Bộ 8 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp trường có đáp án

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP CẤP TRƯỜNG CÓ ĐÁP ÁN MỤC LỤC Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2020-2021 có đáp án Trường THCS Thường Thới Hậu A, Hồng Ngự Đề thi học sinh giỏi môn Tốn lớp cấp trường năm 2020-2021 có đáp án Trường THCS Bắc Hồng Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Đại An Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Gia Hòa, Gia Viễn Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Lương Thế Vinh Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Ngũ Đoan Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2019-2020 có đáp án Trường THCS Xã Mađagi Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 2019-2020 - Trường THCS Phúc Trạch UBND HUYỆN HỒNG NGỰ TRƯỜNG THCS-THƯỜNG THỚI HẬU A ĐỀ THAM KHẢO HỌC SINH GIỎI KHỐI VÒNG TRƯỜNG MƠN :TỐN Năm học : 2020 – 2021 Thời gian :120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Đề : Câu 1: (4điểm)  a  Cho biểu thức P      2 a  a 1 a 1     với a>0 a ≠ a    a 1 a Rút gọn biểu thức P; b Tìm giá trị a để P < Câu 2: (3 điểm) Chứng minh 200300 > 300200 Câu 3: (3 điểm) Chứng minh đẳng thức sau  a  a  a  a  1  1     a với a  0, a  a   a     Câu : (5đ) x   x2   x 1   Cho biểu thức :    2x  x 1 2x   a Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định b Chứng minh giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x Câu 5: (5đ) Cho tam giác ABC, AC = 5cm, AB =12 cm, BC = 13 cm Gọi N trung điểm BC, lấy D đối xứng A qua N a Chứng minh ABDC hình chữ nhật b Tính diện tích tứ giác ABDC -hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO HSG TOÁN Câu 1: (4điểm) NỘI DUNG  a  a P     2 a    ĐIỂM  a 1 a 1     a    a 1  a a      a   a  ( a  1)2  ( a  1)     ( a  1)( a  1)   a 1  a  a   a  a 1   a 1 2 a  (a  1)(4 a)  (2 a ) (1  a).4 a  4a 1 a  a 1 a Vậy P  với với a>0 a ≠ a 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ b Do với a>0 a ≠ nên P O trung tuyến tam giác ABC =>  ABC vuông A => (d)  (d’) Hay hai đồ thị vuông góc với Bài 7:( 3đ) Cho hàm số y = ( m – 2)x + 3m +1 có đồ thị ( d) a, Để (d) song song với đường thẳng y = 3x + : m – = => m = b, Để (d) vng góc với đường thẳng y = -x : a.a’ = -1  ( m – ) (-1) = -1  m = Bài 8:(3đ) AB2 = AH.BH; AC2 = AH.CH AB BH   Mà AB : AC = : nên     HC   16 AC BH CH BH  CH 125 Vậy:    5 16  16 25 => BH = 45; CH = 80 UBND HUYỆN KIẾN THỤY TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MƠN: TỐN NĂM HỌC 2019-2020 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2điểm)  1  1 1.1 Cho biểu thức A      :  y  x  y x y   x a) Rút gọn A b) Biết xy = 16 Tìm GTNN A 1.2  Cho x  2016  x y  x3  y x  x y  y x y  xy với x;y >0  2016  y2  2016 Tính giá trị biểu thức T  x 2017  y2017 Bài :(2điểm) 2.1 Cho hàm số bậc nhất: y  0,5x  , y   x y  mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (m) Với giá trị tham số m để; a) Đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) điểm có hồnh độ âm ? b) Đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d2) điểm có tung độ dương? 