Tông hợp bài tập môn điều kiển tự động

Lời giải: Từ sơ đồ khối trên ta có được phương trình: Từ phương trình 3 và 4 thay vào x2: Lấy phương trình 5 thế vào phương trình 2: Thế phương trình 6 vào phương trình 1: Như vậy: Bài 1

Thực hiện cộng tại điểm x của hình 1, tai đây ta có:

Hay

Từ sơ đồ khối và phương trình trên ta có:

Với sơ đồ hệ thống ở hình 2 và 3 chúng ta phải tìm mối quan hệ giữa y và uHình 2 ta cộng tại điểm x:

Kết hợp 2 phương trình ta có:

So sánh với (*) ta có:

Trong hình 3:

Từ sơ đồ khối ở hình 1 ta có được khâu phản hồi của hệ thống:

Và

Thay vào khâu phản hồi:

Với y = x1, ta có được hàm truyền của khâu phản hồi:

Từ sơ đồ khối hình 1 ta có:

Bài 1-5:

Cho hệ thống được trình bày hình dưới Hãy tìm mối quan hệ giữa u và y (

) là 1 hàm theo H1, H2, G1, G2 và G3.

Lời giải:

Từ sơ đồ khối trên ta có được phương trình:

Từ phương trình (3) và (4) thay vào x2:

Lấy phương trình (5) thế vào phương trình (2):

Thế phương trình (6) vào phương trình (1):

Như vậy:

Bài 1- 6:

Cho sơ đồ khối của hệ thống như sau:

Hãy tìm hàm truyền của hệ thống và tối giản sơ đồ khối

Lời giải:

Hệ thống có 2 khâu phản hồi Ta sắp xếp lại sao cho chỉ còn 1 khâu phản hồi Chuyển điểm A của khâu phản hồi phía dưới tới điểm A’ thì phải biến đổi H2

thành

Chuyển điểm B ở phía trên tới điểm B’ thì H1 được biến đổi thành:

Sơ đồ khối được chuyển đổi tương đương thành:

2 khâu phản hồi được chuyển thành 1 khâu , với :

Từ sơ đồ khối vừa có, ta có được hàm truyền được đơn giản hóa như sau:

Bài 1-7: Thu gọn sơ đồ của hệ thống điều khiển vòng kín nhiều vòng hình dưới thành sơ đồ đơn giản:

Giải:

Để có thể thu gọn sơ đồ trên cần phải dùng những quy tắc sau:

Nên ta có sơ đồ dòng tín hiệu cua bộ khuếh đại là:

Bài 1- 10: Mạch điện bao gồm điện trở và tụ điện được chỉ ra trong hình Sơ

đồ khối được chỉ ra trong hình 2 Yêu cầu tìm tất cả các hàm truyền từ G1 cho đến G6 thu gọn sơ đồ hình 2 về sơ đồ hình 3:

Giải:

Áp dụng các định luật giải mạch điện ta được ma trận như hình dưới:

Thay đổi các vòng trên sơ đồ hình 2 ta tìm được

Bài 1-14: Cho sơ đồ điều khiển động cơ DC như hình dưới

Tìm hàm truyền Cho các thông số sau:

Giải:

Các phương trình toán học mô tả hệ thống:

Thực hiện biến đổi laplace ta có:

Có :

Tính các hệ số:

Vậy hàm truyền tìm được là:

Bài 1-15: Cho hệ thống nhiều vòng lập và sơ đồ vòng tín hiệu của nó như hình 1 vàhình 2

Tìm hàm truyền vòng kín của hệ thống sử dụng công thức Mason

Bài làm:

Độ lợi của các vòng tiến:( tín hiệu thẳng từ đầu vào đến đầu ra)

P1=G1G2G3

Độ lợi của các vòng kín( hệ thống có 3 vòng kín)

Vậy hàm truyền của hệ thống là:

Bài 1-20: Cho sơ đồ vòng tín hiệu của hệ thống như hình vẽ, tìm hàm truyến

Vậy hàm truyền của hệ thống là:

Bài 1-24: Sử dụng công thức mason để tìm hàm truyền vòng kín cho hệ thống có

sơ đồ vòng tín hiệu như hình vẽ:

Bài 1-26: Cho sơ đồ khối và sơ đồ vòng tín hiệu của hệ thống như hình vẽ Dùng công thức mason tìm hàm truyền vòng kín :

Vậy hàm truyền của hệ thống là:

Bài 1-31

Viết phương trình trạng thái cho hệ thống lò xo giảm chấn được cho như hình vẽ Tín hiệu vào f(t) là lực tác dụng ở đầu lò xo

Giải:

Đặt y1(t) và y2(t) là hai đầu vị trí của lò xo

Ta phân tích hệ thống như sau:

Phương trình lực tác dụng của hệ thống:

Thế phương trình 1 vào 2 ta được:

Đặt:

Ta được phương trình của hệ thống như sau:

Bài 3- 2: Tìm biến đổi Laplace của hàm :

Bài 3-3: Dùng dạng chuyển đổi Laplace sau :

và các định lý vi phân Hãy tìm chuyển đổi Laplace của hàm sau:

Bài 3-4:

Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau:

với a là 1 hằng số với a, A là các hằng số Lời giải:

a) Theo định nghĩa về phép biến đổi Laplace ta có:

Các hệ số K1, K2, K3 được tính như sau:

Hàm G(s) được viết lại như sau:

Biến đổi laplace ngược của hàm G(s) là:

Áp dụng thêm định lý:

Vậy ta có:

Vậy f(t) cần tìm là:

Trong trường hợp này:

Biến đổi laplace có

Có:

Và

X(s) được viết lại như sau:

Vậy laplace ngược ta được x(t) :

Vì áp dụng công thức :

Bài 3-26: Tìm laplace ngược của hàm:

Bài làm:

Ta viết lại hàm F(s) như sau:

Áp dụng định lí trễ và laplace ngược của hàm sin và cost a được:

Định lí trễ:

Vậy ta có:

Bài 3-27: Tìm laplace ngược của hàm:

Chia tử số cho mẫu số ta được:

Tối giản phân thức ta được:

Lấy ảnh Laplace ngược ta có:

Bài 3-29

Biến đổi Laplace ngược của hàm sau:

Giải:

Biến đổi Laplace của phương trình vi phân

Áp dụng các điều kiện cho trước ta có được

hoặc

Biến đổi Laplace ngược ta có được:

Tại các điểm 1,2,3 ta có các giá trị

Thực hiện phép nhân và giải phương trình ta tìm được hàm truyền của hệ thống

Ở sơ đồ khối thứ hai ta có

Từ đó ta rút ra được hàm truyền của hệ thống

Bài 5-4: cho hệ thống như hình vẽ có 2 tín hiệu vào, một tín hiệu chuẩn và một tín hiệu nhiễu chỉ ra rằng phương trình đặc tính của hệ thống sẽ không thay đổi khi thay thế tín hiệu vào chuẩn bằng tín hiệu vào là nhiễu

Áp dụng định luật Kirchhoff cho mạch điện trên

Cho điện áp đầu ra:

Kết hợp hai phép tính ta có

Biến đổi laplace cho biểu thức trên:

Hàm truyền và sơ đồ của hệ thống

Gộp hai công thức lại ta có:

Chuyển đổi sang laplace với điều khiện ban đầu là 0

Hàm truyền là:

Với

Áp dụng định luật II Newton ta có được

Biến đổi Laplace ta có

Ban đầu hệ thống ở trạng thái nghỉ do đó ta có

Ta tính được X(s)

Tiến hành lấy ảnh Laplace ngược ta có

Thời gian tăng trưởng 5s

Bài 6-4: cho hệ thống bên dưới có các thông số như sau: ξ=0.4 và ωn= 5 rad/s

Hệ thống chịu tác động bởi tín hiệu bước đơn vị Tìm thời gian tăng trưởng tr , thờigian quá chỉnh tp , độ vọt lố Mp và thời gian quá độ ts

Bài 6-7: Cho hàm truyền của hệ thống tìm đáp ứng bước ngõ ra của hệ thống khi tínhiệu vào là bước đơn vị.

Ta có thể viết lại được y(s) như sau:

Các hệ số được xác định như sau:

Cho hàm truyền của hệ thống

Cho tìm đáp ứng thời gian của hệ thống Tìm đáp ứng thời gian của hệ thống

Giải

Với điều kiện ban đầu là 0 Có biến đổi Laplace là:

Và

là dạng chuẩn Sử dụng biển đổi tương đương ta có:

Ta có:

Bài 6-13: Cho hệ thống điều khiển như hình dưới:

Cho K và P sao cho độ vọt lố lớn nhất khi đầu vào là đáp ứng đơn vị là 0.4 Thời gian đỉnh là 1s Tìm thời gian lên

Giải

Có độ vọt lố là:

Do Mp=0.4 nên

Cho k>0 đáp ứng là đóng về phía bên phải, điều đó có thể chỉ ra rằng khi s=R

=>∞ khi F(R)>0 Điểm -1 không bị bao bởi đáp ứng, vì vậy hệ thống là ổn định theo nyquist

F(s) có 1 zero trên đối tượng nên điểm uốn cong của đồ thị tại điểm S=∞ khi qua góc tọa độ

Bài 3: chỉ ra sự ổn định của hệ thống khi thay đổi K2 với hàm truyền vòng hở như sau:

Cho biểu đồ myquist như hình vẽ khi T4> T1 , T2 , T3

Bài làm :

Diểm -1+j0 không bị bao bởi đáp ứng vì vậy hệ thống ổn định Tuy nhiên khi ta tăng giá trị k2 đủ lớn thì đáp ứng có thể bao điểm -1+j0 và hệ thống sẽ trở thành giao động

Bài 4 : cho hệ thống có hàm truyền vòng hở như sau :

Vẽ biểu đồ nyquist và xét tính ổn định của hệ thống

Bài làm :

- Phần tại Góc tọa độ của đối tượng :

Chúng ta xét vòng bao bán nguyệt tượng trưng quanh điểm cực bởi

s=εejΦ.Khi Φ biến đổi từ -900 tại ω=0- đến +900 tại ω=0+ Ta có :

Vậy góc của đường bao của đáp ứng sẽ thay đổi từ -900 tại ω=0- đến +900 tại ω=0+,

nó đi qua điểm 00 tại ω=0

- Phần từ ω=0+ đến ω=+∞

Khi s=jω thì GH(s)|s=jω= GH(jω) ta có:

Độ lớn tiến về 0 tại góc -1800.

- Phần từ ω=+∞ đến ω=-∞

Khi Φ thay đổi từ Φ =+900 tại ω=+∞ đến Φ =-900 tại ω=-∞ Đường bao di chuyển

từ -1800 tại ω= +∞ đến góc 1800 tại ω= -∞ với độ lớn không đổi

Bài 7-7 : cho hàm truyền vòng hở của hệ thống Vẽ biểu đồ quỹ tích nghiệm của

hệ thống

Bài làm :

Từ hàm truyền vòng hở ta tính được ba điểm cực của hệ thống, D=-20, và 2 điểm D=0 Hệ thống có 1 điểm zero D=-12 Vì vậy quỹ tích nghiệm của hệ thống sẽ có 2nhánh xuất phát từ 0 khi K0=0 và tiến đến ∞ khi K0=∞ , một nhánh xuất phát từ -

20 khi K0=0 và tiến đến -12 khi K0=∞

Góc của các đường tiệm cận và điểm xuất phát của các đường tiệm cận là :

Vậy quỹ tích nghiệm có dạng ;

Vì phương trình đặc tính có hai nghiệm thực nên biểu đồ quĩ tích nghiệm có hainhánh Khi K=0, D1=0 và D2=0 là hai điểm xuất phát của đường quĩ tích nghiệm.Hai nghiệm D1 và D2 không thể là nghiệm phức với bất kì giá trị nào của K vì 16 +

K2 > 0 Các nghiệm này luôn là số thực âm vì

Thay vào ta tìm được K = 20

Biểu đồ quĩ tích nghiệm của hệ thống như hình vẽ sau

Bài 7-12

Cho hệ thống sau

Vẽ biểu đồ quĩ tích nghiệm

Giải:

Nghiệm của phương trình đặc tính là

Để 9 – 4K > 0 tất cả các nghiệm đều là số thực âm, ta có

với

ảo bằng

Phần ảo sẽ tiến đến vô cùng khi K → ∞

Với mọi giá trịnh của K thì hệ thống ổn định vì tất cả các nghiệm đều nằm bên trái mặt phẳng phức

Biểu đồ quĩ tích nghiệm:

Bài 7-14

Cho hàm truyền hệ thống vòng hở như sau

Vẽ biểu đồ quĩ tích nghiệm

Giải:

1) Hàm truyền của hệ thống là

2) Các điểm cực là 0 , -1-j , -1+j

Do đó quĩ tích nghiệm sẽ có ba nhánh, bắt đầu từ những điểm có K’=0

3) Mỗi nhánh quĩ tích sẽ kết thúc tại ∞, bởi vì không có điểm zero Góc tiệm cận của các nhánh khi K’ → ∞ sẽ là

Tiệm cận sẽ cắt trục thực tại điểm

4) Không có các điểm tách nhập Một nhánh quĩ tích sẽ bắt đầu từ 0 khi K’ = 0

và tiến theo trục thực âm về -∞ khi K’ → +∞

5) Thay jb vào D ta sẽ tìm được điểm cắt của quĩ tích nghiệm với trục ảo

Giải ra ta tìm được

Như vậy quĩ tích cắt trục ảo tại

6) Góc xuất phát từ điểm cực -1+j

Từ điểm cực -1-j

Biểu đồ quĩ tích nghiệm

Bài 7-15:

Cho hàm truyền vòng hở của hệ thống là:

Xác định giá trị của K0’ sao cho hệ thống ổn định và vẽ quỹ tích nghiệm của

hệ thống?

Lời giải:

Phương trình đặc tính của hệ thống có 3 nghiệm, vì vậy quỹ tích nghiệm có 3 nhánh Quỹ tích bắt đầu ở điểm 0, -1, -8 và kết thúc ở điểm vô cùng, Góc tiệm cận là:

Đường tiệm cận cắt trục thực tại điểm:

1 điểm tách nằm giữa 0 và 1 Quỹ tích vẫn liên tục trên trục thực giữa 0 và -1, và giữa điểm -8 và -

Như vậy, D=-0.5 tương ứng với điểm tách Vậy K0’ là:

Thay jb=D vào phương trình đặc tính:

Ta có

Giải ta có:

Ta nhận thấy quỹ tích nghiệm cắt trục ảo tại , ứng với K0’ = 72 Hàm truyền vòng kín không có điểm cực và điểm zero Tổng các nghiệm của phương trình đặc tính là -9 Với K0’ =72 thì 2 nghiệm là -2.83 và 2.83 Như vậy cả 3 nghiệm phải là -9 Chúng ta thấy rằng K0’ =72 xác định tại -9 trên nhánh bắt đầu từ -8 tới - Với K0’ < 72 thì hệ thống ổn định

Với K0’ = 72 thì hệ thống ở biên giới ổn định

Với K0’ > 72 thì hệ thống không ổn định

Bài 7-28:

Sơ đồ khối của hệ thống trình bày ở hình 1, K>o.

Vẽ quỹ tích nghiệm của hệ thống, Chú ý: với K lớn và bé thì hệ thống có nhiễu răng cưa, với K trung bình thì hệ đáp ứng trơn.

Lời giải:

Vẽ quỹ tích nghiệm chúng ta phải thực hiện các bước sau:

1) Hiển thị trên mặt phẳng phức các điểm cực và điểm không vòng hở Tồn tại quỹ tịch nghiệm trên phần ân trục thực giữa -3 và -2 và giữa -1 và 0

2) Không có đường tiệm cận trong miền phức từ điểm cực và zero của vòng hở.3) Từ phương trình đặc tính của hệ thống:

Chúng ta xác định được điểm tách và điểm nhập

Giải phương trình ta có:

K= 14

Các giá trị của K trong 2 trường hợp để xác định được điểm tách và điểm nhập Điểm s=-2.366 nằm giữa 2 điểm không, do vậy nó là điểm nhập, còn s= -0.634

là điểm tách

4) Ở hình 2 thể hiện quỹ tích nghiệm của hệ thống Chúng ta có thể tìm đầy đủ các điểm thõa mãn điều kiện góc.

5) Ta có thể xác định đường kính quỹ tích nghiệm tương ứng với giá trị K bằngcách dùng điều kiện về độ lớn Với 1 giá trị K được đưa ra thì các cực vòng kín đều thõa mãn điều kiện về góc và độ lớn, có thể tìm từ quỹ đạo nghiệm số

Hệ thống là ổn định với 1 vài giá trị dương của K

Với 0<K<0.0718 và K>14 hệ thống bị nhiễu răng cưa, hệ trơn láng với

Chúng ta sẽ bắt đầu với đồ thị biên độ và góc pha của

và kết hợp cả 2 đường cong trên Đồ thị biên độ với

và được hiển thị trên hình 1

Hình 1

số khác nhau

không Điều này đúng với thực tế rằng logarithm của 1 số bình phương thì bằng

2 lần tích

Bài 7-33:

Vẽ biểu đồ Bode từ hàm truyền:

3) Vẽ 1 đường từ điểm này với độ dốc

Hình vẽ được thể hiện từ đồ thị gần đúng trên

Bài 7-34: Hàm truyền của hệ thống được biểu diễn như sau:

Vẽ đồ thị bode của hệ thống

Giải:

Đầu tiên ta tín biên độ hàm log có được

Góc pha là G(jw) là:

Đầu vào là dạng sin có dạng:

Gỉa sử đầu ra của hệ thống được cho qua bộ lọc mà loại bỏ tất cả các tín hiệu có biên độ nhỏ 0.01mV Tìm tần số cắt wc sao cho với tất cả thì bộ lọc sẽ không quan sát được tín hiệu đầu vào

Giải

Ta có:

Ta tính được:

Biên độ A được tính như sau:

với Wc=Wn ta tìm được A=0.01 Ta tìm được

Thay vào phương trình trên đầu bài ta có:

Chi cả hai vế cho ta được

Sử dụng phương pháp phản hồi biến trạng thái đặt cực của hệ thống là -4 và -6.

Chúng ta áp dụng phương pháp kéo theo từ ma trận [A,B] có thể điều khiển được

ta có thể sử dụng biến phản hồi có thể thay đổi được Trong trường hợp này khi đưa ra hệ thống có dạng

A là ma trận bất kỳ n x n

B là ma trận bất kỳ n x m

Và [A,B] điều khiển được Tại đó tồn tại ít nhất một ma trận phản hồi G m x n

Mà trị số đặc trưng của A-BG bằng giá trị cần mong muốn Có đa thức đặc tính

Phân tích tính ổn định của hệ thống Giả sử một điểm zero được đưa vào tại s = giữa gốc và điểm cực Vẽ biểu đồ quĩ tích nghiệm mới Xét tính ổn địnhcủa hệ thống.

Giải:

Ở hình 1 ta thấy toàn bộ một nhánh của quĩ tích nghiệm nằm ở bên phải mặtphẳng phức vì thế hệ thống không ổn định với mọi giá trị K Khi thêm mộtđiểm zero tại , số cực trừ đi số zero bằng 2 Vì thế sẽ có tiệm cận đứng tại

Khi K = 0, quĩ tích đi qua gốc toạ độ và phần quĩ tích trên trục thực nằm giữa hai điểm và

Biểu đồ quĩ tích nghiệm được vẽ lại:

Bài 18:

Cho hệ thống được mô tả bởi:

Hàm truyền của hệ thống được phân tích như sau:

Nhân thêm s và vào hàm truyền của hệ thống rồi phân tích ra:

Chú ý rằng:

Sau đó ta đặt

Điều kiện ban đầu của hệ thống:

Phương trình hàm truyền vòng kính viết theo cách khác có dạng sau :

Chúng ta hãy đặt các biến trạng thái :

Với các hệ số được chỉ ra bởi phương trình :

Phương trình không gian trạng thái có dạng sau :

Vậy trong trường hợp của ta là :

Và hàm truyền Y(s) và X1(s) là:

Hàm truyền Y(s) và U(s) là:

Bài 12-9 ; cho hệ thống có hàm truyền không gian trạng thái như sau Xét khả năngđiều khiển của hệ thống

Bài làm :

Cho hệ thống trên có khả năng điều khiển trạng thái được, thì điều kiện cần và đủ

là ma trận S phải có hạng(rank) là 2 với S=[ B AB]

Hạng của ma trận là 3 Vậy hệ thống quan sát được.

Vector là các hàng độc lập, vì vậy hệ thống hoàn toàn có thể điều khiển được

Hệ thống hoàn toàn có thể quan sát được khi vector C*, A*C*, là các hàng độc lập

Thực hiện phép biến đổi:

Nghiệm của phương trình là:

Phương trình đặc tính có một nghiệm dương D3 = 2 do đó hệ thống không ổn định

Bài 13-2

Xét tính ổn định của hệ thống có hàm truyền

Giải:

Phương trình đặc tính hệ thống:

Giải ra nghiệm của phương trình

Cho hệ thống đươc đưa ra ở dạng tiêu chuẩn Jordan, sau khi chuyển đổi:

Tối giản hệ thống dựa vào tính quan sát được và điều khiển được

Chứng tỏ rằng ma trận của hệ thống tối giản tương tự như ma trận ban đầu?Lời giải

Hệ thống dạng Jordan có các giá trị riêng khác nhau, như vậy tính điều khiển được

và quan sát được dễ dàng xác định được

Hàng thứ 3 của ma trận Bn là 0, nên q3 không điều khiển được Cột thứ 2 của Cn là

0, vậy nên q2 cũng không điều khiển được q2 và q3 bị loại từ đó chúng không còn tác dụng với ngõ vào-ngõ ra:

Khi đó:

, với hệ thống ban đầu:

Với hệ thống tối giản:

Như vậy ma trận là như nhau đối với cả 2 phương trình trạng thái

Chúng ta tìm :

S có thể được viết lại như sau:

Có thể dễ dàng kiểm tra được hạng của S là 3 và hệ thống là điều khiển được

Bài 13-12 : cho hàm truyền vòng kính Dùng tiêu chuẩn routh tìm k để hệ thống ổnđịnh

Bài làm :

Phương trình đặc tính của hệ thống là :

Bảng routh như sau ;

Diều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số ở cột 1 của bảng phải đều dương nên ta có :