Bài giảng toán cao cấp a1

Hàm số lượng giác ngược y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx Hàm số y = fx trong đó fx cho bởi một công thức lập thành từ các hàm số sơ cấp cơ bản với các phép tính số họ

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

 x: biến số hay đối số

 y = f(x) giá trị của hàm số f tại x





Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số f : X  R là tập hợp : C = M(x,f(x)) / x  X  Nói chung đây là một đường cong trong mặt phẳng Oxy

2 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt

a Hàm bị chặn

Ta nói hàm số f:

 Bị chặn trên trên D, nếu M sao cho f x( )M, x D

 Bị chặn dưới trên D, nếu N sao cho f x( )N, x D

Ví dụ Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn trên R

b Hàm đơn điệu

 Đơn điệu tăng nếu x1x2  f x( )1  f x( )2

 Đơn điệu giảm nếu x1x2  f x( )1  f x( )2 Hàm đơn điệu tăng hay giảm gọi chung là hàm số đơn điệu

c Hàm số chẳn, lẽ

Tập con DR được gọi là đối xứng nếu     x D x D

Được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g, kí hiệu: h g f 

Ví dụ: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g x( ) 1x Khi đó:

(g f x )( )g f x( ( ))g x( ) 1x

(f g x )( ) f g x( ( )) f( 1x) 1 x

b Hàm ngược

Cho hàm số f X: Y là một song ánh Khi đó tồn tại hàm số f1:Y X

Xác định như sau: với mỗi y Y ta được duy nhất x X mà f(x) = y Hàm

số f 1:Y X xác định như trên được gọi là hàm ngược của f và:

thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là yarcsinx

b Hàm số mũ : y = ax ( 0 < a  1 ) Miền xác định R, miền giá trị (0;) Nếu a > 1 thì hàm mũ tăng, nếu a <

1 thì hàm giảm trên R

c Hàm logarit : y = logax ( 0 < a  1 )

Hàm y = logax là hàm ngược của hàm số y = ax , nó có MXĐ là (0;) và miền giá trị là R Tương tự hàm mũ hàm logarith tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1

d Hàm số lượng giác

y = sinx , y = cosx, y = tgx , y =cotgx

e Hàm số lượng giác ngược

y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

Hàm số y = f(x) trong đó f(x) cho bởi một công thức lập thành từ các hàm

số sơ cấp cơ bản với các phép tính số học và phép lấy hàm hợp

Ví dụ 1: y =

2 arcsin

2 ) 1

x

e x

 Lân cận : Cho xo  R và  > 0, khoảng ( xo-  , xo +  ) được gọi là một

lân cận của xo (lân cận tâm xo, bán kính ) Vậy x thuộc lân cận của xo  xo -  < x < xo+ 

- < x –xo < 

  x-xo  < 

1 Định nghĩa

Khi x < 0 Khi x = 0 Khi x > 0

Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của xo Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến xo nếu :

Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng lim ( ) 4

x g

x f

Ký hiệu f x L

o x

x

0

x f

) 1 lim( 1

Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x  )

nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi



Ví dụ 2 :Tìm

243

12

x

3 Giới hạn vô cực

a Định nghĩa: Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới xo nếu với mọi M >0 tùy ý, tồn tại  > 0 sao cho với mọi x mà x x 0  thì f x( ) M

x x

0

sinxlim

x

tgx x





,

3 8



ln( os )lim

ln(1 )

x

c x x

TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa các hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược Áp

dụng các giới hạn cơ bản sau, trong đó nếu x 0, thì u x( )0

TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ thì ta đặt biểu thức mũ có cơ số lớn nhất làm

thừa số chung rồi đơn giản để tính giới hạn

lim 1 sinx x

4

2lim

1

x x

x x

x

limf(x)= 0

Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x2, sinx, tgx, là các VCB khi x 0

b Vô cùng bé tương đương

Hai vô cùng bé f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi xx0, kí hiệu

e x





 nên e x 1 x khi x 0

Vì

2 2 2

2

x x

( )( )

xlim  |f(x)|= 

Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x2 là các VCL khi x 

b Vô cùng lớn tương đương

Hai vô cùng lớn f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi xx0, kí hiệu

1 1

( )( )

1.2.1 Hàm số liên tục tại một điểm

a Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu lim ( ) ( o)