2.1 Cho ba đường thẳng: x + y = (d1); x - 2y = (d2); (k+1)x + (k-1)y = k + (d3); ( với k ≠1) a) Tìm m để ba đường thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy b) Chứng minh k thay đổi đường thẳng (d3) ln qua điểm cố định mặt phẳng Oxy 2.2 Giải phương trình sau : x    2x  3x2  12x  14 Bài 3: (2 điểm) 3.1 Cho A  10n  10n 1 10n    10  110n 1  5  Chứng minh A số phương không lập phương số tự nhiên 3.2 Chứng minh bất đẳng thức sau với x; y   x y x2 y    3   y x  y x Bài 4: (3 điểm) Gọi O tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC vuông A, đường cao AH Các tiếp tuyến với đường tròn (O) A B cắt M; CM cắt AH I, OM cắt AB J 4.1 Chứng minh I trung điểm AH 4.2 Cho BC = 2R, OM = x Tính AB, AH theo R x 4.3 Tính giá trị lớn AH x thay đổi Bài 5: (1 điểm) Cho đa giác 36 đỉnh Có hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác trên? .Hết UBND HUYỆN KIẾN THỤY TRƯỜNG THCS NGŨ ĐOAN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự - Hạnh phúc ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MƠN: TỐN NĂM HỌC 2019-2020 Đáp án Bài Bài Biểu điểm 1.1 a) Rút gọn A  b) C/m x y 2 x y 0,75 xy xy A x y xy  xy xy 1 Vậy Amin = x = y = 0,75 1.2 Bài Tính T  x 2017  y2017 = 2.1 Điều kiện để (m) đồ thị hàm số bậc m  a) Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (m) là: 0,5x   mx  (m  0,5)x  Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m  0,5  hay m  0,5 b) Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (m) là:  x  mx  (m  1)x  Với m = -1 PT vơ nghiệm Với m ≠ -1; ta có: x  3.1 Có 10n1 1  10 110n  10n1 10n2   10  1  10 n  10 n1 10 n2   10          10 n 1          n1 10  10 n 1  10 n 1    10 n   410 n 1   9  10 n   410 n 1   A 0,75 6m y m 1 m 1 Vậy điều kiện cần tìm là: m > m < -1 2.2 Giải phương trình sau : x    x  3x2  12 x  14 Được x = Bài 0,5  0,75 0,5 0,25 0,5 Vì 10 n1  23  10 n1  N Suy A số phương  0,25   10 n1    5.10 n      Lại có A    3     A A không chia hết cho 5.10 n  số lẻ Vậy A không lập phương số 3.2 x x y    3  y x y 2 y 0 x  0,25 (1) x y x y2 x y2 Đặt   a     a Dễ dàng chứng minh   nên y x y x y x a ≥ 4, | a | ≥  a  a  2 (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a  a2 – 3a + ≥  (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài toán chứng minh Dấu "=" xảy x  y    x  y  1 0,5 0,25 Bài 4.1 c/m: I trung điểm AH Trong tam giác CBM ta có HI//BM nên: HI CH  BM CB 1,0 M 1 A J I Mà MOB đồng dạng với ACH (cmt) nên: HA CH  BM OB 2 C B O H Chia (1) cho (2) theo vế ta được: HI OB   HA CB Vậy I trung điểm AH 4.2 Cho BC = 2R, OM = x Tính AB, AH theo R x Tam giác OBM vuông B nên: OB2  OJ OM  OJ  OB2 R  OM x Tam giác OJB vuông J nên: 1,0 BJ  OB  OJ  R2 x2  R2 x2 R  BJ  x  R2 x  Suy AB  BJ    R2   R   x     2 2R x  R với x>R x Tam giác ABC vuông A nên:   4R2 4R2 AC  BC  AB  R  x R  x x 2R  AC  x 2 2 Ta có: BC AH = AB AC 2R 2R2 x  R2 AB AC x Suy AH   x BC 2R 2R2 Vậy AH  x  R với x>R x 1,0 4.3 Tính giá trị lớn AH x thay đổi Qua hình vẽ ta thấy AH đạt GTLN R, nên ta chứng minh: AH  R 3 Ta có: 3  2R2 x2  R2  R x2  2R x  R2  x  4R2 x  R   x  x  4R x  4R   x  2R   : với x R Dấu "=" xảy  x2  2R2   x  R Vậy AH đạt GTLN R x  R Bài Gọi  O  đường tròn ngoại tiếp