Vành các hàm số học

Lý thuyết số, giống như nhiều mảng khác trong toán học, thường quan tâm tới dãy các số thực và phức. Trong lý thuyết số, các dãy số như vậy được gọi là hàm số học. Định nghĩa. Một hàm số có giá trị thực hoặc phức được định nghĩa trên các số nguyên dương được gọi là hàm số học hoặc hàm lý thuyếtsố. Chương này giới thiệu chung về hàm số học với một luật quan trọng trong việc học tập về tính chia hết của số nguyên và sự phân bố của các số nguyên tố. Tiểu luận cũng thảo luận về hàm nhân Dirichlet, một khái niệm giúp làm rõ tương giao giữa giá trị của các hàm số học. Chúng ta sẽ bắt đầu với hai khái niệm quan trọng, Hàm Mobius và hàm thương Euler.

TIỂU LUẬN VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC

LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH SỐ



PHAN HOÀNG NAM

MỤC LỤC

1 Giới thiệu 3

2 Hàm Mobius    n 3

3 Hàm thương Euler    n 4

4 Mối liên hệ kết nối  và  5

5 Công thức tích  n 5

6 Tích Dirichlet của hàm số học 7

8 Hàm Mangoldt  n 10

9 Hàm nhân tính 12

10 Hàm nhân tính và phép nhân Dirichlet 13

11 Nghịch đảo của hàm nhân tính hoàn toàn 14

12 Hàm Liouville    n 15

13 Hàm ước số   n 16

14 Tổng quát phép nhân chập 17

15 Chuỗi lũy thừa hình thức 19

16 Chuỗi Bell của hàm số học 21

17 Chuỗi Bell và phép nhân Dirichlet 22

18 Đạo hàm của hàm số học 23

19 Đồng nhất thức Selberg 24

1 Giới thiệu

Lý thuyết số, giống như nhiều mảng khác trong toán học, thường quan tâm tới dãy các số thực

và phức Trong lý thuyết số, các dãy số như vậy được gọi là hàm số học

Định nghĩa Một hàm số có giá trị thực hoặc phức được định nghĩa trên các số nguyên dương

được gọi là hàm số học hoặc hàm lý thuyết-số

Chương này giới thiệu chung về hàm số học với một luật quan trọng trong việc học tập về tính chia hết của số nguyên và sự phân bố của các số nguyên tố Tiểu luận cũng thảo luận về hàm nhân Dirichlet, một khái niệm giúp làm rõ tương giao giữa giá trị của các hàm số học

Chúng ta sẽ bắt đầu với hai khái niệm quan trọng, Hàm Mobius  n và hàm thương Euler

  trong các trường hợp còn lại

Ghi nhớ rằng  n  khi và chi khi n có ước chính phương lớn hơn 1 0

Định lý 1 Nếu n 1 chúng ta có

 

|

1 11

0 1

d n

khi n d

khi n n

Trong tổng d n|  d các số hạng khác không khi d 1 và các ước của n là những tích của các số nguyên tố phân biệt Do đó

Dưới đây là bảng giá trị của vài giá trị  n

Nhưng k n, d khi và chỉ khi k d n d / , /  1, và 0 k n khi và chỉ khi 0  k d/ n d/

Vì thế, nếu chúng ta cho qk d/ , thì sẽ có một tương ứng 1-1 giữa những phần tử của A d 

Nhưng điều này tương đương với khẳng định  

4 Mối liên hệ kết nối  và 

Hàm thương Euler có quan hệ vơi hàm Mobius thông qua công thức sau:

Với một ước cố định d của n chúng ta cộng lại tất các các số k trong phạm vi 1 kn là bội

số của d Nếu chúng ta viết kqd thì 1 kn tương đương với 1qn d/ Do đó tổng các

Tổng  n trong định lý 3 có thể được biểu diễn như một tích mở rộng trên các ước nguyên

tố phân biệt của n

Định lý 4 Với n 1 ta có  

|

11

e)  n là số chẵn với n  Hơn nữa, nếu n có r ước nguyên tố lẻ phân biệt, thì 3 2 |r  n

CHỨNG MINH Phần a) có được khi cho n p trong (3) Để chứng minh phần b) chúng ta

có

 

|

11

Điều này cho ta phần b) Phần c) là trường hợp đặc biệt của b)

