Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai

Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I Đặt vấn đề - Có nhiều cách tiếp cận để giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức - Chuyên đề đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai ẩn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số loại biểu thức II Các tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai ẩn khai thác sử dụng Hàm số bậc ẩn Xét hàm số y = ax + b = f(x) với x ẩn; a, b tham số, a≠0 Ta có: - Nếu a > thì, với α≤ x≤β có: f(α)≤f(x)≤f(β); f(x) = f(α); max f(x) = f(β); - Nếu a thì: - với ∀ ℝ => f(x)≥f( ) = - với ∀ / ∆ ; f(x) = f( ); ≤ α≤ x≤β => f(α)≤f(x)≤f(β); f(x) = f(α); max f(x) = f(β); - với ∀ /α≤ x≤β≤ => f(β)≤f(x)≤f(α); f(x) = f(β); max f(x) = f(α); - với α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β => f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)}; f(x) = f( ); max f(x) = max {f(α); f(β)}; - Một cách tổng quát: với ∀ / α≤ x≤β => f(α); f(β); f( ) ≤ f(x) ≤ max {f(α); f(β)}; Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 f(x) = f(α); f(β); f( ) ; max f(x) = max {f(α); f(β)} * Chứng minh: - Ta có biến đổi sau: i) f(x) = a + +bx+c = a - ∆ với ∀ ℝ; ii) f(x) = (x- α)(ax+aα+b) + f(α); f(x) = (x- β)(ax+aβ +b) + f(β) với ∀ , Một cách tổng quát: f(x) = (x- m)(ax+am+b) + f(m) với ∀ ∆ - Từ i) suy f(x)≥f( ) = - Với a > 0, ∀ / với ∀ ℝ ℝ; ℝ; (đpcm!) ≤ α≤ x≤β thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)>(2aα+b)>0; (x- β)(2aα+b)>0 nên từ ii) suy f(α)≤f(x)≤f(β) (đpcm!); - Với a > 0, ∀ / α≤x≤β≤ thì: (x- α)>0, (ax+aα+b) t =(x+ )2 - ≥ - với ∀ ℝ ; g = t(t+2) với t ≥ - g = (t+1)2 -1=> g ≥ -1 ; g = -1 t = -1 x2+5x+4 = -1 x= ±√ Thí dụ Cho h(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + với ℝ Tìm h(x) * Tóm tắt lời giải: - Viết h(x) = (x2+x+1) = t2 - với ℝ t= x2+x+1 = (x+ )2 + ≥ => h(x) = t2 ≥ - Từ có h(x) = , đạt x = Thí dụ Cho k(x) = 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x với ℝ Tìm k(x) * Tóm tắt lời giải: - Với ℝ có: k(x) = −3 - Với ≤ 1, có k(x)= - Với < - Với − + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ ; < 4, k(x)= −3 ≥ 4, k(x)= −5 +8 ≤1 + 15 − < < −5 +8 ≥4 + 15 − =(x-1)(12-3x)+4 ≥ 4; − + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ - Từ suy k(x) = 4, đạt x = x = * Nhận xét: - Nếu xét chẳng hạn 0≤x≤5, có maxk(x) => có toán hay phức tạp hơn; - Có thể chuyển sang toán với nội dung phương trình: Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x = a Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 Thí dụ Cho p(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a với a để p(x) = ế ℝ/-2≤x≤0, a tham số Tìm giá trị * Tóm tắt lời giải: - Nếu > hay a>0, có p(x) = 4x(x-a) + a2 – 2a nên p(x) ≥ a2 – 2a với -2≤x≤0; suy p(x) = a2 – 2a; p(x) = a2 – 2a = 2; a>0 a = 1+√3; - Nếu -2≤ ≤0 hay -4≤a≤0 , có p(x) = (2x-a)2 -2a nên p(x) ≥ -2a với -2≤x≤0; suy p(x) = – 2a; p(x) = -2a = a = -1; - Nếu f(t)≥ ; = f( ) với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≥ ; x+y=2; x,y≥0 (x;y)= - Lại có: f(t) = (t- )(16t+2) + ≤ √ √ ; (x; y)= với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≤ √ ; √ ; với , ℝ/(*); t= xy= ; x+y=2; x,y≥0 (x;y) = ( ; ) - KL: K(x,y) = max K(x,y) = = f( ); (x;y)= = f( ), đạt (x;y) = ( ; ) * Nhận xét: √ ; √ (x; y)= √ ; √ ; Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 Thí dụ 11 ( Tìm giá trị lớn biểu thức L(x,y) = ) với , ℝ * Tóm tắt lời giải: - Biến đổi L(x,y) = ; => L(x,y) ≤ - Tìm minL(x,y) = Đạt x=0; ∀ với ∀ , ℝ; L=2 x=0; ∀ ℝ; ℝ * Nhận xét: Thí dụ 12 Tìm giá trị lớn biểu thức M(x,y) = (8+x2+x)(20-x2-x) với ℝ * Tóm tắt lời giải: - Đặt t = (8+x2+x) => M(x,y) = - t2 + 28t với t ≥ - Có M(x,y) = -(t-14)2+196≤196 với t ≥ ; ; M(x,y)=196 t=14x=2; x=-3; - Từ có max M(x,y) = 196 Đạt x=2 x=-3 * Nhận xét: Lựa chọn dạng thức khác t, biểu thức phức tạp khó tìm lời giải Thí dụ 13 Tìm giá trị lớn biểu thức N(x,y) = - x2 - 26y2 + 10xy – 14x + 76y – 59 với , ℝ * Tóm tắt lời giải: - Biến đổi: N(x,y) = -x2 + (10xy – 14x) - 26y2 + 76y – 59 = -(x - (5y-7))2 + (5y-7))2 - 26y2 + 76y – 59 = -(x - (5y-7))2 - y2 + 6y – 10 = -(x - (5y-7))2 – (y – 3)2 – Suy N(x,y) ≤ -1 với , ℝ - N(x,y) = -1 (x - (5y-7))2 = (y – 3)2 = y=3; x=8 - Vậy max N(x,y) = -1, đạt x=8 y=3 * Nhận xét: Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 + Xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + k, cách chọn A theo biến x, y B theo y thích hợp, ta biểu thức F(x,y) có toán tìm F ! + Nếu xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, chọn A theo biến x, y, z; chọn B theo biến x, y, z C biến, ta biểu thức F(x,y,z) có toán tìm F ! Chẳng hạn: từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, chọn A = (-2x-3y+4z); B=√15(x+y) C =√30 , k = 2015; F = (-2x-3y+4z)2+(x+y)2+30z 2+ 2015 Hay: F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015 Khi có toán: Với , , ℝ, tìm giá trị nhỏ biểu thức F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015 (đáp số: F(x,y,z) = 2015, đạt x=y=z=0) + Một cách tổng quát, từ biểu thức F = aA2 + bB2 + cC2 + k, (với a, b, c số dương), cách chọn A=(mx+ny+pz)2, B=(rx+sy)2, C=tz2, k thích hợp, có toán tìm GTNN biểu thức F theo ý muốn ! Thí dụ 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức O(x,y) = √ , ℝ −2 +2 + √ + + với * Tóm tắt lời giải: - Nhận thấy O(x,y) tồn O(x,y) > với ∀ ℝ nên O(x,y) đạt O2(x,y) đạt - Có (√ −2 +2+√ = 2x2 + + ( + + 2)2 =2x2 + + 2√ + 2) − = 2x2 + + 2√ => O2(x,y) ≥ với ∀ ℝ; => O(x,y) ≥ 2√2 với ∀ − + √ +2 +2 +4 ℝ; dấu đẳng thức x = 0; - Vậy O(x,y) = 2√2 * Nhận xét: Thí dụ 15 Cho biết , ℝ/ x2 + y2 = Tìm GTNN GTLN M(x,y) = x4 + y4 + mxy * Tóm tắt lời giải: Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 - Có M(x,y) = -2t2 + mt + với t = xy; x2 + y2 = x2 + y2 ≥ 2|xy| suy |t| ≤ ; - So sánh giá trị với - với => xét trưởng hợp: ≤- ;- < < ; ≥ Từ tìm M(x,y) maxM(x,y) - Nếu m≤-2 m≥2, có M(x,y) = ; maxM(x,y) = ; - Nếu -2 |t| ≥2; p = t2 – 3t + - Với t ≥2, có p = (t-2)(t-1) + => p ≥1; p = t = x = y ≠ 0; - Với t ≤ -2, có p = (t+2)(t-5) +13 => p ≥13 > 1; - Vậy p(x, y) = 1, đạt x = y ≠ ; Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 IV Bài tập tham khảo Bài với x [1; 2] Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Q = Với x [1; 2] f(x) = x2+2x thỏa mãn 3≤f(x)≤8, suy 1≤ ≤ Đáp số : Q = 1, đạt x = ; max Q = , đạt x = * Nhận xét : có toán hay khó hơn: Tìm m để phương trình mx2+2mx -3 = có nghiệm x [1; 2]; Tìm m để phương trình = m có nghiệm x [1; 2] Bài Tìm giá trị lớn biểu thức P = 16x3 – x6 với ℝ Đáp số: max P = 64; đạt x = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 28 + 3x- x + + x- x Gợi ý giải: làm với thí dụ 4; đáp số: P  , đạt x  với , ℝ Bài Biết , , , ℝ; x, y, z, t ≥ thỏa mãn hệ ràng buộc sau: x+7y=50; x+z=60; y+1=15 Tìm giá trị lớn F(x, y, z ) = 2x+y+z+t Đáp: max F = 125; đạt x=50, y=0, z=0, t=15 Bài Với ℝ, tìm G(x) biết G(x) = x(1-x)(x-3)(4-x) Bài Cho , ℝ/ 5(x2 + y2) = 2015 – 8xy Tìm GTLN N(x,y) = x2 + y2 Đáp số: maxN(x,y) = 2015, đạt x=± Bài 10 ; y= -x Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 ℝ, cho f(x) = 2x + |x − 2| + |2x + 1| Tìm f(x) Với Đáp số: f(x) = , đạt x = - Bài Cho , , ℝ / x+y+z=3; h(x) = x2 + y2+z2+xy+yz+zx Tìm h(x,y,z) ? * Tóm tắt lời giải: Đặt x=1+a; y=1+b => z=1-a-b; h =(1+a)2+(1+b)2+(1-a-b)2+(1+a)(1+b)+(1+b)(1-a-b)+(1+a)(1-a-b) = a2+b2+ab+6; h=(a+ )2+ b2+6; g≥6 với ∀a, b; g=6a=b=0x=y=z=1 Vậy h(x,y,z)=6 Bài Cho , ℝ / x≤1; x+y≥3; đặt k(x, y) = 3x2 + y2 + 3xy Tìm k(x, y) ? * Tóm tắt lời giải: Đặt x=1-a; x+y=3+b => a, b ≥0; k = (1-a)2 + (2+a+b)2 + 3(1-a)(2+a+b); k = a2 + b2 – 5a – ab + 7b + 13 = (a – k= )2 + b2 + b + a = ; b = Vậy k(x, y) = ;k≥ , đạt a = ; b = - 11 với ∀a, b ≥0; [...]...Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015 ℝ, cho f(x) = 2x + |x − 2| + |2x + 1| Tìm min f(x) Với Đáp số: min f(x) = , đạt khi x = - Bài 8 Cho , , ℝ / x+y+z=3; h(x) = x2 + y2+z2+xy+yz+zx Tìm min h(x,y,z) ? * Tóm tắt lời giải: Đặt x=1+a; y=1+b => z=1-a-b; h =(1+a)2+(1+b)2+(1-a-b)2+(1+a)(1+b)+(1+b)(1-a-b)+(1+a)(1-a-b) ... giải: 10 − ⎧ 1< ⎪8 − - Biến đổi E(x) = +4 2≤ ⎨3 − < ⎪ ⎩5 − 10 ≤1