Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho một lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tương tác: mạnh, điện từ, yếu và hấp dẫn. Ban đầu nó vốn được đề xuất để mô tả tương tác mạnh giữa các hadron, trước khi Sắc động lực học lượng tử (Quantum ChromoDynamics, QCD) ra đời. Khi đã có QCD, lý thuyết dây được rất ít người quan tâm trong một thời gian khá dài. Tuy nhiên, khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất là, khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin 2, lý thuyết dây mới lại dược chú ý đến. Lý thuyết dây trong đó có siêu đối xứng trên lá thế, được gọi là lý thuyết dây siêu đối xứng, hay gọi tắt là siêu dây. Trong lý thuyết siêu dây, bên cạnh tọa độ boson , gọi là tọa độ chẵn, ta có thêm tọa độ fermion , spinơ hai thành phần Majorana (thực), gọi là tọa độ lẻ. Trường được thay bằng siêu trường, tức là hàm đối với cả tọa độ chẵn và lẻ. Do tính phản đối xứng, một siêu trường khi khai triển Taylor, chỉ chứa một số hữu hạn số hạng. Các số hạng này tương ứng với những trường cổ điển có định hướng khác nhau: trường vô hướng, trường vectơ, trường spinơ. Số chiều khả dĩ trong lý thuyết siêu dây là D=10. Các qua trình sinh hủy dây và chuyển hóa dây qua nhau được mô tả bằng cách lượng tử hóa dây lần thứ hai bằng phương pháp tích phân phiếm hàm và để làm điều đó chúng ta áp dụng hình thức luận BRST.
Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh MỞ ĐẦU Lý thuyết dây ứng cử viên cho lý thuyết thống tất bốn loại tương tác: mạnh, điện từ, yếu hấp dẫn Ban đầu vốn đề xuất để mô tả tương tác mạnh hadron, trước Sắc động lực học lượng tử (Quantum ChromoDynamics, QCD) đời Khi có QCD, lý thuyết dây người quan tâm thời gian dài Tuy nhiên, nhà vật lý gặp khó khăn việc lượng tử hóa trường hấp dẫn là, thấy phổ trạng thái dây, có trạng thái tương ứng với đặc trưng lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin 2, lý thuyết dây lại ý đến Trong lý thuyết dây, vai trò hạt điểm (không chiều) thay dây có kích thước cực nhỏ (một chiều) Đối với hạt điểm, thời gian trôi đi, vị trí vẽ đường không gian D chiều gọi “đường thế” (world line) Còn hạt dây, thời gian trôi đi, vẽ nên siêu mặt hai chiều đấy, gọi thế, (world sheet) Vì trường hợp đường thế, tọa độ điểm X , 1,2, , D , tham số hóa biến kiểu thời gian (đó thời gian riêng, không thiết phải tọa độ x ct ), cho nên, trường hợp thế, ta tham số hóa tọa độ X điểm cặp a , , a 0,1, tham số coi biến không gian dọc theo chiều dài dây Như vậy, lý thuyết dây coi lý thuyết chứa D trường vô hướng X không gian chiều có tensơ metric tổng quát (không gian không thiết phải Minkowski hai chiều) Ban đầu, cách tương đối tính hóa dây cổ điển không gian D chiều, người ta thu lý thuyết, gọi lý thuyết dây boson Để bất biến Lorentz, số chiều D không gian phải 26 Đó số lớn so với số chiều bốn không - thời gian Minkowski Việc compact hóa không gian với số chiều ngoại phụ D theo cách thức lý thuyết Kaluza-Klein, gặp khó khăn khó lòng vượt qua Không thế, tồn lý thuyết trạng thái có chuẩn âm Những trạng thái không tương ứng với hạt vật lý nào, cho nên, chúng gọi “hạt ma”, hay “hạt vong” (tiếng Anh ghost, tachyon, mà tiếng Việt hồn, vong, ma, v.v…) Một điều cốt yếu mà lý thuyết dây boson trạng thái tương ứng với hạt fermion Như vậy, lý thuyết dây boson thích hợp mô tả trường tương tác (boson), không thích hợp mô tả trường chất (fermion) Để xây dựng lý thuyết có trạng thái chất trạng thái trường, ta