II- Đỏp ỏn và thang điểm:
b. Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa mĩn phương trỡnh:
3 2 2 3 2 3 x + x + x+ = y a (1.0đ) Hệ phương trỡnh đĩ cho 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 3 3 ( )( ) 9 x y x y xy x y xy x y x y xy + = + − = ⇔ + + − = ⇔ + − = 0.5 3 1 2 2 x y x xy y + = = ⇔ ⇔ = = hoặc 2 1 x y = = 0.5 b (1.0đ) Ta cú 2 3 3 2 3 7 2 3 2 2 0 4 8 y − =x x + x+ = x+ + > ⇒ <x y ữ (1) 0.25 2 3 3 2 9 15 ( 2) 4 9 6 2 0 2 4 16 x+ −y = x + x+ = x+ + > ⇒ < +y x ữ (2) 0.25 Từ (1) và (2) ta cú x < y < x+2 mà x, y nguyờn suy ra y = x + 1 0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trỡnh tỡm được x = -1; x
Bài 4.
(3 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O, cạnh a. M là điểm di động trờn đoạn OB (M khụng trựng với O; B). Vẽ đường trũn tõm I đi qua M và tiếp xỳc với BC tại B, vẽ đường trũn tõm J đi qua M và tiếp xỳc với CD tại D. Đường trũn (I) và đường trũn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N. c. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cựng thuộc một đường
trũn. Từ đú suy ra 3 điểmC, M, N thẳng hàng. d. Tớnh OM theo a để tớch NA.NB.NC.ND lớn nhất. K H N O I J B A D C M a. 2.0đ ∠MNB= ∠MBC( Cựng chắn cung BM) MND MDC ∠ = ∠ ( Cựng chắn cung DM) 90 BND MNB MND MBC MDC ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = o
Do đú 5 điểm A, B, C, D, M cựng thuộc một đường trũn
1.5
Suy ra NC là phõn giỏc của gúc BND ( do cung BC = cung BD) Mặt khỏc, theo CM trờn ta cú NM là phõn giỏc của gúc BND Nờn M, N, C thẳng hàng.
0.5
b.
1.0đ Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu của N trờn AC và BD⇒ NHOK là hỡnh chữ nhật Ta cú : NA NC. =NH AC. =NH a. 2 NB ND NK BD NK a. = . = . 2 Suy ra 2 2 4 2 2 2 2 . . . 2 . . 2 . . 2 2 NH NK a NA NB NC ND= a NH NK ≤ a + =a NO = 0.5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2 a NH =NK = (2 2) 2 a OM − ⇔ = 0.5
(0.5 điểm)
sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyờn lớn hơn 1. Chứng minh rằng luụn tồn tại ớt nhất ba đường thẳng phõn biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài cỏc đoạn thẳng OB và OC đều là cỏc số nguyờn dương.
y z x A O B C
• Chỉ ra đường thẳng d1 đi qua A và vuụng gúc với OA thỏa mĩn bài toỏn
• Đặt OA = a > 1 (a nguyờn). Trờn tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1 nguyờn dương. Đường thẳng d2đi qua A, B cắt tia Oy tại C. Chứng minh được 1 1 1 OB OC+ =OA 1 1 1 ( 1) 1 OC a a a OC a ⇒ + = ⇒ = + + là số nguyờn dương Suy ra d2 là một đường thẳng cần tỡm.
• Tương tự lấy B trờn Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tỡm được đường thẳng d3
• Chứng minh d d d1, ,2 3 phõn biệt. ĐPCM
0.5
Hướng dẫn chung
1. Trờn đõy chỉ là cỏc bước giải và khung điểm cho từng cõu. Yờu cầu học sinh phải trỡnh bầy, lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
2. Bài 4 phải cú hỡnh vẽ đỳng và phự hợp với lời giải bài toỏn mới cho điểm.( khụng cho điểm hỡnh vẽ )
3. Những cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.
4. Chấm điểm từng phần, điểm tồn bài là tổng cỏc điểm thành phần( khụng làm trũn).
Năm học 2007- 2008
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – TP hà nội Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P= 1. Rỳt gọn biểu thức P 2. Tỡm x để P < 1 2 Bài 2: (2,5 điểm)
Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập phương trỡnh
Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 24km. Khi từ B trở về A người đú tăng vận tốc thờm 4km/h so với lỳc đi, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi 30 phỳt. Tớnh vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: (1 điểm) Cho phương trỡnh
1. Giải phương trỡnh khi b= -3 và c=2
2. Tỡm b,c để phương trỡnh đĩ cho cú hai nghiệm phõn biệt và tớch của chỳng bằng 1
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc ABH đồng dạng với tam giỏc EAH.
2. Lấy điểm C trờn d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giỏc nội tiếp.
3. Xỏc định vị trớ điểm H để AB= R .
Bài 5: (0,5 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng đú là lớn nhất.
Gợi ý một phương ỏn bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội Năm học 2007-2008
Bài 1: P=
1. Kết quả rỳt gọn với điều kiện xỏc định của biểu thức P là
2. Yờu cầu . Đối
chiếu với điều kiện xỏc định của P cú kết quả cần tỡm là
Bài 2:
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tớnh km/h, điều kiện là x>0) ta cú phương trỡnh . Giải ra ta cú nghiệm x=12(km/h)
Bài 3:
1. Khi b=-3, c= 2 phương trỡnh x2-3x+2=0 cú nghiệm là x=1, x=2 2. Điều kiện cần tỡm là
Bài 4:
1. vỡ cựng chắn cung AE. Do đú tam giỏc ABH và EHA đồng dạng.
2. nờn hay
. Vậy tứ giỏc AHEK là nội tiếp đường trũn đường kớnh AE. 3. M là trung điểm EB thỡ OM vuụng gúc BE, OM=AH. Ta cú
đều cạnh R. Vậy AH= OM=
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cỏch lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuụng gúc với OA hay hệ số gúc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
Năm học 2007- 2008
Kè THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP HO CHI MINH
(TG: 120 phỳt)
Cõu 1: (1, 5 điểm)
Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau: a) x2 – 2 x + 4 = 0 b) x4 – 29x2 + 100 = 0 c) 5 6 17 9 7 x y x y + = − = Cõu 2: (1, 5 điểm)
Thu gọn cỏc biểu thức sau: a)
b)
Cõu 3: (1 điểm)
Một khu vườn hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng 675 m2 và cú chu vi bằng 120 m. Tỡm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Cõu 4: (2 điểm)
Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số. a) Giải phương trỡnh với m = 1.
b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 ,x2.
c) Với điều kiện của cõu b hĩy tỡm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 5: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Đường trũn đường kớnh BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giỏc BEFC nội tiếp và AH vuụng gúc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Tớnh tỉ số OK
BC khi tứ giỏc BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tớnh HC.
Gợi ý một phương ỏn bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2007-2008
Cõu 1:
a) Ta cú Δ’ = 1 nờn phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt là x1 = 5 – 1 và x2 = 5 + 1.
b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta được phương trỡnh trở thành t2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x2 = 25 x = ± 5. * t = 4 x2 = 4 x = ± 2.
Vậy phương trỡnh đĩ cho cú 4 nghiệm là ± 2; ±5. c)
Cõu 2:
a) b)
Cõu 3:
Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0). Theo đề bài ta cú:
Ta cú: (*) x2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15. Khi x = 45 thỡ y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thỡ y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)
Cõu 4:
Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1) a) Khi m = 1 thỡ (1) trở thành:
x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1. b) (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 m > 1. c) Khi m > 1 ta cú:
S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1
Do đú: A = P – S = m2 – m + 1 – 2m = m2 – 3m + 1 = − ≥ – . Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thỡ A đạt giỏ trị nhỏ nhất và GTNN của A là – .
a) * Ta cú E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường trũn đường kớnh BC.
Tứ giỏc BEFC nội tiếp đường trũn đường kớnh BC.
* Ta cú (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC. H là trực tõm của Δ ABC.
AH vuụng gúc với BC.
b) Xột Δ AEC và Δ AFB cú: chung và
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta cú:
mà và (do
AEHF nội tiếp)
Ta cú: K là trung điểm của BC, O là tõm đường trũn ngoại tiếp ABC OK vuụng gúc với BC mà tam giỏc OBC cõn tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nờn d) d) Xột Δ EHB và Δ FHC cú: (đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6. * Khi HC = 2 thỡ HE = 6 (khụng thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thỡ HE = 2 (thỏa HC > HE) Vậy HC = 6 (cm).
Đề thi vào lớp 10 ptth tp hà nội– Mơn tốn - ( thời gian 120’) B ài I Cho biểu thức 1 : 1 x x P x x x x = + ữ ữ ữữ − + 1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 3) Tìm x để P = 13
3 B
ài II : Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy . Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15% và tổ hai vợt mức 10 % so với tháng thứ nhất , vì vậy hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết máy .Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?
Bài III :
Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho Parapol (P) cĩ ptrình là :
21 1 2 y= x và đờng thẳng (d) cĩ phơng trình y = mx + 1
a) CMR: với mọi giá trị của m đờng thẳng (d) luơn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt .
b) Gọi A ,B là hai giao điểm của (d) và (P) .Tính diện tích ∆AOB theo m ( O là gốc toạ độ )
B ài IV :
Cho đtrịn (O), đờng kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đờng trịn đĩ ( E khác A và B). Đờng phân giác gĩc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đờng trịn (O) tại điểm thứ hai là K.
a) Chứng minh ∆KAF đồng dạng ∆KEA.
b) Gọi I là giao điểm của đờng trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đờng trịn (I) bán kính IE tiếp xúc với đờng trịn (O) tại E và tiếp xúc với đờng thẳng AB tại F. c) Chứng minh MN // AB , trong đĩ M và N lần lợt là giao điểm thứ hai của AE , BE
với đờng trịn (I).
d) Tính giá trị nhỏ nhất chu vi của ∆KPQ theo R khi E di chuyển trên đờng trịn (O), với P là giao điểm của NE và AK, Q là giao điểm của MF và BK.
B ài V :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết ( ) (4 )4 ( ) (2 )2
1 3 6 1 3
A= x− + −x + x− x−
Đỏp ỏn
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2008 - 2009 Cõu I.
1. Rỳt gọn P Điều kiện:
2. Với 3. Tỡm x để: Đặt Với Với Vậy nghiệm là : và Cõu II .
Gọi thỏng thứ nhất tổ I sản xuất được x ( chi tiết mỏy)
Do thỏng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết mỏy nờn thỏng thứ hai tổ II sản xuất được 900 – x (chi tiết mỏy)
(Điều kiện: 0< x < 900)
Thỏng thứ hai tổ I vượt mức 15% nờn tổ I sản xuất được số chi tiết mỏy là: x + x.15%= x.115% (chi tiết mỏy) (1)
Thỏng thứ hai tổ II vượt mức 10% nờn tổ II sản xuất được số chi tiết mỏy là: (900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x). 110% ( chi tiết mỏy) (2)
Trong thỏng hai cả hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết mỏy, nờn từ (1) và (2) ta cú phương trỡnh:
Vậy thỏng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 (chi tiết mỏy)
Vậy thỏng thứ nhất tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết mỏy)
Cõu III.
1. Phương trỡnh hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trỡnh: (1)
(1) cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m vỡ a.c = - 4 < 0 (2) Vậy (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt
2.Phương trỡnh (1) cú:
Phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm: và
Ta chọn: và
Thay vào (d): ta được: và
Gọi A’ và B’ lần lượt là hỡnh chiếu của A và B lờn trục Ox
Gọi S1 là diện tớch của hỡnh thang ABB’A’
Gọi S2 là diện tớch của tam giỏc AOA’
(vỡ ) Gọi S3 là diện tớch của tam giỏc BOB’
Vậy (vỡ )
Diện tớch:
(đvdt)
1) Xột hai và cú: Gúc chung (1)
( gúc nội tiếp ) (2) Từ (1) và (2) suy ra:
(g.g)
2. Do EK là đường phõn giỏc của gúc nờn K là điểm chớnh giữa của cung AB suy ra
Mà OK = OE nờn cõn tại O (3)
Mặt khỏc: I là giao điểm của đường trung trực EF và OE nờn IF = IE vậy
cõn tại (4)
Từ (3) và (4) suy ra
Vậy IF // OK ( Do )
Vậy đường trũn ( I; IE ) tiếp xỳc với AB
+) Ta cú: E, I, O thẳng hàng và OI = OE – IE = R – IE nờn đường trũn ( I; IE ) tiếp xỳc với (O; R)
3. AE cắt (I) tại M, BE cắt (I) tại N
Mà suy ra MN là đường kớnh của đường trũn ( I ) nờn MN đi qua I
Hơn nữa EF là phõn giỏc của gúc
Theo chứng minh tương tự cõu a ta suy ra Vậy MN // AB
4. Theo đề bài ta cú NF cắt AK tại P, MF cắt BK tại Q Suy ra ( vỡ hai gúc đối đỉnh)
Mà gúc ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn ( O ) ) Vậy tứ giỏc PKQF là tứ giỏc nội tiếp đường trũn
Suy ra ( vỡ cựng chắn cung KQ ) Mà ( đối đỉnh)
Mặt khỏc ( do cựng chắn cung ME và MN // AB ) Hơn nữa ( vỡ cựng chắn cung AE )
Suy ra và (chắn cung FQ) Vậy suy ra PKQF là hỡnh chữ nhật Mặt khỏc: vuụng cõn tại P Suy ra AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuụng cõn tại K
Vậy chu vi tam giỏc KPQ là:
( do PQ = KF)
Vậy trựng với O hay E là điểm chớnh giữa của cung AB
Cõu V. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A
(*) Đặt Khi đú (*) (vỡ ) Vậy Năm học 2008- 2009
Đề thi vào lớp 10 ptth tp Hồ chí minh– Mơn tốn - ( thời gian 120’)
B ài I
GiảI các phơng trình và hệ phơng trình sau : a) 2x2+3x− =5 0. b) x4−3x2− =4 0 c) 2 1 3 4 1 x y x y + = + = − B ài II : a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = - x2 và đờng thẳng (d) y = x - 2 trên cùng một hệ trục toạ độ .
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d) ở câu trên bằng phép tính. Bài
III :
Thu gọn biểu thức sau : a) A= 7 4 3− − 7 4 3+ b) 1 1 . 2 4 8 4 4 4 x x x x x x B x x x x + − + − − = − ữ ữ ữữ − + + với x > 0, x ≠ 4 B ài IV :
Cho phơng trình x2 - 2mx - 1 = 0 ( m là tham số )
a) Chứng minh phơng trình trên luơn cĩ hai nghiệm với mọi m. b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phơng trình trên . Tìm m để 2 2
1 2 1 2 7
x +x −x x = B
ài V :
Từ một điểm M nằm ngồi đờng trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và hai tuyến tuyến MA , MB đến đờng trịn (O) ở đây A , B là các tiếp điểm và C nằm giữa M và D.
a) Chứng minh : MA2 = MC.MD
b) Gọi I là trung điểm của CD . Chứng minh 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đờng trịn .
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đờng trịn .