PHỔ KHỐI LƯỢNG TRONG LÝ THUYẾT DÂY

Hiện nay, trong vật lý học hiện đại, lý thuyết dây đang được xem như là một phương hướng triển vọng nhất hướng tới mục tiêu xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh, thống nhất các loại tương tác trong vũ trụ, bao gồm cả tương tác hấp dẫn. Khóa luận sẽ đi sâu phân tích phổ khối lượng trong lý thuyết dây nhằm chứng tỏ rằng, lý thuyết dây có thể mô tả hạt như là các dạng dao động khác nhau của một sợi dây, trong đó, có cả dạng dao động tương ứng với hạt graviton, lượng tử của trường hấp dẫn. Từ đó sẽ chứng tỏ rằng, các đặc trưng của hạt như khối lượng, spin sẽ không còn là tham số của lý thuyết mà có thể suy ra được từ lý thuyết. Như vậy, lý thuyết dây cơ bản hơn mọi lý thuyết hạt đã biết. Tuy nhiên, một vấn đề nảy sinh là sự xuất hiện hạt tachyon, một dạng hạt có bình phương khối lượng âm, trong quá trình phân tích phổ khối lượng ở cả dây boson lẫn siêu dây. Khóa luận sẽ giới thiệu một phương pháp khử tachyon đơn giản bằng việc cắt một phần phổ khối lượng của siêu dây, thông qua việc đưa vào toán tử chiếu GSO. Bằng việc yêu cầu trị riêng của toán tử GSO ứng với các trạng thái vật lý phải thỏa mãn điều kiện âm dương nhất định, ta sẽ loại bỏ bớt một phần các trạng thái của lý thuyết. Kết quả thu được không những lý thuyết không còn chứa tachyon mà còn có số boson và fermion ở cùng một mức khối lượng là như nhau. Đây là điều kiện cần để siêu đối xứng trong không thời gian được thỏa mãn.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA VẬT LÝ Đinh Quang Sáng PHỔ KHỐI LƯỢNG TRONG LÝ THUYẾT DÂY Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ quy Chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý toán Hệ đào tạo Cử nhân khoa học tài Cán hướng dẫn: TS Phạm Thúc Tuyền Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Phạm Thúc Tuyền, thầy nhiệt tình hướng dẫn thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận Tôi xin cảm ơn thầy, cô giáo Hệ đào tạo Cử nhân khoa học tài năng, Khoa Vật lý Bộ môn Vật lý lý thuyết Trường Đại học Khoa học tự nhiên ĐHQG Hà nội Các thầy cô dạy kiến thức bổ ích giúp đỡ nhiều tài liệu suốt trình học tập trường Tôi nhận giúp đỡ, ủng hộ nhiều người có gia đình, bạn bè Tôi xin cảm ơn tất Hà Nội, tháng năm 2012 Đinh Quang Sáng Mục lục Mở đầu Chương I Lý thuyết dây boson 1.1 Dây boson cổ điển 1.2 Lượng tử hóa dây boson 1.3 Đại số Virasoro 1.4 Phổ khối lượng dây boson 1.5 Chuẩn nón sáng Chương II Lý thuyết siêu dây 2.1 Siêu đối xứng 2.2 Siêu dây cổ điển 2.3 Lượng tử hóa siêu dây 2.4 Siêu đại số Virasoro 2.5 Phổ khối lượng siêu dây 2.6 Phân tích phổ khối lượng siêu dây 2.7 Toán tử chiếu GSO 4 11 13 18 18 22 24 25 28 31 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Từ thực nghiệm vật lý cho hạt vi mô liên kết với thông qua bốn loại lực bản: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ tương tác hấp dẫn Bất kỳ tượng vật lý xuất tự nhiên, dù phức tạp đến bao nhiêu, giải thích sở bốn loại tương tác Xây dựng lý thuyết thống cho bốn tương tác nói ước mơ ấp ủ từ lâu nhà vật lý Thống tương tác tảng giúp ta có nhìn toàn diện, sâu sắc chất tượng, mối quan hệ động lực, đồng thời từ đưa hàng loạt tiên đoán Trong lịch sử vật lý học, thời kỳ thăng hoa thống lý thuyết ,các quan niệm ,hoặc tìm mối liên hệ đối tượng mà đầu tưởng chừng khác Chẳng hạn thời gian dài, người tin rằng, điện từ hai tượng vật lý liên quan đến Mãi năm 1865, James Clerk Maxwell tìm hệ phương trình hoàn chỉnh mô tả mối quan hệ chúng điện trường từ trường thống thành trường gọi trường điện từ Một phát kiến quan trọng diễn vào khoảng 100 năm sau phát minh Maxwell Năm 1960, Weinberg-Salam đề xuất mô hình thống tương tác điện từ tương tác yếu với thành tương tác nhất, gọi tương tác điện yếu Lượng tử hóa lý thuyết cho ta lý thuyết thống tương tác điện yếu tầm vi mô Lý thuyết điện yếu lượng tử lại kết hợp với sắc động lưc học lượng tử (QCD, Quantum ChromoDynamics) tạo thành lý thuyết hoàn chỉnh thống ba loại tương tác: điện từ, yếu mạnh Đó mô hình tiêu chuẩn (SM, standard model), xây dựng nhóm đối xứng chuẩn SU (3) × SU (2) × U (1) Nhiều nhà vật lý tin mô hình tiêu chuẩn mô hình tiến gần đến lý thuyết hoàn chỉnh, thống loại tương tác thành loại tương tác Với niềm tin đó, nhiều nỗ lực đặt nhằm mục đích tích hợp trường hấp dẫn vào standard model nhằm tiến tới lý thuyết đại thống (GUT) Tuy nhiên nỗ lực vấp phải nhiều khó khăn nghiêm trọng Ta nhớ rằng, SM lý thuyết lượng tử lý thuyết tương đối tổng quát, lý thuyết mô tả hấp dẫn, lại lý thuyết cổ điển Rõ ràng, việc xây dưng lý thuyết tự tương thích có phần cổ điển phần lượng tử thực Và đó, người ta nghĩ đến việc tiến hành lượng tử hóa trường hấp dẫn Tuy nhiên, kết hợp lý thuyết tương lý thuyết lượng tử, người ta thấy không tương thích trụ cột vật lý đại gần không khắc phục Theo lý thuyết lượng tử, chân không vật lý tồn thăng giáng định, thăng giáng làm cho không thời gian không trơn tru Đặc biệt, thang khoảng cách vô bé (cỡ kích thước Plank) thăng giáng vô dội, làm cho không thời gian bị biến dạng, vặn xoắn kỳ dị Không thời gian bị biến dạng dội không phù hợp với hình học trơn tru lý thuyết tương đối Ngoài số khó khăn khác mặt tính toán phân kỳ khử phương pháp tái chuẩn hóa làm cho việc xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử thực Trên thực tế, người ta dùng standard model kèm với lý thuyết hấp dẫn để mô tả vũ trụ ngày nay, để nghiên cứu vũ trụ thời điểm gần Big Bang để nghiên cứu tính chất lỗ đen việc xây dựng lý thuyết lượng tử thống loại tương tác, bao gồm tương tác hấp dẫn tối cần thiết Một phương hướng xem có triển vọng để xây dựng lý thuyết đại thống lý thuyết dây Sự đời lý thuyết dây gắn liền với loạt phát quan trọng lý thuyết hạt Đặc biệt phải nói đến ý tưởng quan hệ đối ngẫu trình tán xạ hủy cặp, đóng góp quan trọng vào việc hình thành mô hình Veneziano, thành công vật lý hạt tương tác mạnh Liền sau đời mô hình Veneziano, người ta nhận thức vật lý hạt cần mô tả lý thuyết dây, hạt không xem hạt điểm mà sợi dây vô bé chuyển động không thời gian Khi chuyển động, dây quét nên siêu mặt không thời gian, gọi Nền tảng lý thuyết dây lý thuyết trường lượng tử mô tả động lực học dây Trong lý thuyết dây, dây vô bé dao động theo mode khác tương ứng với hạt khác nhau, có mode dao động ứng với hạt graviton, lượng tử trường hấp dẫn Do có loại dây mà mô tả tất hạt thông qua dao động dây, ta nói lý thuyết dây lý thuyết thống đích thực, ta dùng dây để mô tả tượng vật lý Chẳng hạn, xét phân rã beta, ta tưởng tượng có sợi dây dao động theo kiểu mà mô tả hạt α bị tách thành sợi dây khác lại dao động theo kiểu mô tả hạt β γ Xuất phát từ ý tưởng chủ đạo hấp dẫn có sức thuyết phục ấy, vài thập kỷ qua, lý thuyết dây có bước phát triển quan trọng, đó, cao trào "cách mạng dây" Cuộc "cách mạng dây" lần thứ diễn vào khoảng năm 1984-1986 lý thuyết dây có đủ khả bao hàm bốn tương tác vật chất, tất thành tựu vật lý học đại xuất lý thuyết dây cách tự nhiên Cuộc "cách mạng dây" lần thứ diễn vào khoảng năm 1994-1996 liên quan đến việc phát lý thuyết dây có liên hệ với thông qua phép biến đổi đối ngẫu, chúng hình ảnh khác lý thuyết - lý thuyết M (M-theory) mà đặc trưng lý thuyết bao hàm siêu hấp dẫn, không thời gian có 11 chiều dây ra, lý thuyết chứa membranes nhiều chiều đối tượng Tuy bước đầu hình thành, lý thuyết M có áp dụng hiệu quả, chẳng hạn việc nghiên cứu lý thuyết chuẩn siêu đối xứng tính chất lượng tử lỗ đen Đó lý thuyết đại thống lượng tử không thời gian 11 chiều bao gồm loại tương tác bản, đặc biệt miền lượng thấp cho lý thuyết tương tác hấp dẫn siêu đối xứng Như vậy, với tất ưu điểm kể trên, lý thuyết dây (rộng lý thuyết M) rõ ràng ứng cử viên sáng giá cho lý thuyết thống nhất, tự tương thích Trong khóa luận này, muốn trình bày hiểu biết lý thuyết dây khuôn khổ lượng tử hóa lần thứ Mục tiêu mà khóa luận theo đuổi chứng tỏ rằng, lý thuyết dây mô tả hạt dạng dao động khác sợi dây Từ chứng tỏ rằng, đặc trưng hạt khối lượng, spin không tham số lý thuyết mà suy từ lý thuyết Như vậy, lý thuyết dây lý thuyết hạt biết Tôi muốn chứng tỏ rằng, lý thuyết dây hoàn toàn diễn tả lý thuyết hấp dẫn Các công thức tính toán cách chi tiết Chương Lý thuyết dây boson 1.1 1.1.1 Dây boson cổ điển Mô tả dây boson Trước tiên, ta thử xét dây vật chất phân bố dọc theo đường thẳng với lực căng T không đổi sợi dây Vận tốc dao động ngang dây v⊥ bé so với c Thế đơn vị độ dài dây T, khối lượng nghỉ đơn vị dài dây (chọn hệ đơn vị c=1) Khi đó, động dây là: T v dl V = T dl , K = ⊥ Lagrangian L = K − V = − T (1 − 12 v⊥ )dl → − T (1 − v⊥ )dl Tác dụng có dạng: S= Ldt = −T dldτ (1.1) Với dτ = dt (1 − v⊥ ) thời gian riêng dây Tác dụng bất biến phép biến đổi Lorentz dldτ vi phân diện tích mặt chiều không gian Minkovski Trong lý thuyết dây boson, đối tượng dây có kích thước vô bé, dây dao động theo kiểu định mô tả vi hạt khác Khi chuyển động không thời gian, dây vạch nên siêu mặt gọi (world-sheet), tùy theo dây đóng hay mở mà có dạng "mặt cong" "mặt ống" Để dễ hình dung, ta xét có dạng mặt cong Ta tiến hành tham số hóa, tức "chia lưới" "vạch ngang" "vạch dọc" tương ứng với tham số τ σ xác định miền: −∞ ≤ τ ≤ +∞ 0≤σ≤π Ta hình dung τ thời gian riêng dây, σ tọa độ dài xác định điểm dây điểm xác định cặp tham số (τ ,σ), ứng với tọa độ không thời gian X µ Như ta mô tả điểm tọa độ X µ (τ, σ) hàm theo biến τ σ Ở ta thấy có tương tự với lý thuyết trường cổ điển không thời gian chiều Trong trường hợp này, τ ,σ đóng vai trò tọa độ không thời gian chiều, X µ (τ, σ) đóng vai trò D hàm trường vô hướng cổ điển (với D số chiều không thời gian lý thuyết dây, µ = 0, 1, , D − 1) Do đó, ta tiến hành khảo sát dây tương tự lý thuyết trường cổ điển Các bước tiến hành xác định Lagrangian thỏa mãn số tính chất cho tác dụng tương ứng thỏa mãn số đối xứng định, thay Lagrangian vào phương trình Euler-Lagrange ta có phương trình chuyển động dây, kết hợp với điều kiện biên ta giải nghiệm tường minh X µ dạng chuỗi Đồng thời từ tính đối xứng ta suy dòng bảo toàn dây tensơ xung lượng Vi phân diện tích mặt dldτ tác dụng (1.1) tổng quát hóa thành vi phân diện tích thế: Σµν = X µ X˙ ν − X ν X˙ µ Ở ta đưa vào ký hiệu X˙ µ ≡ ∂τ X µ X µ ≡ ∂σ X µ Ta có: µν µν Σ Σ = (X µ )2 (X˙ ν )2 − (X µ X˙ µ )2 (1.2) Tác dụng trở thành: S = −T dτ dσ ˙ − (X · X) ˙ (X )2 (X) (1.3) Tác dụng gọi tác dụng Nambu-Goto Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta thấy dây chuyển động cho diện tích mà quét không thời gian bé Ngoài tác dụng Nambu-Goto trên, người ta dùng tác dụng khác tương đương thuận tiện để mô tả dây gọi tác dụng Polyakov: S= 2π √ d2 λ −hhαβ ∂α X µ ∂β Xµ (1.4) Với hαβ tensơ metric thế, h = det(hαβ ), λα = (λ0 , λ1 ) = (τ, σ) Lagrangian tương ứng là: L= √ ( −hhαβ ∂α X µ ∂β Xµ ) 2π (1.5) Tác dụng Polyakov bất biến phép tái tham số hóa (định xứ), phép biến đổi Poincaré (toàn xứ) phép biến đổi bảo giác Weyl (định xứ) Phép tái tham số hóa có dạng: δX µ = ξ α ∂α X µ δhαβ = ξ γ ∂γ hαβ + ξ α ∂γ hγβ + ξ β ∂γ hαγ (1.6) (1.7) Trong đó, ξ α dịch chuyển vi phân Phép biến đổi Poincaré có dạng: δX µ = Lµν X ν + aµ δhαβ = (1.8) (1.9) Phép biến đổi bảo giác Weyl có dạng: δX µ = δhαβ = Λ(τ, σ)hαβ (1.10) (1.11) Từ bất biến tái tham số hóa bất biến bảo giác Weyl, ta chọn thành phần độc lập hαβ cho hαβ = η αβ = diag(1, −1) Với η αβ metric Minkovski chiều Ta nói ta làm việc với chuẩn bảo giác Khi tác dụng trở thành dạng: S= 2π dτ dσ(∂τ X µ ∂τ Xµ − ∂σ X µ ∂σ Xµ ) (1.12) Lagrangian tương ứng L= (∂τ X µ ∂τ Xµ − ∂σ X µ ∂σ Xµ ) 2π (1.13) Để ý trình gauge-fixing, ta chọn cố định giá trị cho tensơ metric hαβ = η αβ , lấy biến phân tác dụng để tìm phương trình chuyển động bị thiếu số hạng đóng góp lấy biến phân theo hαβ Ta tiến hành lấy biến phân tác dụng (1.4) theo metric h, từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta thu phương trình xem điều kiện ràng buộc kèm theo phương trình chuyển động Biến phân (1.4) theo hαβ ta được: δShαβ = 2π √ d2 λ −hδhαβ ∂α X µ ∂β Xµ − hαβ hcd ∂c X µ ∂d Xµ (1.14) Tác dụng tối thiểu đòi hỏi: ∂α X µ ∂β Xµ − hαβ hcd ∂c X µ ∂d Xµ = (1.15) Cho hαβ = η αβ ,với η αβ metric Minkovski chiều, để ý biểu thức tensơ xung lượng lý thuyết trường cổ điển: Tαβ ≡ π δL ∂β X µ − ηαβ L δ(∂ α X µ ) = ∂α X µ ∂β Xµ − ηαβ ∂ γ X µ ∂γ Xµ (1.16) ta thu điều kiện ràng buộc: Tαβ = ∂α X µ ∂β Xµ − ηαβ ∂ γ X µ ∂γ Xµ = (1.17) Do tensơ Tαβ đối xứng không vết nên ta có phương trình ứng với thành phần độc lập nó: 1.1.2 ˙ ˙ (X · X + X · X ) = = X˙ · X = T00 = (1.18) T01 (1.19) Phương trình chuyển động cho dây boson cổ điển Thay Lagrangian (1.13) vào phương trình Euler-Lagrange ta phương trình chuyển động dây: ∂α ∂ α X µ ≡ (∂τ2 − ∂σ2 )X µ = (1.20) Để biến phân tác dụng triệt tiêu, điều kiện phương trình Euler-Lagrange thỏa mãn ta phải đưa vào điều kiện biên cho số hạng tích phân siêu mặt biến phân tác dụng phải không Xét hai trường hợp dây mở dây đóng: Với dây mở ta có điều kiện biên: X µ ≡ ∂σ X µ = σ = 0, π (1.21) Giải phương trình (1.20) kết hợp với điều kiện biên (1.21) ta nghiệm dạng khai triển mode: X µ (λ) = xµ + pµ τ − i n∈Z\{0} µ inτ α e cos nσ n n (1.22) αnµ gọi dao động tử quỹ đạo ứng với mode kích thích cấp n Với dây đóng ta có điều kiện biên tuần hoàn: X µ (τ, σ + π) = X µ (τ, σ) (1.23) Giải phương trình (1.20) kết hợp với điều kiện biên (1.23) ta nghiệm dạng khai triển mode: X µ (λ) = xµ + pµ τ − i n∈Z\{0} 2inτ µ −2inσ e (αn e +α ˜ nµ e2inσ ) n αnµ dao động tử quỹ đạo ứng với "chuyển động phải" α ˜ nµ gọi dao động tử quỹ đạo ứng với "chuyển động trái" (1.24) Siêu dây mở : Lý thuyết siêu dây mở chia làm miền tương ứng với điều kiện biên: Điều kiện biên Ramond - ứng với miền R: ψ1µ (τ, 0) = ψ2µ (τ, 0) ψ1µ (τ, π) = ψ2µ (τ, π) (2.28) Nghiệm khai triển tương ứng là: ψ1µ (τ, σ) = √ dµn ein(τ −σ) n∈Z (2.29) ψ2µ (τ, σ) = √ dµn ein(τ +σ) n∈Z Điều kiện biên Neuveu-Schwarz - ứng với miền NS ψ1µ (τ, 0) = ψ2µ (τ, 0) ψ1µ (τ, π) = −ψ2µ (τ, π) (2.30) Nghiệm tương ứng ψ1µ (τ, σ) = √ bµr eir(τ −σ) r∈Z+ 12 (2.31) ψ2µ (τ, σ) = √ bµr eir(τ +σ) r∈Z+ 12 Siêu dây đóng : Với siêu dây đóng điều kiện biên tuần hoàn phản tuần hoàn Mỗi phần chuyển động trái chuyển động phải nhận khả năng, ta chia siêu dây đóng thành miền Miền NS-NS: điều kiện biên ψ1µ (τ, σ + π) = −ψ2µ (τ, σ) ψ1µ (τ, σ + π) = −ψ2µ (τ, σ) (2.32) nghiệm tương ứng ψ1µ (τ, σ) = bµr e2ir(τ −σ) r∈Z+ 12 (2.33) ˜bµ e2ir(τ +σ) r ψ2µ (τ, σ) = r∈Z+ 12 23 Miền NS-R: điều kiện biên ψ1µ (τ, σ + π) = −ψ2µ (τ, σ) ψ1µ (τ, σ + π) = ψ2µ (τ, σ) (2.34) nghiệm tương ứng ψ1µ (τ, σ) = bµr e2ir(τ −σ) r∈Z+ 12 (2.35) d˜µr e2in(τ +σ) ψ2µ (τ, σ) = n∈Z Miền R-NS: điều kiện biên ψ1µ (τ, σ + π) = ψ2µ (τ, σ) ψ1µ (τ, σ + π) = −ψ2µ (τ, σ) (2.36) nghiệm tương ứng ψ1µ (τ, σ) = bµr e2in(τ −σ) n∈Z (2.37) ˜bµ e2ir(τ +σ) r ψ2µ (τ, σ) = n∈Z+ 12 Miền R-R: điều kiện biên ψ1µ (τ, σ + π) = ψ2µ (τ, σ) ψ1µ (τ, σ + π) = ψ2µ (τ, σ) (2.38) nghiệm tương ứng ψ1µ (τ, σ) = dµr e2in(τ −σ) n∈Z (2.39) d˜µr e2in(τ +σ) ψ2µ (τ, σ) = n∈Z 2.3 Lượng tử hóa siêu dây Tiến hành lượng tử hóa tương tự trường hợp dây boson Các tọa độ fermion tuân theo hệ thức phản giao hoán tắc đồng τ sau: {ψAµ (τ, σ), ψBµ (τ, σ )} = −πη αβ δAB δ(σ − σ ) 24 (2.40) Từ đó, thay biểu thức khai triển mode tọa độ ψAµ (τ, σ) vào ta hệ thức phản giao hoán siêu giao động tử: Với dây mở: {bµs , bνr } = −η µν δs,−r {dµn , dνm } = −η µν δn,−m (2.41) {˜bµs , ˜bνr } = −η µν δs,−r {d˜µn , d˜νm } = −η µν δn,−m (2.42) Với dây đóng ta có thêm: Các hệ thức phản giao hoán siêu dao động tử khác Đặc biệt, để ý rằng, với mode toán tử dµn ta có: {dµ0 , dν0 } = −η µν (2.43) i dµ0 = √ Γµ (2.44) Nếu ta đặt (2.43) trở thành hệ thức phản giao hoán đại số Clifford {Γµ , Γν } = 2η µν (2.45) Do đó, ta thấy mode dao động tử d lập thành biểu diễn ma trận Dirac không thời gian D chiều 2.4 Siêu đại số Virasoro Tương tự làm dây boson, chuyển từ cổ điển sang lượng tử điều kiện ràng buộc Tαβ = 0, JαA = chuyển đổi cách đơn giản biến T, J thành toán tử tương ứng cho không Điều kiện mạnh dẫn đến không tương thích Thay vào đó, ta cho giá trị toán tử trạng thái vật lý phải không thấy phần sau Để thuận tiện cho tính toán, thay T J, ta làm việc với biến đổi Fourier chúng Xét hai trường hợp dây đóng dây mở: 2.4.1 Siêu dây mở Xét riêng thành phần tensơ xung lượng ứng với tọa độ fermion Ta có hệ số khai triển Fourier chúng: −inτ L(ψ) n ≡ − e π π (ψ) (ψ) dσ T00 cosnσ − iT01 sinnσ 25 (2.46) Từ biểu thức khai triển siêu tọa độ ta tính được:  µ  Với miền NS − s∈Z+1/2 sb−s bµ,n+s (ψ) Ln =   − k∈Z kdµ−k dµ,n+k Với miền R (2.47) Khi lượng tử hóa dao động tử trở thành toán tử không giao hoán Ta định nghĩa lại toán tử dạng tích chuẩn (normal-order): 1 µ + L(ψ) Ln ≡ L(X) : α−k αµ,n+k : − s : bµ−s bµ,n+s : miền NS n ≡ − n k∈Z s∈Z+1/2 (2.48) Ln ≡ L(X) + L(ψ) n n ≡ − 1 µ αµ,n+k : − : α−k k : dµ−k dµ,n+k : k∈Z k∈Z miền R (2.49) Tương tự thành phần siêu dòng bảo toàn, ta có hệ số khai triển Fourier siêu dòng: √ −isτ π Gs ≡ − dσ J01 eisσ + J02 e−isσ (2.50) e π Ta tính được: Gs = − µ α−k bµ,s+k miền NS (2.51) µ α−k dµ,n+k miền R (2.52) k∈Z Gn = − k∈Z Khi lượng tử hóa, toán tử không cần dùng đến tích chuẩn αnµ giao hoán với bµs dµr Sử dụng hệ thức phản giao hoán dao động tử tọa độ boson fermion (2.41), (2.42), ta chứng minh rằng: Trong miền NS, toán tử Ln , Gr lập thành siêu đại số Neveu-Schwarz: [Ln , Lm ] = (n − m)Ln+m + Dn(n2 − 1)δn,−m 1 δs,−r (2.53) {Gs , Gr } = 2Lr+s + D s2 − [Ln , Gs ] = ( n − s)Gn+s Trong miền R, toán tử Ln , Gn lập thành siêu đại số Ramond: [Ln , Lm ] = (n − m)Ln+m + Dn3 δn,−m {Gn , Gm } = 2Ln+m + Dn δn,−m (2.54) [Ln , Gm ] = ( n − m)Gn+m 26 2.4.2 Siêu dây đóng Cũng tương tự siêu dây mở, ta có toán tử: (L) Ln = L(R) n + Ln Gs = G(R) + G(L) s s (2.55) (2.56) Trong đó, ký hiệu R, L thành phần tương ứng với chuyển động phải trái Miền NS-NS L(R) n = − L(L) n 1 µ : α−k αµ,n+k : − k∈Z 1 µ α ˜ µ,n+k : − :α ˜ −k =− k∈Z s : bµ−s bµ,n+s : s∈Z+1/2 s : ˜bµ−s˜bµ,n+s : (2.57) s∈Z+1/2 µ bµ,s+k α−k G(R) =− s k∈Z G(L) s µ ˜ α ˜ −k bµ,s+k =− k∈Z Miền NS-R L(R) n = − L(L) n 1 µ : α−k αµ,n+k : − k∈Z s : bµ−s bµ,n+s : s∈Z+1/2 1 µ :α ˜ −k α ˜ µ,n+k : − k : d˜µ−k d˜µ,n+k : =− k∈Z k∈Z (2.58) µ α−k bµ,s+k G(R) =− s k∈Z G(L) n µ ˜ α ˜ −k bµ,n+k =− k∈Z Miền R-NS L(R) n = − L(L) n = − 1 µ αµ,n+k : − : α−k k : dµ−s dµ,n+s : k∈Z k∈Z 1 µ :α ˜ −k α ˜ µ,n+k : − k∈Z s : ˜bµ−s˜bµ,n+s : s∈Z+1/2 µ α−k dµ,n+k G(R) n = − k∈Z G(L) s µ ˜ α ˜ −k bµ,s+k =− k∈Z 27 (2.59) Miền R-R L(R) n = − L(L) n = − 1 µ : α−k αµ,n+k : − k : dµ−s dµ,n+s : k∈Z k∈Z 1 µ :α ˜ −k α ˜ µ,n+k : − k : d˜µ−k d˜µ,n+k : k∈Z k∈Z (2.60) µ α−k dµ,n+k G(R) n = − k∈Z G(L) n µ ˜ dµ,n+k α ˜ −k =− k∈Z Các hệ thức giao hoán, phản giao hoán toán tử suy từ hệ thức giao hoán phản giao hoán dao động tử (2.41), (2.42) 2.5 Phổ khối lượng siêu dây Chân không không gian Fock siêu dây trạng thái ký hiệu |0 cho với n>0, s ≥ 21 thì: αnµ |0 bµs |0 dµn |0 = = = miền NS miền R Các trạng thái kích thích tạo nên cách cho toán tử sinh tác động lên chân không: |φ(n1 np ,s1 sq ) (n1 np ,m1 mq ) |φ µ ν ∼ µ1 p q α−n bν1 · · · b−s · · · α−n |0 p −s1 q ∼ µ1 α−n µp · · · α−n dν1 p −m1 νq · · · d−m |0 q miền NS miền R Tương tự trường hợp dây boson, điều kiện ràng buộc chuyển từ cổ điển sang lượng tử đơn chuyển tensơ xung lượng siêu dòng thành toán tử cho đồng không, nghĩa tương đương với việc cho hệ số Fourier chúng (tức toán tử Ln , Gs , Gk ) không Thay vào đó, ta yêu cầu điều kiện sau phải thỏa mãn trạng thái vật lý: siêu dây mở Miền NS Gs |φ = Với Ln |φ (L0 − a)|φ = = Với 28 n>0 s≥ (2.61) (2.62) (2.63) Miền R Gk |φ Ln |φ (L0 − a)|φ = = = Với Với k≥0 n≥1 (2.64) (2.65) (2.66) Trong đó, a tham số Regg, xuất trình thay đổi thứ tự dao động tử toán tử L0 Người ta xác định a = 12 siêu dây NS a=0 siêu dây R Lưu ý phương trình tương ứng với toán tử G0 miền R không xuất tham số hiệu chỉnh phương trình L0 toán tử tạo thành (α d) giao hoán Còn miền NS điều hiển nhiên miền toán tử G0 siêu dây đóng Miền NS-NS ˜ n |φ = L Với n > ˜ − a)|φ = (L ˜ s |φ = G Gs |φ = Ln |φ = (L0 − a)|φ = Với s ≥ (2.67) (2.68) (2.69) Miền NS-R Gs |φ = Ln |φ = (L0 − a)|φ = Với s ≥ , k ≥ ˜ n |φ = L Với n > ˜ − a)|φ = (L ˜ k |φ = G (2.70) (2.71) (2.72) Miền R-NS Gk |φ = Ln |φ = (L0 − a)|φ = Với s ≥ , k ≥ ˜ Ln |φ = Với n > ˜ (L0 − a)|φ = ˜ s |φ = G (2.73) (2.74) (2.75) Miền R-R ˜ k |φ = G Với k ≥ ˜ n |φ = L Với n > ˜ (L0 − a)|φ = Gk |φ = Ln |φ = (L0 − a)|φ = Ta tìm phổ khối lượng siêu dây tương tự dây boson 29 (2.76) (2.77) (2.78) Xét siêu dây mở NS, thay biểu thức tường minh L0 vào điều kiện (2.63) ta = M2 |φ(n1 np , s1 sq ) p2 |φ(n1 np ,s1 sq ) ∞ ∞ sbµ−s bµ,s + a)|φ(n1 np , s1 sq ) µ αµ,k + α−k = −2( k=1 s=1/2 (2.79) Với trị riêng toán tử bình phương khối lượng là: q p (n1 np ,s1 sq ) M |φ = i=1 q i=1 p = si − a |φ(n1 np ,s1 sq ) ni + si ) − |φ(n1 np ,s1 sq ) ni + 2( i=1 i=1 (a = ) (2.80) Tương tự, với siêu dây mở R: p (n1 np ,m1 mq ) M |φ = q mi − a |φ(n1 np ,m1 mq ) ni + i=1 p = i=1 q ni + i=1 |φ(n1 np ,m1 mq ) mi (a = 0) i=1 (2.81) Với siêu dây đóng NS-NS: |φ(n1 np ,,s1 , ,sq ;m1 mk ,r1 , ,rl ) p m = −4 + 8( ∼ µ −m1 k k l q ni + i=1 si ) = λ µ1 p α−n bλ1 · · · b−sq q · · · · α−n p −s1 νk ˜σ1 ·˜ α ν1 · · · α b · · · ˜bσ−rl |0 ˜ −m −4 + 8( i=1 −r1 mi + i=1 l ri ) (2.82) (2.83) i=1 Với siêu dây đóng NS-R: |φ(n1 np ,,s1 , ,sq ;m1 mk ,r1 , ,rl ) µ λ µ1 p α−n · · · α−n bλ1 · · · b−sq q · p −s1 νk ·˜ αν1 · · · α ˜ −m d˜σ1 · · · d˜σ−rl |0 ∼ −m1 p m = −4 + 8( q ni + i=1 k si ) = 8( i=1 −r1 k l (2.84) l mi + i=1 ri ) (2.85) i=1 Với siêu dây đóng R-NS: |φ(n1 np ,,s1 , ,sq ;m1 mk ,r1 , ,rl ) µ λ µ1 p α−n · · · α−n dλ1 · · · d−sq q · p −s1 νk ˜σ1 ·˜ αν1 · · · α ˜ −m b · · · ˜bσ−rl |0 ∼ −m1 p m2 = 8( q ni + i=1 k k si ) −4 + 8( = i=1 l (2.86) l mi + i=1 30 −r1 ri ) i=1 (2.87) Với siêu dây đóng R-R: |φ(n1 np ,,s1 , ,sq ;m1 mk ,r1 , ,rl ) λ µ µ1 p α−n · · · α−n dλ1 · · · d−sq q · p −s1 νk d˜σ1 · · · d˜σ−rl |0 ˜ −m ·˜ α ν1 · · · α ∼ −m1 p q m = 8( ni + i=1 2.6 k k si ) = l (2.88) l 8( i=1 −r1 mi + i=1 ri ) (2.89) i=1 Phân tích phổ khối lượng siêu dây Ta làm việc với chuẩn nón sáng Tương trường hợp dây boson sau gauge fixing theo chuẩn bảo giác, ta đưa thêm điều kiện chuẩn nón sáng cho thành phần X + phụ thuộc vào τ mà không phụ thuộc vào σ Điều kiện kèm theo điều kiện ràng buộc cho phép ta loại bỏ thành phần tọa độ (+,-), phải làm việc với (D-2) thành phần tọa độ ngang độc lập Cũng tương tự vậy, trường hợp siêu dây ta đưa vào điều kiện chuẩn nón sáng cho tọa độ boson fermion: X + = x+ + pτ ψ+ = Từ điều kiện chuẩn nón sáng điều kiện ràng buộc ta suy có thành phần tọa độ ngang độc lập, thành phần tọa độ (+,-) biểu diễn theo tọa độ ngang này: α + = b+ = D−2 − αn = 2p+ i=1 b− = r 2p+ +∞ +∞ : i i α−k αn+k r : bi−r bin+r : :+ − r=−∞ k=−∞ aδn p+ D−2 +∞ i bi−s αr+s i=1 s=−∞ miền NS Miền R xét tương tự Trong chuẩn nón sáng biểu thức phổ khối lượng ta thu giống chuẩn bảo giác Hơn nữa, tương tự chuẩn nón sáng dây boson, điều kiện bất biến Lorentz trường hợp cho phép tính D=10, a = 12 với miền NS, a=0 với miền R Sau ta phân tích phổ khối lượng chuẩn nón sáng Miền NS Chân không siêu dây NS trạng thái không suy biến |0 toán tử hủy αni |0 N S = , bis |0 N S (n > 0, s > 0) 31 NS bị hủy (2.90) Biểu thức phổ khối lượng p q m =2 ni + i=1 −1 si (2.91) i=1 • Trạng thái không kích thích trường hợp ứng với tachyon có m2 = −1 < • Xét trạng thái kích thích bi− |0 NS, ứng với khối lượng m=0 Do chân không trường hợp vô hướng bi− toán tử vectơ thành phần không thời gian nên ta suy trạng thái kích thích mô tả hạt không khối lượng, biến đổi biểu diễn vectơ nhóm quay SO(8) Miền R Khác với chân không siêu dây NS, chân không miền R bị suy biến mode dao động toán tử d dµ0 giao hoán với toán tử bình phương khối lượng, điều có nghĩa tác động toán tử dµ0 lên trạng thái không làm thay đổi khối lượng Nói cách khác, toán tử dµ0 biến trạng thái chân không thành trạng thái chân không khác, tập hợp trạng thái chân không lập thành nhóm Mặt khác, ý hệ thức phản giao hoán toán tử dµ0 giống với hệ thức phản giao hoán đại số Clifford, sai khác hệ số, ta thấy tập hợp trạng thái chân không siêu dây R lập thành biểu diễn đại số Dirac không thời gian D=10 chiều, số chiều biểu diễn 32 chiều, spinơ tương ứng có 32 thành phần phức Mặt khác, áp dụng điều kiện thực Majorana điều kiện Weyl, kèm theo điều kiện spinơ phải thỏa mãn phương trình Dirac, spinơ giảm xuống có thành phần độc lập Vậy chân không siêu dây R mô tả hạt fermion thành phần Từ biểu thức phổ khối lượng p q ni + m =2 i=1 mi (2.92) i=1 ta suy khối lượng trạng thái chân không m=0, ứng với hạt fermion Ta thấy siêu dây R không chứa tachyon Các trạng thái kích thích tìm cách cho toán tử di−n tác động lên trạng thái chân không Vì toán tử vectơ không thời gian nên chúng tác động lên chân không miền R tạo nên trạng thái kích thích mô tả spinơ không thời gian i α−n 2.7 Toán tử chiếu GSO Đến đây, ta thấy lý thuyết siêu dây tồn khuyết điểm: 32 • Thứ nhất, trạng thái không kích thích siêu dây NS tachyon có bình phương khối lượng mang giá trị âm • Thứ hai, siêu đối xứng không thời gian không thỏa mãn siêu đối xứng đòi hỏi số boson fermion mức khối lượng phải nhau, mà điều không thỏa mãn lý thuyết ta Chẳng hạn không tồn fermion có khối lượng với hạt tachyon Do vậy, để khắc phục nhược điểm này, Gliozzi, Scherk Olive đề xuất phương pháp cắt phổ siêu dây cho trạng thái không kích thích siêu dây NS không tachyon mà thay vào trạng thái kích thích liền kế (tức boson không khối lượng bậc tự do) Bằng cách đó, siêu đối xứng không thời gian có hy vọng thỏa mãn Ta đưa vào định nghĩa toán tử chiếu G-chẵn lẻ sau: G ≡ (−1)FN S +1 ≡ (−1)( ∞ i i s=1/2 b−s bs )+1 Và G ≡ Γ11 (−1)FR ≡ Γ11 (−1) miền NS (2.93) miền R (2.94) ∞ i i n=1 )d−n dn Trong đó, dễ thấy FN S toán tử cho ta biết số dao động tử b, FR toán tử số dao động tử d Γ11 = Γ0 Γ9 , với Γ0 , , Γ9 ma trận Dirac không thời gian D=10 chiều Ngoài ra, ta quy ước spinơ Ψµ thỏa mãn Γ11 Ψµ = +Ψµ gọi spinơ xoắn phải (chirality dương), spinơ Ψµ thỏa mãn Γ11 Ψµ = −Ψµ gọi spinơ xoắn trái (chirality âm) Một điều kiện ràng buộc mới, gọi điều kiện GSO, đưa thêm vào ta chấp nhận trạng thái vật lý ứng với trị riêng G phải thỏa mãn điều kiện định (âm dương) Ta xét miền: Miền NS Trạng thái vật lý |Ω phải thỏa mãn: G|Ω ≡ (−1)FN S +1 |Ω = +|Ω ⇒ trị riêng FN S , tức số dao động tử b tương ứng, phải số lẻ Ta thử xét vài trạng thái kích thích • Trạng thái kích thích thấp phải bi− |0 NS, tương ứng với mức khối lượng m = 0, mô tả trạng thái boson Như vậy, trạng thái tachyon (ứng với trạng thái có số dao động tử b không) đi, lý thuyết ta không chứa tachyon 33 • Trạng thái kích thích bi− |0 NS, i bj− |0 α−1 NS bi− bj− bk− |0 2 NS Số trang thái tương ứng 8, 64 56 trạng thái, tổng cộng 128 trạng thái boson Khối lượng tương ứng m2 = Miền R Trong miền R, điều kiện ràng buộc GSO giữ lại trạng thái vật lý có Gchẵn lẻ âm dương, điều phụ thuộc vào việc ta chọn trạng thái spinơ chân không miền R spinơ xoắn phải hay xoắn trái Việc lựa chọn hoàn toàn tùy ý Với dây đóng, lựa chọn dẫn đến lý thuyết dây khác nhau: dây loại IIB IIA Với dây đóng, ta chọn chân không miền R phần chuyển động trái chuyển động phải spinơ có chirality dấu (cùng xoắn trái xoắn phải) ta có lý thuyết dây loại IIB Ở ta quy ước chọn spinơ xoắn phải, ký hiệu |+ R Các trạng thái không khối lượng ứng với miền lý thuyết dây IIB là: |+ R ⊗ |+ R Miền R-R ˜bi |0 −1/2 NS ⊗ bj−1/2 |0 NS Miền NS-NS (2.95) ˜bi |0 −1/2 NS |+ R ⊗ |+ Miền NS-R R ⊗ bj−1/2 |0 NS Miền R-NS Do trạng thái miền NS boson thành phần trạng thái miền R spinơ thành phần nên lý thuyết dây IIB, miền miền chứa 64 trạng thái Ngược lại, ta chọn chân không miền R phần chuyển động trái chuyển động phải spinơ có chirality trái dấu (1 xoắn trái xoắn phải) ta có lý thuyết dây loại IIA Ở ta quy ước chọn chân không R ứng với phần chuyển động trái spinơ xoắn trái, chân không R ứng với phần chuyển động phải spinơ xoắn phải Các trạng thái không khối lượng ứng với miền lý thuyết dây IIA là: |− R ⊗ |+ R Miền R-R ˜bi |0 −1/2 NS ⊗ bj−1/2 |0 NS Miền NS-NS (2.96) ˜bi |0 −1/2 NS |− R ⊗ |+ Miền NS-R R ⊗ bj−1/2 |0 NS Miền R-NS Mỗi miền lý thuyết dây loại IIA chứa 64 trạng thái Ngoài lý thuyết dây IIA, IIB xét trên, ta có lý thuyết dây khác mà ta không xét tính phức tạp chúng Đó lý thuyết lai (heterotic) dây đóng, bao gồm phần chuyển động trái dây bosonic mở kết hợp với phần chuyển 34 động phải siêu dây mở, tương ứng với lý thuyết dây E8 × E8 SO(32) Ngoài có lý thuyết dây khác lý thuyết dây không định hướng (đóng mở) gọi lý thuyết dây loại I Như có tất lý thuyết siêu dây khác nhau: • Loại IIA • Loại IIB • Lai E8 × E8 • Lai SO(32) • Loại I Thông qua đối ngẫu, năm lý thuyết coi tương đương chúng hình ảnh khác lý thuyết dây nhất, lý thuyết M (M-theory) 35 Kết luận Như vậy, cách thay hạt điểm sợi dây, xây dựng lý thuyết lượng tử đủ khả mô tả bốn loại tương tác, kể tương tác hấp dẫn Trong lý thuyết dây đơn giản nhất, dây boson, ta diễn tả spin, khối lượng hạt phổ trạng thái kích thích, tồn hạt có đặc trưng giống graviton Như vậy, khối lượng spin tham số đầu vào lý thuyết mà suy khuôn khổ Những điểm yếu dây boson không - thời gian lớn , tồn tachyon không tồn fermion Khi mở rộng dây boson thành siêu dây việc đưa vào siêu đối xứng thế, ta có khả xây dựng lý thuyết dây với số chiều không - thời gian không lớn, , khử tachyon, diễn tả hạt boson lẫn hạt fermion Điểm yếu siêu dây cho phép tồn nhiều phương án lý thuyết dây, năm phương án Điều làm giảm vai trò lý thuyết Để tránh tính “đa trị” lý thuyết dây, người ta đưa vào khái niệm đối ngẫu, nhờ đó, năm lý thuyết dây coi đối ngẫu nhau, chúng dạng hiệu dụng lý thuyết lý thuyết M ( M-theory) 36 Tài liệu tham khảo [1] Đào Vọng Đức Các nguyên lý lý thuyết siêu dây lượng tử [2] Barton Zwiebach A first course in string theory [3] Gerald ’t Hooft Introduction to string theory [4] Green M.B, Schwarz J.H, Witten E Superstring theory [5] Polchinski J An introduction to the bosonic string [6] Polchinski J What is string theory [7] Wray K Introduction to string theory 37 [...]... thể hiện khả năng đoán nhận phong phú của lý thuyết dây Nó có thể diễn tả được spin, diễn tả được khối lượng và tiên đoán được sự tồn tại của những hạt đóng vai trò lượng tử của tương tác hấp dẫn 17 Chương 2 Lý thuyết siêu dây Như trong chương I ta đã thấy, lý thuyết dây boson còn tồn tại khá nhiều hạn chế, chẳng hạn, sự tồn tại các tachyon có bình phương khối lượng âm, và hơn hết là nó không mô tả được... miền NS Miền R xét tương tự Trong chuẩn nón sáng này thì các biểu thức phổ khối lượng ta thu được vẫn giống như trong chuẩn bảo giác Hơn nữa, tương tự như chuẩn nón sáng dây boson, điều kiện bất biến Lorentz trong trường hợp này cũng cho phép tính được D=10, a = 12 với miền NS, a=0 với miền R Sau đây ta phân tích phổ khối lượng trong chuẩn nón sáng Miền NS Chân không trong siêu dây NS là trạng thái không... D=26 và a=1 Như vây, trong chuẩn nón sáng, để lý thuyết là bất biến Lorentz thì số chiều không thời gian D=26 và tham số Regg a=1 Ta thử phân tích 1 vài bậc của phổ khối lượng Để đơn giản, trước hết ta xét trường hợp dây mở Với a=1, phổ khối lượng trở thành: p 2 ni − 1 m =2 (1.69) i=1 Trạng thái nền không kích thích ứng với p=0, không có dao động tử tác động, bình phương khối lượng tương ứng là m2... hạt có spin 2 và không khối lượng Hạt này hoàn toàn được đoán nhận là graviton Số hạng ở giữa là một vô hướng Nó được coi là diễn tả hạt dilaton Ngoặc móc thứ hai một tensơ hạng hai hoàn toàn phản xứng Nó sẽ diễn tả một hạt không khối lượng nào đó Việc tồn 16 tại hai trường không khối lượng đi kèm với graviton là một đặc trưng của lý thuyết dây Như vậy, cho dù thế nào, lý thuyết dây boson cũng vẫn thể... vốn suy ra từ sự bất biến đối với việc tái tham số hóa của hàm tác dụng T00 = T01 = 0 Trong lý thuyết cổ điển Tαβ = 0 trên mọi "quỹ đạo" thực của dây Tuy nhiên, trong lý thuyết dây lượng tử, Tαβ là các toán tử, do đó, nếu đặt ra yêu cầu Tαβ = 0, tác dụng của nó lên mọi vectơ trong không gian Fock, vật lý hoặc không vật lý, đều bằng không Đòi hỏi quá mức này chắc chắn sẽ dẫn đến một sự không tương thích... không mô tả được các hạt fermion, vốn là các hạt quan trọng diễn tả vật chất trong vũ trụ Do đó, yêu cầu đặt ra là phải cải tiến lý thuyết dây boson bằng cách đưa vào siêu đối xứng lá thế, lý thuyết dây tương ứng được gọi là lý thuyết siêu dây 2.1 Siêu đối xứng lá thế Ở phần dây boson, ta chỉ xét đến tọa độ không-thời gian của dây X µ (τ, σ) để mô tả được hạt boson mà không đả động gì đến các hạt fermion... p=q=0) sẽ tương ứng với mức khối lượng m2 = −2a đối với dây mở và m2 = −8a đối với dây đóng Người ta xác định được tham số Regge đối với dây boson a=1 Do đó, ta thấy rằng trạng thái nền trong lý thuyết dây boson có bình phương khối lượng bé hơn 0, các hạt tương ứng đươc gọi là tachyon Tìm cách loại bỏ tachyon là 1 mục tiêu quan trọng của lý thuyết dây 1.5 Chuẩn nón sáng Trước tiên ta đặt: σ+ = τ + σ ,... toán tử bình phương khối lượng: M2 = p2 = (2p+ p− − (pi )2 ) = 2(N − a) +∞ i αki α−k Trong đó, N = k=1 Xét trạng thái kích thích trong không gian Fock |φ(n1 np ) (ki =1, ,(D-2)), phổ khối lượng tương ứng: k p k1 |0 · · · α−n ∼ α−n p 1 p 2 ni − a m =2 (1.63) i=1 Ta thu đươc biểu thức phổ khối lượng tương tự như biểu thức (1.50) Điều kiện bất biến Lorentz Như đã thấy ở phần trước, khi lượng tử hóa hiệp... 2 k=−∞ (1.30) với dây mở Và Ln = Ln + L˜n ∞ 1 L˜n ≡ − α ˜µ α ˜ µ,n+k 2 k=−∞ −k 9 (1.31) với dây đóng 1 Trong đó, α0µ = pµ trong trường hợp dây mở, và α0µ = α ˜ 0µ = pµ trong trường hợp dây 2 đóng ˜ kµ là Ở trên ta xét trong trường hợp cổ điển, tức thứ tự của các hệ số αkµ và α tùy ý Nhưng khi lượng tử hóa, thứ tự không còn là tùy ý do các dao động tử quỹ đạo không còn là các đại lượng giao hoán nữa... tự như dây mở, ta có phương trình trị riêng của toán tử bình phương khối lượng trong trường hợp này là: p 2 (n1 np ,m1 mq ) M |φ q (n1 np ,m1 mq ) ni − a |φ = 8 i=1 mi − a |φ(n1 np ,m1 mq ) = 8 i=1 (1.56) Với điều kiện: p q ni = i=1 mi i=1 Biểu thức (1.56) mô tả phổ khối lượng dây boson đóng Từ (1.50) và (1.56) ta thấy, trạng thái nền không kích thích (ứng với p=q=0) sẽ tương ứng với mức khối lượng