é THI THI I HC S 13 Mụn thi : TO N - làm bài:180 phút A PHN DNH CHO TT C TH SINH Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + cú th (Cm) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = Tỡm m hm s ng bin trờn khong ( 2;+ ) Cõu II (2 im) a) Gii phng trỡnh: cos 3x (2 cos x + 1) = 2 b) Gii phng trỡnh : (3x + 1) x = x + ln Cõu III (1 im) Tớnh tớch phõn I= x3 dx ( e + 2) x Cõu IV (1 im) Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn mt phng (ABC) trựng vi tõm O ca tam giỏc ABC Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC bit khong cỏch gia AA a Cõu V (1 im) v BC l Cho x,y,z tho l cỏc s thc: x xy + y = Tỡm giỏ tr ln nht ,nh nht ca biu thc x4 + y4 +1 x2 + y2 +1 B PHN DNH CHO TNG LOI TH SINH Dnh cho thớ sinh thi theo chng trỡnh chun Cõu VIa (2 im) a) Cho hỡnh tam giỏc ABC cú din tớch bng Bit A(1;0), B(0;2) v trung im I ca AC nm trờn ng thng y = x Tỡm to nh C b) Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc im A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tỡm ta im O i xng vi O qua (ABC) Cõu VIIa(1 im) Gii phng trỡnh: ( z z )( z + 3)( z + 2) = 10 , z C Dnh cho thớ sinh thi theo chng trỡnh nõng cao Cõu VIb (2 im) a Trong mp(Oxy) cho im A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tỡm to im M thuc ng thng () : x y = cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng P= b.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng: d1 : x y z + x2 y+3 z = = d2 : = = 3 Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d1 v d2 Cõu VIIb (1 im) Gii bt phng trỡnh: x(3 log x 2) > log x HT P N S 13 Cõu I a) Hc sinh t lm 0,25 b) y = x3 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + y ' = x 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) y cú = (2m + 1) 4(m + m) = > x = m y' = x = m + 0,5 0,25 Hm s ng bin trờn ( 2;+ ) y ' > x > m + m Cõu II a) Gii phng trỡnh: cos 3x (2 cos x + 1) = PT cos 3x (4 cos x 1) = cos 3x (3 sin x) = Nhn xột x = k , k Z khụng l nghim ca phng trỡnh ó cho nờn ta cú: 0,25 im 0,25 0,25 cos 3x (3 sin x) = cos x(3 sin x sin x) = sin x cos x sin 3x = sin x sin x = sin x 2m x= x = x + m2 x = x + m2 x = + 2m 7 0,25 ;mZ 2m = k 2m=5k m = 5t , t Z 2m + Xột = k 1+2m=7k k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, 7 lZ 2m 2m Vy phng trỡnh cú nghim: x = ( m 5t ); x = + ( m 7l + ) 7 ú m, t , l Z b) 2 Gii phng trỡnh : (3x + 1) x = x + x PT 2(3 x + 1) x = 10 x + 3x Xột 0,25 im 0,25 2(3 x + 1) x = 4(2 x 1) + x + x t t = x 1(t 0) Pt tr thnh 4t 2(3 x + 1)t + x + x = Ta cú: ' = (3x + 1) 4(2 x + x 2) = ( x 3) Pt tr thnh 4t 2(3 x + 1)t + x + x = Ta cú: ' = (3x + 1) 4(2 x + x 2) = ( x 3) 0,25 2x x+2 ;t = 2 Thay vo cỏch t gii ta c phng trỡnh cú cỏc nghim: T ú ta cú phng trỡnh cú nghim : t = 0,5 + + 60 x ; Cõu III ln Tớnh tớch phõn I = Ta c ú I = (3 e x + 2) 0,25 x 3 ln e dx x = x e (e + 2) im dx x x t u= e 3du = e dx ; x = u = 1; x = ln u = 2 1 3du I= Ta c: =3 4u 4(u + 2) 2(u + 2) 1 u (u + 2) du 0,25 0,25 1 =3 ln u ln u + + 2(u + 2) 3 ln( ) 3 Vy I = ln( ) = 0,25 Cõu IV C A B 0,5 H A C O AM M BC Gi M l trung im BC ta thy: BC ( A' AM ) A ' O BC B K MH AA' , (do A nhn nờn H thuc on AA.) BC ( A' AM ) Do HM BC Vy HM l an vụng gúc chung ca HM ( A' AM ) AAv BC, ú d ( AA' , BC) = HM = a Xột tam giỏc ng dng AAO v AMH, ta cú: Cõu V A' O HM = AO AH suy A' O = AO.HM = a a = a AH 3a 1aa a3 Th tớch lng tr: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = a= 23 12 1.Cho a, b, c l cỏc s thc dng tho a + b + c = Chng minh rng: 3(a + b + c ) + 4abc 13 b+c *Trc ht ta chng minh: f ( a, b, c) f (a, t , t ) :Tht vy Do vai trũ ca a,b,c nh nờn ta cú th gi thit a b c 3a a + b + c = hay a f ( a, b, c) f (a, t , t ) = 2 t f ( a, b, c) = 3(a + b + c ) + 4abc 13; t = 0,5 im 0,5 3(a + b + c ) + 4abc 13 3(a + t + t ) 4at + 13 = 3(b + c 2t ) + 4a (bc t ) 2 2(b + c ) (b + c ) 3(b c) = 3b + c + a bc a (b c) = 4 = (3 2a )(b c) a *Bõy gi ta ch cn chng minh: f ( a, t , t ) vi a+2t=3 0,5 Ta cú f ( a, t , t ) = 3(a + t + t ) + 4at 13 2 2 = 3((3 2t ) + t + t ) + 4(3 2t )t 13 = 2(t 1) (7 4t ) 2t=b+c < Du = xy t = & b c = a = b = c = (PCM) Cho x,y,z tho l cỏc s thc: x xy + y = Tỡm giỏ tr ln nht ,nh nht ca biu thc x4 + y4 +1 P= x + y2 +1 Từ giả thiết suy ra: = x xy + y xy xy = xy = ( x + y ) xy 3xy Từ ta có xy Măt khác x xy + y = x + y = + xy nên x + y = x y + xy + đăt t=xy Vởy toán trở thành tìm GTLN,GTNN 0,25 P = f (t ) = Tính f ' (t ) = + t + 2t + ; t t+2 t = =0 (t + 2) t = 2(l ) Do hàm số liên tục [ 0.25 0.25 1 ;1] nên so sánh giá trị f ( ) , f ( 2) 3 , f (1) cho kết quả: 11 MaxP = f ( 2) = , P = f ( ) = 15 Cõu VIa a) (Hc sinh tuu v ur hỡnh) Ta cú: AB = ( 1; ) AB = Phng trỡnh ca AB l: x + y = I ( d ) : y = x I ( t ; t ) I l trung im ca AC: C ( 2t 1;2t ) Theo bi ra: S ABC t = = AB.d (C , AB) = 6t = t = 0.25 im 0,5 0,5 T ú ta cú im C(-1;0) hoc C( ; ) tho 3 b) *T phng trỡnh on chn suy pt tng quỏt ca mp(ABC) l:2x+y-z-2=0 *Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O l ờn (ABC), OH vuụng gúc vi (ABC) nờn OH // n(2;1;1) ; H ( ABC ) 1 Ta suy H(2t;t;-t) thay