Vành các hàm số số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIẾU VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIẾU VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2015 MỞ ĐẦU Hàm số số học f (n) hàm số nhận giá trị phức xác định tập hợp số nguyên dương Một ví dụ điển hình hàm số số học phi hàm Euler  (n)   1 m n ( m ,n ) 1 biểu thị số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Các hàm số số học vừa đối tượng vừa công cụ có hiệu nghiên cứu toán học, tin học, mật mã Do đó, với việc nghiên cứu hàm số số học, người ta thường quan tâm đến cấu trúc đại số, cấu trúc giải tích hàm số số học Trên tập hợp hàm số số học, trang bị nhiều phép toán đại số - để từ thu cấu trúc đại số khác Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu cấu trúc đại số tính chất giải tích vành hàm số số học với phép tích chập Dirichlet công cụ hàm giá trị trung bình hàm số số học Với lý trên, lựa chọn đề tài luận văn ‘‘Vành hàm số số học’’ nhằm tìm hiểu sâu tính chất ứng dụng hàm số số học Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có chương Chương trình bày kiến thức sở tổng quan kết hàm số số học Chương giới thiệu số phép toán đại số tập hợp hàm số số học Ngoài ra, chương xem xét nội dung: Cấu trúc đại số vành hàm số học với phép tích chập Dirichlet; Phép lấy đạo hàm vành hàm số số học; Cấu trúc giải tích vành hàm số số học thông qua xem xét hàm thực giá trị trung bình hàm số số học f (n) xác định sau: F ( x )   f (n), x  n x Phương pháp công cụ nghiên cứu luận văn bao gồm: - Sử dụng công thức tính giá trị tính chất hàm số số học - Phép toán chập Dirichlet - Cấu trúc đại số tập hợp hàm số số học - Hàm giá trị trung bình hàm số số học - Phép tính đạo hàm vành hàm số số học Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian công sức giúp hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh - tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Trung học Cơ sở Vĩnh Hòa, Phòng Giáo dục huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hoá tạo điều kiện cho học tập để hoàn thành nhiệm vụ khóa học Tuy có nhiều cố gắng, song chắn luận văn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý, bảo quý thầy cô giáo đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập sau đại học vừa qua TÁC GIẢ Chương HÀM SỐ SỐ HỌC 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Định nghĩa Một hàm số f xác định tập hợp số nguyên dương  nhận giá trị trường số phức gọi hàm số số học Hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân (hàm nhân) nếu: 1) Tồn số nguyên dương n f (n)  2) Với cặp số nguyên dương a, b nguyên tố nhau, ta có f (ab)  f (a) f (b) Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương a, b hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân mạnh Hàm số số học f gọi hàm cộng tính với cặp số nguyên dương a, b nguyên tố nhau, ta có f (ab)  f (a)  f (b) Những ví dụ đơn giản hàm có tính chất nhân mạnh f  n   n; g  n   1, n   Nhận xét Nếu f hàm nhân, n số nguyên dương có phân tích tiêu chuẩn dạng n  p1 p2 pk  , f (n)  f ( p1 ) f ( p2 ) f ( pk  ) k k 1.1.2 Mệnh đề Giả sử hàm số số học f , g hàm nhân k hàm cộng tính Khi đó, ta có: 1) f (1)  1; k 1  2) Hàm f g xác định  f g  n   f  n  g  n  hàm nhân Chứng minh 1) Vì f hàm nhân, nên có số nguyên dương n để f (n)  Khi đó, ta có f  n   f 1n   f 1 f  n  Vì f  n   , nên f 1  Ngoài ra, ta có k  n   k 1n   k 1  k  n  hay k 1  2) Vì f g 1  f 1 g 1  , nên f g  Hơn nữa, cặp số nguyên dương a, b nguyên tố f g  (ab)  f (ab)g(ab)  f  a  f  b  g  a  g  b    f  a  g  a   f b  g b    f g  a  f g  b  Ta có điều phải chứng minh ▄ 1.1.3 Định lý (Công thức tổng trải) Nếu số nguyên dương n có phân tích tiêu chuẩn dạng n  p1 p2 ps s với hàm nhân f , ta có j n   f d        f  pij    dn j 1 i 1   Chứng minh Vì f hàm nhân nên ta có f p  f d      dn 0 i  i i 1, ,n 1 s ps   f p  1 0i i i 1, ,n   s f ps j     1   f  pij   j 1 i 1   n Như vậy, hệ thức ▄ 1.1.4 Định lý Giả sử f hàm có tính chất nhân Khi đó, hàm số số học F ( n)   f ( d ) dn có tính chất nhân Chứng minh Ta rằng, m, n cặp số nguyên dương nguyên tố F (mn)  F (m) F (n) Thật vậy, (m, n)  nên ước số tích mn viết dạng tích d  d1d2 d1 ước m d uớc n , d1 , d , nguyên tố Do đó, sử dụng tính chất nhân hàm f , ta có F (mn)      f (d )  d mn  f (d1d )  d1 m, d n f (d1) f (d ) d1 m, d n f (d1 )  f (d )  F (m) F (n) d1 m d2 n Định lý chứng minh ▄ 1.1.5 Định lý Cho hàm nhân f Khi đó, với số nguyên dương m, n ta có công thức f  m, n f   m, n    f  m  f  n  Chứng minh Ta chứng minh công thức phép quy nạp toán học Nếu m = n = 1, kết hiển nhiên Giả sử số tự nhiên m, n > có phân tích chuẩn tắc: n  p1k prk ; m  p1l prl , r r k1 , , kr , l1 , , lr số nguyên không âm Khi đó, ta có r r  m, n   pimax k ,l  ;  m, n    pimink ,l  i i i i i 1 i 1 max  k , l  ,min  k , l   k , l  Bởi i i i i i i f hàm nhân, nên ta có: m, n  f   m, n   = f  p r f i 1 r  f i 1 max  ki ,li  i . f  p r  ki ,li  i i 1  p . f  p    s ki i li i i 1 f (m ) f (n ) Vậy, công thức thoả mãn cho cặp số nguyên dương m, n ▄ 1.1.6 Định lý Nếu f g hàm số số học thoả mãn n n g (n)     f (i), n  i 1  i   , s n i 1   ta có “công thức đảo ngược tổng” sau: f (n)   (1)n1  g (i) i Chứng minh Ta xét hệ phương trình: 1   f (1)  g (1) 1    2   f (1)    f (2)  g (2) 1   2  3  3     f (1)    f (2)    f (3)  g (3)  2  3 1    n  n  n  1  f (1)  1  f (2)    n  f (n)  g (n)         n n i 1   Dùng phương pháp thế, ta có f (n)   (1)ni  g (i) ▄ i 1.2 Một vài hàm số số học 1.2.1 Hàm đếm ước Hàm  (n) hàm số xác định với số nguyên dương n , biểu thị số ước nguyên dương n :  (n)  1 dn 1.2.2 Định lí  (n) số điểm nguyên hyperbol xy  n nằm góc phần tư thứ Chứng minh Giả sử d1 , d2 , , d ( n )  tập tất ước n Khi đó,  (n) điểm nguyên   n  n n    d1 ;  ;  d ;  ; ;  d ( n ) ; d ( n )   d1   d   nằm hyperbol xy  n góc phần tư thứ Gọi m số tất điểm nguyên hyperbol xy  n góc phần   n tư thứ Nếu d i ước n  d i ;  điểm nguyên nằm d  i  hyperbol xy  n Do đó, ta có  (n)  m n n Thêm nữa,  a;  điểm nguyên hyperbol xy  n  a a số nguyên Do đó, a ước n Điều cho thấy m   (n) Vì  (n)  m ▄ Ví dụ Nếu n  10  (n)  điểm nguyên hyperbol xy  10 góc phần tư thứ là: 1;10  ;  2;5 ;  5;2  ; 10;1 1.2.3 Hàm tổng ước Hàm  (n) hàm số xác định với số nguyên dương n , biểu thị tổng ước nguyên dương n :  ( n)   d dn 1.2.4 Định lí  n  tổng hoành độ (hoặc tung độ) tất điểm nguyên hyperbol xy  n nằm góc phần tư thứ Chứng minh Gọi d1 , d2 , , d ( n ) ước n Theo Định lí 1.2.2 điểm nguyên hyperbol xy  n góc phần tư thứ   n  n n    d1 ;  ;  d ;  ; ;  d ( n ) ; d ( n )   d1   d   Do đó,  (n)  d1  d2   dt tổng hoành độ tất lưới điểm hyperbol xy  n góc phần tư thứ Mặt khác, n n , , d1 d , n tập số nguyên tập d ( n) d1 , d2 , , d ( n) xếp theo thứ tự ngược lại Từ  ( n)  n  d1  n dt tổng tung độ tất điểm nguyên hyperbol xy  n góc phần tư thứ ▄ Ví dụ Nếu n  10  (10)  4, (10)  18 điểm nguyên hyperbol xy  10 góc phần tư thứ là: 1;10  ;  2;5 ;  5;2  ; 10;1 Rõ ràng, ta có  (10)     10  10     18 1.2.5 Mệnh đề Các hàm số (n)  (n) hàm số có tính chất nhân Chứng minh: Đặt f  n   1, n   theo Định lý 1.1.4 , ta có  (n)  1   f (d ) dn dn 21 2.2.5 Định lý Với hàm số số học f  n  , ký hiệu L  n   log n, n  Khi đó, phép nhân theo điểm L  n  phép đạo hàm vành hàm số số học Chứng minh Rõ ràng, d ước n theo tính chất hàm lôgarit có  n n L  n   log n  log  d   L  d   L    d d  Chúng ta cần chứng minh L. f  g    L f   g  f   L.g  , với hàm số số học f g , L f  n   L  n  f  n   log n f  n  Thật L. f  g  n   L  n   f  g  n  n  d   L  n  f  d  g  dn   n  n    L d   L    f d  g     d   d  d n  n n n    f d L  g   d  d n d  d    Ld  f d  g  dn     L f   g  f   L.g  Định lý chứng minh ▄ 22 2.3 Giá trị trung bình hàm số số học 2.3.1 Định nghĩa Giá trị trung bình F  x  hàm số số học f  n  định nghĩa F  x   f n n x tổng chạy tất số nguyên dương n  x Đặc biệt, F  x   0, x  Hàm số F  x  gọi hàm tổng hàm số số học f  x  Nhắc lại rằng, phần nguyên số thực x , ký hiệu  x  , số nguyên n cho n  x  n  Phần phân số thực x số thực x  x   x   0,1 Mỗi số thực x viết dạng x   x    x Một hàm f  t  gọi đơn dạng (unimodal) khoảng I tồn số t0  I cho f  t  tăng t  t0 giảm t  t0 logk t Chẳng hạn, hàm f  t   đơn dạng khoảng 1,   , với t0  ek t Trong Giải tích thực, ta có kết hàm đơn điệu đơn dạng khoảng đóng  a, b  khả tích 2.3.2 Định lý Giả sử a, b số nguyên cho a  b f  t  hàm đơn điệu đoạn  a, b  Khi   b b na a   f  a  , f  b    f  n    f  t  dt  max f  a  , f  b  Giả sử x, y số thực với y   x  f  t  hàm đơn điệu không âm đoạn  y, x  Khi  