cần đến siêu đối xứng Lý thuyết dây có siêu đối xứng Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh thế, gọi lý thuyết dây siêu đối xứng, hay gọi tắt siêu dây Trong lý thuyết siêu dây, bên cạnh tọa độ boson a , gọi tọa độ chẵn, ta có thêm tọa độ fermion , spinơ hai thành phần Majorana (thực), gọi tọa độ lẻ Trường thay siêu trường, tức hàm tọa độ chẵn lẻ Do tính phản đối xứng, siêu trường khai triển Taylor, chứa số hữu hạn số hạng Các số hạng tương ứng với trường cổ điển có định hướng khác nhau: trường vô hướng, trường vectơ, trường spinơ,… Siêu dây có nhiều ưu điểm Số chiều không gian D 10 , tachyon khử được, tồn trạng thái boson lẫn fermion Ngoài nhờ siêu đối xứng, phân kỳ xuất tính toán đặc trưng cho tán xạ phân rã, tự khử đóng góp vào phân kì hai loại trường boson fermion có giá trị trái dấu Khóa luận này, dành để bàn đến siêu dây Các tính toán thực chi tiết hệ trình bày phần kết luận Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh CHƢƠNG I SIÊU ĐỐI XỨNG TRÊN LÁ THẾ Siêu đối xứng Các phép biến đổi đối xứng lý thuyết trường thường nhóm phân chia thành hai phạm trù bản: đối xứng đối xứng Đối xứng bao gồm phép biến đổi hàm trường, không liên quan đến biến đổi không thời gian Do lý thuyết trường phát triển từ học lượng tử, cho nên, nhóm đối xứng thường nhóm unitary để chuẩn hàm trường giữ nguyên không đổi Nhóm đối xứng tác động lên không thời gian, nhóm Lorentz, nhóm Poincaré, nhóm bảo giác hay nhóm biến đổi tổng quát lý thuyết hấp dẫn Einstein Do hàm trường định nghĩa điểm không - thời gian, cho nên, tọa độ không - thời gian thay đổi, thành phần chúng thay đổi theo Nói theo ngôn ngữ lý thuyết nhóm, trường làm thành biểu diễn nhóm đối xứng Nhóm đối xứng dùng để phân biệt hạt bản, nhóm đối xứng dùng để phân biệt trạng thái động lực chúng Định lý no-go Coleman Mandula chứng tỏ rằng, lý thuyết trường có tương tác, đối xứng đối xứng rời nhau, nghĩa vi tử sinh chúng giao hoán Tuy nhiên, sau chứng tỏ rằng, định lý vi tử sinh toán tử boson, nghĩa là, chúng vô hướng (cho dilatation, cho phép biến đổi trong), vectơ (cho tính tiến hay phép biến đổi bảo giác đặc biệt), hay tensơ (cho phép quay, phép biến đổi Lorentz), v.v… Nếu vi tử sinh fermion, nghĩa spinơ, hạn chế suy từ định lý no-go không nữa: giao hoán tử nhóm nhóm khác không Nếu bên cạnh vi tử sinh nhóm bảo giác, gọi vi tử sinh chẵn, ta thêm vào vi tử sinh spinơ, gọi vi tử sinh lẻ, đại số chúng gồm giao hoán tử (cho chẵn-chăn, chẵn-lẻ) phản giao hoán tử (cho lẻ-lẻ), đại số thu đại số phân bậc siêu Lie Nhóm tương ứng gọi siêu nhóm hay nhóm siêu đối xứng Do vi tử sinh lẻ spinơ, tác động lên trường boson kết trường fermion, ngược lại, tác động lên trường fermion, kết trường boson Như vậy, nói, siêu đối xứng đối xứng trường có spin khác Boson fermion nằm đa tuyến, gọi siêu đa tuyến Để diễn tả siêu đối xứng, người ta thêm vào không - thời gian thông thường, gọi không gian chẵn, loại không gian mới, gọi không Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh gian lẻ, cho thay giao hoán, tọa độ chúng lại phản giao hoán Không gian gồm tọa độ chẵn lẻ gọi siêu không gian Trường xác định siêu không gian gọi siêu trường Do tính phản đối xứng tọa độ lẻ, khai triển Taylor siêu trường theo tọa độ lẻ chứa số hữu hạn số hạng, hệ số bên cạnh tọa độ lẻ trường phụ thuộc vào tọa độ chẵn Tập hợp hệ số khai triển đồng với siêu đa tuyến Siêu đối xứng Bên cạnh toán độ bosonic người ta đưa thêm vào bạn đồng hành chúng, tọa