Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các Tỉnh có đáp án

Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất... Chứng minh rằng: a MB.BDMD.BC b MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD..

Sở giáo dục và đào tạo

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dơng và biết

Câu V (1.0 điểm):

Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các điểm

B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất

-Hết -H ớng dẫn chấm

câu I

2,5 điểm

1)1,5điểm

2,5 ®iÓm

1)1,5®iÓm

2

a m bc m

3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng

0.25

2 ®iÓm 1,0®iÓm Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (5 = 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) - 3)a + (5 - 3 )b + (5 - 3)c 0.25

Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)3 0.25V× a nguyªn d¬ng nªn 16a + 2010>1 VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè

0.252)

.Thö l¹i x = 7 th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n

c©uIV

2 ®iÓm

1)0,75®iÓm

Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c MBAN néi tiÕp  MAB MNB , MCAP néi tiÕp  CAM CPM

0.25L¹i cã BNM CPM

1,25®iÓm

K

E

B C

A N

M

P D

Do DE//NP nªn DEK NAB , mÆt kh¸c tø gi¸c MNAB néi tiÕp nªn:

A N

M

P

D

Do MA là trung trực của DE MEAMDA 0.25  MEA MDA   MEK MDC  0.25Vì MEK MDK  MDK MDC  DM là phân giác của góc CDK, kết hợp

với AM là phân giác DAB M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của

câu V

1 điểm

D'

B'A'

O

CA

B

DKhông mất tổng quát giả sử:ABAC Gọi B’ là điểm chính giữa cung ABC

AD’ + CD’  AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’

 Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung

Sở giáo dục và đào tạo

Hng yên

đề chính thức

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

Năm học 2009 – 2010 2010 Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

các số nguyên tố thì k chia hết cho 5

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu

vi thì p a p b  p c 3p

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của

cung AB nhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại

C Chứng minh rằng:

a) MB.BDMD.BC

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J

thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng

nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ

- Víi y 3 x2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

- Víi y 3 x2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

C N

b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC  BJC 2BDC 2MBC

c) Kẻ đờng kính MN của (O)  NB  MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC

(  )



0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân

SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH

KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC

b.Tính độ dài AD theo a,b,c

Bài 5(1.5điểm)

12

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b

b a

Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ạ 0

= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)

Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Ta cú ãBAD=CAEã ( Do cung EB = cung EC)

Và ãAEC=DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung AC) nờn

Ta cú ãADC=BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD ΔBDE

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú hay DC

2 2

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm)

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M lần lượt là trung điểm của

BD, AC Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc

với BC tại Q Chứng minh:

a) KM // AB

b) QD = QC

Câu 5: (1,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của

một tam giác có diện tích không lớn hơn 1 Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho

nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4

xy xy

1

x y

22

1

x y

Nếu p  thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 1 2 x ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm 0,25

Nếu p  thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 1   3 x 2; (1) có nghiệm x=2; (3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 2( 4)

1

p x p





+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x  

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm   3 x 2

Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: x0, x1

0,25

Câu 4 (3,0 điểm):

a) 2,0 i m: điểm: ểm:

Gọi I là trung điểm AB,

Suy ra KIBKED IK KE 0,25

Chứng minh tương tự có: MIAMRC 0,25

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD  IK//AD hay IE//AD

Có: QKAD(gt), IE//AD (CM trên)  QK IE Tương tự có QM IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK IE QK là trung trực ứng với cạnh IE của IER Tương tự QM là

Hạ QH CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S) Khi đó

1

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng

này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ) Khi đó S A B C' ' ' 4S ABC 4 Ta sẽ chứng

minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' 'A B C

Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4. 0.25

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG

NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm )

biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm x x 3; 4

thoả mãn điều kiện x3 x1x4  x2 1 xác định b và c

Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểmcủa AB ; AC

1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp

1 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1

2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không

a b c

ab bc ca a   b c  ab bc ca     

=> tứ giác BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> AQOAMO900

tứ giác BOPN nội tiếp => BPO BNO 900

=> AQBAPB900 => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA

a OC OB

NQ ON OM NOQ COA g g

b OC OC

PQ OP OM POQ BOA g g

2.Ta tụ màu cỏc ụ vuụng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua

Lỳc đầu tổng số sỏi ở cỏc ụ đen bằng 1005 2009 là một số lẻ

sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ

vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một số hữu

hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T

Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Môn thi : toán(đề chuyên)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

x

x y x

1) Cho phơng trình: 2x22 2 m 6x 6m52 0 ( với m là tham số, x là ẩn số) Tìm

giá trị của m là số nguyên để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ

2) Tìm số abc thoả mãn: abca b 24c

Bài 4.(3,5 điểm)

Cho ∆ABC nhọn có C A. Đờng tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với các

cạnh AB, BC, CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE

a) Chứng minh: AIB 900 

2

C

b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố

định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng

các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm cố định

 = n 2( trong đó n là số tự nhiên).

Khi đó ta có

2m 32 77n2  2m 32  n2 77 2m 3n  2m 3 n 77

Do nN nên 2m-3+n>2m-3-n

Và do mZ, nN và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)

Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m

2)Từ giả thiết bài toán ta có:

Mặt khác 2.5 2

ab c

c    Vì 0<a<4 và 1+3a7 1+3a=7

 a=2, khi đó c=6 và b=1.Ta có số 216 thoả mãn

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m

*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:

Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ABI  không đổi (tia Bx

là tia phân giác của ABt )

Xét ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cos không đổi

Nh vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do đó K

cố định  đpcm

GIAÛI ẹEÀ CHUYEÂN TOAÙN THPT HUYỉNH MAÃN ẹAẽT – KIEÂN GIANG, NAấM 2009 – 2010

ẹeà, lụứi giaỷi Caựch khaực, nhaọn xeựt

Baứi 1: (1 ủieồm) Cho phửụng trỡnh ax 2 + bx +

c = 0 coự 2 nghieọm phaõn bieọt x 1 , x 2 ẹaởt S 2

a/ ẹũnh m ủeồ phửụng trỡnh coự moọt nghieọm

baống 9 vaứ tỡm taỏt caỷ nghieọm coứn laùi cuỷa

Từ (1) ta có x 0 thế vào (1) ta được pt:

x x x x x

x x

y y

x x

y y

Với m là tham số khác 0.

a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua

hai điểm M, I

b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P)

tại hai điểm phân biệt A, B với AB > 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b

Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:

Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên

hoành độ xA, xB phải thỏa mãn pt: mx2 + 9x

Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R)

và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’).

Tiếp tuyến tại B của

(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại

B của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.

a/ Chứng minh rằng: AB 2 = AC.AD và

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A.

Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một

đường tròn có tâm là K Xác định tâm K

của đường tròn

a/ Xét (O) ta có  

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K

Với K là gaio điểm 3 đường trực của BCE

hoặc BDE

Së GD&§T NghƯ An

§Ị thi chÝnh thøc

K× thi TUYĨN sinh VµO líp 10

trêng thpt chuyªn phan béi ch©u

n¨m häc 2009 - 2010 Mơn thi: TỐN

Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

1

1

2 1

B

O' A E

Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 x  2  3 7  x  3b) Giải hệ phương trình

x y x

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC

Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường

thẳng AO lần lượt tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn

và tứ giác BICK là hình bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn

hoặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c    3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn

phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

1 6

x x

x x

x x

V× tø gi¸c AMIN néi tiÕp nªn  ANM   AIM

V× tø gi¸c BMNC néi tiÕp nªn  ANM   ABC

đồng dạng với tam giác AOB

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC

Không mất tính tổng quát, giả sử A và Onằm về 2 phía của đờng thẳng BC 0,25đSuy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

giả thiết) Suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

MễN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn)

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 thỏng 6 năm 2009Cõu 1: (2,0 điểm)

1 Cho số x (x R ; x > 0 ) thoả món điều kiện : x + 2 12 = 7

+ 2 - 2

xy

1 Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại E Một đường thẳng đi

qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm

của cỏc đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK  BN

2 Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ cỏc

tiếp tuyến AB, AC với đường trũn (O) (B, C là cỏc tiếp điểm) Một gúc xOy

cú số đo bằng 450 cú cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn

sở giáo dục - đào tạo hà

nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 - 2010

Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại các

điểm A , B và AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau)

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm

của HC Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M

và N

a) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

-hết -sở giáo dục đào tạo hà

 (loại)K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2

0,25

Bài 4(3,5 điểm)

a) (1,5 điểm)

E N

M

I

K H

C B

A

0,25

Có AMN AHN (cùng chắn cung AN)

b) (1 điểm) HNC vuông đỉnh N vì ANH 90 0 có KH = KC  NK = HK

lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên KNI = KHI (c.c.c)

Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

x  x  4

Câu 3: (1,0 điểm)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một ca nô chạy xuôi

dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về

A Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ Tính vận tốc

riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần vận

tốc dòng nước

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường

tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d) và nằm

ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O;

R) (N, P là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó.

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5

23

x  y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn)

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi  x; y  1 1 ;

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số

a) Giải phương trình với a = 1

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :

3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6

Câu 4.(3,0 điểm)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3 (a + x)(b + y)(c + z)

b) Từ đó suy ra : 333333 33 2 33

Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh

AB, BC, CD, DA của hình vuông

a) Chứng minh rằng SABCD

AC4

 (MN + NP + PQ + QM)

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán

kính thay đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng

PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm Mcủa Ax và By

1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho

đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định

2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải

bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2

Phương trình (3) viết lại là : t + t - 1 = 02

Giải (3) ta được hai nghiệmt1 1 5

t

Từ đó :

2 2 2

0,500,50

0,50

2xy = (x + y)

  x + y = 02 2  x = y = 0  z = 1

Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1)

0,50

0,50

0,500,50

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Với |y| = 1, từ (3) suy ra x { 0 ; 6}

b) |z| = 3, (2)  (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4)

Từ (4)  11y2  5  y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ;

(6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0)

0,50

0,50

0,500,500,500,50

Câu 4a.

(2,0đ)

3abc3 xyz  3 (a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :

abc + xyz + 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz)3 2 3 2 (a+x)(b+y)(c+z)

2 3

(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz) (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được

0,50

0,50

0,500,50

(1,0) Chu vi tứ giác MNPQ là : MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ

= 2(BJ + JI + IK + KD)  2BD (cmt)

Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ,

MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó

AOB =AMB 90 (giả thiết)

 tứ giác AOBM luôn nội tiếp

 AMO ABO 45  0(vì AOB

vuông cân tại O)

Suy ra M luôn nằm trên đường

thẳng đi qua O và tạo với đường

*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A  H thì M’  P, khi A  K thì M’  R

Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ

đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại A Kẻ bán kính OB 

OA

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO ABO 45  0)

Suy ra : AMB AOB 90  0

Mà AM//PQ , PQ PS  MB//PS

Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.

0,500,50

0,50

0,50

0,500,50

x y

A

B

M M'

B'

Môn thi: Toán (Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề.)

-

1- Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

2- Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Chứng tỏ M = x1 + x2 - x1x2 không phụ thuộc vào giá trị của m

Câu 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn BE và CF là hai đờng cao Trực tâm H Trên

HB và HC lần lợt lấy điểm M , N sao cho AMC ANB 900 Chứng minh : AM = AN

-GiảI đề Thi Câu1: Giải phơng trình

1 2

0

4(

5(

75

x x

2

(2)

, : ® êng

, : ® êng

3( )

H

F

E A