Họ nhóm điểm O , Oh Họ nhóm điểm O , Oh Bởi: Nguyễn Văn Hiệu 1) Nhóm O gồm tất phép quay làm đỉnh hình lập phương đổi chỗ cho không làm thay đổi vị trí hình lập phương (hình 3.19) Các phép quay là: • Các phép quay C4, C24 = C2, C34 = C4− quanh ba trục quay C4 mà trục quay qua tâm hai hình vuông hai mặt bên song song hình lập phương • Các phép quay C3, C23 = C3− 1quanh bốn trục quay C3 mà trục quay qua hai đỉnh hnfh lập phương đối xứng qua tâm nghịc đảo tâm hình lập phương • Các phép quay C2 quanh sáu trục quay C2 mà trục quay qua trung điểm hai cạnh bên song song hình lập phương đối xứng qua tâm nghịch đảo tâm hình lập phương Vậy nhóm O có 24 yếu tố sau đây: E, 3C4, 3C24, 3C34, 4C3, 4C23, 6C2 Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C4, bốn trục quay C3 sáu trục quay C2 Ta vẽ hình bát diện có sáu đỉnh nằm sáu tâm điểm sáu hình vuông sáu mặt bên hình lập phương (hình 3.19) Các phép quay thuộc nhóm O vừa nói phép đối xứng hình bát diện (octahedron) Vì ta ký hiệu nhóm nhóm O 1/7 Họ nhóm điểm O , Oh Bây ta xét xem nhóm O tách thành lớp yếu tố liên hợp Ta làm việc mà không cần viết tường minh bảng nhân nhóm, cần nhắc lại hai phép quay góc quanh hai trục quay tương đương hai yếu tố liên hợp với Áp dụng cho phép quay quanh trục C4, ta thấy có hai lớp yếu tố liên hợp 3C4 + 3C4− 3C2; áp dụng cho trục quay C3 ta thấy có lớp 6C2; yếu tố đơn vị E lớp Vậy nhóm O tách thành năm lớp yếu tố liên hợp sau đây: C1 = {E}, C2 = {6C2},C3 = {4C34C-1 }, C4 = {3C43C-1 }, C5 = {3C4} Để diễn đạt cách tường minh yếu tố nhóm O dạng bảng thường dùng cách sau Ta chọn gốc tọa độ Descartes điểm cố định nhóm điểm O lấy điểm M với tọa độ Descartes x, y, z Trong phép biến đổi g nhóm O điểm chuyển thành điểm M’ có tọa độ Descartes x’, y’, z’ biểu diễn qua tọa độ x, y, z điểm M Ta lập bảng gồm hai cột, cột thứ ghi tên phép biến đổi g nhóm O, cột thứ hai ghi biểu thức x’, y’, z’ qua x, y, z Các phép quay nhóm O ký hiệu sau • Có ba phép quay C4 quanh ba trục Ox, Oy, Oz ký hiệu Cx4, Cy4, Cz4 Các trục quay tương ứng xác định phương trình sau đây: Cx4 : y = z = 0, 2/7 Họ nhóm điểm O , Oh Cy4 : z = x = 0, Cz4 : x = y = • Có sáu trục quay C2, trục quay đường thẳng xác định hệ hai phương trình bậc ký hiệu sau: ¯ yz Cyz : x = 0, y = z , C2 : x = 0, y = - z, ¯ zx Czx : y = , z = x , C2 : y = 0, z = - x ¯ xy Cxy : z = 0, x = yC2 : z = 0, x = - y • Có bốn trục quay C3, trục quay đường thẳng xác định hệ hai phương trình bậc ký hiệu sau: ¯ xyz Cxyz : x = y = z , C3 : x = - y = z, ¯ ¯ z C3xyz : - x = y = z , Cxy : x = y = - z Ta có bảng sau đây: Nhóm O 3/7 Họ nhóm điểm O , Oh Ta viết tọa độ x, y, z điểm M dạng ma trận cột (x, y, z) diễn tả tác dụng phép biến đổi điểm g chuyển điểm thành điểm M’ có tọa độ x’, y’, z’ dạng tác dụng ma trận vuông x ký hiệu g lên cột cho: 4/7 Họ nhóm điểm O , Oh (x', y', z') = g (x, y, z) Nhìn bảng yếu tố nhóm O ta viết dạng tường minh 24 ma trận sau: 5/7 Họ nhóm điểm O , Oh Nhóm T nhóm nhóm O Nó có 12 yếu tố: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ xyz xyz xy z xyz xyz xyz x yz E, Cx2, Cy2, Cz2, Cxyz , C3 , C3 , C3 , (C3 ) , (C3 ) , (C3 ) , (C3 ) 6/7 Họ nhóm điểm O , Oh Ngoài 12 yếu tố nhóm Td chứa 12 yếu tố sau đây: ¯ ¯ ¯ xy yz yz zx zx i Cx4, i Cy4, i Cz4, i (Cx4) − 1, i (Cy4) − 1, i (Cz4) − 1, i Cxy , i C2 , i C2 , iC2 , i C2 , i C2 Tích hai yếu tố loại yếu tố nhóm T Nếu tat hay tất yếu tố loại thứ hai phép quay tương ứng ig → g nhóm Td trở thành nhóm O Vì phép thay phù hợp với phép nhân nhóm nên ta kết luật nhóm Td đẳng cấu với nhóm O 2) Nhóm Oh gồm tất phép đối xứng hình lập phương, có 24 phép quay yếu tố nhóm O, có 24 tổ hợp phép quay với phép nghịch đảo i tâm nghịch đảo tâm hình lập phương Vậy nhóm Oh có 48 yếu tố xem tích trực tiếp nhóm O nhóm Ci: Oh = O ⊗Ci Các yếu tố nhóm Oh cá phép đối xứng hình bát diện vẽ lồng hình lập phương (hình 3.19) Do nhóm Oh gọi nhóm bát diện (octahedral) Vì nhóm O có năm lớp yếu tố liên hợp, nhóm Ci có hai yếu tố nên Oh tách thành mười lớp yếu tố liên hợp: C1, C2, C3, C4, C5 nhóm O C6 = iC1, C7 = iC2, C8 = iC3, C9 = iC4, C10 = iC5 7/7 ... 5/7 Họ nhóm điểm O , Oh Nhóm T nhóm nhóm O Nó có 12 yếu tố: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ xyz xyz xy z xyz xyz xyz x yz E, Cx 2, Cy 2, Cz 2, Cxyz , C3 , C3 , C3 , (C3 ) , (C3 ) , (C3 ) , (C3 ) 6/7 Họ nhóm điểm O ,. .. biến đổi điểm g chuyển điểm thành điểm M’ có tọa độ x , y , z’ dạng tác dụng ma trận vuông x ký hiệu g lên cột cho: 4/7 Họ nhóm điểm O , Oh (x ', y ', z') = g (x, y, z) Nhìn bảng yếu tố nhóm O ta viết... phép biến đổi g nhóm O, cột thứ hai ghi biểu thức x , y , z’ qua x, y, z Các phép quay nhóm O ký hiệu sau • Có ba phép quay C4 quanh ba trục Ox, Oy, Oz ký hiệu Cx 4, Cy 4, Cz4 Các trục quay tương