độ fermionic , spinor thành phần thế: Và đại lượng phản giao hoán Ngoài chúng đại lượng thực (majorana): Siêu đối xứng biến đổi trộn lẫn tọa độ bosonic fermionic.Phép biến gọi phép biến đổi siêu đối xứng.nếu phép biến đổi không phụ thuộc vào vị trí điểm phép biến đổi phép biến đổi toàn cục (global); phép biến đổi phụ thuộc vào điểm phép biến đổi gọi phép biến đổi định xứ( local) Phép biến đổi siêu đối xứng sau: Trong tham số spinor majorana phản giao hoán cực vi Để mô tả chuyển động siêu dây, cần phải xây dựng tác dụng bất biến siêu đối xứng thế.Điều làm cách dựa khái niệm siêu trường siêu không gian Khi ta bổ xung thêm tọa độ Grassmann (A=1,2) tọa độ lập lên spinor majorana phản giao hoán hai thành phần, vào không gian hai chiều (α=0,1) không gian thu lập lên siêu không gian bốn chiều (λ,θ) Hàm số tổng quát xác định siêu không gian gọi siêu trường.khai triển siêu trường theo θ có dạng (1) Bậc khai triển bị hạn chế tính chất Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh (2) Từ biểu thức khai triển siêu trường ta thấy siêu trường bao gồm trường bosonic , trường fermionic trường lạ trường thành phần khai triển theo biến số Grassmann Vi tử sinh phép biến đổi siêu đối xứng có dạng (3) Tác dụng lên siêu tọa độ (4) Vi tử sinh Q dùng để định nghĩa phép biến đổi tọa độ bosonic fermionic cách dựa vào qui luật biến đổi siêu trường: (5) Sử dụng hệ thức : Chúng ta tính : Từ ta suy giao hoán hai phép biến đổi siêu trường: (6) Với Thay (1) vào (6) ta thấy rằng: đặc điểm siêu đối xứng giao hoán tử hai phép biến đổi siêu đối xứng cho ta dịch chuyển loại không gian, nghĩa dịch chuyển Sử dụng khai triển taylor cho quy luật biến đổi siêu trường (5) áp dụng đồng thức Fierz: (7) Người ta tìm quy luật biến đổi trường thành phần: (8) Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Để xây dựng lagrangian cho tác dụng bất biến siêu đối xứng, người ta phải xây dựng đạo hàm hiệp biến sau: (9) phản giao hoán với Q: (10) Và thỏa mãn: (11) Xuất phát từ siêu trường để xây dựng lagrangian, người ta sử dụng: (12) Để tính tích phân ta lưu ý: (13) Biểu thức tác dụng thu được: (14) Áp dụng phương trình Euler-lagrange cho tác dụng ta thấy rằng: Vì đặt loại bỏ khỏi biểu thức lagrangian từ đầu mà không ảnh hưởng đến kết sau Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Phƣơng trình chuyển động điều kiện ràng buộc: Chuyển động siêu dây mô tả tác dụng bất biến siêu đối xứng sau: (15) Trong ma trận Dirac 2x2 có dạng , Và chúng thỏa mãn phản giao hoán Áp dụng phương trình euler-lagrange ta thu phương trình chuyển động : (16) Để có phương trình ta phải đặt điều kiện biên điều kiện đầu để số hạng bề mặt không.tùy theo điều kiện biên điều kiện đầu cụ thể mà lý thuyết siêu dây chia thành miền : Đối với siêu dây mở có miền : Miền NS-thỏa mãn điều kiện biên Neveu-Schwarz (17) Nghiệm tương ứng có dạng khai triển tổng quát sau: = (18) = Miền R-thỏa mãn điều kiện biên Ramond (19) Nghiệm tương ứng ; = = (20) Đối với siêu dây đóng: Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Điều kiện biên NS-NS = (21) = Nghiệm tương ứng (22) Điều kiện biên NS-R = (23) = Nghiệm tương ứng: (24) Điều kiện biên R-NS = (25) = Nghiệm tương ứng (26) điều kiện biên R-R = (26) (27) = Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Nghiệm tương ứng (28) Trong : ; ; ; dao động tử fermionic Và Do spinor majorana nên ta có: , , , Trong phương trình (15) chọn chuẩn weyl, để tránh việc chọn chuẩn ta viết lagrangian