Do lim ( ) (0)

o

1.2.2 Hàm số liên tục một phía tại một điểm

Ta thấy hàm số liên tục phải tại x0 0 Để f(x) liên tục trái tại x0 0 thì a = 1

Vậy với a = 1 thì f(x) liên tục tại x0 0

1.2.3 Hàm số liên tục trong một khoảng, đoạn

a Định nghĩa

 f(x) liên tục trên khoảng (a,b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a,b)

f(x) liên tục trên khoảng (a,b)

 f(x) liên tục trên đoạn [a,b]  f(x) liên tục bên phải tại a

f(x) liên tục bên trái tại b

b Định lý Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số

 Với x 2, f x( ) ax 21 liên tục vì là hàm sơ cấp

 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x 2

a  thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R

1.2.4 Điểm gián đoạn

 Định nghĩa xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên

x

1

x f

x

x  tồn tại hữu hạn Loại 2 : Có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại hữu hạn

Ví Dụ Hàm số y e 1x gián đoạn tại x = 0 Ngoài ra,

x g

x f

)(

x Q

x P

liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x) c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định

d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó

1.2.6 Tính chất của hàm số liên tục

a Định Lý (giá trị trung gian)

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại c thuộc khoảng (a,b) sao cho f(c) = 0

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có

ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a,b)

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và m  f(x)  M với x  [a,b] thì :

42(

53lim 2

2 3

x x

x x

1lim

x x

x

c)

416

11lim

0

0

coscos

lim

x

nx mx

x



 c)

x x

x x

cossin

1lim

.sin 3 ( 1 1)

x x

sin

x x

x x

os2lim

sin 5 ln(1 )

x x

1lim

0

sinxlim

x

tgx x

23

lim(cos )x



11

1

3

x khi

x khi x





x x

0sin

x khi

x khi x

x

1.9 Tìm a để các hàm số sau đây liên tục trên R

a) f(x) =

2 2

e) f(x) =

2

ln(1 2 )

0.sinx

0

x khi x x

Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC

Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các ứng dụng của nó

2.4.1 Đạo hàm của hàm số

2.1.1 Khái niệm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b), x0( , )a b Cho x0 một số gia x đủ bé

 



 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm

của hàm số y = f(x) tại điểm x0, ký hiệu:

x o

x x

x f x f x

o

o x

x o

x x

x f x f x

Mệnh đề Nếu f(x) có đạo hàm tại x0, thì liên tục tại x0

Nhận xét Điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng

Ví dụ Hàm số y x liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này

2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm y = f(x) tại xo bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong

v

uv v u v

4) Đạo hàm theo tham số

Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi t  ( ,) Nếu hàm số ngược t = -1(x) tồn tại thì

(x )’ = x -1 (u )’ = u -1u’ ( cosx)’ = -sinx ( cosu)’ = -u’sinu (ax)’ = axlna (au)’ = u’aulna (tgx)’ =

nói f x( ) khả vi tại x0 và biểu thức A x  được gọi là vi phân của hàm số f x( ) tại x0

Ta kí hiệu vi phân là dy hoặc df

 Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’.x =x

 Tổng quát : y =f(u) với u=g(x)

f khả vi đối với u, g khả vi đối với x thì f(g(x)) khả ví đối với x

Tương tự như đạo hàm ta có các quy tắc tính vi phân sau

Nếu u, v khả vi thì tổng, hiệu, tích, thương(v 0) của chúng cũng khả vi và:

2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Giả sử f x( ) có đạo hàm tại  x ( , )a b Khi đó f x( ) là một hàm số xác định trên ( , )

Cho hàm số f x( ) xác định trên ( , )a b Ta nói điểm x0( , )a b là điểm cực đại

Cho f(x) thỏa điều kiện: liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và f(a)

=f(b) Khi đó , tồn tại c  (a,b) sao cho f ’(c) = 0

4 Định Lý Lagrange

Cho f(x) thỏa điều kiện : liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b) Khi đó :

 c (a,b) : f ’(c) =

a b

a f b f



 ( ))

(

 Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange

( C ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và A (a,f(a)) , B(b, f(b))  ( C ) Cát tuyến

AB có hệ số góc k =

a b

a f b f



 ( ))

(

Công thức Lagrange chứng tỏ  M (c,f(c ))  ( C ) sao cho tiếp tuyến tại đó

song song với cát tuyến AB

Ví Dụ Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với

cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1)

2.3.2 Công thức Taylor

1 Định Lý Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng

(a,b) và xo (a,b ) Khi đó x  [a,b] , tồn tại c ở giữa xo và x sao cho hàm f(x) được khai triển dưới dạng :

)!

