Giải một bài toán khuếch tán ngược bậc phân bằng phương pháp chỉnh hóa phổ

ệ ệ r ệ ệ ữỡ ởt số tự trủ P rr tr ổ L1 (R) L2 (R) ữỡ ởt t t ữủ ữỡ õ t ợ t t õ t t ữỡ tr r ữủ sỷ ởt số t tr ỹ t ỵ õ s ỡ ỷ ỵ t tỷ tố ữ t Pữỡ tr t t t t tr ữỡ tr t ởt ữỡ tr ữủ sỷ ổ t q tr t t tữớ s s ữ t tr srs t ữợ ss q tr t ổ t t t t t ữủ tữớ t ổ t r ởt s số ọ tr ụ õ t ởt s ợ qt t t t ữỡ õ õ ữỡ õ t t ữủ t qừ õ t t ữủ ỏ t ữủt ự ụ ữ ú t t õ t t ữủ tr ỡ s tr rrt t r s t rt rs s r t tr t tts tt ú tổ ỹ ởt t t ữủ ữỡ õ t t t t Dt u(x, t) = aux (x, t), x > 0, t > 0, (0, 1), u(1, t) = f (t), t 0, u(x, 0) = lim u(x, t) = 0, tr õ Dt u t ợ (0 < 1) ữủ x t g (s) = ds, (1 ) (t s) dg(t) , = Dt g(t) = dt Dt g(t) t tử ợ z C tọ z > t ợ z C tọ z > t õ t z = x + iy ợ x, y R x > õ t õ (z) = (x + iy) = = = et tx1+iy dt et tx1 eiy ln t dt et tx1 (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) dt ữủ (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) t r t tử ợ x > y R ỵ õ t t s (z + 1) = z(z), z C, z > (1) = (n + 1) = n!, n N = (2n)! = 2n n + 2 n! ự 1) ợ z C, z > t õ (z + 1) = et tz dt t z = e t t= +z t=0 et tx1+iy dt = z(z) 2) õ t t e t dt = e (1) = t= = t=0 3) ỷ t t 1) 2) t õ t ự t t 3) ữỡ q x2 dx e 4) rữợ t t t t I = I=u t x = ut, u > t õ 2 eu t dt ợ eu t tứ t ữủ I = e u2 u 2 eu t dt du = = eu (1+t2 ) dt = + t2 udu dt ổ tự tỹ t = u2 t s t ữủ õ I = x2 dx e = (z) = 2 eu u2z1 du t z = t ữủ =2 eu du = 2I = 5) ứ t t 1) t t 4) t õ n+ 1 n 2 3 n n = n 2 3 1 n ã ã ã = n 2 2 (2n)! = 2n n! = n ỵ ợ z C tọ z > t õ n!nz n z(z + 1) ã ã ã (z + n) (z) = lim ự ự ổ tự trữợ t ú t t n fn (z) = = t n t n n tz1 dt s õ sỷ t tứ ú t t ữủ z (1 )n z1 d fn (z) = n nz = z = ããã (1 )n1 z d n n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n 1) n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n) z+n1 d ú ỵ r lim n n t n = et õ t t ú t ự tự n t lim fn (z) = lim n n n t = lim n n n tz1 dt n z1 t dt = et tz1 dt = (z) t ữủ ú t ữủ = (z) fn (z) = n = t e t n et tz1 dt fn (z) n z1 t dt + et tz1 dt n > tũ ỵ ứ sỹ tử t ợ z C tọ z > t s r tỗ t số tỹ n0 s ợ n N n n0 t õ t z1 e t n dt n et tx1 dt < , (x = z) ợ n N n > n0 t t t tờ t s N = e t n tz1 dt n t n t + n t n e N z1 t dt + et tz1 dt n õ n e N t n t n n n t z1 t dt e tx1 dt n N < et tx1 dt < , (x = z) n t t tự t t t tự tr s t 0 ỏ ú ợ z C z = 0, 1, 2, ã ã ã t tứ ổ tự ỵ t õ (z + m) z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) nz+m n! lim = z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m) ã ã ã (z + m + n) nz n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) nm ì lim n (z + n)(z + n + 1) ã ã ã (z + n + m) (z) = nz n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) nz n! = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) n!nz = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + n) P rr tr ổ L1(R) L2(R) rr tr L1 (R) f L1 (R) t rr f f () := + eix. f (x)dx ( R) rr ữủ f f () := + eix. f (x)dx ( R) f trỡ õ t t õ D f + = eix D f (x)dx (1) + ix = Dx e f (x)dx + eix. (i) f (x)dx = = (i) f () t tợ ợ ổ tự tr s ú D f L2 (R) ợ f (x), g(x) L1 (R) L2 (R) R t õ f g() = = = eix (f g)(x)dx + e f (y)g(x y)dy dx + e e + ix. ix. + iy = = + + f (y) ei(xy). g(x y)dx dy f (y)dy g() f ()g() ố y R, > t g () := eiy õ g () = = + eix eiyxx dx + ei(y)xx dx = ( y) = e ( y)2 e t ỷ ổ tự t t r ợ f (x) L1 (R) L2 (R) t + f eiy d = + (x y)2 f (x)e dx tợ (f ) = f 2f (y) 0+ r + f ()eiy d = f (y) ì ìẹ P Pì PP P r ữỡ t ú tổ tr t ởt số t t ỡ õ tứ t t õ ú tổ ợ t t t ữủ tr t qừ õ t tr ụ ữ t ự ởt t qừ ợ t f ởt số tử n N tr [a, T ] (T > a) t ợ > ởt f tr [a, T ] ữủ ữ s C () a Dt f (t) = (n ) C () a Dt f (t) = f (n) (t), a t a f (n) (s) ds, a (t s)+1n t T, n < < n, t T, = n t r trữớ ủ n = t õ C () a Dt f (t) = (1 ) t a f (s) ds, a (t s) t T, < < ợ n N R tọ n < < n m N f tử n + m t t õ C () C m a Dt a Dt f (t) (+m) =C a Dt f (t) t sỷ n N số tỹ tọ n < < n ỡ ỳ f tử n + tr [a, T ] ợ T > a t () n lim C a Dt f (t) = f (t), t [a, T ] n ự õ f (n) (a)(t a)n n (n + 1) t (t )n f (n+1) ( )d + lim n (n + 1) a () lim C a Dt f (t) = lim n t =f (n) f (n+1) ( )d (a) + a n = f (t), t [a, T ] ỵ > R t f (t) = E,1(t), t õ C () Dt f (t) = E,1 (t ) ự = n N t C () Dt f (t) dn = n En,1 (tn ) = dt = k=0 k=0 dn (tn )k dtn (kn + 1) nk(nk 1) (nk n + 1)k tn(k1) (kn + 1) ú ỵ r (kn + 1) = kn(kn) = kn(kn 1)(kn 1) = = kn(kn 1) (kn n + 1)(kn n + 1) õ C () Dt f (t) = k=1 (tn )k1 = En,1 (tn ) = f (t) (n(k 1) + 1) ợ N t tỗ t n N s n < < n õ C () Dt f (t) t = (n ) (n ) = f (n) (s) ds = (t s)+1n (n ) k=1 dn k dsn (s ) t (k + 1)(t s)+1n t dn E (s ) dsn ,1 ds (t s)+1n ds ữỡ tỹ ữ trữớ ủ số t õ C () Dt f (t) = (n ) = (n ) = k=1 k=1 t k1 skn ds (k n + 1)(t s)+1n k1 t(k1) (n )(k n + 1) (k n + 1)(k + 1) k=1 (t )k1 ((k 1) + 1) = E,1 (t ) = f (t) ợ t t t t t Dt u(x, t) = aux (x, t), x > 0, t > 0, (0, 1), u(1, t) = f (t), t 0, u(x, 0) = lim u(x, t) = 0, x tr õ Dt u t ợ (0 < 1) ữủ t g (s) = ds, (1 ) (t s) dg(t) , = Dt g(t) = dt Dt g(t) p x = t õ uc (0, ã) u(0, ã) E E ln(ln ) ln + E a sec p ỵ sỷ u t uc,x õ t ổ tự ợ ỳ f f f u(0, ã) E E ú max ữủ max = (a sec ln ) t ợ x (0, 1) t õ uc,x (x, ã) ux (x, ã) + sec E ln E 1x x ux (0, ã) p E ú max ữủ max = (a sec E ln(ln )) t ợ p > x = t õ E E sec ln(ln ) + E a sec ln(ln ) uc,x (0, ã) ux (0, ã) p ự ỵ ỵ tữỡ tỹ ú tổ tr ự ỵ t t õ s sỷ u1c,x u2c,x õ ổ tự tữỡ ự ợ ỳ f f õ ợ ộ x [0, 1) t õ u1c,x (x, ã) u2c,x (x, ã) max cos (1x) max e a f f2 a ự ỷ tự Prs t õ u1c,x (x, ã) u2c,x (x, ã) = u1c,x u2c,x = || max (i) e a (i) (1x) a | f1 f1 |2 d 2 max cos (1x) a f f 2 e max a õ ữủ ự sỷ u t uc,x õ t ổ tự ợ ỳ f sỷ t tự ux (0, ã) E ú õ ợ x (0, 1) t õ uc,x (x, ã) ux (x, ã) e x max a cos E ự ỷ tự Prs t õ uc,x (x, ã) ux (x, ã) = uc,x (x, ã) ux (x, ã) 2 = ||>max e (i) e a (i) (1x) f() d a 2x max a cos 2x max a cos 2x max a cos (i) e a (i) f() d a ||>max e e ux (0, ã) E õ ú sỷ u t uc,x õ t ổ tự ợ ỳ f sỷ t tự ux (0, ã) p E ú õ ợ p > x = t õ p Emax uc,x (0, ã) ux (0, ã) ự ỷ tự Prs t õ uc,x (0, ã) ux (0, ã) = uc,x (0, ã) ux (0, ã) 2 = ||>max (i) e a (i) f() d a = p (1 + ) ||>max 2p max ux (0, ã) 2p p (1 + ) (i) e a (i) f() d a õ ú ự ỵ uc,x õ t ổ tự ợ ỳ f E t max = (a sec ln ) t õ uc,x (x, ã) ux (x, ã) uc,x ux + uc,x uc,x E 1x x ln )E (1 + sec ú ỵ r x ln E ợ < x < õ ừ tử uc,x õ t ổ tự ợ ỳ f E t max = (a sec ln(ln )) t õ uc,x (0, ã) ux (0, ã) sec uc,x (0, ã) ux (0, ã) + uc,x (0, ã) uc,x (0, ã) E E E ln ln(ln ) + E a sec ln(ln ) p ú ỵ r ln E ln(ln E ) ln(ln E ) t t ữủ tố ở tử t ứ ỵ ỵ ú t t r ợ < x < õ tt u(0, ã) E t t t ữủ tố ở tử r u ỏ õ tt ux (0, ã) E t t t ữủ tố ở tử rt ux ỡ ỳ t r x t t tố ổ tử ợ tr trữớ ủ x = ợ tt ỡ u(0, ã) ux (0, ã) p p E E(p > 0) t ụ t ữủ tố ở tử rt u ux ỵ u(0, ã) p E E ú max = (a sec ln(ln )) t ợ p > x = t õ tỗ t số C1p s uc (x, ã) u(x, ã) C1p E 1x x E ln(ln ) p(x1) , x [0, 1] ự ỷ ỵ t õ tỗ t số Cp s uc (0, ã) u(0, ã) ln E E + E a sec ln(ln ) E Cp E ln(ln ) p p t v(x, t) = uc (x, t) u(x, t) t õ v(t) t s Dt v(x, t) = avx (x, t), x > 0, t > 0, (0, 1), v(1, ã) , p E ) v(0, ã) Cp E ln(ln õ v(x, ) = e a (i) (1x) v(1, ) x = 0, x = t t ỵ úợ x (0, 1) t õ v(x, ã) = v(x, ã) (1x) v(1, ) d e = e a (i) = (i) (1x) a e | v (1, )|2(1x) | v (1, )|2x d (i) (1x) a 2(1x) | v (1, )| 1x 1x d x ì | v (1, )| d e (i) a v(1, ) d v(1, ã) 1x |v(0, ã)| d = 1x v(1, ã) = v(0, ã) 2(1x) v(1, ã) 2x 2x 2x õ tỗ t số C1p s v(x, ã) v(0, ã) (1x) v(1, ã) C1p E 1x x ln(ln x E ) p(x1) , x (0, 1) ỵ ữủ ự t t q tr ỵ ú tổ tốt ỡ tr ỵ t tr ú tổ ữ r tt x [0, 1] tr t tr ữ r t x = ỹ t ữủ t q s r t t ỡ r t t ỡ rr tr ổ L1 (R) L2 (R) r t t ỡ t ợ t t t ữủ r ữỡ õ t t ữủ ỗ tố ở tử tr t ự ỵ ữ r t t qừ tr ỵ tốt ỡ t qừ tr ỵ t tr P ý t t ổ r ự Pữỡ tr r str t st rs rs rr & rs rs rs trt t t tt r rs Prs rr tr rrt t r s t rt rs s r t ts tt r P rt rt qts Prss