Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Trong họ có 15 nhóm điểm tinh thể học sau đây, 1) Nhóm C1 gồm có yếu tố đơn vị E Không có yếu tố đối xứng nào, Phàn tử ô sở tinh thể bất đối xứng 2) Nhóm Ci nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E phép nghịch đảo i Chỉ có yếu tố đối xứng tâm nghịch đảo i 3) Nhóm C1h = C1v nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E phép phản xạ gương σ Chỉ có yếu tố đối xứng mặt phẳng gương σ Vì trục quay nên ta không phân biệt mặt phẳng gương thẳng đứng hay nằm ngang 4) Nhóm C2 nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E phép quay C2 góc πquanh trục đó, C2− = C2, C22 = E Có yếu tố đối xứng trục quay C2 5) Nhóm C2h gồm hai yếu tố E, C2 nhóm quay C2, phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay tổ hợp chúng Tổ hợp phép quay C2 quanh trục Oz với phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương xOy phép nghịch đảo i không phụ thuộc vào thứ tự chúng, 1/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Vậy nhóm C2h nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2, σh, i với bảng nhân nhóm sau Bảng nhân nhóm C2h Các yếu tố đối xứng nhóm C2h là: trục quay C2, mặt phẳng gương σh tâm nghịch đảo i giao điểm chúng Nhóm C2 nhóm nhóm C2h 6) Nhóm C2v gồm yếu tố E, C2 nhóm quay C2, phép phản xạ gương σv qua mặt phẳng gương chứa trục quay ký hiệu σv tổ hợp chúng Ký hiệu mặt phẳng gương chứa trục quay trục giao với mặt phẳng σv σ'v Nếu trục quay Oz C2 : (x, y, z) → (-x, -y, -z) mặt phẳng gương σv mặt phẳng xOz Thì mặt phẳng gương σ'v mặt phẳng yOz Dễ thử lại 2/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Vậy nhóm C2vlà nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2, σv σ'v với nhân nhóm sau Bảng nhân nhóm Cv2 Có ba yếu tố đối xứng: trục quay C2 hai mặt phẳng gương chứa trục quay σv, σ'vtrực giao với Nhóm C2 nhóm nhóm C2v 7) Nhóm giao hoán C3 nhóm vòng sinh phép quay C3 góc 2π3 quanh trục Yếu tố C23 phép quay góc 4π3 quanh trục này, trùng với phép quay C3− góc − 2π3 quanh trục cho Ta có C23 = C3− 1, C33 = E Chỉ có yếu tố đối xứng trục quay C3 8) Nhóm C3h nhóm giao hoán gồm ba yếu tố E, C3, C23 = C3− nhóm C3, phép phản xạ gương σhqua mặt phẳng gương trực giao với trục quay tổ hợp chúng Có hai yếu tố đối xứng trục quay C3 mặt phẳng gương σh trực giao với 9) Nhóm C3v gồm ba yếu tố E, C3, C3− nhóm C3 ba phép phản xạ gương σv , σ'v, σ''vqua ba mặt phẳng gương chứa trục quay ký hiệu σv, σ'v, σ''v, mặt phẳng σ'v 3/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci thu từ mặt phẳng σv sau thực phép quay C23 = C3− , tức thu từ mặt phẳng σ'v sau thực phép quay C3 Chú ý tằng phép quay mặt phẳng σv, σ'v, σ''v phải có nốt hai mặt phẳng Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3 ba mặt phẳng gương chứa trục quay σv, σ'v, σ''v chuyển chỗ cho phép quay nhóm C3 Chọn trục quay C3 làm trục Oz mặt phẳng gương σv làm mặt phẳng tọa độ xOz Trên hình 3.3 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox’, Ox’’ mặt phẳng tọa độ xOy với ba mặt phẳng gương σv, σ'v, σ''v Các trục Ox’ Ox’’ tạo với trục Ox góc 2π3 4π Xét điểm mặt phẳng xOy mà bán kính vectơ R tạo với trục Ox góc ϕ(giá trị đại số tính theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ) Trong phép phản xạ gương qua mặt σv bán kính vectơ R chuyển thành bán kính vectơ Rσtạo với trục Ox góc - φ (xem hình 3.4) Ta viết 4/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Xét phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σ'v Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’ góc φ − 2π3 Trong phép phản xạ gương σ'v chuyển thành bán kính vectơ Rσ'tạo với trục Ox’ góc (-(φ − 2π σ'v : ϕ − 2π )(xem hình 3.5) Do ta có → -( ϕ − 2π 3) = − ϕ + 2π3 nghĩa Chú ý ta thêm vào góc φ bớt từ góc đại lượng bội số 4π 2π 2π, - φ+ - ϕ − góc Với phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σ''v(xem hình 3.6) ta có kết sau đây: Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’’ góc φ - 4π3 tức φ + 2π3 Phép phản xạ gương σ''vchuyển thành bán kính vectơ Rσ'' tạo với góc Ox’’ góc -( φ + 2π3 ) Ta có σ''v : φ + 2π → -( φ + 2π 3) =-φ− 2π nghĩa Còn phép quay C3 C23 = C3− 1góc ϕthay đổi sau 5/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Chú ý phép phản xạ gương phép quay C3 có tính chất σ2v = σ'2v = σ''2v = C33= E Dùng tính chất công thức (22a), (22b), (22c), (23a), (23b), ta suy hệ thức sau đây: Do ta có 6/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Từ hệ thức ta lại thu hệ thức Vậy với nhóm C3v ta có bảng nhân nhóm sau Bảng nhân nhóm C 3v Cuối ta xét yếu tố xác định lớp yếu tố liên hợp với yếu tố cho Ta nhắc lại a yếu tố nhóm G tất yếu tố gag -1 với yếu tố g G tạo thành lớp yếu tố liên hợp với yếu tố a Nếu a yếu tố đơn vị E tất yếu tố gag -1 trùng với E Vậy yếu tố đơn vị E lớp Ta lấy a C3 Các yếu tố liên hợp với C3 C3 C3− = C3 , C3− C3 ( C3− ) -1 C3 , σv C3 σv = σ'v σv = C3− , σ'v C3 σ'v = σ''v σ'v = C3− , 7/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci σ''v C3 σ''v = σv σ''v = C3− Vậy hai yếu tố C3 vàC3− 1tạo thành lớp yếu tố liên hợp Còn ta lấy a σvthì yếu tố liên hợp với C3 σv C3− = σ''v C3− = σ'v C3− σv ( C3− ) -1 = σ'v C = σ''v σv σv σv = σv , σ'v σv σ'v = C3− σ'v = σ''v σ''v σv σ''v C3 σ''v = σ'v Vậy ba phép phản xa gương σv, σ'v, σ''v tạo thành lớp yếu tố liên hợp Tóm lại, nhóm C3v chia thành ba lớp yếu tố liên hợp sau C1 = {E}, C2 = {C3,C3 }, C3 = {σv,σ'v,σ''v} −1 10) Nhóm giao hoán C4 nhóm vòng sinh phép quay C4 góc π2 quanh trục Nhóm gồm bố yếu tố khác C4 , C24 = C2 , C34 = C4− C44=E Chỉ có mọt yếu tố đối xứng trục quay C4 11) Nhóm C4h nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C4, C2, C4− 1của nhóm C4, phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay gọi mặt phẳng gương σhvà tổ hợp chúng Trong tổ hợp có tích σhC2 = C2σh Theo công thức (19) phép nghịch đảo i giao điểm trục quay C4 mặt phẳng gương σh Vậy trục quay C4 mặt phẳng gương σh hai yếu tố đối xứng cho từ trước lại có yếu tố đối xứng thứ ba tâm nghịch đảo i 8/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci 12) Nhóm C4v gồm yếu tố E, C4, C2, C4− nhóm C4 phép phản xạ gương σv, σ'v, σ''v, σ'''v qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay ký hiệu σv, σ'v, σ''v, σ'''v σ'vtrực giao với σvvà thu từ σ'vsau thực phép quay C4, σ''v σ'''v hai mặt phẳng phân giác hai góc vuông mặt phẳng σv σ'v Nhóm C4v nhóm phép đối xứng hình trụ thẳng đứng đáy vuông Trên hình 3.7 ta vẽ mặt đáy hình trục giao tuyến cac mặt phẳng gương σv, σ'v, σ''v , σ'''v với mặt phẳng đáy Ta chọn trục Oz trùng với trục quay C4, mặt phẳng tọa độ xOy mặt phẳng đáy hình trụ, chọn σvđi qua trục Ox σ'vđi qua trục Oy Với lý luận giống nghiên cứu nhóm C3v ta thiết lập bảng nhân nhóm sau Bảng nhân nhóm C4v Các yếu tố đối xứng là: trục quay C4 bốn mặt phẳng gương chứa trục quay σv, σ'v, σ''v, σ'''v nói Sử dụng quy tắc nhân nhóm trình bày bảng nhân nhóm ta nghiệm lại nhóm C4v chia thành năm lớp yếu tố liên hợp C1 = {E}, C2 = {C4,C4 } , C = { C 2} , −1 C4 = {σv,σV}, C5 = {σv,σV} ' '' ''' 13) Nhóm giao hoán C6 nhóm vòng sinh phép quay C6 góc π3 quanh trục gồm sáu yếu tố sau đây: E, C6 , C26= C3 , C36= C2 , C46= C3− 1, C56= C6− Chỉ có yếu tố đối xứng trục quay C6 9/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci 14) Nhóm C6h nhóm giao hoán gồm sáu yếu tố E, C6 , C3 , C2 , C3− 1, C6− 1của nhóm C6 , phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương trực giao với trục quay gọi mặt phẳng gương σh, tổ hợp chúng Vì số yếu tố C6h có phép quay C2 lẫn phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng trực giao với trục quay C2 , theo công thức (19) nhóm C6h chứa phép nghịch đảo i tâm nghịch đảo giao điểm trục C6 mặt phẳng gương σh Vậy hai yếu tố đối xứng cho từ trước trục quay C6 mặt phẳng gương σh trực giao với có yếu tố đối xứng thứ ba tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm chúng 15) Nhóm C6v nhóm đối xứng hình trụ thẳng đứng mà đáy hình lục giác đều, gồm sáu yếu tố nhóm C6 sáu phép phản xạ gương qua sáu mặt phẳng gương chứa trục quay Trên hình 3.8 ta vẽ hình lục giác đáy hình trụ giao tuyến mặt phẳng gương nói với mặt phẳng đáy 10/10 .. .Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Vậy nhóm C2h nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2, σh, i với bảng nhân nhóm sau Bảng nhân nhóm C2h Các yếu tố đối xứng nhóm C2h là: trục... đơn vị E lớp Ta lấy a C3 Các yếu tố liên hợp với C3 C3 C3− = C3 , C3− C3 ( C3− ) -1 C3 , σv C3 σv = σ'v σv = C3− , σ'v C3 σ'v = σ''v σ'v = C3− , 7/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci σ''v C3 σ''v = σv σ''v... giao điểm trục quay C4 mặt phẳng gương σh Vậy trục quay C4 mặt phẳng gương σh hai yếu tố đối xứng cho từ trước lại có yếu tố đối xứng thứ ba tâm nghịch đảo i 8/10 Họ điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci 12)