y  n x x   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y 23 Nếu f  t  hàm đơn dạng không âm 1,   x F  x    f  n    f  t  dt  O 1 n x Chứng minh Nếu f  t  hàm tăng đoạn  n, n  1 n 1 f  n    f  t  dt  f  n  1 n Nếu f  t  hàm tăng đoạn  a, b  b b b a na a f  a    f  t  dt   f  n   f  b    f  t  dt Tương tự, f  t  hàm giảm đoạn  n, n  1 n 1 f  n  1   f  t  dt  f  n  n Nếu f  t  hàm giảm đoạn  a, b  b b b a na a f  b    f  t  dt   f  n   f  a    f  t  dt Do   b b na a   f  a  , f  b    f  n    f  t  dt  max f  a  , f  b  Giả sử f  t  hàm đơn điệu không âm  y, x  a   y   1, b   x  Ta có y  a  b  x Nếu f  t  hàm tăng 24  y  n x f n   a  n b b f n   f  t  dt  f  b  a x   f  t  dt  f  x  y Bởi a f  a    f  t  dt y x f  x    f  t  dt , b nên  y  n x b f  n    f  t  dt  f  a  a x x a b y   f  t  dt   f  t  dt  f  a    f  t  dt y x   f  t  dt  f  x  y Do  y  n x Nếu f  t  hàm giảm x f  n    f  t  dt  f  x  y 25  y  n x f n   a  n b b f n   f  t  dt  f  a  a x   f  t  dt  f  y  y Bởi x f  b    f  t  dt b a f  y    f  t  dt , y nên  y  n x b f  n    f  t  dt  f  b  a x x a b y   f  t  dt   f  a    f  t  dt   f  t  dt y x   f  t  dt  f  y  y Do  y  n x Vậy  y  n x x f  n    f  t  dt  f  y  y x   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y Nếu f  t  hàm không âm đơn dạng đoạn 1,   , f  t  bị chặn đẳng thức 26 x F  x    f  n    f  t  dt  O 1 n x suy từ  y  n x x   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y Chúng ta kết thúc chứng minh định lý ▄ 27 2.4 Hàm Mobius ứng dụng 2.4.1 Định nghĩa Hàm số số học  :   xác định sau:  (n)  n  ;  (n)   1 n  p1 p2 k pk , pi  p j , với i  j ;  (n)  n chia hết cho p với p số nguyên tố gọi hàm số Mobius Một số nguyên n gọi số tự phương (square-free) không chia hết cho bình phương số nguyên tố Chẳng hạn, số tự phương; số tự phương chia hết cho 22 Nhận xét  (n)  n số tự phương 2.4.2 Định lý Hàm Mobius  (n) hàm nhân 1 n  1,  n     d   0 dn Chứng minh Tính chất nhân hàm Mobius trực tiếp suy từ định nghĩa m n số tự phương nguyên tố với k l nhân tử nguyên tố tương ứng, mn số tự phương với k  l nhân tử   m    n    1  1   1 k l k l    m   n  Tiếp theo chứng minh công thức tích chập Nếu n     d    1  dn Với n  , giả sử n  p1r pkr dạng phân tích tiêu chuẩn n Nhắc lại k rằng, n ước tự phương lớn n , nghĩa rad  n   p1 pk 28 tích ước nguyên tố phân biệt n Giả sử m  rad  n  Nếu d ước n   d   d số tự phương d ước m Vì m tích k số nguyên tố nên suy hệ số tổ hợp Cki ước thực m viết tích i số nguyên tố phân biệt điều có nghĩa số ước m cho   d   i Cki Vậy   d     d    k dn dm i 0   d    k i 0 dm  d  i   1  C  1  1  1 i k i 0 dm  d  i i i k k  Điều kết thúc chứng minh định lý ▄ Chúng ta định nghĩa hàm I  n   1, n   Sử dụng tích chập Dirichlet ta có   I = I    e , với hàm e xác định e  n   n  e  n   n  , phần tử đơn vị vành hàm số học Như