2 Chương II Lý thuyết siêu dây
2.7 Toán tử chiếu GSO
• Thứ nhất, trạng thái nền không kích thích của siêu dây NS là 1 tachyon có bình phương khối lượng mang giá trị âm.
• Thứ hai, siêu đối xứng trong không thời gian không được thỏa mãn do siêu đối xứng đòi hỏi số boson và fermion ở cùng mức khối lượng phải bằng nhau, mà điều này không thỏa mãn ở lý thuyết của ta. Chẳng hạn như không tồn tại một fermion nào có cùng khối lượng với hạt tachyon.
Do vậy, để khắc phục các nhược điểm này, Gliozzi, Scherk và Olive đã đề xuất 1 phương pháp cắt phổ siêu dây sao cho trạng thái nền không kích thích của siêu dây NS không còn là tachyon nữa mà thay vào đó là trạng thái kích thích liền kế nó (tức là boson không khối lượng 8 bậc tự do). Bằng cách đó, siêu đối xứng không thời gian có hy vọng được thỏa mãn.
Ta đưa vào định nghĩa toán tử chiếu G-chẵn lẻ như sau:
G≡(−1)FN S+1 ≡(−1)(P∞s=1/2bi−sbis)+1 đối với miền NS (2.93) Và
G≡Γ11(−1)FR ≡Γ11(−1)P∞n=1)di
−ndi
n đối với miền R (2.94) Trong đó, dễ thấy FN S là toán tử cho ta biết số dao động tử b, FR là toán tử số dao động tử d.
Γ11= Γ0...Γ9, với Γ0, ...,Γ9 là các ma trận Dirac trong không thời gian D=10 chiều. Ngoài ra, ta quy ước các spinơ Ψµ thỏa mãn Γ11Ψµ = +Ψµ được gọi là spinơ xoắn phải (chirality dương), các spinơ Ψµ thỏa mãn Γ11Ψµ = −Ψµ được gọi là spinơ xoắn trái (chirality âm).
Một điều kiện ràng buộc mới, gọi là điều kiện GSO, được đưa thêm vào rằng ta chỉ chấp nhận các trạng thái vật lý ứng với trị riêng của G phải thỏa mãn một điều kiện nhất định (âm hoặc dương).
Ta xét lần lượt từng miền:
Miền NS
Trạng thái vật lý |Ωiphải thỏa mãn:
G|Ωi ≡(−1)FN S+1|Ωi= +|Ωi
⇒ trị riêng củaFN S, tức số dao động tử b tương ứng, phải là số lẻ. Ta thử xét 1 vài trạng thái kích thích.
• Trạng thái kích thích thấp nhất sẽ phải là bi −1
2
|0iN S, tương ứng với mức khối lượng m = 0, mô tả 8 trạng thái boson. Như vậy, trạng thái tachyon (ứng với trạng thái có số dao động tử b bằng không) đã mất đi, lý thuyết của ta đã không còn chứa tachyon nữa.
• Trạng thái kích thích tiếp theo sẽ là bi−3 2 |0iN S, αi−1bj−1 2 |0iN S và bi−1 2 bj−1 2 bk−1 2 |0iN S. Số trang thái tương ứng lần lượt là 8, 64 và 56 trạng thái, tổng cộng là 128 trạng thái boson. Khối lượng tương ứng làm2 = 2.
Miền R
Trong miền R, điều kiện ràng buộc GSO chỉ giữ lại các trạng thái vật lý có G- chẵn lẻ âm hoặc dương, điều này phụ thuộc vào việc ta chọn trạng thái spinơ chân không của miền R là spinơ xoắn phải hay xoắn trái. Việc lựa chọn này là hoàn toàn tùy ý. Với dây đóng, sự lựa chọn này sẽ dẫn đến 2 lý thuyết dây khác nhau: dây loại IIB hoặc IIA. Với dây đóng, nếu ta chọn chân không miền R của 2 phần chuyển động trái và chuyển động phải là các spinơ có chirality cùng dấu (cùng xoắn trái hoặc cùng xoắn phải) thì ta có lý thuyết dây loại IIB. Ở đây ta quy ước sẽ chọn spinơ xoắn phải, ký hiệu là|+iR. Các trạng thái không khối lượng ứng với 4 miền của lý thuyết dây IIB sẽ là: |+iR ⊗ |+iR Miền R-R ˜bi −1/2|0iN S ⊗ bj−1/2|0iN S Miền NS-NS ˜bi −1/2|0iN S ⊗ |+iR Miền NS-R |+iR ⊗ bj−1/2|0iN S Miền R-NS (2.95) Do trạng thái nền của miền NS là boson 8 thành phần và trạng thái nền của miền R là spinơ 8 thành phần nên trong lý thuyết dây IIB, mỗi miền trong 4 miền trên chứa 64 trạng thái.
Ngược lại, nếu ta chọn chân không miền R của 2 phần chuyển động trái và chuyển động phải là các spinơ có chirality trái dấu (1 xoắn trái và 1 xoắn phải) thì ta có lý thuyết dây loại IIA. Ở đây ta quy ước chọn chân không R ứng với phần chuyển động trái là spinơ xoắn trái, chân không R ứng với phần chuyển động phải là spinơ xoắn phải. Các trạng thái không khối lượng ứng với 4 miền của lý thuyết dây IIA sẽ là: |−iR ⊗ |+iR Miền R-R ˜bi −1/2|0iN S ⊗ bj−1/2|0iN S Miền NS-NS ˜bi −1/2|0iN S ⊗ |+iR Miền NS-R |−iR ⊗ bj−1/2|0iN S Miền R-NS (2.96) Mỗi miền của lý thuyết dây loại IIA cũng chứa 64 trạng thái.
Ngoài 2 lý thuyết dây IIA, IIB đã xét ở trên, ta còn có 3 lý thuyết dây khác mà ta không xét ở đây vì tính phức tạp của chúng. Đó là lý thuyết lai (heterotic) của dây đóng, bao gồm phần chuyển động trái của dây bosonic mở kết hợp với phần chuyển
động phải của siêu dây mở, tương ứng với 2 lý thuyết dây E8×E8 và SO(32). Ngoài ra còn có 1 lý thuyết dây khác là lý thuyết dây không định hướng (đóng hoặc mở) gọi là lý thuyết dây loại I. Như vậy có tất cả 5 lý thuyết siêu dây khác nhau:
• Loại IIA
• Loại IIB
• LaiE8×E8
• Lai SO(32)
• Loại I
Thông qua đối ngẫu, năm lý thuyết trên được coi là tương đương nhau và chúng là hình ảnh khác nhau của một lý thuyết dây duy nhất, đó là lý thuyết M (M-theory).
Kết luận
Như vậy, chỉ bằng cách thay hạt điểm bằng một sợi dây, chúng ta có thể xây dựng được những lý thuyết lượng tử đủ khả năng mô tả cả bốn loại tương tác, kể cả tương tác hấp dẫn.
Trong một lý thuyết dây đơn giản nhất, dây boson, ta đã có thể diễn tả được spin, khối lượng của hạt và nhất là trong phổ trạng thái kích thích, tồn tại hạt có những đặc trưng giống như graviton. Như vậy, khối lượng hoặc spin không phải là tham số đầu vào của lý thuyết mà suy được ra ngay trong khuôn khổ của nó. Những điểm yếu của dây boson là không - thời gian quá lớn , tồn tại tachyon và không tồn tại fermion.
Khi mở rộng dây boson thành siêu dây bằng việc đưa vào siêu đối xứng trên lá thế, ta có khả năng xây dựng được các lý thuyết dây với số chiều không - thời gian không quá lớn, , có thể khử tachyon, diễn tả được cả hạt boson lẫn hạt fermion. Điểm yếu của siêu dây là cho phép sự tồn tại của nhiều phương án của lý thuyết dây, năm phương án. Điều này làm giảm vai trò của một lý thuyết cơ bản.
Để tránh tính “đa trị” của lý thuyết dây, người ta đã đưa vào khái niệm đối ngẫu, nhờ đó, năm lý thuyết dây được coi là đối ngẫu nhau, và chúng sẽ là dạng hiệu dụng của một lý thuyết duy nhất là lý thuyết M ( M-theory).
Tài liệu tham khảo
[1] Đào Vọng Đức. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử. [2] Barton Zwiebach. A first course in string theory.
[3] Gerald ’t Hooft. Introduction to string theory.
[4] Green M.B, Schwarz J.H, Witten E. Superstring theory. [5] Polchinski J. An introduction to the bosonic string. [6] Polchinski J. What is string theory.
[7] Wray K. Introduction to string theory. ...