giáo dục 1976. typed by ngôctử Hè 2004–2005 ————————– diendantoanhoc.net 1 Gồm các đề thi từ 1963–1964 đến 1984–1985, (trừ hai năm học 1965–1966 và 1972–1973) Gồm các đề thi từ NH 1985–1986 đến NH 1993–1994 3 Gồm các đề thi từ 1961 đến 1995, trừ năm học 1987–1988 2 15 Mục lục 1 Năm học 1986–1987 2 2 Năm học 1987–1988 3 3 Năm học 1988–1989 4 4 Năm học 1989–1990 5 5 Năm học 1990–1991 7 6 Năm học 1991–1992 9 7 Năm học 1992–1993 11 8 Năm học 1993–1994 12 9 Năm học 1994–1995 14 16 [...]... diendantoanhoc.net 1 Gồm các đề thi từ 1963–1964 đến 1984–1985, (trừ hai năm học 1965–1966 và 19 72 1973) Gồm các đề thi từ NH 1985–1986 đến NH 1993–1994 3 Gồm các đề thi từ 1961 đến 1995, trừ năm học 1987–1988 2 15 Mục lục 1 Năm học 1986–1987 2 2 Năm học 1987–1988 3 3 Năm học 1988–1989 4 4 Năm học 1989–1990 5 5 Năm học 1990–1991 7 6 Năm học 1991–19 92 9 7 Năm học 19 92 1993 11 8 Năm học 1993–1994 12 9 Năm học 1994–1995... bài thi Chọn Học sinh giỏi Toán cấp II , NXB Giáo Dục, 1987.1 [2] Đinh Gia Phong và Nguyễn Hữu Thảo, Các bài toán thi Học sinh giỏi Toán Phổ thông Trung học Cơ sở, NXB Giáo Dục, 1996 .2 [3] Nguyễn Lắm, Nguyễn Đức Tấn, Phan Huy Triều, Giải các đề thi Học sinh giỏi Toán 9 Toàn quốc , NXB Đồng Nai, 1995.3 [4] Phạm Văn Hoàn (Chủ biên), Toán Chọn lọc cấp hai, NXB Giáo dục 1976 typed by ngôctử Hè 20 04 20 05...7 Năm học 19 92 1993 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Chứng minh nếu a1 , a2 là các nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và b1 , b2 là các nghiệm của phương trình x2 + qx + 1 = 0 thì (a1 − b1 )(a2 − b1 )(a1 + b2 )(a2 + b2 ) = q 2 − p2 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: 1! + 2! + 3! + + x! = y 2 Bài 2: Cho x, y là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 − yz = a, y 2 − zx... cạnh của tam giác đó 11 8 Năm học 1993–1994 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7x2 + 13y 2 = 1 820 b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của p4 là một số chính phương Bài 2: a) Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad − bc = 1 √ 1 Chứng minh S ≥ 3 √ 2 Tính giá trị của tổng (a + c )2 + (b + d )2 , khi biết S = 3 b) Giải hệ... Năm học 1994–1995 (Thời gian: 180 phút) BẢNG A Bài 1: a) Chứng minh số N sau đây là số chính phương: N = 111 111 có 1995 chữ số 1 x 1000000 005 + 1 có 1994 chữ số 0 b) Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn điều kiện: (1994!)1995 1995k Bài 2: a) Cho x, y là số thực bất kì khác 0 Chứng minh: x y x2 y 2 + + 4 ≥ 3 + y 2 x2 y x b) Giải hệ phương trình sau:  2 2   x + y + xy = 37   x2 + z 2 +... phương trình bậc hai sau: √ 85 5 2 x − x + 1 = 0 4 16 b) Với giá trị nguyên nào của k, các nghiệm của phương trình kx2 + (2k − 1)x + k − 2 = 0 là các số hữu tỉ ? Bài 2: Xem bài 2 Bảng A Bài 3: Xem câu a bài 3 Bảng A Bài 4: Trong tam giác ABC có ba goc nhọn, lấy một điểm P bất kì Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B, C không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong... bd , trong đó ad − bc = 1 √ 1 Chứng minh S ≥ 3 √ 2 Tính giá trị của tổng (a + c )2 + (b + d )2 , khi biết S = 3 b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây: xy yz zx x2 + y 2 + z 2 = = = 2 ay + bx bz + cy cx + az a + b2 + c 2 (trong đó a, b, c là các số cho trước) Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó Các đướng thẳng... phương trình sau:  2 2   x + y + xy = 37   x2 + z 2 + xz = 28 y 2 + z 2 + yz = 19 Bài 3: Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, √ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng 2, có tâm là các điểm đã cho Hỏi có hay không ba điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính... và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC 12 BẢNG B Bài 1: Xem bài 1 của Bảng A Bài 2: a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) b) Xem phần b câu 2 bài 2 của Bảng A Bài 3: Cho tam giác ba góc nhọn ABC Lấy điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh AC, BC ta lấy các điểm M và L tương... y 2 Bài 2: Cho x, y là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu x2 − yz = a, y 2 − zx = b, z 2 − xy = c thì tổng (ax + by + cz) chia hết cho tổng (a + b + c) Bài 3: Qua điểm O bất kì bên trong tam giác ABC vẽ ba đường thẳng tương ứng song song với ba cạnh của tam giác đó b c a a) Chứng minh a1 + b1 + c1 = 2, trong đó a1 , b1 , c1 là các đoạn thẳng gồm giữa các cạnh và theo thứ tự song song với các ... Thảo, Các thi Chọn Học sinh giỏi Toán cấp II , NXB Giáo Dục, 1987.1 [2] Đinh Gia Phong Nguyễn Hữu Thảo, Các toán thi Học sinh giỏi Toán Phổ thông Trung học Cơ sở, NXB Giáo Dục, 1996 .2 [3] Nguyễn... Mục lục Năm học 1986–1987 2 Năm học 1987–1988 3 Năm học 1988–1989 4 Năm học 1989–1990 5 Năm học 1990–1991 Năm học 1991–19 92 Năm học 19 92 1993 11 Năm học 1993–1994 12 Năm học 1994–1995 14 16 ... Gồm đề thi từ 1963–1964 đến 1984–1985, (trừ hai năm học 1965–1966 19 72 1973) Gồm đề thi từ NH 1985–1986 đến NH 1993–1994 Gồm đề thi từ 1961 đến 1995, trừ năm học 1987–1988 15 Mục lục Năm học