Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Mỗi nhóm điểm Dn gồm phép quay nhóm Cn, n phép quay góc πquanh n trục C2 trực giao với trục quay Cn tổ hợp chúng Số nguyên n có bốn giá trị 2, 3, 4, Mỗi nhóm điểm Dnh gồm phép quay nhóm Dn, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương chứa trục quay C2 nhóm tổ hợp chúng Số nguyên n có bốn giá trị 2, 3, 4, Mỗi nhóm điểm Dnd gồm phép quay nhóm điểm Dn, phép phản xạ gương qua n mặt phẳng gương (chứa trục quay Cn) cac mặt phẳng phân giác góc hai trục quay C2, tổ hợp chúng Chúng ta chứng minh nhóm điểm Dnd nhóm điểm tinh thể học n có hai giá trị Như họ xét ta có 10 nhóm điểm tinh thể học sau 1) Nhóm D2 có ba yếu tố đối xứng trục quay C2 vuông góc với đôi (xem hình 3.9) Trong phép quay C2 quanh trục trục khác chuyển thành đổi chiều ngược lại 2) Nhóm D3 có bốn yếu tố đối xứng trục quay C3 nằm mặt phẳng Trên hình 3.10 ta kẻ ba trục quay C2 đó, chọn trục quay trùng trục tọa 1/6 Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd độ Ox Trục quay C3 trực giao với mặt phẳng hình vẽ qua giao điểm O ba trục quay C2 3) Nhóm D4 có yếu tố đố xứng trục quay C4 bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 nằm mặt phẳng Trên hình 3.11 ta kẻ bốn trục quay C2 đó, chọn hai trục quay trùng với hai trục tọa độ Ox Oy Khi hai trục quay C2 khác đường phân giác hai góc vuông tạo trục Ox Oy Trục quay C4 trực giao với mặt phẳng hình vẽ qua giao điểm O trục quay C2 2/6 Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd 4) Nhóm D6 có bảy yếu tố đối xứng trục quay C6 nằm mặt phẳng Trên hình 3.12 ta kẻ sáu trục quay C2 đó, chọn hai trục trùng với trục tọa độ Ox Oy Góc hai trục quay C2 bội số π6 Trục quay C6 trực giao với mặt phẳng hình vẽ qua giao điểm O trục quay C2 5) Nhóm D2h gồm yếu tố nhóm D2, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σhchứa hai trục quay C2 tổ hợp chúng Ngoài yếu tố đối xứng nhóm D2 ba trục quay C có thêm hai yếu tố đối xứng mặt phẳng gương σh tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm ba trục quay 6) Nhóm D3h gồm yếu tố nhóm D3, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa ba trục quay C2 tổ hợp chúng Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3, ba trục quay C2 trực giao với trục quay C3 nằm mặt phẳng, mặt phẳng gương σh chứa ba trục quay C2 7) Nhóm D4h gồm yếu tố nhóm D4, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa bốn trục quay C2 tổ hợp chúng Các yếu tố đối xứng là: trục quay C4, bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 nằm mặt phẳng, mặt phẳng gương σh chứa bốn trục quay C2 tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm trục quay 8) Nhóm D6h gồm yếu tố nhóm D6, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa sáu trục quay C2 tổ hợp chúng Ngoài yếu tố đối xứng biết nhóm D6 có hai yêu tố đối xứng mặt phẳng gương σh tâm ngịch đảo i trùng với giao điểm trục quay 3/6 Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd 9) Nhóm D2d gồm yếu tố nhóm D2, hai phép phản xạ gương σd, σ'dqua hai mặt phẳng gương chứa trục quay C2 hai mặt phẳng phân giác hai góc vuông tạo hai trục quay C2 kia, tổ hợp chúng Ta gọi hai mặt phẳng gương σd σ'd Ta chọn giao tuyến hai mặt phẳng gương (một trục quay C2) làm trục Oz, chọn hai trục quay C2 trực giao với Oz làm hai trục Ox Oy Trên hình 3.13 ta vẽ hai giao tuyến hai mặt phẳng gương σv, σ'v với mặt phẳng tọa độ xOy Ba trục quay C2 hai mặt phẳng gương σv, σ'v yếu tố đối xứng 10) Nhóm D3d gồm yếu tố nhóm D3, ba phép phản xạ gương qua ba mặt phẳng gương σd, σ'd, σ''d chứa trục quay C3 Trên hình 3.14 ta vẽ ba giao tuyến ba mặt phẳng gương σd, σ'd, σ''d với mặt phẳng tọa độ xOy chứa ba trục quay C2 Trục quay C2 ba mặt phẳng gương σd, σ'd, σ''d yếu tố đối xứng Cuối ta thử lại có nhóm điểm tinh thể học loại Dnd với n hai số nguyên Ta xét kỹ nhóm D4d Với nhóm D6d lặp lại lập luận tương tự 4/6 Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Nhóm D4d chứa yếu tố nhóm D4 biết Ta chọn trục quay C4 làm trục tọa độ Oz, chọn mặt phẳng chứa trục quay C2 làm mặt phẳng tọa độ xOy, chọn hai trục quay C2 trực giao với làm hai trục tọa độ Ox Oy Hai trục quay C2 hướng theo hai đường phân giác hai góc vuông tạo hai trục Ox Oy Hình vuông tâm O mặt phẳng xOy với hai cạnh song song với hai trục tọa độ (hình 3.15) có tính chất đối xứng (bất biến) tất phép biến đỏi nhóm D4 Ngoài yếu tố đối xứng nhóm D4 trục quay C4 bốn trục quay C2 ta thử đưa thêm yếu tố đối xứng bốn mặt phẳng phân giác góc π4 tạo trục quay C2 đôi một, xét phép phản xạ gương σd, σ'd, σ''d, σ'''d qua bốn mặt phẳng gương (hình 3.16) Rõ ràng hình vuông đối xứng (bất biến) nhóm D4 đối xứng (bất biến) phép phản xạ gương σd, σ'd , σ''d, σ'''d Trái lại, phép phản xạ gương hình vuông cho chuyển thành hình vuông đồng tâm khác quay góc π8 so với hình vuông ban đầu (hình 3.17) Phối hợp hai hình vuông ta hình tám cạnh đối xứng với nhóm C8 mà trục quay trục Oz Vậy nhóm D4d phải chứa nhóm C8 Nhưng ta lại biết nhóm điểm tinh thể học chứa nhóm C8 Vậy D4d nhóm điểm tinh thể học Nhóm D6d nhóm điểm tinh thể học 5/6 Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Tóm lại, nhóm Dn, Dnh Dnd có 10 nhóm điểm tinh thể học trình bày Trong số mặt phẳng tạo trục quay giao yếu tố đối xứng nhóm điểm xét luôn có cặp mặt phẳng trực giao với đôi Do nhóm điểm tạo thành họ gọi họ nhị diện (dihedral) 6/6 ... với nhóm C8 mà trục quay trục Oz Vậy nhóm D4d phải chứa nhóm C8 Nhưng ta lại biết nhóm điểm tinh thể học chứa nhóm C8 Vậy D4d nhóm điểm tinh thể học Nhóm D6d nhóm điểm tinh thể học 5/6 Họ nhóm điểm. .. lại có nhóm điểm tinh thể học loại Dnd với n hai số nguyên Ta xét kỹ nhóm D4d Với nhóm D6d lặp lại lập luận tương tự 4/6 Họ nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Nhóm D4d chứa yếu tố nhóm D4 biết Ta chọn trục... điểm Dn, Dnh, Dnd Tóm lại, nhóm Dn, Dnh Dnd có 10 nhóm điểm tinh thể học trình bày Trong số mặt phẳng tạo trục quay giao yếu tố đối xứng nhóm điểm xét luôn có cặp mặt phẳng trực giao với đôi Do nhóm