Tín hiệu hệ thống phép biến đổi fourier

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục Định nghĩa: Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian Continous Time Fourier Transform- CTFT xat được xác định bởi:  Thường được gọi

Bài 4:

Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục

 Định nghĩa: Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian (Continous Time Fourier

Transform- CTFT) xa(t) được xác định bởi:

 Thường được gọi là phổ của tín hiệu liên tục theo thời gian

 Công thức Euler:

 Với θ là số thực

 Biến đổi Fourier ngược của Xa(jΩ) được xác định bởi:

 Ω là số thực biểu diễn biến tần số góc liên tục theo thời gian (tính bằng radian)

 Đại lượng |Xa(jΩ)| được gọi là phổ cường độ của tín hiệu xa(t)

 Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời gian tồn tại nếu tín hiệu xa(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet

Điều kiện Dirichlet

a) Tín hiệu xa(t) có giá trị giới hạn và có số

thành phần giới hạn

b) Tín hiệu xa(t) thỏa mãn:

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

 Định nghĩa: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời

rạc (Dicrete Time Fourier Transform- DTFT)

X(ejω) được xác định bởi:

 Thông thường, X(ejω) là hàm phức của biến số thực ω và có thể được viết là:

Một số kiến thức toán học

 Tổng các số hạng của cấp số nhân:

Ví dụ

 DTFT của tín hiệu xung đơn vị δ(n) được xác định bởi:

Ví dụ

 Cho dãy:

Ví dụ

 DTFT của dãy trên:

 Khi

Các tính chất của DTFT

 DTFT X(ejω) của x(n) là hàm liên tục của biến

ω, tuần hoàn với chu kỳ 2π

 Vì ejω tuần hoàn với chu kỳ 2π nên khi thể hiện X(ejω) ta chỉ cần thể hiện với 0≤ω≤ 2π hoặc –π ≤ω≤ π

 X(ejω) là phổ của tín hiệu x(n)

 |X(ejω)| là phổ biên độ của tín hiệu x(n)

Tần số trong DTFT

 Tần số chuẩn hóa: f, 00.51 (Độc lập với giá trị tần số lấy mẫu fs)

 Tần số góc chuẩn hóa: ω, 0 π2 π (Độc lập với giá trị của fs)

 Tần số rời rạc: f, 0fs/2fs

 Tần số góc rời rạc: ω, 0 πfs2πfs

Điều kiện tồn tại DTFT

 Nếu:

 Thì:

 a.

 b

 c.

 Biến đổi Fourier ngược của tín hiệu rời rạc:

Một số tính chất cơ bản của DTFT

x(n) X(ejω)x(-n) X(e-jω)

Tuyến tính ag(n)+βh(n) aG(ejω)+ βH(ejω)

Dịch theo thời

gian g(n-n0) e-jωn

0G(ejω)

Tổng chập g(n)*h(n) G(ejω).H(ejω)

Bài tập

 Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:

Bài tập

 Biến đổi Fourier cho các tín hiệu sau:

Bài tập

 Nếu tín hiệu vào là:

 Thì đáp ứng của hệ thống là:

 Đặt:

 Ta có:

 Như vậy, đối với tín hiệu vào dạng ejωn , đáp ứng của hệ thống bằng tín hiệu vào nhân với hằng số phức H(ejω)

 H(ejω) được gọi là đáp ứng tần số của hệ

Ví dụ

 Bộ lọc trung bình M điểm có đáp ứng xung là:

 Đáp ứng tần số là:

Bộ lọc

 Một trong những ứng dụng của hệ thống LTI

là cho phép những thành phần có tần số nhất định trong tín hiệu vào và loại bỏ những

thành phần có tần số khác

 Những hệ thống như vậy được gọi là bộ lọc số

Ví dụ

 Cho một hệ thống LTI được mô tả bởi:

 Nếu ta cho tín hiệu vào là:

 Hệ thống là tuyến tính nên:

 Vì:

 Nên:

 Hệ thống như vậy được gọi là bộ lọc thông thấp

 Xác định đáp ứng tần số của các hệ thống LTI có mối quan hệ vào-ra như sau:

Biến đổi Fourier rời rạc (Discrete

Fourier Transform- DFT)

mẫu X(ejω) theo ω với 0≤ω<2π tại ωk = 2πk/N (0 ≤k≤N-1)

 Ta có:

 Tần số rời rạc được xác định bởi:

 Đặt:

 Ta có:

 Phép biến đổi ngược của Fourier rời rạc được xác định bởi:

Ví dụ

 Cho dãy sau:

 DFT N điểm của x(n):

Ví dụ

 Cho dãy có chiều dài N sau:

 DFT N điểm của y(n):

Biểu diễn DFT dưới dạng ma trận

 Công thức DFT

 Có thể được biểu diễn:

 Với

 DN là ma trận DFT kích thức NxN:

Tính chất của DFT

Bài tập

 Xác định DFT N điểm của dãy có chiều dài

N sau:

Bài tập

 Sử dụng ma trận DFT để tính DFT cho tín hiệu sau: x(n) = {0 1 2 3}

Bài tập

 Tính DFT N điểm cho các tín hiệu sau: