MÖC LÖCTrang MÖC LÖC.. C¡c qu¡ tr¼nh khu¸ch t¡n n y khæng tu¥ntheo ành luªt Fick cê iºn.. B i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n th÷íng °t khæng ch¿nh theongh¾a Hadamard... [3] Baumeister J1
Trang 1MÖC LÖC
Trang
MÖC LÖC 1
LÍI NÂI U 2
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ .5
1.1 H m Gamma 5
1.2 Ph²p bi¸n êi Fourier trong c¡c khæng gian L1(R) v L2(R) 10 Ch÷ìng 2 Gi£i mët b i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n b¬ng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa phê 20
2.1 ¤o h m bªc ph¥n Caputo 20
2.2 Giîi thi»u b i to¡n 22
2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n 24
KT LUN 31
TI LIU THAM KHO 32
Trang 2G¦n ¥y, ph²p t½nh vi ph¥n bªc ph¥n v c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h mri¶ng bªc ph¥n ¢ ÷ñc sû döng º gi£i mët sè b i to¡n trong c¡c l¾nhvüc vªt lþ, hâa håc, sinh håc, cì kh½, xû lþ t½n hi»u, i»n tû, i·u khiºntèi ÷u v t i ch½nh (xem [6]).
Ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n bªc ph¥n xu§t hi»n khi ta thay ¤o h mbªc nguy¶n trong ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n b¬ng mët ¤o h m bªc ph¥n.Kiºu ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc sû döng º mæ t£ c¡c qu¡ tr¼nh khu¸ch t¡nb§t th÷íng (anomalous diffusion) nh÷ khu¸ch t¡n tr¶n (superdiffusion),khu¸ch t¡n d÷îi (subdiffusion) C¡c qu¡ tr¼nh khu¸ch t¡n n y khæng tu¥ntheo ành luªt Fick cê iºn
B i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n th÷íng °t khæng ch¿nh theongh¾a Hadamard Mët sai sè nhä trong o ¤c công câ thº d¨n ¸n mëtsai l»ch lîn v· nghi»m Ch½nh v¼ vªy º gi£i quy¸t b i to¡n ta c¦n ·xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Cho ¸n nay ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡pch¿nh hâa d nh cho b i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc nguy¶n Tuy nhi¶nc¡c k¸t qõa ch¿nh hâa b i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n v¨n cán h¤nch¸
º tªp d÷ñt nghi¶n cùu công nh÷ º l m phong phó th¶m c¡c t ili»u v· vi»c ch¿nh hâa b i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n, tr¶n cì sð
b i b¡o "Spectral regularization method for solving a time - fractionalinverse diffusion problem" cõa c¡c t¡c gi£ G H Zheng, T Wei «ng tr¶nt¤p ch½ Applied Mathematics and Computation n«m 2011, chóng tæi lüachån · t i cho Luªn v«n cõa m¼nh l : "Gi£i mët b i to¡n khu¸cht¡n ng÷ñc bªc ph¥n b¬ng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa phê"
2
Trang 3X²t b i to¡n khu¸ch t¡n bªc ph¥n
0Dαt u(x, t) = −aux(x, t), x > 0, t > 0, α ∈ (0, 1),u(1, t) = f (t), t > 0,
0Dαt g(t) = dg(t)
Trong luªn v«n n y, chóng tæi quan t¥m tîi vi»c x¡c ành u v ux trongph÷ìng tr¼nh (1) tø dú ki»n ÷ñc o t¤i x = 1 cõa u(x, t): u(1, t) = f(t).Chó þ r¬ng ¥y l mët b i to¡n °t khæng ch¿nh
Vîi möc ½ch nh÷ vªy, ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u thamkh£o, Luªn v«n gçm câ hai ch÷ìng, dü ki¸n tr¼nh b y theo bè cöc sau:Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc bê trñ
Ch÷ìng n y nh¬m möc ½ch tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸nnëi dung ch÷ìng 2, chõ y¸u ÷ñc chóng tæi tham kh£o trong c¡c t i li»u[2] v [6]
Trang 4[6] Sau â chóng tæi giîi thi»u b i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n v tr¼nh b y c¡c k¸t qõa ch¿nh hâa b i to¡n n y trong b i b¡o [5] công nh÷
· xu§t v chùng minh mët v i k¸t qõa mîi
2.1 ¤o h m bªc ph¥n Caputo
Möc n y tr¼nh b y kh¡i ni»m ¤o h m Caputo v mët sè t½nh ch§t cìb£n cõa nâ
2.2 Giîi hi»u b i to¡n
Möc n y nh¬m giîi thi»u b i to¡n khu¸ch t¡n ng÷ñc bªc ph¥n
2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n
Möc n y nh¬m tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡n khu¸ch t¡nng÷ñc bªc ph¥n v c¡c k¸t qõa ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö cõa ph÷ìng ph¡ptrong b i b¡o [5] công nh÷ · xu§t mët v i k¸t qõa mîi
Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îngd¨n cõa th¦y gi¡o, TS Nguy¹n V«n ùc T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t
ìn s¥u sc cõa m¼nh ¸n Th¦y Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nhc£m ìn Pháng o t¤o Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa S÷ Ph¤m To¡nhåc v c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bë mæn Gi£i t½ch, Khoa S÷ Ph¤mTo¡n håc ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gianhåc tªp v ho n th nh luªn v«n n y Cuèi còng, t¡c gi£ c¡m ìn gia ¼nh,
çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l c¡c b¤n trong lîp Cao håc 21 Gi£i t½ch
¢ cëng t¡c, gióp ï v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp
Trang 50 Thªt vªy, vîi z ∈ C thäa m¢n Rez > 0, ta câ thº biºu di¹n z = x + iyvîi x, y ∈ R v x > 0 Khi â ta câ
Trang 61.1.3 ành lþ H m gamma Γ câ c¡c t½nh ch§t sau
t=∞
t=0 = 1
3) Sû döng c¡c t½nh ch§t 1) v 2), ta câ thº chùng minh t½nh ch§t 3)b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p
Trang 7Do â I = R∞
0 e−x2dx =
√π
2 B¥y gií ð cæng thùc (1.1), b¬ng c¡ch thüchi»n ph²p êi bi¸n t = u2 ta s³ thu ÷ñc
12
=
n − 12
Γ
n − 12
=
n − 12
n − 32
Γ
n − 32
=
n − 12
n − 32
= (2n)!
22nn!
√π
1.1.4 ành lþ Vîi måi z ∈C thäa m¢n Rez > 0 ta câ
Γ(z) = lim
n→∞
n!nzz(z + 1) · · · (z + n). (1.5)Chùng minh º chùng minh cæng thùc (1.5), tr÷îc h¸t chóng ta x²t h m
n
tz−1dt (1.6)B¬ng c¡ch êi bi¸n τ = t
n sau â sû döng t½ch ph¥n tøng ph¦n chóng ta
Trang 8n→∞
1 − tn
Z ∞
n
e−ttx−1dt < ε
3, (x = Rez) (1.10)
Trang 9Vîi måi n ∈ N∗ m n > n0, ta vi¸t ∆ th nh têng cõa ba t½ch ph¥n sau
n
tz−1dt+
n
tz−1dt
6
0 < e−t−
1 − tn
n
< t
2
2n, 0 < t < n. (1.13)Thªt vªy, b§t ¯ng thùc (1.13) ÷ñc suy ra tø mèi quan h»
e−t−
1 − tn
Sû döng b§t ¯ng thùc (1.13) ta câ ¡nh gi¡ sau vîi n õ lîn
n
tz−1dt
< 12n
1.1.5 Nhªn x²t Nhí t½nh ch§t 1) trong ành lþ 1.1.3, ng÷íi ta câ thº
ành ngh¾a h m gamma Γ(z) cho måi z ∈ C m z 6= 0, −1, −2, · · · Cö
Trang 10thº, n¸u z ∈C m −m < Rez 6 −m + 1 vîi m l mët sè nguy¶n d÷ìng
n o â th¼ ta x¡c ành Γ(z) theo cæng thùc
Γ(z) = Γ(z + m)
z(z + 1) · · · (z + m − 1). (1.15)1.1.6 Nhªn x²t Cæng thùc (1.5) khæng ch¿ óng vîi måi z ∈ C thäam¢n Rez > 0 m cán óng vîi måi z ∈ C m z 6= 0, −1, −2, · · · Thªtvªy, tø cæng thùc (1.15) v ành lþ 1.1.4 ta câ
1.2 Ph²p bi¸n êi Fourier trong c¡c khæng gian
L1(R) v L2(R)
1.2.1 ành ngh¾a ( ành ngh¾a bi¸n êi Fourier trong L1(R) ) N¸u
f ∈ L1(R), ta ành ngh¾a bi¸n êi Fourier cõa f l
Trang 11f (ξ)b
6 √12π
2π
Z +∞
−∞
f (x)e−ixξ(e−iyx − 1)dx
6 √12π
Z +∞
−∞
|f (x)| e−iyx − 1