vậy, hàm Mobius hàm khả nghịch vành hàm số học với hàm nghịch đảo I 2.4.3 Định lý Nếu n có phân tích chuẩn tắc n  p1 p2 ps , f hàm s s nhân   (d ) f (d )   (1  f ( pi )) i 1 dn Chứng minh Vì  f hàm nhân nên tích điểm  f hàm nhân Vì vậy, với số nguyên tố p ta có:  f ( p) (  f )( p k )   ( p k ) f ( p k )    k = k > Sử dụng công thức tổng trải ta có: s i s i 1 j 1 i 1   (d ) f (d )   (1   ( f )( pij ))   (1  f ( pi )) dn 29 Như vậy, s   (d ) f (d )   (1  f ( p )) Định lý chứng minh dn i i 1 ▄ Định lý sau gọi Luật thuận nghịch Công thức đảo ngược Dedekind – Liouville 2.4.4 Định lý (Mobius inversion) Nếu f hàm số số học tuỳ ý g n   hàm số số học xác định g (n)   f (d ) , f (n)      g  n  Tương d dn dn tự, g hàm số số học tuỳ ý f hàm số số học xác định n f (n)      f (d ) , g(n)   f  d  dn dn d  Chứng minh Sử dụng Định lý 2.4.2 tính chất kết hợp giao hoán tích chập Dirichlet Định nghĩa g ( n)   f ( d ) dn tương đương với g  f  Do g     f  1    f  1     f  e  f Tương tự, g  f   f    g      g     1  g  e  g Định lý chứng minh ▄ Ta giới hạn xét ước dương chứng minh Giả sử d ước n , đó: n g ( )   f (d ') d n d' d Nhân hai vế đẳng thức với   d  lấy tổng theo d , ta n   (d ) g ( d )   f (d ')  (d ) dn d n d' n d 30 Đổi thứ tự d d ' việc tính tổng ta  f (d ') (d )   f (d ') (d )   f (d ')  (d ) d n d' n d Vì   (d )  d d'n d n d' n d' n  d' d'n   (d )  d d n d' n d' n  hay d' n  d ' , nên vế phải đẳng thức có số hạng khác 0, cụ thể số hạng ứng với n  d ' Khi đó, vế phải f  n  Do đó, ta có: n f ( n)    ( d ) g ( ) d dn Đây đẳng thức cần chứng minh ▄ 2.4.5 Hệ Giả sử n  p1 p2 ps ta có đẳng thức sau: a) s   (d )  ; dn b)   (d ) dn c)  dn d) d s   (1  i 1  (d ) d   (n) n ); pi ; n   (d ) ( d )  ; d /n e) n   (d ) ( d )  n d /n Chứng minh a) Áp dụng Định lý 2.4.2, với hàm f (n)  ta có s   (d )   (1  1)  i 1 dn b) Áp dụng Định lý 2.4.2, với hàm f  n    dn  (d ) d s ta có n   (1  i 1 ) pi 31 c) Áp dụng Định lý 2.4.2 sử dụng công thức b) ta có  dn  (d ) d   (n) n n d d) Vì   n   1 nên theo Luật thuận nghịch, ta có    (d ) ( ) dn dn n d e) Vì   n    d nên theo Luật thuận nghịch, ta có n    (d ) ( ) ▄ dn dn 32 KẾT LUẬN Luận văn bao gồm nội dung sau: Trình bày kiến thức sở tổng quan kết hàm số số học; Giới thiệu số phép toán đại số - tập hợp hàm số số học Mô tả số tính chất cấu trúc đại số vành hàm số số học với phép tích chập Dirichlet; Khảo sát phép lấy đạo hàm vành hàm số số học; Tìm hiểu cấu trúc giải tích vành hàm số số học thông qua xem xét hàm thực giá trị trung bình hàm số số học; Tìm tòi số tính chất ứng dụng hàm số Mobius 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề Số học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Đàm Văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Nhà xuất Hải Phòng [4] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [5] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw – Hill Company, New Delhi [6] M B Nathason (1999), Elementary Methods in Number Theory, Springer [7] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company, New Delhi 34 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương HÀM SỐ SỐ HỌC 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Mệnh đề 1.1.3 Định lý (Công thức tổng trải) 1.1.4 Định lý 1.1.5 Định lý 1.1.6 Định lý 1.2 Một vài hàm số số học 1.2.1 Hàm đếm ước 1.2.2 Định lí 1.2.3 Hàm tổng ước 1.2.4 Định lí 1.2.5 Mệnh đề 1.2.6 Định nghĩa 1.2.7 Định lý biểu diễn hình học của hàm T n  1.3 Một vài ứng dụng hàm số số học Euler 10 1.3.1 Định nghĩa 10 1.3.2 Định lý 10 1.3.3 Định lý 11 1.3.4 Định lý Euler 11 1.3.5 Ứng dụng hàm Euler 12 Chương VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC 13 2.1 Phép đạo hàm vành 13 35 2.1.1 Định nghĩa 13 2.1.2 Mệnh đề 13 2.1.3 Định lý 14 2.1.4 Trường thương miền nguyên 15 2.1.5 Định lý 15 2.1.6 Phép đạo hàm lôgarit trường 16 2.1.7 Phép đạo hàm vành đa thức với hệ số phức 16 2.2 Vành hàm số số học 18 2.2.1 Tổng, tích điểm tích chập Dirichlet hàm số số học 18 2.2.2 Định lý 18 2.2.3 Định lý 19 2.2.4 Định lý 20 2.2.5 Định lý 21 2.3 Giá trị trung bình hàm số số học 22 2.3.1 Định nghĩa 22 2.3.2 Định lý 22 2.4 Hàm Mobius ứng dụng 27 2.4.1 Định nghĩa 27 2.4.2 Định lý 27 2.4.3 Định lý 28 2.4.4 Định lý (Mobius inversion) 29 2.4.5 Hệ 30 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 [...]... bao gồm các nội dung chính sau: 1 Trình bày các kiến thức cơ sở tổng quan và các kết quả cơ bản về hàm số số học; 2 Giới thiệu một số phép toán đại số 2 - ngôi trên tập hợp các hàm số số học Mô tả một số tính chất về cấu trúc đại số của vành các hàm số số học với phép tích chập Dirichlet; 3 Khảo sát phép lấy đạo hàm trên vành hàm số số học; 4 Tìm hiểu cấu trúc giải tích trên vành các hàm số số học thông... của hàm số số học 2.3.1 Định nghĩa Giá trị trung bình F  x  của hàm số số học f  n  được định nghĩa bởi F  x   f n n x là tổng chạy trên tất cả các số nguyên dương n  x Đặc biệt, F  x   0, x  1 Hàm số F  x  được gọi là hàm tổng của hàm số số học f  x  Nhắc lại rằng, phần nguyên của số thực x , ký hiệu bởi  x  , là số nguyên duy nhất n sao cho n  x  n  1 Phần phân của số. .. Như vậy, I N là một iđêan của vành các hàm số số học ▄ Nhắc lại rằng, phép đạo hàm trên vành giao hoán có đơn vị R là một đồng cấu nhóm cộng aben D : R  R thoả mãn D( xy)  D( x) y  xD( y); x, y  R 21 2.2.5 Định lý Với mỗi hàm số số học f  n  , ký hiệu L  n   log n, n  1 Khi đó, phép nhân theo từng điểm L  n  là một phép đạo hàm trên vành các hàm số số học Chứng minh Rõ ràng, nếu d là... O hoặc g  O ▄ 2.2.4 Định lý Với mỗi số nguyên dương N , ký hiệu I N là tập hợp tất cả các hàm số số học f sao cho f  n   0, n  N Khi đó, I N là một iđêan của vành các hàm số số học