Tiếp theo chúng ta suy ra d) từ b) Do a|b chúng ta có bac trong đó 1 c   Nếu c b  thì b

Trong đó da c,  Bây giờ theo kết quả suy ra từ việc quy nạp theo b Với b  điều này 1

đúng vì là tầm thường Giả sử, sau đó d) đúng với những số nguyên b Tức là nó vẫn đúng với c thỏa mãn  d | c từ việc d c| Do vế phải của (5) là một hàm nhân của  a có nghĩa là  a | b Điều này chứng minh được d)

Bây giờ ta chứng minh e) Nếu n2 ,  2, phần a) chứng tở rằng  n là chẵn Nếu có ít nhất một ước nguyên tố lẻ ta viết

Trong đó c n là một số nguyên Tích   c n là một số chẵn nên    n là chẵn Hơn nữa, một

số nguyên tố lẻ p góp một nhân tử 2 vào tích này, nên 2 |r  n nếu n có n có r nước nguyên

Trong đó f và g là các hàm số học, và điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc học tập một

số tính chất của các tổng có điểm chung Chúng ta sau này có thể tìm thấy các tổng theo kiểu

này nảy sinh một cách tự nhiên trong lý thuyết chuỗi Dirichlet Có nhiều kết quả trong việc giải quyết các tổng này như một dạng mới của tính nhân của một hàm số học, một điều đã giới thiệu bởi E.T Bell [4] năm 1915

Định nghĩa Nếu f và g là hai hàm số học, chúng ta định nghĩa tích Dirichlet của chúng (hay

tích chập Dirichlet) là hàm số học h được định nghĩa bởi phương trình

Ghi chú Chúng ta viết f*g cho h và (f*g)(n) cho h(n) Ký hiệu N sẽ được sử dụng cho hàm

nhân với N(n)=n với mọi n Trong ghi chú này, Định lý 3 có thể được phát biểu dưới dạng

* N

Trong định lý kế tiếp miêu tả các tính chất đại số của hàm nhân Dirichlet

Định lý 6 Tích Dirichlet có tính giao hoán và kết hợp Nghĩa là với bất kỳ hàm số học f, g, k ta

có

* *

f g g f (luật giao hoán)

f *g*k  f *g k*  (luật kết hợp) CHỨNG MINH Đầu tiên chúng ta nhớ rằng định nghĩa của f *g có thể được diễn tả như sau:

Bây giờ ta xem xét phần tử đồng nhất của hàm nhân

Định nghĩa Hàm nhân I cho bởi

Định lý 7 Với mọi hàm f ta có I*f  f *I  f

CHỨNG MINH Chúng ta có

7 Công thức nghịch đảo Dirichlet và nghịch đảo Mobius

Định lý 8 Nếu f là một hàm nhân với f  1 0 thì có một hàm nhân duy nhất f1 được gọi là

nghịch đảo Dirichlet của f, sao cho

f n Với n  chúng ta phải giải phương trình 1

Nếu tìm được giá trị của 1 

f d với mọi ước d < n, thì có duy nhất một giá trị 1 

nhóm, tập tất cả các hàm số học f với f  1 0 có dạng là một nhóm aben với phép toán *,

phần tử đơn vị là hàm số học I Người đọc có thể dễ dàng kiểm tra rằng

Vậy u và  trở thành nghịch đảo của nhau

Tính chất đơn giản này giống của hàm Mobius, cùng với tính kết hợp của hàm nhân Dirichlet,

có thể cho chúng ta chứng minh đơn giản của định lý kế tiếp

Định lý 9 Công thức Mobius nghịch đảo Phương trình

|

d n

f n g d suy ra

Ngược lại, (7) suy ra (6)

CHỨNG MINH Phương trình (6) khẳng định rằng f g u* Nhân hai vế cho  cho ta

Đây là bảng một vài giá trị của  n

 n

 0 log 2 log 3 log 2 log 5 0 log 7 log 2 log 3 0 Chứng minh của định lý kế tiếp chi chúng ta biết cách hàm số này tăng tự nhiên từ định lý cơ bản của số học

và viết

1

k r a k k

Điều này chứng minh được (8)

Giờ ta sử dụng nghịch đảo Mobius để biểu thị n thành tổng các số hạng logarit

9 Hàm nhân tính

Chúng ta vừa ghi nhớ rằng tập tất các hàm số học f với f  1 0 có dạng một nhóm aben với phép toán nhân Dirichlet Trong phần này chùng ta sẽ thảo luận về một nhóm con quan trọng

của nhóm này, được gọi là nhóm hàm nhân tính

Định nghĩa Một hàm số học f được gọi là hàm nhân tính nếu f không có phần tử không và

nếu

     

f mn  f m f n với m n  ,  1Một hàm nhân f được gọi là hàm nhân tính hoàn toàn nếu ta có

     

f mn  f m f n với mọi m n,

VÍ DỤ 1 Cho f n n, trong đó  là một số thực hay số phức cho trước Hàm này là hàm nhân tính hoàn toàn Đặt biệt, phần tử khả nghịch u f0 là một hàm nhân tính hoàn toàn Chúng ta ký hiệu hàm f bởi N và gọi nó là hàm mũ

VÍ DỤ 2 Hàm đơn vị I n 1/n là hàm nhân tính hoàn toàn

VÍ DỤ 3 Hàm Mobius là hàm nhân tính nhưng không hoàn toàn Điều này dễ dàng nhận thấy

từ trong định nghĩa của  n Chú ý rằng hai số nguyên tố cùng nhau m và n Nếu m hoặc n

có một ước là bình phương của một số nguyên tố thì mn cũng vậy, khi đó cả hai  m và

là hàm nhân tính Hàm này không nhân tính hoàn toàn do  4  nhưng 0    2  2  1

VÍ DỤ 4 Hàm chia  n là nhân tính Điều này là phần  c của Định lý 5 Hàm này không

nhân tính hoàn toàn do  4  trái lại 2    2  2  1

VÍ DỤ 5 Tích thông thường fg của hai hàm số học f và g được định nghĩa bởi công thức thông thường   fg n  f n g n   

Tương tự, hàm thương f g được định nghĩa bởi công thức

   

 

f n f

Nếu f và g là các hàm nhân tính, thì fg và f g cũng vậy Nếu f và g là hàm nhân tính hoàn

Ghi nhú Do  1  , hàm Mangoldt không nhân tính 0

Định lý 13 Cho f với f  1  Khi đó: 1

(a) f là hàm nhân tính nếu  1   1  

CHỨNG MINH Người đọc sẽ dễ dàng chứng minh được định lý từ định nghĩa

10 Hàm nhân tính và phép nhân Dirichlet

Định lý 14 Nếu f và g các hàm nhân tính, thì tích Dirichlet f*g cũng là hàm nhân tính CHỨNG MINH Cho h f *g và các số nguyên tố m và n Khi đó

Bây giờ mọi ước c của mn có thể được mở rộng cab trong đó a m| và b n| Hơn nữa,

a b  , ,  1 m a n b  , và có một tương ứng một-đối-một giữa tập các tích ab và tập các / , /  1

Một thay đổi nhỏ của chứng minh trước cho chúng ta giải quyết định lý sau

Định lý 15 Nếu cả f và f*g là hàm nhân tính, thì f cũng là hàm nhân tính

CHỨNG MINH Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng f không là hàm nhân tính thì suy ra f *gcũng không là hàm nhân tính Cho h f *g Do f không là hàm nhân tính nên tồn tại hai số

nguyên dương m và n với m n  sao cho ,  1

     

f mn  f m f n

Chúng ta chọn ra cặp m và n sao cho tích mn là nhỏ nhất có thể

Nếu mn  thì 1 f 1  f    1 f 1 nên f  1  Từ việc 1 h 1  f    1 g 1  f  1  , điều 1

náy chứng tỏ h không là hàm nhân tính

Nếu mn  thì 1 f ab  f a f b    với mọi số nguyên dương a và b với a b  và ab,  1 mn

Bây giờ ta phân tích như chứng minh của Định lý 14, chấp nhận rằng trong định nghĩa h mn  chia thành các số hạng tương ứng với am b,  Chúng ta có n