bất biến tái tham số hóa, để làm điều cần bậc hai tenxor matric : ; Trong nghịch đảo Từ viết lại lagrangian dây fermionic sau: (29) Ta viết lại biểu thức (15)như sau: (30) Điều ta thấy biểu thức trên, không bất biến bảo giác, bắt biến đổi theo cách đặc biệt biến đổi bảo giác giống phương trình (15) xuất lại sử dụng điều kiện chuẩn weyl Để tìm điều kiện ràng buộc tính biến phân phương trình (30) theo tenxor metric , tính toán tương tự dây bosonic ta thu được: ; (31) Từ suy ra, từ tác dụng bất biến cho phương trình: =0 (31) Phương trình (31) đưuọc gọi phương trình ràng buộc Lƣợng tử hóa siêu dây Khoa Vật Lý Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Siêu tọa độ ( )tuân theo phản giao hoán tắc sau ( ), ( )}=-π (32) Từ hệ thức phản giao hoán chúng tat hay dạng khai triển vào (28) thu hệ thức phản giao hoán dao động tử fermionic sau: (33) (34) (35) (36) =0 (37) Các toán tử ; ; ; ; ; ; xem toán tử sinh toán tử hủy Giống fermions, số hạt chiếm giữ 1.Modes zero, , bị suy biến phổ spin Trong trường hợp mode bán nguyên, miền Neveu-Schwarz, modes zero không xuất trangjt hái nhất: hạt spin zero Tất mode khác thu cách cho toán tử lên trạng thái chân không Có toán tử vector, thu trạng thái spin nguyên Do đó, miền Neveu-Schwarz mô tả dây bosonic, mode spin nguyên Trong miền Ramond, trạng thái chân không bị suy biến.có tập toán tử Đặt = ma trận Dirac không thời gian D-chiều siêu dây thỏa mãn hệ thức sau Dẫn đến Siêu đại số Neveu-schawarz ramond Các bậc tự dây không thỏa mãn phương trình chuyển động mà thỏa mãn điều kiện ràng buộc, vốn suy từ bất biến việc tái tham số hóa hàm tác dụng Để thuận tiện cho việc khảo sát điều kiện đó, ta định nghĩa tổ hợp: (37) Khoa Vật Lý 10 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Biểu thức khai triển trường ma phản ma thỏa mãn phương trình chuyển động (73) có dạng: (74) Trong , dao động tử ma Điều kiện trường ma phản ma: (75) Và dao động tử thỏa mãn hệ thức: ; b Trƣờng ma lƣợng tử để lượng tử hóa trường ma tìm xung lượng liên hợp tắc trường ma bắt tọa độ xung lượng thỏa mãn hệ thức giao hoán Cụ thể ta làm sau : ta tìm xung lượng liên hợp tắc sau : Khoa Vật Lý 21 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh (76) Và giả thiết hệ thức giao hoán τ sau cho trường ma thỏa mãn (77) Thay cá dạng khai triển (74) trường ma vào phản giao hoán tử (77) tìm hệ thức phản giao hoán dao động tử trường ma phản ma: (77) Các toán tử toán tử sinh , với n>0 toán tử hủy và 2.2.Trƣờng siêu ma a trƣờng siêu ma cổ điển Sau áp dụng hình thức luận BRST cho lý thuyết siêu dây : Trong lý thuyết dây bosonic, xét đến tọa độ bosonic cặp ma phản ma tuân theo quy tắc phản giao hoán Đối với lý thuyết siêu dây, xét đồng thời tọa độ bosonic tọa độ fermionic Để đảm bảo tính siêu đối xứng thế, tương ứng với tọa độ fermionic phải đưa thêm vào trường ma phản ma tuân theo quy tắc giao hoán chúng gọi trường siêu ma phản siêu ma Các siêu ma spinor thỏa mãn điều kiện majorana: Các phản siêu ma vector-spinor Khoa Vật Lý 22 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Và đồng thời thỏa mãn điều kiện: Chúng ta lưu ý đến điều kiện ràng buộc mà số thành phần đáng có thành phần thực có thành phần độc lập Các trường siêu ma mô tả tác dụng có dạng: (76) Áp dụng phương trình Euler-lagrange cho tác dụng trên, ta dẫn đến phương trình chuyển động cho siêu ma: (77) số có dấu gạch ngang để phân biệt hai số vector spinor Xét siêu dây mở, điều kiện đầu điều kiện biên cho trường siêu ma xác định sau: Miền NS: (78) Nghiệm tương ứng dạng khai triển tổng quát: (79) Khoa Vật Lý 23 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Miền R (80) Nghiệm tương ứng dạng khai triển tổng quát: (81) Trong hệ số khai triển thỏa mãn điều kiện hermitian: dao động tử siêu ma, chúng (82) b Trƣờng siêu ma lƣợng tử Tương tự trường ma lượng tử hóa trường siêu ma Xung lượng liên hợp tắc siêu ma : Khoa Vật Lý 24 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh (83) Các hệ thức giao hoán tắc τ đối vơi trường siêu ma xác định bởi: (84) Thay biểu thức khai triển trường siêu ma (81) nhận hệ thức giao hoán dao động tử siêu ma: (84) Các toán tử , với λ>0 toán tử sinh hủy Lƣợng tử hóa trƣờng siêu ma phiếm hàm 3.1 Phiếm hàm trƣờng dây mở rộng hình thức luận BRST, biến số tọa độ biến số ma xem xét đồng thời thế, tiến hành lượng tử tích phân phiếm hàm lý thuyết dây phải lưu ý đến hai loại biến số Cụ thể việc chuyển hóa từ hàm sóng sang phiếm hàm trường dây mở rộng sau: trường hợp siêu dây: (80) Trong phiếm hàm trường thông thường, không phụ thuộc vào trường ma Khoa Vật Lý 25 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh 3.2 Tác dụng phiếm hàm trƣờng dây: Trong trường hợp siêu dây mở.trường siêu dây mở mô tả tác dụng: (81) Trong đó, tác dụng viết cho miền NS miền R: (82) Với tải BRST tương ứng với miền NS miền R: Áp dụng nguyên lý tối thiểu cho tác dụng (81) ta thu phương trình chuyển động sau: ( 83) Khoa Vật Lý 26 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Chƣơng PHỔ KHỐI LƢỢNG CỦA TRƢỜNG SIÊU DÂY Trước vào vấn đề phổ khối lượng lý thuyết dây, nghiên cứu cấu trúc đại số Virasoro đại số đóng vai trò quan trọng, thể tính đối xứng cấu trúc lý thuyết dây 1.Cấu trúc đại số Virasoro Trong lý thuyết dây làm việc với đại số Virasoro, khác với đại số lie thông thường số nét sau: +Đại số Virasoro bao gồm số vô hạn vi tử + hệ thức giao hoán đại số virasoro có chứa số hạng dị thường Sau xét đến số hạng dị thường đại số Virasoro Đại số virasoro tạo nên vi tử định nghĩa bởi: (84) Trong đó,A(n) gọi số hạng dị thường đại số Virasoro Có thể thấy dạng số hạng dị thường định khác cấu trúc đại số Virasoro Sau tính toán cụ thể dạng số hạng dị thường này: Xét đồng thức Jacobi: (85) Thay giao hoán tử (80) vào đồng thức tìm hệ thức A(n) sau: Khoa Vật Lý 27 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh (86) Ta thấy từ công thức (80), với n=m=0 A(0)=0 Trong (82) (87) P=0, n=-m Từ thấy A(n) hàm lẻ n Khai triển taylor cho hàm lẻ A(n) có dạng chuỗi lũy thừa mà số hạng bậc lẻ n: (88) Thay (84) vào (82) tính dạng tổng quát số hạng dị thường A(n) đại số Virasoro: (89) Như thấy cấu đại số Virasoro khác giá trị hệ số a b số hạng dị thường định Xét sang siêu đại số Neveu-Schwarz Ramond, tìm liên hệ số hạng dị thường A(n) B(s): Trong B(s) xuất hệ thức sau: (90) Sử dụng đồng thức sau: Tính toán tương tự số hạng dị thường A(n) tìm được: (91) Khoa Vật Lý 28 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Phổ khối lƣợng Trong phần nghiên cứu vấn đề phổ khối lượng lý thuyết dây.Chúng ta tính toán chi tiết cho phổ khối lượng trường siêu dây mở miền NS Còn kết trường hợp khác thu cách tương tự phức tạp Trong miền NS: Ta thấy phiếm hàm trường dây thỏa mãn phương trình chuyển động (81) sau: Áp dụng phương trình cho tải BRST viết cho siêu dây mở thuộc miền NS: Và sử dụng dạng khai triển (80) phiếm hàm trường dây mở rộng Chúng ta tìm phương trình chuyển động cho phiếm hàm trường dây vật lý không phụ thuộc vào biến số ma Thay biểu thức tải dạng khai triển phiếm hàm trường dây vào phương trình chuyển động ta áp đặt hệ số khai triển theo dao động tử ma không, ta rút phương trình sau: (92) Trong Khoa Vật Lý 29 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Ta lưu ý rằng, chuyển lý thuyết cổ điển sang lý thuyết lượng tử xung lượng chuyển thành toán tử, ta viết xung lượng sau: Khi toán tử viết lại sau: (93) Thay vào phương trình (92) ta (94) Đặt (95) Ta suy phương trình (92) viết lại sau: (96) Chúng ta thay biểu thức khai triển phiếm hàm trường dây : (97) Vào phương trình (96), ta được: (98) Khoa Vật Lý 30 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Phương trình tương đương: (99) Chúng ta tính toán cụ thể sau, xét: (100) Chúng ta tiếp tục lặp lại bước đến chuyển toán tử phía bên phải biểu thức toán tử hủy nên tác dụng lên chân không không biểu thức (100) sau rút gọn thu sau: (101) Tính toán tương tự số hạng: Ta thu sau: (102) Khoa Vật Lý 31 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Từ suy : (103) Thay công thức (103) vào phương trình (99) ta thu được: (104) Suy ra: (105) So sánh phương trình (105) với phương trình Klei-Gordon cho trường : (106) Chúng ta rút giá trị bình phương khối lượng trường là: Khoa Vật Lý 32 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh (106) Suy ra: (107) Từ đoán nhận toán tử bình phương khối lượng, biểu thức cho xác định phổ khối lượng trường dây Ta thấy miền NS có chứa tachyon Để khử tachyon đưa vào toán tử chẵn lẻ G định nghĩa bởi: (108) Toán tử gọi toán tử chiếu GSO Sử dụng hệ thức phản giao hoán (33)và (34) chứng minh được: (109) Từ suy toán tử số dao động tử b ta có: (110) với siêu dây NS ta phân biệt hai loại trạng thái : trạng thái với số dao động tử b, có G= +1, trạng thái với số dao động tử lẻ b, có G= -1 Nếu đặt điều kiện G= -1 lên trạng thái vật lý loại trừ tachyon Khoa Vật Lý 33 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh KẾT LUẬN Trong khóa luận thu được: - Trình bày việc xây dựng siêu đối xứng thê - Áp dụng siêu đối xứng để xây dựng lý thuyết siêu dây - Đã thu khối phổ siêu dây, chứng tỏ rằng, phổ có hạt không khối lượng spin 2, nghĩa siêu dây bao hàm hấp dẫn Khoa Vật Lý 34 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Đào Vọng Đức, Các nguyên lý lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB KHTN & CN, 2007 Phạm Thúc Tuyền, Những giảng siêu đối xứng lý thuyết dây, (chưa xuất bản), 2005-2008 Nguyễn Xuân Hãn, Cơ sỏ Lý thuyết trường lượng tử, NXB DHQG, 2011 Tiếng Anh: Barton Zwiebach A first course in string theory Green M.B, Schwarz J.H, Witten E Superstring theory Gerald 't Hooft Introduction to string theory Pochinski J What is string theory Wray K Introduction to string theory Khoa Vật Lý 35 Vật Lý Lý Thuyết- K53 [...]... xây dựng lý thuyết siêu dây - Đã thu được khối phổ của siêu dây, chứng tỏ rằng, trong phổ có hạt không khối lượng và spin bằng 2, nghĩa là siêu dây bao hàm hấp dẫn Khoa Vật Lý 34 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: 1 Đào Vọng Đức, Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB KHTN & CN, 2007 2 Phạm Thúc Tuyền, Những bài giảng về siêu đối... Cụ thể là việc chuyển hóa từ hàm sóng sang phiếm hàm trường dây mở rộng sẽ như sau: đối với trường hợp siêu dây: (80) Trong đó là phiếm hàm trường thông thường, không phụ thuộc vào các trường ma Khoa Vật Lý 25 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh 3.2 Tác dụng phiếm hàm trƣờng dây: Trong trường hợp siêu dây mở.trường siêu dây mở được mô tả bởi tác dụng: (81) Trong đó, là tác dụng... toán tử hủy và các và 2.2.Trƣờng siêu ma a trƣờng siêu ma cổ điển Sau đây chúng ta sẽ áp dụng hình thức luận BRST cho lý thuyết siêu dây : Trong lý thuyết dây bosonic, chúng ta chỉ xét đến tọa độ bosonic và các cặp ma và phản ma tuân theo quy tắc phản giao hoán Đối với lý thuyết siêu dây, chúng ta xét đồng thời cả tọa độ bosonic và tọa độ fermionic Để đảm bảo tính siêu đối xứng trên lá thế, tương... nguyên lý tối thiểu cho các tác dụng (81) ta thu được phương trình chuyển động sau: ( 83) Khoa Vật Lý 26 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Chƣơng 3 PHỔ KHỐI LƢỢNG CỦA TRƢỜNG SIÊU DÂY Trước khi đi vào vấn đề phổ khối lượng trong lý thuyết dây, chúng ta nghiên cứu cấu trúc đại số Virasoro vì đại số này đóng vai trò quan trọng, thể hiện tính đối xứng và cấu trúc của lý thuyết dây. .. tương tự trong lý thuyết siêu dây ta nhận thấy rằng khi ta lượng tử hóa bằng các giao hoán tử và phản giao hoán tử thì tọa độ tương ứng với thời gian không thể chuyển thành toán tử được, và lượng tử hóa theo cách này lý thuyết siêu dây của chúng ta không mô tả được quá trình sinh hủy dây và các quá trình chuyển hóa dây qua nhau Để giải quyết các vấn đề đó chúng ta sẽ lượng tử hóa siêu dây bằng phương... hermitian: và là các dao động tử siêu ma, chúng (82) b Trƣờng siêu ma lƣợng tử Tương tự trường ma chúng ta lượng tử hóa trường siêu ma Xung lượng liên hợp chính tắc của siêu ma : Khoa Vật Lý 24 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh (83) Các hệ thức giao hoán chính tắc cùng τ đối vơi các trường siêu ma được xác định bởi: (84) Thay các biểu thức khai triển của trường siêu ma (81) chúng ta nhận... +miền R B Siêu dây đóng: tương tự đối với siêu dây mở chúng ta xây dựng được các biểu thức cụ thể của toán tử của L và G theo từng miền như sau: Với : và +miền NS-NS +miền NS-R Khoa Vật Lý 13 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh +miền R-NS +miền R-R Các vi tử (R) và (L) giao hoán và phản giao hoán với nhau, còn riêng rẽ thì chúng lập lên đại siêu đại số Neveu-Schwarz hoặc siêu đại... sau: Điều kiện ràng buộc (31) được suy ra trong lý thuyết siêu dây cổ điển Khi chuyển sang lý thuyết siêu dây lượng tử, những điều kiện trên có thể dẫn đến những điều kiện không tương thích, do sự có mặt của dị thường Để tìm điều kiện ràng buộc lượng tử, ta sẽ chuyển việc sử dụng trực tiếp các đại lượng trên bằng “biến đổi Fourier” của chúng: Cho siêu dây mở: (38) Thay các biểu thức dưới đây vào (4.1)... chúng được gọi là các trường siêu ma và phản siêu ma Các siêu ma spinor thỏa mãn điều kiện majorana: Các phản siêu ma vector-spinor Khoa Vật Lý 22 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh Và đồng thời thỏa mãn điều kiện: Chúng ta lưu ý đến điều kiện ràng buộc trên mà số thành phần của đáng ra có 4 thành phần nhưng thực ra chỉ có 2 thành phần độc lập Các trường siêu ma được mô tả bởi tác... vậy với siêu dây NS ta phân biệt hai loại trạng thái : trạng thái với số dao động tử b, có G= +1, và trạng thái với số dao động tử lẻ b, có G= -1 Nếu đặt điều kiện G= -1 lên các trạng thái vật lý thì sẽ loại trừ được tachyon Khoa Vật Lý 33 Vật Lý Lý Thuyết- K53 Khóa Luận Tốt Nghiệp Trần Tiến Mạnh KẾT LUẬN Trong khóa luận đã thu được: - Trình bày việc xây dựng siêu đối xứng trên lá thê - Áp dụng siêu đối