đa giác Vì đa giác có 36 đỉnh nên có 18 đường chéo qua O, ta gọi chúng đường chéo lớn Cứ đương chéo lớn tạo thành hình chữ nhật nên số hình chữ nhật tạo 18.17:2=152 hình Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN ĐẠ HUOAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Trường THCS Xã Mađagi NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Khóa ngày: 10 tháng 10 năm 2019 Mơn: TỐN – Bậc THCS Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1:(1,5 đ) Rút gọn : A   3  3  Câu 2:(1,5 đ) Cho tam giác ABC cân A Chứng minh : cos B  Câu 3:(1,25 đ) Cho BC AB a  2019 b  2020 a Tính  a  2019 b  2020 b Câu 4:(1,5đ) Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH (H thuộc BC); M điểm tùy ý thuộc đoạn thẳng BH Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AH N Chứng minh : CN  MA Câu 5: (1,5 đ) Xác định số a để đa thức  x  x  a  chia hết cho  x  3 2 Câu 6: (1,75đ) Chứng minh : a  b    a  b  Câu 7: (1,25đ) Phân tích đa thức thành nhân tử : x  x  12 Câu 8:(2,0đ) Giải phương trình: x2  x   2 x  Câu 9:(1,5 đ) Cho hàm số y  f ( x)  x  a  Tìm a biết f (2)  Câu 10: (1,5 đ) Tìm giá trị lớn A = x  8x  Câu 11:(1,75đ) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH ( H thuộc BC) Phân giác góc B cắt AC D Chứng minh: AD AC  AH DC Bài 12: (3,0 đ) Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi số đo ACB  , số đo AMB  Chứng minh rằng:  sin   cos     sin  - Hết Ghi chú: Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Ký tên: Giám thị 2: Ký tên: ( Lưu ý: Học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi) UBND HUYỆN ĐẠ HUOAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Trường THCS xã Mađaguôi NĂM HỌC 2019 – 2020 Khóa ngày: 10 tháng 10 năm 2019 ĐÁP AN, HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm đề thức có trang) Rút gọn : A  3 3  Câu : 1,5đ  62 9  5 3  3   0,5 đ 0,5 đ  0,5 đ   2.2  10 Kẻ AH  BC ( H  BC ), Câu : 1,5 đ 0,25 đ Ta có : AH đường cao đồng thời đường trung tuyến, BC nên BH  HC  BC BH BC Mà cos B  ( điều phải chứng minh )   AB AB AB Câu : 1,25 đ a  2019 b  2020   a  2019 b  2020 a  2019 a  2019 a  2019  a  2019 a  2019  a  2019    b  2020 b  2020 b  2020  b  2020 b  2020  b  2020 2a 2.2019 a 2019 hay    2b 2.2020 b 2020 Hình vẽ Ta có: MN // AB (gt) mà AB  AC (gt) Mặt khác: AH  BC (gt) Mà AH AM cắt N  N trực tâm AMC - Chia đa thức Lập luận để R(x) = Tìm giá trị a 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a  b2    a  b   a  b2    a  b   0,25đ 2  a  b   2a  2b   a  2a   b  2b   0,5 đ Câu : 1,75 đ 0,75 đ 0,25 đ CN qua N nên CN đường cao thứ AMC => CN  AM Câu : 1,5 đ 0,75 đ 0,25 đ  MN  AC ( quan hệ tính vng góc tình song song) Câu : 1,5 đ 0,5 đ   a  1   b  1  0,25 đ Mà  a  1  0;  b  1  nên  a  1   b  1  2 2 0,5 đ Vậy : a  b    a  b  0,25 đ x  x  12  x  x  3x  12 0,5 đ Câu : 1,25 đ   0,25 đ  x  x  4  3 x  4   x   x  3 0,25 đ 3 0,25 đ ĐKXĐ: x  Câu 2,0 đ 0,25 đ  x  x   3x  12  pt  (x2  2x  1) +(2x + - 2 x  3+1)  0,5đ  ( x  1)2 + ( x  3-1)2  0,5đ  x     x  =1 0,5đ  x  1 0,25đ Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 f (2)  suy ra: x = - y = 0,25 đ Thay x = - ; y = vào y  x  a  Câu 9: 1,5 đ Câu 10: 1,5 đ Câu 11: 1,75 đ Ta được:   2   a  0,25đ  4  a  0,25đ a  5 43 a  12 0,25đ 0,25đ A = (x2 – 8x + 16) – 15 0,5 đ A = (x – 4)2 – 15  – 15 0,5 đ Max A = – 15  x = 0,5 đ - Chứng minh  ABC  AB AH (1)  BC AC  HAC (g-g) 0,75 0,25 Xét ABC có BD tia phân giác góc ABC nên Từ (1) (2) suy ra: Câu 12: 3,0 đ 0,25đ DA AB (2)  DC BC DA AH => AD AC  AH DC  DC AC 0,25 0,5 Ta có:  sin   cos    sin   cos2   2sin  cos    2sin  c os  0,5 đ Ta chứng minh: 2sin  c os   sin  0,25 đ Kẻ đường cao AH ( H thuộc BC) 0,5 đ AB AC AH BC AH    BC BC BC.BC BC AH AH sin  c os    BC AM sin  c os   AH AH   sin  AM AM Vậy  sin   cos     sin  2sin  c os   Lưu ý: Nếu học sinh có cách trình bày khác, chặt chẽ giám khảo tự phân bước cho điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ TRƯỜNG THCS PHÚC TRẠCH TỔ : KH TỰ NHIÊN ĐỀ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN : TỐN Năm học : 2019-2020 Ngày thi : 19/9/2019 Đề : I Phần ghi kết ( thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) Câu : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, a  cho a chia hết cho 1000a số phương Câu : Cho a, b > thỏa mãn 3(a2 + b2) = 10ab Tính giá trị biểu thức P = 3a  2b 2a  3b Câu : Hai số dãy số 1;2;3;5;7;10;13;17;21… ? Câu : Tính giá trị f(x) = (x3 + 6x - 5)2019 biết x = 3  17  3  17 Câu : Tìm cặp số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x2 + y3 -3y2 =65-3y Câu : Cho tam giác ABC có  A =  B +  C độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp.Tìm độ dài cạnh AB ; BC ; CA ? Câu : Cho biểu thức B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2018 + 2018 Tính giá trị biểu thức B x= 2 1 1 Câu : Cho số thực x , y , z thỏa mãn x2 + 2y +1 = y2 + 2z + = z2 + 2x + = Tính giá trị biểu thức A = x20 + y25 + z2020 Câu : Tìm nghiệm nguyên phương trình 20y2 – 6xy = 150 – 15x Câu 10 : Với giá trị a , b đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) với f(x) = x3 + ax + b g(x) = x2 – II Tự luận : Thí sinh trình bày làm vào tờ giấy thi Câu 1: a) Biết a + b + c = Tính giá trị biểu thức : B ab bc ca   a  b2  c b2  c  a c  a  b2 b) Tìm số nguyên x , y , z thỏa mãn : x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + =   x 3  x 3 x 9 Câu : Giải phương trình    6   x 4  x2  x2 2  Câu 3: Cho tam giác ABC, phân giác AD Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx cho  BCx =  BAC Cx cắt AD E, I trung điểm DE Chứng minh : a)  ABD đồng dạng với  CED c) 4AB.AC = 4AI2 – DE2 b) AE2 > AB.AC d) Trung trực BC qua E ... Hồng Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 20 19- 2020 có đáp án Trường THCS Đại An Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 20 19- 2020 có đáp án Trường THCS Gia Hịa, Gia Viễn Đề thi. .. thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 20 19- 2020 có đáp án Trường THCS Lương Thế Vinh Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp trường năm 20 19- 2020 có đáp án Trường THCS Ngũ Đoan Đề thi học sinh. .. 20 082 20 08   Ta có : B   20 08  20 092 20 09 20 082 20 08  1 20 08? ??  2.1.20 08  20 092 20 09 0.75 20 08 20 082 20 08 20 08  20 08    20 09? ??  2.20 09     20 09   20 09 20 09 20 09 20 09  2009