TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI A BIỂU THỨC SỐ - BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I Biểu Thức Số : Bài : a ) Chứng minh phức tạp : A + A2 − B ± A± B = A − A2 − B : A >0 , B >0 , A2 > B ( Dấu + với dấu + , dấu – với dấu - ) b ) Áp dụng : Biến đổi U = 11 + 30 ;V = − ( Lưu ý : A = 11 , B = 30 ⇒ B = 4.30 ) Bài : Số + − − − số lớn ? ( áp dụng phức tạp ) n n Bài : Cho hỗn số n có nhận xét n ? n −1 n −1 n n3 − n + n n n = =n Gợi ý : n : n 2 n −1 n −1 n −1 n −1 2 =2 ( ví dụ : = 2 ) −1 Bài : Trục thức mẫu : 2+ 3+ a) Gợi ý : a ) ( ( ) + − 5 ) ( 2+ − 30 5+ 6+ b) ) ( ) 3+ − c) ( b ) + − c ) + + d) ) a 2+ + 3+ d) 3+ Bài : Rút gọn biểu thức sau : a) − − 29 − 12 b ) 13 + 30 + + c) + + 48 − 10 + d ) Chứng tỏ : 70 − 4901 + 70 + 4901 = ( Đặt x0 = 70 − 4901 + 70 + 4901 ) e ) + + − ( Đặt a = + + − Tính f) A= 3− 2 17 − 12 − 3+ 2 a3 = ? ) + 9+4 + 9−4 17 + 12 Bài : 1) Chứng minh ∀n > , có : 1 = − ( n + 1) n + n n + n n + ( gợi ý : trục thức mẫu ) 2) Tính tổng : S= 1 1 + + + + 2+ +2 +3 100 99 + 99 100 GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Bài : Chứng minh : n = Bài : Cho ( ) +1 − số hữu tỉ x= + −1 − +1 +1 Tính giá trị biểu thức : A = ( x − x − x + x − 1) Bài : Thu gọn biểu thức : P = 2003 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ Bài 10 : Tính giá trị biểu thức : ( 2003 2013 + 31.2004 − 1) ( 2003.2008 + ) P= a) b) ( đặt x = 2003 ) 2004.2005.2006.2007.2008 1 1 + ÷ + ÷ 19 + ÷ 4 4 Q= (1) gợi ý : + nhân tử mẫu cho 24 1 + ÷ + ÷ 20 + ÷ 4 4 4 2 + n + = ( n + 4n + ) − 4n = ( n + ) − ( 2n ) 2 = ( n − 2n + ) ( n + 2n + ) Thay n = , , , ,……, 40 vào (1) Bài 11 : Thu gọn biểu thức : A= 2 = ( n − 1) + 1 ( n + 1) + 1 −2 2− 3 2+2 Bài 12 : 1) Tính giá trị biểu thức : P = x + y − ( x + y ) + 2004 , biết : x = 3 + 2 + 3 − 2 , y = 17 + 12 + 17 − 12 1 1 + + + + 2) Rút gọn biểu thức sau : P = 1+ 5+ 9 + 13 2001 + 2005 Bài 13 : Chứng minh số tự nhiên : 1 1 A = 1.2.3 2003.2004 1 + + + + + ÷ chia hết cho 2005 2003 2004 1 Gợi ý : kết hợp cặp : 1 + ÷+ + ÷+ 2004 2003 GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI II BIỂU THỨC ĐẠI SỐ : Bài : Cho biểu thức : P= x2 − x x + x ( x − 1) − + ( gợi ý : x = x = x x + x +1 x x −1 ( x) ) a ) Rút gọn P b ) Tìm giá trị nhỏ P c ) Tìm x để biểu thức Q = x nhận giá trị số nguyên P Bài : Cho biểu thức : 2x x + x − x x + x x −1 x M = − + ÷ x −1 2x + x −1 x −1 x x −1 a ) Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa , sau rút gọn M b ) Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ M ? Bài : Rút gọn biểu thức sau : m−n m + n + mn + Với m ≥ , n ≥ m ≠ n m− n m+ n a 2b − ab a− b : b) Q= với a >0 , b>0 ab a+ b a) P= Bài : Cho biểu thức : x −1 x + x P= − − ÷ ÷ x − x x +1 a ) Rút gọn P b ) Tìm x để P >2 x Bài : Cho biểu thức : P= x x −1 x x +1 x +1 − + x− x x+ x x a ) Rút gọn P b ) Tìm x để P = Bài : Cho