1 (

) ( )

(

!

) (

) (

! 2

) ( '' ) (

! 1

) (

n o

o o

n

C f x

x n

x f x

x x f x x x f

Công thức trên gọi là công thức Taylor

n

x x n

c f

thì Rn(x) gọi là phần dư bậc n trong công thức Taylor

Trong công thức MacLaurin : Rn(x) = ( 1) 1

)!

1 (

Công thức này cho phép tính 1 1 1 1

x f

o x

)(lim

Ví dụ Tính các giới hạn

Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :

y = 4 2 42

x x

Ghi chú : Điểm uốn ( -3 , -

9

26

) cực tiểu ( -2,-3) Cắt trục hoành : x = 1  3

 Đường cong cho dưới dạng tham số :

)(

t y

t x

t R x

t a x

sincos

(O P O M



 : góc cực, r : bán kính cực Cặp số (r,  ) vớ r  0 và 0   < 2  được gọi là Tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng

Liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes :

R x

( 0   < 2  , r 0 )

 r = x2 y2 , tg  =

x

y (chọn  sao cho sin  cùng dấu với y )

Ví Dụ 1 Biểu diển các điểm sau đây qua hệ tọa độ cực :

a) M (

2

3,2

2- Xét sự tuần hoàn của r theo  ( nếu có) Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T,

ta chỉ khảo sát đường cong trong góc -

22

T T

 f(-) = - f() : đối xứng qua đường vuông góc với trục cực

4 - Tính đạo hàm r’ = f() : xét tăng giảm

x x

x





t a x

t x

t t

d d

2.11 Chứng minh rằng nếu y = exsinx thì y’’ – 2y’ + 2y = 0

2.12 Chứng minh rằng nếu y = acos(lnx) + bsin(lnx) thì x2y’’ + xy’ + y = 0

2.13 Chứng minh rằng arcsinx + arccosx =

2.16 Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f(x) = 3 8xx2 trên đoạn [0,8]

2.17 Hàm số f(x) = 3(x 8) 2 có thỏa điều kiện định lý Rolle trên đoạn [0,16] hay không ?

2.18 Chứng minh rằng đạo hàm f’(x) của đa thức f(x) = x3-x2-x+1 có nghiệm thực trong khoảng (-1,1)

a a

) (

) ( b a f f c c

e a f

lim 2

x

e x x

x x

ln

Ví dụ Cho f x( ) cos x, dễ thấy F x( ) sinx là một nguyên hàm của f x( ) trên

R Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng s inx+C, với C là hằng số tùy ý

a Định nghĩa Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí

hiệu là  f(x)dx , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó

b) Tính I  a2 x dx2 , (a > 0) Đặt x a costdx  a sintdt Từ đó:

 P(x)e ax dx,P(x)sinaxdx,P(x)cosaxdx

Dùng phương pháp trên với phép đặt ( )ax

Dùng phương pháp trên với phép đặt ln ,arcsin ,ar

Suy ra: K  xcosxc xdxos  xcosxsinxC

Vậy I x2cosxdx x 2sinx 2 cos x x2sinx C

3.1.3 Tích phân một số hàm đặc biệt

1 Tích phân hàm hữu tỉ

)(

)(

x Q

x P

 f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

 Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một phân thức thật sự bằng cách chia đa thức

 Có 3 dạng cơ bản

a x

A dx a x

(

III / I = dx

q px x

N Mx

2 2

q

p x

dx q

px x dx

MP N p x M dx q px x

N Mx

)2(

)2(2

q px x

dx Mp

N q px x

M

2

2(

ln2

Ví dụ

( 1)( 1)

dx I

2 Tích phân hàm lượng giác

a Dạng R(cosx,sinx)dx trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx Phương pháp chung : Đặt t =

2

x tg

1

1

t

dt dx

Nhớ công thức : coscos  = cos( ) cos( )

2

2cos1sin,2

2cos

du dx





3.2.1 Khái niệm về tích phân xác định

1 Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b]

a) Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : xo = a <x1 < x2 <… <xn=b

b) Trên mỗi đoạn nhỏ [xi-1,xi] ta chọn điểm ξi tùy ý

( ( d =max (xi-xi-1) với 1  i  n )