Ghi chú Định lý 14 và 16 kết hợp lại cho thấy tập các hàm nhân là nhóm con của nhóm tất cả

các hàm số học f với f  1 0

11 Nghịch đảo của hàm nhân tính hoàn toàn

Nghịch đảo Dirichlet của một hàm nhân tính hoàn toàn đặc biệt dễ dàng để định nghĩa

Định lý 17 Cho f là một hàm nhân tính Khi đó f là hàm nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi

     

1

f n  n f n

 với mọi n  1

CHỨNG MINH Cho g n    n f n Nếu f là hàm nhân tính hoàn toàn thì ta có

f n  n f n Để chứng tỏ f là hàm nhân tính hoàn toàn ta sẽ chứng minh f p   f p  với lũy thừa của một số nguyên tố Phương trình 1     

f n  n f n

suy ra

Định nghĩa Chúng ta định nghĩa  1 1, và nếu 1

1 k k

Do đó nếu

1

i k i i

n p chúng ta có   1  

i k

i i

tống lũy thừa bậc  các ước số của n

Hàm số  được định nghĩa gọi là các hàm ước số Chúng là các hàm nhân tính vì 

*

u N



  , tích Dirichlet của hai hàm nhân tính

Khi  0,0 n là số các ước của n; nó được ký hiệu là d n 

Khi  1,1 n là tổng các ước của n; nó được ký hiệu là  n

Do  là hàm nhân tính nên chúng ta có 

Định lý 15 Tính kết hợp khi đổi  và * Với bất kỳ hàm số học   ta có ,

Vậy (10) kéo theo (11) Điều ngược lại chứng minh tương tự 

Trường họp đặt biệt sau đây là phần rất quan trọng

Định lý 17 Công thức nghịch đảo Mobius tổng quát Nếu  là hàm nhân tính hoàn toàn thì ta

15 Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong giải tích một chuỗi vô hạn có dạng

Trong phần này chúng ta xem chuỗi lũy thừa từ một góc nhìn khác Chúng ta gọi chúng là

chuỗi lũy thừa hình thức để phân biệt chúng với chuỗi lũy thừa hình thức trong giải tích Trong

lý thuyết về các chuỗi lũy thừa hình thức x không bao giờ được gán cho một trị số, và câu hỏi

về sự hội tụ hay phân kỳ là không được quan tâm đến

Điều cần quan tâm là đãy các hệ số

(13) a   0 ,a 1 , ,a n , 

Những điều mà chúng ta làm với các chuỗi lũy thừa hình thức có thể cũng được làm bằng việc nghiên cứu dãy các hệ số như một véc tơ vô hạn chiều với các thành phần a   0 ,a 1 , Nhưng với mục đích thuận tiện cho việc thể hiện các số hạng như hệ số của các chuỗi lũy thừa giống như trong (12) hơn là ác phần tử của một vec tơ như trong (13) Ký hiệu x là một phương n

cách đơn giản để chỉ vị trí của hệ số a n của lũy thừa bậc n Hệ số   a 0 được gọi là hệ số không đổi của chuỗi

Chúng ta làm việc với các chuỗi lũy thừa hình thức giống như chúng trong các chuỗi lũy thừa hội tụ Nếu A x và   B x là hai chuỗi lũy thừa hình thức, tức là  

   

0

n n

Dãy c n   được định nghĩa bởi (14) được gọi là tích Cauchy của các dãy a n và    b n  

Người đọc có thể dễ dàng kiểm tra lại hai phép toán trên thỏa mãn luật giao hoán và kết hợp,

và phép nhân có tính phân phối với phép cộng Vành này có phần tử không với phép cộng mà chúng ta ký hiệu là 0,

 trong đó a n  với mọi   0 n  , 0

và một phần tử đơn vị với phép nhân mà ta ký hiệu là 1,

Ứng với mỗi chuỗi lũy thừa hình thức   0   n

n

A x  a n x



 có số hạng không đổi a 0 0thì có xác định duy nhất một chuỗi lũy thừa   0   n

n

a x ax





 

16 Chuỗi Bell của hàm số học

E T Bell đã sử dụng chuỗi lũy thùa hình thức để tìm hiểu về các tính chất của các hàm số học nhân tính