biểu thức : a +1 M = + ÷: a −1 a − a +1 a− a ) Tìm điều kiện xác định a để M có nghĩa ) Rút gọn M Bài : Cho biểu thức : a ) Với giá trị x P xác định P= x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 b ) Rút gọn P c ) Tìm x để P = III TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA B.THỨC ( MAX – MIN ) GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Biểu thức biến số : Phương pháp : Muốn tìm giá trị cực đại cực tiểu biểu thức , ta biến đổi biểu thức thành dạng : Hằng số ± A2 A2 ± số Bài 1: Cho biểu thức : A = x + x + a) Tìm x để A ; b ) Tính A Giải : A = x2 + 2x + = x2 + 2x + + = ( x + 1) + = ⇔ x = −1 2 ( x + 1) ≥ nên A ≥ A = ⇔ x + = Vậy Amin Bài 2: Cho biểu thức : B = − x + x − a ) Tìm x để BMax ; b ) Tính giá trị BMax Giải : B = − x2 + 6x − = ( − x2 + 6x − ) + = − ( x2 − 6x + 9) + − ( x − 3) ≤ ,∀x nên B ≤ B = ⇔ x = = − ( x − 3) + Vậy giá trị lớn B = x = hay Bmax = ⇔ x = Bài 3: Cho biểu thức :B = a ) Tìm x để Bmax ; x + 2x + b ) Tính Bmax gợi ý : Bmax mẫu ( x + 1) + Min Mẫu Min ( x + 1) =0 ⇒ Bài 4: Cho biểu thức : P = a ) Tìm x để P ; x = −1 −x + 6x − b ) Tính P Bài 5: Cho biểu thức : B = x +1 x + 2x2 − 4x − a ) Rút gọn B Gợi ý : p.tích mẫu làm xuất nhân tử chung ( x + ) b ) Tìm x để Bmax Tính Bmax Bài 6: Cho biểu thức : B = ab + b ( b − a ) + a 2b + 2b + a + a ) Tìm a để B Max ; b ) Tính giá trị B Max 2 2 gợi ý : + ab + b ( b − a ) + = ab + b − ab + rút gọn + p.tích a 2b + 2b + a + làm xuất nhân tử chung ( b + 1) Bài 7: Cho biểu thức : B = x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) a ) Tìm x để B Min ; b ) Tính B Min gợi ý : + nhân cặp : x ( x + ) ; ( x + )( x + ) GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI + Lấy kết thứ nhân kết thứ : B = ( x + 3x ) + ( x + 3x ) + – x2 − Bài 8: Cho biểu thức : B = x +1 a ) Tìm x để B Min ; b ) Tính giá trị B Min Bài 9: Cho biểu thức : B = x + x +1 x2 + 2x + với x ≠ −1 a ) Tìm x để B Min ; b ) Tính giá trị B Min Gợi ý : + Tách hạng tử : x + x + = x + x + − x + Thêm bớt hạng tử : x = ( x + ) – để : B = 1− 1 + đưa bình phương hiệu x + ( x + 1) 2 Biểu thức biến số trở lên : Bài 1: Cho biểu thức : A = x + y − xy + x − 10 y với x , y số thực a ) Tìm x y để A Min ; b ) Tính A Min 2 Gợi ý : + Viết A = ( x − y + 1) + ( y − ) − 17 Bài 2: Cho biểu thức : B = x + y + 14 z − yz + zx − xy a ) Tìm x y z để B Min ; b ) Tính B Min Gợi ý : Viết B = ( x − y + 3z ) + ( y + yz + z ) + 3z Bài 3: Cho biểu thức : B = 1677 − x − y + 36 x + y a ) Tìm x y để B đạt giá trị lớn ; b ) Tính B Max 2 Gợi ý : Có thể viết B = 2005 − ( x − 18 ) − ( y − ) Bài 4: Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện : x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x + y Hướng dẫn : Ta có : ( x + y ) ≤ ( x + y ) = ⇒ A2 ≤ ⇒ A ≤ ⇒ − ≤ A ≤ Bài 5: Cho hai số dương x y có tổng Tìm giá trị nhỏ B = 1 − ÷1 − ÷ y x ( nhân phá bỏ ngoặc , quy đồng , thu gọn ) xy ≥ xy ⇒ ≥8 ⇒ B≥9 xy Hướng dẫn : + Biến đổi : B = + + = ( x + y) Bài 6: Tìm giá trị nhỏ : y = ( x − ay ) + ( x − ay ) + x + 16 y − xy + x − y + 10 ( với x , y , a số nguyên ) Hướng dẫn : 2 y = ( x − ay ) + ( x − ay ) + + ( x − xy + 16 y ) + ( x − y ) + = ( x − ay + 3) + ( x − y ) + ( x − y ) + 2 = ( x − ay + 3) + ( x − y + 1) ≥ GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI ( 1) ( 2) x − ay + = ⇒ y = ⇔ x − y + = Bài 7: Cho M = a + − a − + a + 15 − a − a ) Tìm điều kiện xác định a để M xác định b ) Tìm giá trị nhỏ M giá trị a tương ứng Hướng dẫn : a ) M xác định với a ≥ b ) Ta có : a + − a −1 = ( a + 15 − a − = ⇒ M= a −1 − ( ) a −1 − a −1 − + − a −1 Vậy : M = ≤ a − ≤ ) ( vận dụng : a + b ≥ a + b ) suy giá trị a Bài 8: Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn : 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn tích : P = x.y.z Hướng dẫn : 1 y z ≥ 1 − + ≥2 ÷= ÷+ − 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z Tương tự : ≥2 1+ y zx (1+ x) (1+ z ) Từ suy : P = x.y.z ≤ ; ≥2 1+ z 1 ⇒ max P = 8 yz (1+ y) (1+ z) xy (1+ x) (1+ y) x = y = z = Bài 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x − 1990 ) + ( x − 1991) Hướng dẫn : vận dụng cách làm Bài 10 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = a + b3 + ab ; cho biết a b thỏa mãn a + b = Hướng dẫn : 2 2 2 + B = ( a + b ) ( a − ab + b ) + ab = a − ab + b + ab = a + b + Ta có : ( a + b ) ≥ ( a + b ) = ⇒ a + b ≥ Vậy : B = 2 1 a = b = 2 Bài 11 : 1 − − x − x + x −1 x + x − x − x − x + x − x2 + x − 32 Chứng minh : < P < với giá trị x ≠ ±1 Cho biểu thức : P = Hướng dẫn : GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI p.tích : x − x + x − = ( x − 1) ( x + 1) ( x − x + 1) x + x − x − = ( x − 1) ( x + 1) ( x + x + 1) x − x + x − x + x − = ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − x + 1) Do P rút gọn thành : P= (x 2 + x + 1) ( x − x + 1) = 2 = > ,∀x x + x + 2 x + ÷ + 2 32 − P hiệu dương , ta có kết luận 1 1 − Bài 12 : Cho biểu thức P = − − x x+ y x+ y+ z Xét hiệu : Với giá trị số nguyên dương x , y , z P đạt giá trị dương bé Hướng dẫn : 1 1 + + < x x+ y x+ y+z 1 1 + th ì P = − Q Đặt Q = + x x+ y x+ y+z ⇔ Qmax ⇔ x nhỏ Do P 1 ⇔ x > ⇔ x ≥ x nhỏ x = Ta có : < x 1 1 + < + x = ⇒ Q = + 3+ y 3+ y + z 1 1 ⇒ + < − = 3+ y 3+ y + z Vì : không đổi nên Q Max ⇔ y nhỏ 1 < ⇔ + y > ⇒ + y ≥ ⇔ y ≥ y nhỏ Mà : 3+ y 1 1 1 1 1 + < ⇔ + < ⇔ < − = Khi y = ⇒ 3+ y 3+ y + z 7+ z + z 42 1 Vì : Q = + + nên Q Max ⇔ z nhỏ ( LL tương tự : z = 36 ) 7+ z 1 1 Tóm lại : P = − − − 43 2 x + y + 3z = ( 1) Bài 13 : Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn : 3 x + y − z = ( ) P > ⇔ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + 3y – 4z Hướng dẫn ⇔ y=2–x Cộng vế theo vế (1) (2) : 5x + 5y = 10 Thế vào (1) : 2x + – x + 3z = ⇔ GV : Nguyễn Triều Dương z= x − 3 TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI 4 x x Khi : P = x + ( − x ) − − ÷ = + 3 3 3 x > ⇒ P≥ 2 ⇒ P = x = … , y = … , z = … 3 Bài 14 : Tìm giá trị x để biểu thức y = x − x − 1993 đạt giá trị nhỏ Tìm g.trị NN Hướng dẫn + TXĐ : ? + thêm bớt hạng tử ( - 1993 ) vào y để SD HĐT Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = + với < x < 1− x x Hướng dẫn + Viết : y = 2 − 2x + 2x − x + x + = + 1− x x 1− x x ( với < x < ) + thu gọn y , sử dụng BĐT cau chy Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x + y Biết x y số thực thỏa mãn : x + y − xy = Hướng dẫn 2 ⇔ x + y − xy = Từ : x + y − xy = ⇔ (x + y ) + ( x − xy + y ) = ⇔ A + ( x − y ) = Max A = ? 2 2 2 Mặt khác : x + y = + xy ⇔ ( x + y ) = + ( x + xy + y ) ⇔ A = + ( x + y ) ≥ Tìm A = ? Bài 17 : Cho x , y , z số thỏa mãn : x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức : M = xy + yz + zx Hướng dẫn M = xy + z ( x + y ) = xy + ( – x – y )( x + y ) = xy + ( x + y ) − ( x + y ) y −3 = 3− x + ÷ − ( y − 1) ≤ Bài 18 : Cho x , y hai số thỏa mãn x + 2y = Tìm giá trị nhỏ : E = x + y Hướng dẫn Biểu diễn x theo y vào E Bài 19 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + y + 3z − xy + xz − x − y − z + 2000 Hướng dẫn Biểu diễn : A = ( x − y + z − 1) + ( y + z − ) + ( z − 1) + 1994 GV : Nguyễn Triều Dương 2 TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Bài 20 : Cho x y hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện xy = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x y + 2 x +y x + y4 Hướng dẫn Từ : (x − y) ≥ ⇒ x4 + y ≥ 2x2 y ⇒ x x ≤ = x +y 2x y x2 = y + để ý : Max A = y = x xy = Bài 21 : 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = ( x − a ) + ( x − b ) + ( x − c ) với a , b , c cho trước Hướng dẫn ( a + b + c) a+b+c 2 B = 3 x − ÷ +( a +b +c ) − 3 Biểu diễn : ⇔ B = ( a + b + c 2 ) ( a + b + c) − 2 Bài 22 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a ) P = x − xy + y − 12 x + y + 45 b ) Q = x − xy + y − x − 10 y + 20 Tìm giá trị lớn biểu thức : c ) E = − x + xy − y + x + 10 y − Hướng dẫn : 2 Biểu diễn : a ) P = ( x − − y ) + ( y − 1) + b ) Q = ( x − y − 1) + ( y − 3) + 2 c ) E = 10 − ( x − y − 1) − ( y − ) GV : Nguyễn Triều Dương ... TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Biểu thức biến số : Phương pháp : Muốn tìm giá trị cực đại cực tiểu biểu thức , ta biến đổi biểu thức thành dạng : Hằng số ± A2 A2 ± số Bài 1: Cho biểu thức : A = x + x +... HƯNG LỢI II BIỂU THỨC ĐẠI SỐ : Bài : Cho biểu thức : P= x2 − x x + x ( x − 1) − + ( gợi ý : x = x = x x + x +1 x x −1 ( x) ) a ) Rút gọn P b ) Tìm giá trị nhỏ P c ) Tìm x để biểu thức Q = x... : Cho ( ) +1 − số hữu tỉ x= + −1 − +1 +1 Tính giá trị biểu thức : A = ( x − x − x + x − 1) Bài : Thu gọn biểu thức : P = 2003 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ Bài 10 : Tính giá trị biểu thức : ( 2003 2013