vo phng trỡnh( ABC) cú t= suy H ( ; ; ) 3 3 2 *O i xng vi O qua (ABC) H l trung im ca OO O' ( ; ; ) 3 CõuVIIa Gii phng trỡnh: ( z z )( z + 3)( z + 2) = 10 , z C PT z ( z + 2)( z 1)( z + 3) = 10 ( z + z )( z + z 3) = t t = z + z Khi ú phng trỡnh (8) tr thnh: t t = z + z Khi ú phng trỡnh (8) tr thnh t 3t 10 = im 0.25 0,25 0,5 im 0,25 0,25 t = z = i t = z = Vy phng trỡnh cú cỏc nghim: z = ; z = i Cõu VIb a) 0,5 im Vit phng trỡnh ng AB: x + y = v AB = Vit phng trỡnh ng CD: x y + 17 = v CD = 17 0,25 im M thuc cú to dng: M = (t ;3t 5) Ta tớnh c: 13t 19 11t 37 d ( M , AB ) = ; d ( M , CD) = 17 0,25 T ú: S MAB = S MCD d ( M , AB ) AB = d ( M , CD ).CD 7 Cú im cn tỡm l: M (9; 32), M ( ; 2) t = t = 3 0,5 b) im Gi s mt mt cu S(I, R) tip xỳc vi hai ng thng d 1, d2 ti hai im A v B ú ta luụn cú IA + IB AB v AB d ( d1 , d ) du bng xy I l trung im AB v AB l on vuụng gúc chung ca hai ng thng d1, d2 Ta tỡm A, B : uuur r AB u uuur ur Ad1, Bd2 nờn: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t; -3 + 3t; t) AB u ' uuur AB (.) A(1; 2; -3) v B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) 0, 25 0,25 0,25 Mt cu (S) cú tõm I(2; 1; -1) v bỏn kớnh R= Nờn cú phng trỡnh l: ( x ) + ( y 1) + ( z + 1) = CõuVIIb Gii bt phng trỡnh x(3 log x 2) > log x 0,25 im iu kin: x > Bt phng trỡnh 3( x 3) log x > 2( x 1) Nhn thy x=3 khụng l nghim ca bt phng trỡnh x TH1 Nu x > BPT log x > x3 Xột hm s: f ( x) = log x ng bin trờn khong ( 0;+ ) x g ( x) = nghch bin trờn khong ( 3;+ ) x3 f ( x) > f (4) = *Vi x > :Ta cú Bpt cú nghim x > g ( x ) < g ( 4) = 0.25 0,25 * Vi x < :Ta cú f ( x) < f (4) = Bpt vụ nghim g ( x ) > g ( 4) = TH :Nu < x < BPT x log x < x3 0,25 log x ng bin trờn khong ( 0;+ ) x g ( x) = nghch bin trờn khong ( 0;3) x3 f ( x ) > f (1) = *Vi x > :Ta cú Bpt vụ nghim g ( x) < g (1) = f ( x) = * Vi x < :Ta cú f ( x ) < f (1) = Bpt cú nghim < x < g ( x) > g (1) = x > Vy Bpt cú nghim < x < Chỳ ý:Cỏc cỏch gii khỏc cho kt qu ỳng c im ti a 0,25 ... 1) x = 4( 2 x 1) + x + x t t = x 1(t 0) Pt tr thnh 4t 2(3 x + 1)t + x + x = Ta cú: ' = (3x + 1) 4( 2 x + x 2) = ( x 3) Pt tr thnh 4t 2(3 x + 1)t + x + x = Ta cú: ' = (3x + 1) 4( 2 x... b + c ) + 4abc 13; t = 0,5 im 0,5 3(a + b + c ) + 4abc 13 3(a + t + t ) 4at + 13 = 3(b + c 2t ) + 4a (bc t ) 2 2(b + c ) (b + c ) 3(b c) = 3b + c + a bc a (b c) = 4 = (3... thc x4 + y4 +1 P= x + y2 +1 Từ giả thi t suy ra: = x xy + y xy xy = xy = ( x + y ) xy 3xy Từ ta có xy Măt khác x xy + y = x + y = + xy nên x + y = x y + xy + đăt t=xy Vởy toán trở