Kỹ thuật giải phương trình và hệ phương trình

Trần Hưng-0987.018.492 Tp Lạng Sơn MỞ LỚP: TIẾP CẬN VÀ CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 TRONG KỲ THI THPT QG 2016 Đối tượng: Học sinh 12, 13 Học lực: Khá Có nguyện vọng vào trường top An Ninh, Cảnh sát, FTU, NEU, BK, Y dược Thời gian khóa học: Dự kiến 50 buổi (Tùy theo lực học sinh) Khai giảng: Tháng & 9/2015 Học phí: 50k/b 2b/tuần 8-10 học viên/lớp Học thử 2buổi đầu BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I) KHÁI NIỆM & CƠ SỞ Biến đổi đồng dạng kỹ thuật dựa cấu trúc xác định để biến đổi cấu trúc lại theo cấu trúc đó, biến đổi làm nhanh chóng bộc lộ chất, từ dễ dàng giải toán Để thực biến đổi đồng dạng: Xác định cấu trúc cố định: Các biểu thức khó biến đổi như: Trong căn, biểu thức bậc cao, phân số, biểu thức nằm dạng tích Tùy theo toán, ta cố gắng tách từ phần lại hệ, phương trình biểu thức cố định xác định: Tách, ghép, chia, dự đoán kiểm tra Cách tiếp cận cho phép ta nhanh chóng tiếp cận lời giải đưa giải ngắn gọn Hỗ trợ tốt cho phương pháp ẩn phụ, ẩn phụ không hoàn toàn cho phương trình vôt ỉ hệ phương trình Để rõ ưu nó, ta xét ví dụ sau II) CÁC VÍ DỤ VÀ PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ví dụ Giải phương trình: x2 3x   x  x Phân tích: Cấu trúc căn: khó biến đổi lại có phân số, quy đồng phân số làm cho pt có trở lên phức tạp hơn, ta coi cấu trúc cố định Biến đổi phần bên theo cấu trúc Do có phân số nên có phân số Vậy ta giải sau: 3x     x  Khi đó: x x x2  x  1  1  2  2 Pt   3x    1   x   x    x    1    x x x x x  x  x  x Giải: Điều kiện: 3x  Đặt: a   ; b  3x  : Pt  ab  b2  a   a  b  1  b2    b  1 b   a   x x   3x  x   : vn0 x TH2: b  a   3x    x  Vậy x  nghiệm phương trình x x TH1: b   3x   Ví dụ Giải phương trình: 5x  x   x   x  3 x  x Nhận xét: Bài toán cho nghiệm lộ, nghiệm làm cho ta thấy rõ có biểu thức giống nhau: x  x Ta đơn giản hóa dần xác định hướng tùy theo trạng thái x  Giải: Điều kiện x  Ta có: Pt   5 x  x    x  3 x   * 3  3  1   x  Đặt: a  x  5; b   x x  x  *  a  b   ab   a  1 a   b   Với x  *  x   TH1: Với a   5x    x  3 /  loai  TH2: Với a  b   x    x2  x  4   x  x Vậy x  0;1 nghiệm phương trình Chú ý: Với toán ta chọn cặp số tỉ lệ toán phải chia Nhận xét 2: Với toán trên, lời giải đơn giản, đẳng thức cuối x 5x   cho ta thấy, giải liên hợp thông thường, ta khó dự đoán mối quan hệ trên, mà dự đoán 5x   : Dự đoán gây khó khăn cho trình giải 2x 1 2x2  2x  Ví dụ Giải phương trình:   x2 2  x2 Giải: Điều kiện:  x  , có x  1/ Biến đổi đồng dạng:      x  1   x   2x 1   2x 1 b  x   Pt  1  a  b  1  b  a   a  b  ab  1  pt   x  x  1  x  x  Đặt a   x ; 2 2  1  x  TH1: Với a  b   x2  x   x   2 x   2 x     (nghiệm lẻ 2 x  1; 1, 2446 x   x            TH2: Với ab    x  1  x    nghiệm phương trình bậc 3, chương trình nên ta bỏ qua việc giải chi tiết) Nhận xét: Với phương trình vô tỉ nghiệm nguyên, hay hữu tỉ Thì thức có liên hợp với số nhiều biểu thức dạng ax  b khác Do khó khăn cho trình lựa chọn Tuy nhiên với suy nghĩ đơn giản biến đổi đồng dạng, ta đưa quan hệ mà theo lối làm thông thường tìm Ở TH cho x  nên nghiệm kép Từ gợi ý hướng giải khác có khó khăn  2 Ví dụ Giải bất phương trình: 12 x  x  17  x  x  6x  17 7 x (Thi thử Moon.vn 2015) 17    t   Ta có: x 17 17 Pt  x    x    x  1 x    t  x   3t  x  1   t   t  3x  1  x x Giải: Điều kiện x  Đặt t  x   t  3x   x  17   3x   x  Vậy x  nghiệm bất phương trình x Ví dụ Giải phương trình: x   x3  x  x   x x x * (Trần Lê Quyền) Giải:Dễ kiểm tra toán sử dụng phương pháp đánh giá Dự đoán x  Bằng việc thay đổi cấu trúc tạo phân số, ta có lời giải sau: x  Ta có: VT *    LG Điều kiện:  2 VP *  x x      x  x x x x VT *   VP *  x  LG Đặt a  x  4   1    1    x  1  Do đó: x x  2 x 1 1  1   x x2  x     x   x    x    a  a   a   a   a  a  x x x x  x  Vậy x  nghiệm phương trình x Nhận xét: Bài toán vài lời giải khó tiếp cận đa số học sinh nên không trình bày Đây toán sáng tác lỗi không thực chặt HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1  xy  xy  x  Ví dụ Giải hệ phương trình:  1 y y 3 y  x x x Nhận xét: Phương trình tất biến x nằm mẫu Sẽ chuyện quy đồng sinh Pt phức tạp Nên ta coi cấu trúc phân số cố định Biến đổi Pt1 theo Giải: Điều kiện x  0; y  Khi đó: Pt1   y x y  Lược hóa hệ, ta đặt a  ;b  y x x a  b2  ab    Hpt   3  a3  b3   a  3b   a  b2  ab   2b  2a  2ab  b    a  b  a  3b TH1: b   y  0; x  TH2: 2a  2ab  b2  a  0; b  Vậy:  x; y   1;0  nghiệm hệ Kinh nghiệm: Khi độ lệch bậc phương trình nhau, ta đưa phương trình đẳng cấp  x  y  xy  y    Ví dụ Giải hệ phương trình:  y 2 x  y  x 1  Phân tích: Ta coi mẫu số: x  cấu trúc cố định việc qui đồng khai triển khiến hệ phức tạp Do tử số đơn giản, nên ta coi phân số cố định Như Pt ta cần tách phân số Nhưng chia Pt cho x  cồng kềnh Ta chia cho tử số y Với ý Pt có biểu thức x  Giải: Do y  nghiệm hệ Xét y  Ta có: Pt1  x2  x2   x  y   Đặt: a  ; b  x  y Khi đó: y y a  b  a   x  1; y    Hpt   a 2  y  x2   x  x2     a b 2 b   x  2; y   a   x  y   x  y  1  25  y  1 Ví dụ Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  x  y  Phân tích & Giải: Do “đặc tính ẩn phụ” ta giải sau:  x2  y  x2  y Pt1   x  y   25 a  ; b  x  y   ab  25 Đặt    y 1  y 1  Dựa vào bậc x, y a, b bậc x, y Pt2: Ta dự đoán Pt2 xuất a  kb (Với k số) Do Pt có 1 x2  k  (Nếu k  2;3 sau khai triển a  kb biểu thức thu nhiều 1 x ) Ta kiểm tra: x2  y ab   x  y   t  x  y   x  y  1 y  1  t  y  1 * Như ta thêm bớt Pt2 y 1 để xuất vế trái (*) Từ sở đó, ta biến đổi dạng: Pt  x  y   y  1 x  y  1  10  y  1  x2  y  x  y   10  a  b  10  a  b  y 1 2    x  y   y  1  11   Rút ta có ngay:  x; y    3;1 ,   ;    2    x  y 1  Vậy: Hpt   Chú ý: Giải hệ vốn cần kiến thức tổng hợp, cách nhìn nhận, đường lối không bao giở đủ Ở toán cần hiểu đặc tính ẩn phụ, cách thức dự đoán kiểm tra biểu thức ẩn phụ xuất hệ, từ kỹ đơn giản để tìm dạng ẩn phụ bị che giấu.Do khuôn khổ viết có hạn nên đặc tính không nêu phân tích sâu cđ Nhưng qua ví dụ đây, ta hình dung yếu tố  xy  x   16 Ví dụ Giải hệ phương trình:   1   x  1  y  14  Phân tích & Định hướng, giải: Cấu trúc cố định (Bất biến) rõ ràng: Phân thức, lại bậc cao ; b  Pt  a  b  Là mối quan hệ bậc a, b Nên để giải hệ, ta x 1 y 1 hy vọng Pt1 có quan hệ đơn giản a, b Do Pt1 có tích xy (bậc biến 1), suy Pt1 có a; b bậc 1: Ta kiểm tra dạng bản:  k ta không chọn để có Pt1 Có thể loại +) Giả sử Pt1 cho: ab  k  xy  x  y  1 2k   t  2kx  y   2k  t  xy  x  y  1 : so sánh với +) Giả sử pt1 cho ta: a  kb  t  x 1 y 1 xy  x  dễ suy ra: t   xy  1  2k  x  2k  k  Đặt: a  Hay ta biến đổi: xy  x     Vậy a  b  x 1 y 1 a  b   a  0; b   x  ; y   4 a  b   a  1; b   x  0, y   Do ta có hệ:  Nhận thấy nghiệm không thỏa mãn Pt1 Vậy Hệ vô nghiệm  y 2x 4  9x   y  x y  Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:   x  1  y    18   y  x    (Phạm Tuấn Khải) Phân tích & định hướng, giải: Loại suy số hướng, hướng ẩn phụ khả quan Dễ dự đoán y 2x ; b y  a  b  Từ bậc biến phương trình x y Ta nhận thấy xuất a ; b hay tổng dạng a  b Khả quan xuất ab Kiểm bất biến: Đặt a  x  18 x y   Khai triển Pt2 để so sánh cấu trúc, từ đưa tra cấu trúc khai triển: ab  xy  y x 18 x y phương hướng biến đổi hợp lý: Pt     So sánh bậc mẫu, hay bậc biến ta xy y x thấy cần nhân mẫu xy lên xuất dạng giống tích ab Vậy  2x   y 18 x y  Pt   xy       1    ab  Vậy ta có hệ y x  y  x y  9 x  x   a  b  a  1 1 Hpt     Rút cho ta:  x; y    ;  9 3 b  ab   y  2x  y  5y  x  x2  y  x  y   Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:  (với k số đó) 2 x  y 5 x  y  k  xy Phân tích & định hướng, giải: Cả pt có phân số, pt1 mẫu dạng tổng, khó biến đổi nên ta tạm coi phân số bất biến, hay coi ẩn phụ Pt2 có mẫu đơn giản, tử tổng nên ta tách thành phân số đơn giản sau tìm cách ghép cho phân thức pt1: Pt  x  y  Vậy đặt: a  x 5y x2  y x  y  k 5  k y x x y a  5b  x y  ; b    Hpt  5 2 x y x y  k  a b Với giá trị k cụ thể, ta tìm a, b Từ rút ta tìm nghiệm  x3  y   x  y  1  20 y  Ví dụ 12 Giải hệ phương trình:  x3  1  x  x  y y (Thi thử Moon 2014) Phân tích, định hướng, giải: “Đặc tính ẩn phụ” biến đổi đồng dạng ta biến đổi  x3  x3 pt1    y   x  y  1  20  ab  20 với a   y2 ; b  2x  y 1 y  y  Để làm xuất a pt2: ta biến đổi thêm bớt: x3 2 Pt   y   x  x  y   y   x  y   a   b  1  y  x3  y2  a   ab  20   Vậy ta có hệ: Hpt   y   b  a   b  1  2 x  y      Rút ta có:  x; y   1;1 ,  13; 13  ,  13; 2 13   III) BÀI TẬP Giải phương trình hệ phương trình sau:  xy  x  y   Bài 1:  1  x2  2x  y  y   2   x  y   y  x  Bài 2:  2   x  y  x  y    y  1  x  xy  32   x  y 2   Bài 3:  x y     x 1 y 1  x  y   xy  Bài 4:  x 2  y 2     1 y  x       y   y2  x  1 x  x  Bài 5:   x  x2   y   y 2 1  y   xy  x  Bài 6:   2 1   x  1  y    y3 x  xy  y  x  2  x 1 Bài 7:  2 x  y  y   x 1  10  x  y  xy   Bài 8:   124    x  y x y 2   x  1 y  1  x Bài 9:    x  y   3x      x  y  x   x  xy  x  x  Bài 10:  2 x  xy  x  y  x   xy  29 x  x     (Các thắc mắc bạn trao đổi Group facebook: Chinh phục 8-9 Toán Lạng Sơn) ... 1  x x Giải: Điều kiện x  Đặt t  x   t  3x   x  17   3x   x  Vậy x  nghiệm bất phương trình x Ví dụ Giải phương trình: x   x3  x  x   x x x * (Trần Lê Quyền) Giải: Dễ... nghiệm phương trình x Nhận xét: Bài toán vài lời giải khó tiếp cận đa số học sinh nên không trình bày Đây toán sáng tác lỗi không thực chặt HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1  xy  xy  x  Ví dụ Giải hệ phương. .. quan hệ trên, mà dự đoán 5x   : Dự đoán gây khó khăn cho trình giải 2x 1 2x2  2x  Ví dụ Giải phương trình:   x2 2  x2 Giải: Điều kiện:  x  , có x  1/ Biến đổi đồng dạng:     