Định nghĩa Cho một hàm số học f và một số nguyên tố p, chúng ta ký hiệu f p x cho chuỗi

Và gọi là chuỗi Bell các hàm f môđun p

Chuỗi Bell đặc biệt hữu dụng khi f là hàm nhân tính

Định lý 24 Định lý về tính duy nhất Cho f và g các hàm nhân tính Thì f g khi và chỉ khi

   

f x g x với mọi số nguyên p

CHỨNG MINH Nếu f g thì f p x g p x với mọi số nguyên p và n  , nên 0

Dễ dàng định nghĩa chuỗi Bell của một số hàm nhân được giới thiệu ở phần đầu chương này

VÍ DỤ 1 Hàm Mobius  Do  p   và 1  p n  với mọi 0 n  , chúng ta có 2

1

p

n p

17 Chuỗi Bell và phép nhân Dirichlet

Định lý kế tiếp là sự liên quan giữa phép nhân của chuỗi Bell và phép nhân Dirichlet

Định lý 25 Với bất kỳ hai hàm số học f và g, cho h f *g Khi đó với mọi số nguyên tố p ta

1a 2a a k

k

n p p p Khi đó f là hàm nhân tính và chuỗi Bell

mô đun p của nó là

f  f f f  , với điều kiện là f  1 0

CHỨNG MINH Chứng minh (a) là có được ngay Hiển nhiên, ta hiểu là f g là hàm số

Để chứng minh (c) chúng ta áp dụng phần (b) với phương trình 'I  , 0

Nhớ rằng I  f * f1 Điều này cho ta

4 Chứng minh rằng  n n/ 6 với mọi n có 8 ước nguyên tố phân biệt

5 Định nghĩa  1  và với 0 n  thì 1  n là số các ước nguyên dương phân biệt của n Cho f  * và chứng minh rằng f n hoặc bằng 0 hoặc bằng 1  

Tổng cuối cùng là mở rộng trên tất cả các ước d của n mà lũy thừa bậc k cũng chia hết n

7 Cho p d,  là ký hiệu giá trị Mobius của hàm số tại ƯCLN của p và d Chứng minh với mọi số nguyên tố p ta có

Nếu m  và n có nhiều hơn m ước nguyên tố phân biệt [Gợi ý: Quy nạp] 1

9 Nếu x là số thực, x  , cho 1 x n,  ký hiệu là số các số nguyên dương  mà nguyên tố x

cùng nhau với n n n,  n Chứng minh rằng

13 Tích các dạng công thức nghịch đảo Mobius Nếu f n  với mọi n và nếu   0 a n là số  thực, a 1 0, chứng minh rằng

Trong đó ba1, là nghịch đảo Dirichlet của a

14 Cho f x được định nghĩa trên tất cả các số hữu tỉ x trong 0    và cho x 1

(a) Chứng minh *F F, ký hiệu tích Dirichlet của  và F

(b) Sử dụng (a) hay một số ý khác để chứng minh  n là tổng các nghiệm thứ của

 

 

2 / 1 , 1

n

ik n k

15 Cho k n là ký hiệu tổng các lũy thừa bậc k các số  và nguyên tố cùng nhau với n n

Ghi chú là 0 n  n Sử dụng bài tập 14 hay một số ý khác để

 

|

1k k k

20 Cho P n là tích các số nguyên dương mà    và nguyên tố cùng nhau với n n

25 Giả sử f là hàm nhân tính Chứng minh rằng:

(a) 1     

f n  n f n

 với mọi số số n không chính phương

(b) 1 2  2  2

f p  f p  f p với mọi số nguyên tố p

26 Giả sử f là hàm nhân tính Chứng minh rằng f là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi

 

1

0

a

f p  với mọi số nguyên tố p và mọi số nguyên a  2

27 (a) Nếu f là hàm nhân tính hoàn toàn, chứng minh rằng

rằng f là hàm nhân tính hoàn toàn

28 (a) Nếu f là hàm nhân tính hoàn toàn, chứng minh rằng

f g   f g 

với mọi hàm số học g với g 1 0

(b) Nếu f là hàm nhân tính và quan hệ (a) giữ cho 1

g 

 , chứng minh rằng f là hàm

nhân tính hoàn toàn