tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (8)

PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI ®Ò xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) Câu 1 : 3,5điểm 1/ Tính : A = 5210452104 +−+++ 2/ Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b c a b + − + − + − = = Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 b c a a b c     + + +  ÷ ÷ ÷     Câu 2: 3,5điểm 1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + +   ≥  ÷   2/ Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Câu 3: 4điểm 1/ / Giải phương trình : 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx 2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình 2 3 5 mx y x my − =   + =  có nghiệm thoả mãn hệ thức : 2 2 1 3 m x y m + = − + Câu 4: 5điểm 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức: 2 1 1 AD AB AC = + b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE 2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2 5 cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB. Câu 5: 2điểm Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin 2 2 A a bc ≤ Câu 6: 2điểm Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x 2 + 1 = y 2 Hết PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1 3,5điểm 1. (2điểm) Vì 52104 ++ > 0; 52104 +− > 0 ⇒ A > 0 (1) 0,25đ A 2 = 52104)52104)(52104(252104 +−++−+++++ 0,25đ = 52101628 −−+ = 152528 +−+ = 2 )15(28 −+ = 1528 −+ = 8 + 2 25 − = 2 )15( + (2) Từ (1) và (2) suy ra: A = 15 + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2. (1,5điểm) Từ gt ta có 2 2 2 a b c b c a c a b c a b + − + − + − + = + = + 0,25đ suy ra a b c b c a c a b c a b + + + + + + = = 0,25đ Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c b + c = - a c + a = -b P = 1 1 1 b c a a b c     + + +  ÷ ÷ ÷     = a b b c c a a b c + + +      ÷ ÷ ÷     = ( )c a − . ( )a b − . ( )b c − = abc abc − = -1 0,25đ 0,25đ * Nếu a + b + c ≠ 0 ⇒ a = b = c ⇒ P = 2.2.2 = 8 0,25đ 0,25đ Câu 2 3,5điểm 1. (1,5điểm) Áp dụng BĐT Côsi ta có: x 2 + y 2 ≥ 2xy (1) y 2 + z 2 ≥ 2yz (2) z 2 + x 2 ≥ 2zx (3) 0,25đ Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2( xy + yz + zx ) 0,25đ ⇒ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy + yz + zx ) ⇒ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 0,25đ 0,25đ chia hai vế cho 9 ta được 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 9 x y z x y z+ + + +   =  ÷   0,25đ 0,25đ 2. (2điểm) Từ 1 1 1 2 a b c + + = ⇒ 2 1 1 1 4 a b c   + + =  ÷   ⇒ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca   + + + + + =  ÷   0,25đ 0,50đ ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc + +   + + + =  ÷   0,25đ mà a + b + c = abc ⇒ 1 a b c abc + + = 0,25đ 0,25đ ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c + + + = ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = 0,25đ 0,25đ 1. (2,5điểm) Phương trình 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 * Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có : + Phương trình (1) ⇔ 028 1 )1(4 2 )2(436 2 2 =− − −+ + − −+ y y x x ⇔ 0 1 )12( 2 )226( 2 2 = − −− + − −− y y x x (2) + Với x > 2, y > 1 ⇒        >− >− ≥−− ≥−− 01 02 0)12( 0)226( 2 2 y x y x (3) Từ (2) và (3) ⇒      =−− =−− 0)12( 0)226( 2 2 y x ⇔      =−− =−− 012 0226 y x ⇔      −= −= 12 226 y x ⇔    = = 5 11 y x Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ Câu 3 4,0điểm 2. (1,5điểm) Hệ phương trình 2 3 5 mx y x my − =   + =  Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có: (m 2 + 3)x = 2m + 5. Do m 2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có 2 2 5 3 m x m + = + , 2 5 6 3 m y m − = + Theo đề bài ta lại có : 2 2 2 2 2 5 5 6 1 3 3 3 m m m m m m + − + = − + + + (*) Giải phương trình này ta được m = 4 7 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 1. (3,0điểm) a. (2,0điểm) a. Đặt AC = b; AB = c Ta có S ABC = 1 2 bc ⇒ bc = 2 S ABC = 2 S ABD + 2S ADC = AD.AB.sin45 0 + AC.AD.sin45 0 = ( AB + AC )AD.sin45 0 = ( b + c )AD.sin45 0 Suy ra bc = ( b + c )AD. 2 2 = ( b + c ). 2 AD ⇒ 2 AD = bc b c+ ⇒ 2 AD = 1 1b c bc c b + = + Vậy 2 1 1 AD AB AC = + (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ E D C B A b. (1,0điểm) Ta có bc = 2 S ABC = 2 S ACE - 2S ABE = AE.AC.sin135 0 – AE.AB.sin45 0 = ( b – c )AE. 2 2 ⇒ bc = ( b – c )AE. 2 2 = ( b – c ) AE. 2 2 ⇒ 2 AE = 1 1b c bc c b − = − Vậy 2 1 1 AE AC AB = − hay ABACAD 112 −= 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2. (2,0điểm) Kẻ AM ⊥ AC, M thuộc tia CI Chứng minh được ∆ AMI cân tại M ⇒ MI = AI = 2 5 Kẻ AH ⊥ MI ⇒ HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM 2 = MH.MC ⇒ (2 5 ) 2 = x.(2x + 3) ⇒ 2x 2 + 3x – 30 = 0 ⇔ ( 2x – 5)(x + 4) = 0 ⇒ x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC 2 = MC 2 – AM 2 = 8 2 – (2 5 ) 2 = 64 – 20 = 44 ⇒ AC = 44 = 2 11 cm ⇒ AB = 2 11 cm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5 Hình vẽ 2,0điểm Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM ⊥ Ax và CN ⊥ Ax Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có sinMAB = sin 2 A = BM AB ⇒ BM = c.sin 2 A 0,25đ 0,25đ I H M C B A D N M x C B A C B sinNAC = sin 2 A = CN AC ⇒ CN = b. sin 2 A Do đó BM + CN = sin 2 A ( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN ≤ BD + CD = BC = a Vì thế sin 2 A ( b + c ) ≤ a ( vì sin 2 A < 1) Do b + c ≥ bc2 nên 1 1 2 b c bc ≤ + hay sin 2 A ≤ bc a 2 (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 6 2,0điểm Từ ( y + 2 ).x 2 + 1 = y 2 ⇔ x 2 = 2 1 3 2 2 2 y y y y − = − + + + vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3 Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5 do x 2 0≥ nên (y 2 -1)(y+2) 0≥ , 2≠y ⇒ 2 1y− ≤ ≤ − hoặc y 1≥ do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) = { } 0 1 0 1( , );( , )− 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó. - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó. HẾT XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU NGƯỜI RA ĐỀ Vũ Ngọc Quyền . TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI ®Ò xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 20 09- 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) Câu. Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x 2 + 1 = y 2 Hết PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 20 09- 2010 Môn. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó. - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối