Lý thuyết số, giống như nhiều mảng khác trong toán học, thường quan tâm tới dãy các số thực và phức. Trong lý thuyết số, các dãy số như vậy được gọi là hàm số học. Định nghĩa. Một hàm số có giá trị thực hoặc phức được định nghĩa trên các số nguyên dương được gọi là hàm số học hoặc hàm lý thuyếtsố. Chương này giới thiệu chung về hàm số học với một luật quan trọng trong việc học tập về tính chia hết của số nguyên và sự phân bố của các số nguyên tố. Tiểu luận cũng thảo luận về hàm nhân Dirichlet, một khái niệm giúp làm rõ tương giao giữa giá trị của các hàm số học. Chúng ta sẽ bắt đầu với hai khái niệm quan trọng, Hàm Mobius và hàm thương Euler.
TIỂU LUẬN VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH SỐ PHAN HỒNG NAM MỤC LỤC Giới thiệu Hàm Mobius n 3 Hàm thương Euler n 4 Mối liên hệ kết nối 5 Cơng thức tích n Tích Dirichlet hàm số học Hàm Mangoldt n 10 Hàm nhân tính 12 10 Hàm nhân tính phép nhân Dirichlet 13 11 Nghịch đảo hàm nhân tính hồn tồn 14 12 Hàm Liouville n 15 13 Hàm ước số n 16 14 Tổng quát phép nhân chập 17 15 Chuỗi lũy thừa hình thức 19 16 Chuỗi Bell hàm số học 21 17 Chuỗi Bell phép nhân Dirichlet 22 18 Đạo hàm hàm số học 23 19 Đồng thức Selberg 24 Giới thiệu Lý thuyết số, giống nhiều mảng khác toán học, thường quan tâm tới dãy số thực phức Trong lý thuyết số, dãy số gọi hàm số học Định nghĩa Một hàm số có giá trị thực phức định nghĩa số nguyên dương gọi hàm số học hàm lý thuyết-số Chương giới thiệu chung hàm số học với luật quan trọng việc học tập tính chia hết số nguyên phân bố số nguyên tố Tiểu luận thảo luận hàm nhân Dirichlet, khái niệm giúp làm rõ tương giao giá trị hàm số học Chúng ta bắt đầu với hai khái niệm quan trọng, Hàm Mobius n hàm thương Euler n Hàm Mobius n Định nghĩa Hàm Mobius n định nghĩa sau: 1 ; Nếu n , ta viết n p11 p2 pk k Khi k n 1 1 k n trường hợp lại Ghi nhớ n chi n có ước phương lớn Đây bảng ngắn gia trị số n n 10 n -1 -1 -1 -1 0 Hàm Mobius làm nảy sinh nhiều vấn đề khác lý thuyết số Một tính chất cơng thức đơn giản đáng ý tổng ước d |n d , mở rộng ước nguyên dương n Trong công thức này, x ký hiệu cho số nguyên x Định lý Nếu n có 1 n n 1 d n 0 d |n CHỨNG MINH Công thức rõ ràng n Giả sử, n ta viết n p11 p2 pk k Trong tổng d |n d số hạng khác không d ước n tích số nguyên tố phân biệt Do d |n d 1 p1 pk p1 p2 pk 1 pk p1 p2 pk k k Ck1 1 Ck2 1 Ckk 1 1 1 Hàm thương Euler n Định nghĩa Nếu n hàm thương Euler định nghĩa cho số lượng số nguyên dương nhỏ n mà nguyên tố với n; n n '1 (1) k 1 Trong dấu ' ngụ ý tổng chạy số k nguyên tố với n Dưới bảng giá trị vài giá trị n n 10 n 1 2 6 Giống trường hợp n ta có công thức đơn giản tổng ước Định lý Nếu n có d |n d |n d d n CHỨNG MINH Cho S tập 1, 2, , n Chúng ta phân chia số nguyên S thành tập rời sau Với ước d n, cho A d k : k , n d ,1 k n Nghĩa A d chứa phần tử S mà có ước chung lớn d với n Các tập A d thiết lập tập phân hoạch rời mà kết hợp lại thành S Vì f d ký hiệu số lượng số nguyên A d có: (2) f d n d |n Nhưng k , n d k / d , n / d , k n k / d n / d Vì thế, cho q k / d , có tương ứng 1-1 phần tử A d số nguyên q thỏa mãn q n / d , q, n / d Số số q n / d Do f d n / d (2) trở thành n / d n d |n d n Nhưng điều tương đương với khẳng định d chạy khắp ước n d |n n / d Điều hoàn thành chứng minh Mối liên hệ kết nối Hàm thương Euler có quan hệ vơi hàm Mobius thông qua công thức sau: Định lý Nếu n có n d d |n n d CHỨNG MINH Từ tổng (1) định nghĩa nên n viết lại dạng sau , k 1 n, k n n Trong k chạy khắp số nguyên n Bây sử dụng Định lý với n thay n, k ta thu n n n k 1 d | n , k d d k 1 d |n d |k Với ước cố định d n cộng lại tất các số k phạm vi k n bội số d Nếu viết k qd k n tương đương với q n / d Do tổng n viết sau n/ d n/d n d d d d |n q 1 d |n q 1 d |n n d Định lý chứng minh Cơng thức tích n Tổng n định lý biểu diễn tích mở rộng ước nguyên tố phân biệt n 1 Định lý Với n ta có n n 1 p p|n CHỨNG MINH Với n , tích rỗng khơng có số ngun tố ước Trong trường hợp hiểu tích cho giá trị Giả sử n cho p1 , p2 , , pr ước nguyên phân biệt n Tích viết lại sau (4) r 1 1 p i 1 pi p|n r 1 1 1 pi pi p j pi p j pk p1 p2 pr Ở vế phải, số hạng 1 p p i j pk hiểu coi tất tích pi p j pk ba ước phân biệt n lấy lần Ghi nhớ số hạng (4) dạng 1 / d d ước n với hay tích số nguyên tố phân biệt Hệ số 1 xác d Từ việc d nên d chia hết cho bình phương số nguyên tố pi xem tổng (4) xác sau d d d |n Định lý chứng minh Nhiều tính chất n dễ dàng suy từ dạng tích Một số chúng đưa tròn định lý sau Định lý Hàm thương Euler có tính chất sau: a) p p p 1 với số nguyên tố p b) mn m n d d , d m, n c) mn m n d d m, n d) a | b suy a | b e) n số chẵn với n Hơn nữa, n có r ước nguyên tố lẻ phân biệt, 2r | n CHỨNG MINH Phần a) có cho n p (3) Để chứng minh phần b) có n n 1 1 p p|n Kế tiếp ý ước nguyên tố mn ước nguyên tố m n, số nguyên tố mà chia hết cho m lẫn n nên chia hết cho m, n Do mn mn 1 1 p p|mn 1 1 1 p 1 p p|m p|n 1 1 p p| m , n m n m n d , d Điều cho ta phần b) Phần c) trường hợp đặc biệt b) Tiếp theo suy d) từ b) Do a|b có b ac c b Nếu c b a phần d) thõa mãn cách tầm thường vây, giả sử c b Từ b) ta có (5) b ac a c c d d a d d Trong d a, c Bây theo kết suy từ việc quy nạp theo b Với b điều tầm thường Giả sử, sau d) với số nguyên b Tức với c thỏa mãn d | c từ việc d | c Do vế phải (5) hàm nhân a có nghĩa a | b Điều chứng minh d) Bây ta chứng minh e) Nếu n 2 , , phần a) chứng tở n chẵn Nếu có ước nguyên tố lẻ ta viết n n. p|n p 1 n p 1 p 1 c n p p|n p p|n p |n Trong c n số ngun Tích c n số chẵn nên n chẵn Hơn nữa, số nguyên tố lẻ p góp nhân tử vào tích này, nên 2r | n n có n có r nước nguyên tố lẻ phân biệt Tích Dirichlet hàm số học Trong Định lý chứng minh n d d |n n d Trong tổng bên phải loại tìm thấy thường xuyên lý thuyết số Các tổng có dạng n f d g d d |n Trong f g hàm số học, điều có ý nghĩa quan trọng việc học tập số tính chất tổng có điểm chung Chúng ta sau tìm thấy tổng theo kiểu nảy sinh cách tự nhiên lý thuyết chuỗi Dirichlet Có nhiều kết việc giải tổng dạng tính nhân hàm số học, điều giới thiệu E.T Bell [4] năm 1915 Định nghĩa Nếu f g hai hàm số học, định nghĩa tích Dirichlet chúng (hay tích chập Dirichlet) hàm số học h định nghĩa phương trình n h n f d g d d |n Ghi Chúng ta viết f*g cho h (f*g)(n) cho h(n) Ký hiệu N sử dụng cho hàm nhân với N(n)=n với n Trong ghi này, Định lý phát biểu dạng *N Trong định lý miêu tả tính chất đại số hàm nhân Dirichlet Định lý Tích Dirichlet có tính giao hoán kết hợp Nghĩa với hàm số học f, g, k ta có f * g g * f (luật giao hoán) f * g *k f * g * k (luật kết hợp) CHỨNG MINH Đầu tiên nhớ định nghĩa f * g diễn tả sau: f * g n f a g b a b n Trong a b chạy khắp ước nguyên dương n Điều làm cho tính nhân giao hốn tự làm sáng tỏ Để chứng minh tính kết hợp cho A g * k xét đến f * A f * g * k Ta có f * A n f a A d f a g b k c f a g b k c a d n a d n bc d abc n Một cách tương tự, đặt B f * g xét B * k ta có kết cho B * k n Do f * A B*k Bây ta xem xét phần tử đồng hàm nhân Định nghĩa Hàm nhân I cho 1 n I n n 0 n gọi hàm đồng Định lý Với hàm f ta có I * f f * I f CHỨNG MINH Chúng ta có n d f d f n d d |n n f * I n f d I d |n d / n d n Công thức nghịch đảo Dirichlet nghịch đảo Mobius Định lý Nếu f hàm nhân với f 1 có hàm nhân f 1 gọi nghịch đảo Dirichlet f, cho f * f 1 f 1 * f I Hơn nữa, f 1 cho dạng đệ quy sau f 1 1 , f 1 f 1 n 1 f n d |n n f f 1 d với n d d n CHỨNG MINH Cho hàm f, chứng minh f * f n I n có phép 1 giải để tìm f 1 n Với n phải giải phương trình f * f 1 I 1 1 Tương đương với f 1 f 1 1 I 1 Do f 1 nên có phép giải, đặt tên f 1 1 f 1 Bây ta giá trị hàm số f 1 k định nghĩa cách với k < n Thì sau phải giải phương trình f * f 1 n I n hay n f d f d 1 d |n n Điều viết lại sau f 1 f 1 n f f 1 d d d |n d n Nếu tìm giá trị f 1 d với ước d < n, có giá trị f 1 n f 1 n 1 f 1 d |n n f f 1 d d d n Do f 1 Điều cho tồn tính f 1 theo quy nạp Ghi Chúng ta có f * g 1 f 1 g 1 Do đó, f 1 g 1 f * g 1 Mặt khác, theo định lý 6, cho ta biết ngôn ngữ lý thuyết nhóm, tập tất hàm số học f với f 1 có dạng nhóm aben với phép toán *, phần tử đơn vị hàm số học I Người đọc dễ dàng kiểm tra f *g 1 f 1 * g 1 f 1 g 1 Định nghĩa Chúng ta định nghĩa hàm số học khả nghịch u hàm số học mà u n với n Định lý khẳng định lại d |n d I n Trong ký hiệu hàm nhân Dirichlet trở thành *u I Vậy u trở thành nghịch đảo Tính chất đơn giản giống hàm Mobius, với tính kết hợp hàm nhân Dirichlet, cho chứng minh đơn giản định lý Định lý Công thức Mobius nghịch đảo Phương trình (6) f n g d d |n suy (7) n g n f d d d |n Ngược lại, (7) suy (6) CHỨNG MINH Phương trình (6) khẳng định f g * u Nhân hai vế cho cho ta f * g * u * g * u * g * I g , với (7) Ngược lại, nhân phương trình f * g cho ta (6) Công thức nghịch đảo Mobius vừa minh họa cặp công thức định lý n n d , n d d d |n d |n Hàm Mangoldt n Chúng giới thiệu hàm Mangoldt n với luật trung tâm phân bố số nguyên tố Định nghĩa Với số nguyên n định nghĩa log p n p m n 0 10 Định nghĩa Chúng ta định nghĩa 1 , n p11 pk k định nghĩa 1 k n 1 Định nghĩa chứng tỏ hàm nhân tính hồn tồn Định lý miêu tả tổng ước Định lý 19 Với n , có 1 n số phương trường hợp khác d 0 d |n Vì thế, 1 n n với n CHỨNG MINH Cho g n d |n d Khi g hàm nhân tính, từ định nghĩa g n cần tính tốn g p với lũy thừa số nguyên tố Chúng ta có g p d p p p d| p 0 1 1 a số lẻ a số chẵn k k Do n i 1 pii có g n i 1 g pii Nếu số mũ i lẻ g pi i nên g n Nếu tất số mũ i chẵn g pi i với i g n Điều chứng tỏ g n n số phương, g n vào trường hợp khác Vì thế, 1 n n n n n 13 Hàm ước số n Định nghĩa Với số thực hay phức số n định nghĩa n d d |n tống lũy thừa bậc ước số n Hàm số định nghĩa gọi hàm ước số Chúng hàm nhân tính u * N , tích Dirichlet hai hàm nhân tính Khi 0, n số ước n; ký hiệu d n Khi 1, n tổng ước n; ký hiệu n Do hàm nhân tính nên có 16 p1 pk p p k 1 k k Để tính p a ta ý đến ước p a 1, p, p , , p a p a 1 p Do p a 1 p p 2 p a a 1 Nghịch đảo Dirichlet n suy tổ hợp tuyến tính lũy thừa bậc ước n Định lý 20 Với n có n 1 n d d d d |n CHỨNG MINH Do N * u N hàm nhân tính hồn tồn nên ta có 1 N * u 1 N * u 14 Tổng quát phép nhân chập Trong suốt chương F ký hiệu cho hàm số thực hay phức định nghĩa tập số nguyên dương 0; cho F x với x Các tổng dạng x n F n n x xuất thường xuyên lý thuyết số Ở hàm số học Tổng định nghĩa nên hàm số học G 0; mà loại trừ x Chúng ta ký hiệu G F Vậy x n F x n F n x Nếu F x với giá trị x không nguyên, hạn chế F lên tập số nguyên hàm số học tìm thấy F m * F m với số ngun m nên phép tốn xem tổng quát hóa phép nhân chập Dirichet * Phép tốn nói chung khơng giao hốn lẫn kết hợp Tuy nhiên định lý đáp ứng thay hữu dụng cho luật kết hợp 17 Định lý 15 Tính kết hợp đổi * Với hàm số học , ta có F * F (9) CHỨNG MINH Với x ta có x x F x n m F mn n m F mn n x m x / n mn x k x x n F * k F n k kx k k x n| k * F x Định lý chứng minh Kế tiếp ta ghi nhớ hàm đơn vị I n 1/ n phép nhân chập Dirichlet phần từ đơn vị trái phép toán Có nghĩa ta có 1 x F F x n x n n I F x Bây sử dụng việc với tính kết hợp để chứng minh công thức nghịch đảo sau Định lý 16 Cơng thức nghịch đảo tổng qt Nếu có nghịch đảo Dirichlet 1 , phương trình x G x n F n n x (10) Kéo theo x F x 1 n G n n x (11) Ngược lại, (11) kéo theo (10) CHỨNG MINH Nếu G F 1 G 1 F 1 * F I F F Vậy (10) kéo theo (11) Điều ngược lại chứng minh tương tự Trường họp đặt biệt sau phần quan trọng Định lý 17 Công thức nghịch đảo Mobius tổng qt Nếu hàm nhân tính hồn tồn ta có x x G x n F F x n n G n n n x n x CHỨNG MINH Trong trường hợp 1 n n n 18 15 Chuỗi lũy thừa hình thức Trong giải tích chuỗi vơ hạn có dạng (12) a n x n a a 1 x a x a n x n n 0 gọi chuỗi lũy thừa x Cả x hệ số a n số thực phức Với chuỗi lũy thừa tương ứng với bán kính hội tụ r cho chuỗi hội tụ tuyệt đối x r phân kỳ x r (Bán kính r ) Trong phần xem chuỗi lũy thừa từ góc nhìn khác Chúng ta gọi chúng chuỗi lũy thừa hình thức để phân biệt chúng với chuỗi lũy thừa hình thức giải tích Trong lý thuyết chuỗi lũy thừa hình thức x khơng gán cho trị số, câu hỏi hội tụ hay phân kỳ không quan tâm đến Điều cần quan tâm đãy hệ số a , a 1 , , a n , (13) Những điều mà làm với chuỗi lũy thừa hình thức làm việc nghiên cứu dãy hệ số véc tơ vô hạn chiều với thành phần a , a 1 , Nhưng với mục đích thuận tiện cho việc thể số hạng hệ số chuỗi lũy thừa giống (12) ác phần tử vec tơ (13) Ký hiệu x n phương cách đơn giản để vị trí hệ số a n lũy thừa bậc n Hệ số a gọi hệ số không đổi chuỗi Chúng ta làm việc với chuỗi lũy thừa hình thức giống chúng chuỗi lũy thừa hội tụ Nếu A x B x hai chuỗi lũy thừa hình thức, tức A x a n x n B x b n x n , n0 n0 Chúng ta định nghĩa: Sự nhau: A x B x nghĩa a n b n với n Tổng: A x B x n 0 a n b n x n Tích: A x B x n 0 c n x n n (14) c n a k b n k k 0 19 Dãy c n định nghĩa (14) gọi tích Cauchy dãy a n b n Người đọc dễ dàng kiểm tra lại hai phép toán thỏa mãn luật giao hoán kết hợp, phép nhân có tính phân phối với phép cộng Vành có phần tử khơng với phép cộng mà ký hiệu 0, a n x n , a n với n , n 0 phần tử đơn vị với phép nhân mà ta ký hiệu 1, a n x n , a a n với n , n 0 Một chuỗi lũy thừa hình thức gọi đa thức hình thức hệ số từ vị trí trở Ứng với chuỗi lũy thừa hình thức A x n 0 a n x n có số hạng khơng đổi a có xác định chuỗi lũy thừa B x n 0 b n x n cho A x B x Hệ số xác định cách giải hệ phương trình vơ hạng sau: a 0 b 0 a b 1 a 1 b a b a 1 b 1 a b kết cho b , b 1 , b , Chuỗi B x gọi nghịch đảo A x ký hiệu A x 1 hay A x Chuỗi đặc biệt dạng A x an xn n 1 Được gọi chuỗi hình học Ở a số thực hay phức tùy ý Nghịch đảo đa thức hình thức B x ax Bằng cách viết khác ta có an xn ax n 1 20 16 Chuỗi Bell hàm số học E T Bell sử dụng chuỗi lũy thùa hình thức để tìm hiểu tính chất hàm số học nhân tính Định nghĩa Cho hàm số học f số nguyên tố p, ký hiệu f p x cho chuỗi lũy thừa hình thức f p x f p n x n n 0 Và gọi chuỗi Bell hàm f môđun p Chuỗi Bell đặc biệt hữu dụng f hàm nhân tính Định lý 24 Định lý tính Cho f g hàm nhân tính Thì f g f p x g p x với số nguyên p CHỨNG MINH Nếu f g f p x g p x với số nguyên p n , nên f p x g p x Ngược lại, f p x g p x với p f p n g p n với n Do f g hàm nhân tính lũy thừa số nguyên tố nên chúng số nguyên dương, nên f g Dễ dàng định nghĩa chuỗi Bell số hàm nhân giới thiệu phần đầu chương VÍ DỤ Hàm Mobius Do p 1 p n với n , có p x x VÍ DỤ Hàm thương Do p n p n p n1 với n 1, có p x 1 p p n n 1 n 1 x p x n n 1 1 x p n x n n 1 n n x p n x n n 1 1 x px VÍ DỤ Hàm nhân tính hồn tồn Nếu f hàm nhân tính hồn tồn f p n f p n với n nên chuỗi Bell f p x chuỗi hình học, n f p x f p xn n 1 1 f p x Đặc biệt có chuỗi Bell sau hàm đơn vị I , phần tử khả nghịch u, hàm lũy thừa N hàm Liouville 21 I p x u p x xn n 0 N p x p n x n n p n p x 1 x n n 0 1 p x 1 x 17 Chuỗi Bell phép nhân Dirichlet Định lý liên quan phép nhân chuỗi Bell phép nhân Dirichlet Định lý 25 Với hai hàm số học f g, cho h f * g Khi với số nguyên tố p ta có hp x f p x g p x CHỨNG MINH Do ước p n 1, p, p , , p n ta có pn n h p n f d g f p k g p nk d k 0 d | pn Điều hồn thành chứng minh tổng cuối tích Cauchy dãy f p n g p n VÍ DỤ Do n 1 n chuỗi Bell mô đun p p2 x p x 1 x VÍ DỤ Do N * u nên chuỗi Bell mô đun p p x N p x u p x 1 p x x p x p x VÍ DỤ Đây ví dụ minh họa cách mà chuỗi Bell sử dụng để khám phá đặc tính liên quan đến hàm số học Cho f n 2v n , Trong v 1 v n k n p1a1 p2a2 pkak Khi f hàm nhân tính chuỗi Bell mơ đun p n 1 pn f p x 1 xn xn n 1 22 2x x 1 x 1 x Do f p x p2 x u p x Điều kéo theo f * u , hay 2 n d d |n 18 Đạo hàm hàm số học Định nghĩa Với hàm số học f ta định nghĩa đạo hàm f ' hàm số học cho f ' n f n log n với n VÍ DỤ Do I n log n với n nên ta có I ' Do u n với n nên ta có u ' n log n Do đó, cơng thức d |n d log n viết sau *u u ' (15) Khái niệm đạo hàm có nhiều tính chất đạo hàm thông thương mà thảo luận giải tích Lấy ví dụ, luật thơng thường lấy đạo hàm tổng hay tích giữ lại tích tích Dirichlet Định lý 26 Nếu f g hàm số học có: (a) f g' f ' g ' (b) f * g' f '* g f * g ' (c) f ' f '* f * f 1 1 , với điều kiện f 1 CHỨNG MINH Chứng minh (a) có Hiển nhiên, ta hiểu f g hàm số f g n f n g n với n Để chứng minh (b) sử dụng đồng log n log d log n / d để viết n log n d f * g ' n f d g d |n n n n f d log dg f d g log d d |n d d d |n f '* g n f * g ' n Để chứng minh (c) áp dụng phần (b) với phương trình I ' , Nhớ I f * f 1 Điều cho ta 23 f * f 1 ' f '* f 1 f * f 1 ' Nên f * f 1 ' f '* f 1 Nhân với f 1 cho ta f ' f '* f * f 1 1 1 f '* f 1 * f 1 1 Do f 1 * f 1 f * f nên (c) chứng minh 19 Đồng thức Selberg Sử dụng khái niệm đạo hàm nhanh chóng suy cơng thức Selberg điều mà đôi lúc dùng điểm bắt đầu cho chứng minh định lý số nguyên tố Định lý 27 Đồng thức Selberg Với n có n n n log n d d log d d |n d d |n CHỨNG MINH Phương trình (15) khẳng định * u u ' Đạo hàm hai vế phương trình cho ta '* u * u ' u '' Hay, u ' * u '* u * * u u '' Bây ta nhân hai vế cho u 1 ' * u ''* Đây đòi hỏi đồng thức Bài tập Tìm tất số nguyên n cho (a) n n / (b) n 2n (c) n 12 Với khẳng định sau đưa chứng minh đưa ví dụ hữu hạn (a) Nếu m, n m , n (b) Nếu n hợp số n, n (c) Nếu hai số nguyên tố giống chia hết m n, n m m n 24 Chứng minh n 2d n d |n d Chứng minh n n / với n có ước nguyên tố phân biệt Định nghĩa 1 với n n số ước nguyên dương phân biệt n Cho f * chứng minh f n hoặc Chứng minh d n d |n Và 0 k d 1 d |n mk | n với m trường hợp khác Tổng cuối mở rộng tất ước d n mà lũy thừa bậc k chia hết n Cho p, d ký hiệu giá trị Mobius hàm số ƯCLN p d Chứng minh với số nguyên tố p ta có 1 d p, d d |n 0 n n p a , a trường hợp khác Chứng minh d log m d 0 d |n Nếu m n có nhiều m ước nguyên tố phân biệt [Gợi ý: Quy nạp] Nếu x số thực, x , cho x, n ký hiệu số số nguyên dương x mà nguyên tố với n n, n n Chứng minh x x, n d n d |n x n d , d x d |n Trong tập 10,11 12, d n số ước nguyên dương n 10 Chứng minh t |n t n d n /2 11 Chứng minh d n số lẻ n số phương 12 Chứng minh d t d |n d t t |n 25 13 Tích dạng cơng thức nghịch đảo Mobius Nếu f n với n a n số thực, a 1 , chứng minh g n f d a n / d b n / d f n g d d |n d |n Trong b a 1 , nghịch đảo Dirichlet a 14 Cho f x định nghĩa tất số hữu tỉ x x cho n k F n f , F * n n k 1 n k 1 k , n 1 k f n (a) Chứng minh F * F , ký hiệu tích Dirichlet F (b) Sử dụng (a) hay số ý khác để chứng minh n tổng nghiệm thứ n n e2 ik / n k 1 k , n 1 15 Cho k n ký hiệu tổng lũy thừa bậc k số n nguyên tố với n Ghi 0 n n Sử dụng tập 14 hay số ý khác để k d 1k nk dk d |n nk 16 17 Hàm thương Jordan J k hàm sinh hóa hàm thương Euler định nghĩa J k n nk 1 p k p| n k n (a) Chứng minh J k n d n k J k d d d |n d |n (b) Định nghĩa chuỗi Bell cho J k 18 Chứng minh số dạng 2a 1 2a 1 hoàn hảo 2a nguyên tố 19 Chứng minh n số chẵn hồn hảo n 2a 1 2a vói số a Điều khơng tồn số hồn hảo lẻ Chỉ biết khơng có số hồn hảo lẻ có ước ngun tố 26 20 Cho P n tích số nguyên dương mà n nguyên tố với n n Chứng minh P n n d! d d |n d n/d 21 Cho f n n n 1 Chứng minh f hàm nhân tính khơng nhân tính hồn tồn n 22 Chứng minh n d suy tổng quát hóa khái niệm liên d d |n quan n (Hơn tổng quát hóa được) 23 Chứng minh khẳng định sau đưa ví dụ đếm để làm chứng Nếu f hàm nhân tính F n d |n f d hàm nhân tính 24 Cho A x B x chuỗi lũy thừa hình thức Nếu tích A x B x chuỗi không, chứng minh có nhân tử Nói cách khác, vành chuỗi lũy thừa hình thức khơng có ước khơng 25 Giả sử f hàm nhân tính Chứng minh rằng: (a) f 1 n n f n với số số n khơng phương (b) f 1 p f p f p với số nguyên tố p 26 Giả sử f hàm nhân tính Chứng minh f nhân tính hoàn toàn f 1 p a với số nguyên tố p số nguyên a 27 (a) Nếu f hàm nhân tính hồn tồn, chứng minh f g h f g f h với hàm số học g h, f g ký hiệu cho tích thơng thường f g n f n g n (b) Nếu f hàm nhân tính quan hệ (a) giữ cho g h 1 , chứng minh f hàm nhân tính hồn tồn 28 (a) Nếu f hàm nhân tính hồn tồn, chứng minh f g 1 f g 1 với hàm số học g với g 1 (b) Nếu f hàm nhân tính quan hệ (a) giữ cho g 1 , chứng minh f hàm nhân tính hồn tồn 27 29 Chứng minh có hàm số học nhân tính g cho n n f k , n f d g d k 1 d |n với hàm số học f Ở k , n UCLN n k Sử dụng đồng thức để chứng minh n k, n k , n n k 1 30 Cho f hàm nhân tính cho g hàm số học Giả sử (a) f p n 1 f p f p n g p f p n 1 với số nguyên p n Chứng minh số nguyên p chuỗi Bell f có dạng (b) f p x 1 f p x g p x2 Ngược lại, chứng minh (b) suy (a) 31 (Tiếp tập 30.) Nếu g hàm nhân this hoàn toàn chứng minh khẳng định (a) tập 30 kéo theo mn g d f d , f m f n d | m , n tổng mở rộng tập ước UCLN m, n [Gợi ý: xét trường hợp đầu với m pa , m pb ] 32 Chứng minh m n mn d d d | m , n 33 Chứng minh hàm Liouville cho công thức n d n d |n 34 Bài tập miêu tả chứng minh thay cho Định lý 16 với khẳng định nghịch đảo Dirichlet hàm nhân tính nhân tính Giả sử g hàm nhân tính cho f g 1 (a) Chứng minh p ngun tố k có k f p k g p t f p k t t 1 28 (b) Cho h hàm nhân tính định nghĩa mà với f lũy thừa số nguyên tố Chứng minh h g với hàm đồng I lũy thừa số nguyên tố suy h g I Chứng tỏ f h nên f hàm nhân tính 35 Nếu f g hàm nhân tính a b số nguyên dương với a b , chứng minh hàm h cho n n h n f a g b d d d a |n hàm nhân tính Tổng mở rộng ước d n với d a chia hết n HÀM MOBIUS CẤP k Nếu k định nghĩa k , hàm Mobius cấp k, sau: k 1 , k n p k 1 | n với số nguyên tố p, r k n 1 n p1k prk pia , k , i i r k n trường hợp khác Nói cách khác, k n biến n chia hết lũy thừa bậc k số nguyên tố; mặt khác k n trừ phân tích nguyên tố n mà có chứa lũy thừa bậc k r xác r số nguyên tố phân biệt, trường hợp k n 1 Ghi nhớ 1 hàm Mobius thông thường Chứng minh tính chất hàm k miêu tả tập sau 36 Nếu k k n k n 37 Mỗi hàm k hàm nhân tính 38 Nếu k có n k d k n k 1 d k |n n k 1 d 39 Nếu k có k n d d k 1 |n 40 Với số nguyên tố p chuỗi Bell k cho x k x k 1 1 x 29 k p x Tài liệu tham khảo E Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978 [pages 18 and 31.] P Lax, Functional analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2002 [page 61.] Tom M Apostol, Introduction to Analytic, Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976 [p24-36] 30 ... toán học, thường quan tâm tới dãy số thực phức Trong lý thuyết số, dãy số gọi hàm số học Định nghĩa Một hàm số có giá trị thực phức định nghĩa số nguyên dương gọi hàm số học hàm lý thuyết -số Chương... kéo theo f * u , hay 2 n d d |n 18 Đạo hàm hàm số học Định nghĩa Với hàm số học f ta định nghĩa đạo hàm f ' hàm số học cho f ' n f n log n với n VÍ DỤ Do I n ... thiệu chung hàm số học với luật quan trọng việc học tập tính chia hết số nguyên phân bố số nguyên tố Tiểu luận thảo luận hàm nhân Dirichlet, khái niệm giúp làm rõ tương giao giá trị hàm số học Chúng