Chứng minh Giả sử f , g  I N , khi đó ta có  f  g  n   f  n   g  n   0  0  0,n  N Điều đó có nghĩa là f  g  I N Ngoài ra, nếu f  I N và g là hàm số số học bất kỳ, thì f  n   0, n  N , do... lý ▄ Chúng ta định nghĩa hàm I  n   1, n   Sử dụng tích chập Dirichlet ta có   I = I    e , với hàm e xác định bởi e  n   1 nếu n  1 và e  n   0 nếu n  2 , là phần tử đơn vị của vành các hàm số học Như vậy, hàm Mobius là hàm khả nghịch trong vành các hàm số học với hàm nghịch đảo là I 2.4.3 Định lý Nếu n có sự phân tích chuẩn tắc n  p1 p2 ps , và f là hàm 1 2 s s nhân thì ... Luật thuận nghịch hoặc Công thức đảo ngược Dedekind – Liouville 2.4.4 Định lý (Mobius inversion) Nếu f là một hàm số số học tuỳ ý và g là n   hàm số số học xác định bởi g (n)   f (d ) , thì f (n)      g  n  Tương d dn dn tự, nếu g là một hàm số số học tuỳ ý và f là hàm số số học xác định bởi n f (n)      f (d ) , thì g(n)   f  d  dn dn d  Chứng minh Sử dụng Định lý 2.4.2... N0 ( f ) n N (g) m f  j i  0 L    L( f )  L( g )    t   t   g i j i 1 J 1 Nhận xét D  f   0 khi và chỉ khi f là hằng số phức 18 2.2 Vành các hàm số số học 2.2.1 Tổng, tích từng điểm và tích chập Dirichlet các hàm số số học Cho các hàm số học f và g , khi đó ta lần lượt định nghĩa: Tổng f  g của f và g được định nghĩa bởi  f  g  n   f  n   g  n  Tích từng điểm f g... thông qua xem xét hàm thực giá trị trung bình của mỗi hàm số số học; 5 Tìm tòi một số tính chất và ứng dụng của hàm số Mobius 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội [3] Đàm Văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Nhà xuất... 5 1.1.6 Định lý 5 1.2 Một vài hàm số số học 7 1.2.1 Hàm đếm các ước 7 1.2.2 Định lí 7 1.2.3 Hàm tổng các ước 8 1.2.4 Định lí 8 1.2.5 Mệnh đề 8 1.2.6 Định nghĩa 9 1.2.7 Định lý về sự biểu diễn hình học của của hàm T n  9 1.3 Một vài ứng dụng của hàm số số học Euler 10 1.3.1 Định nghĩa 10... ra, sử dụng công thức của hàm O ta có      O  f  n    O  n  f  dn    0 f  dn   0 dn   dn   Cuối cùng, sử dụng công thức của hàm e ta có    e  f  n    e  n  f  dn   f  n  dn   Định lý được chứng minh ▄ 2.2.3 Định lý Giả sử f và g là các hàm số số học Khi đó, f  g  O khi và chỉ khi f  O hoặc g  O Nói khác đi, vành các hàm số số học là một miền nguyên Chứng ... kết hàm số số học; Giới thiệu số phép toán đại số - tập hợp hàm số số học Mô tả số tính chất cấu trúc đại số vành hàm số số học với phép tích chập Dirichlet; Khảo sát phép lấy đạo hàm vành hàm số. .. giá trị tính chất hàm số số học - Phép toán chập Dirichlet - Cấu trúc đại số tập hợp hàm số số học - Hàm giá trị trung bình hàm số số học - Phép tính đạo hàm vành hàm số số học Luận văn hoàn... kết hàm số số học Chương giới thiệu số phép toán đại số tập hợp hàm số số học Ngoài ra, chương xem xét nội dung: Cấu trúc đại số vành hàm số học với phép tích chập Dirichlet; Phép lấy đạo hàm vành