Ghi chú :

 Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]

 In : tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]

 [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên

 Điều kiện cần Hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a,b] thì bị chặn trên đoạn nầy

Suy ra : f(x) không bị chặn trên [a,b] ==> f(x) không khả tích trên [a,b]

Ghi chú :

6

)12)(

1(,

2

)1(

1

2 1

n i n

n

i

n i

,

4

)1

2 1



n n i

n i

Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân

a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

c

c a

b

a

dx x f dx x f dx x

b a

b Định lý về đạo hàm theo cận trên

 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì hàm  x

x x a

x a

x a

x x

x x

(

Theo đl giá trị trung bình c (x+x+x) sao cho :

)()(')(limlim

)()

()

(

0

x c

f x x c f dt

t

f

x x

sin )

cos)

(

c Định Lý Newton – Leibnitz

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì :

) ( ) ( )

(x dx F b F a f

f(x) =





01

Có những hàm số khả tích nhưng chưa chắc liên tục

ln

x

x x

Hướng dẫn : f(x) liên tục ==> khả tích

Ví Dụ : a) I = 

2 1

2dx

6 2

 Phương pháp đổi biến số

a Định Lý 1 Xét tích phân xác định a b f(x)dx với f(x) liên tục trên [a,b] Giả sử x= (t) thỏa các điều kiện:

(1) (t) có đạo hàm liên tục trên [,]

(2) ()=a, () =b (3) Khi t biến thiên trên [,] thì x biến thiên trên [a,b]

2 2

0 2 0

2

2

1sin

sin.sinsin

.cos1

Khi 0 < x < 1 Khi x = 0 Khi x = 1

=

42

12

a f(x)dx với f(x) liên tục trên [a,b] Giả

sử u = (x) thỏa các điều kiện :

(1) (x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [a,b]

(2) f(x)dx trở thành g(u)du trong đó g(u) liên tục trên [(a),(b)]

Khi đó:

b

a f(x)dx =  ( )

) (b ( )

Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi hai đường thẳng x a x b ,  và các đường cong y f x y g x( ),  ( ) trên đoạn [a,b] là:

Ví dụ Tính chu vi đường tròn tâm O bán kính R = 2

3.3.1 Tích phân suy rộng có cận vô hạn

Định nghĩa Nếu f(x) xác định trên [a, ) và f(x) khả tích trên [a,t] với t > a

Tích phân suy rộng của f(x) trên [a, ) là :

dx x

 hội tụ với   1, phân kỳ với   1

3.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

x

x x

 244

3

d.x2 x4

dx

54

23

x x

x x x

 2 234

2 3

cos

sin

dx x

x x

Tính các tích phân suy rộng

3.14 a 

0

cos xdx b  

0 2

3.17 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các miền phẳng giới hạn bởi các

đường cong sau đây

a y = tgx , y = 0 và x =

3

 quanh trục ox

b.x2 y( 2)2 1 quanh trục ox

CHƯƠNG 4 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

4.1 Vi phân hàm nhiều biến

 U = f(D)  R : miền giá trị của f

2 Ví dụ Tìm miền xác định

a f : D  R ( D  R 2 ) (x,y ) u = f(x,y) = 4x2  y2

Hàm số xác định  4 x2y2  0 x2y2 4 Vậy D( , )x y R x2: 2y2 4là hình tròn tâm 0 bán kính 2

b f : D  R ( D  R2 )

(x,y)  u = f(x,y) với u = ln (x + y) Hàm số xác định      x y 0 y x Vậy D( , )x y R x y2:  0là nửa mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng y = -x

2 1

(x y  x y   x n  y n

 Điểm Mo gọi là điểm gián đoạn nếu (1) không thỏa mãn

 f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D

Ví dụ : Cho hàm số f : D  R (D  R2 )

(x,y ) u = f(x,y) =

y x

y x

lim

0

này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (xo,yo) ,

Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo

hàm theo một biến còn các biến kia không đổi

Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau

a f(x,y) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x -5y +10 b z =excosy

c zln(x x2y2) d z x x y

Giải

a Từ công thức đạo hàm của hàm một biến ta có

Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D  R2, Mo(xo,yo) D

Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (xo,yo) :

f x

x

f dx x

1 1

Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số z x2y2

4.1.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao

1 Đạo hàm riêng cấp cao