Các phương pháp giải bài tập cơ học lí thuyết phần động lực học vật rắn

1 Luận văn tốt nghiệp Lời mở đầu Chúng ta biết: Động lực học vật rắn phần quan trọng học lý thuyết nhằm nghiên cứu quy luật chuyển động học vật thể dới tác dụng lực Động lc học nghiên cứu chuyển động vật thể cách toàn diện nhằm thiết lập mối quan hệ có tính chất quy luật hai đại lợng + Các đại lợng đặc trng cho tác dụng lực + Các đại lợng đặc trng cho chuyển động vật thể Trong trình học tập, nghiên cứu học vật rắn, có dịp làm quen với phơng pháp: - phơng pháp học véc tơ - phơng pháp học giải tích Đối với phơng pháp học véc tơ, dựa định luật học định luật Niutơn, định luật tổng quát Chúng ta dùng đại lợng véc tơ nh lực, vận tốc, gia tốc để giải tập Phơng pháp làm quen nhiều phổ thông trung học Đối vơi phơng pháp học giải tích Là phần động lực học dựa vào giải tích toán học để giải vấn đề lập phơng trình vi phân chuyển động loại hệ khác Cơ học giải tích đợc xây dựng dựa nguyên lý biến phân Hamintơn Các đại lợng phơng trình đại lợng vô hớng tìm đợc băng phép tính tích phân, vi phân Với phơng pháp năm cuối bậc đại học có dịp nghiên cứu Đó vấn đề mẻ nên thờng hiểu vấn đề cha đợc sâu sắc, giải tập học sinh thờng sử dụng phơng pháp học véc tơ Điều dẫn đến số khó khăn vớng mắc giải tập có số bậc tự lớn Nhng làm quen với học giải tích vấn đề trở nên đơn giản nhẹ nhàng Trong trình học tập, thời gian có hạn nên việc nghiên cứu tìm hiểu đợc tất vấn đề điều khó thực đợc, đặc biệt việc giải tập Vì chọn đề tài: Các phơng pháp giải tập học lý thuyết phần động lực học vật rắn Luận văn tốt nghiệp Hy vọng nội dung đề tài giúp cho ngời đọc có cách nhìn tổng quát giải toán Hiểu thêm u điểm học giải tích Nội dung đề tài bao gồm vấn đề sau: - Phần I: Cơ sở lý thuyết - Phần II: Bài tập động lực học vật rắn - Phần III : Kết luận Chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong xin chân thành cảm ơn góp ý quý báu độc giả Cuối xin chân thành cảm ơn cô giáo lê thị thai hớng dẫn đóng góp cho nhiều ý kiến quý báu Giúp hoàn thành luận văn này./ Sinh viên: võ thị nga Luận văn tốt nghiệp Phần I: CƠ Sở Lý Thuyết I Lý thuyết học véc tơ áp dụng cho việc giải tập Các định luật Newton a Định luật I: Mọi chất điểm đứng yên hay chuyển động thẳng lực tác dụng lên Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng chất điểm đợc gọi chuyển động quán tính ( v=const ) b Định luật II: Gia tốc cuả chất điểm chuyển động có phơng, chiều với lực tác dụng lên có giá trị tỷ lệ với lực ấy: F = m.W c Định luật III: Lực tác dụng tơng hỗ hai chất điểm lực có phơng, cờng độ ngợc chiều: F12 = F21 Các định lý tổng quát động lực học a Định lý biến thiên động dạng vi phân Vi phân động hệ tổng công nguyên tố tất ngoại lực nội lực tác động lên hệ: e i dT= dAk + dAk đó: T : động thời điểm t dA , dA e k i k : Thứ tự tổng công nguyên tố ngoại lực nội lực tác dụng lên hệ b Định lí biến thiên động dạng tích phân Luận văn tốt nghiệp Biến thiên động hệ đoạn đờng tổng cộng tất ngoại lực nội lực tác dụng lên hệ đoạn di chuyển T1 M1 M1 n M1 n M1 T0 M0 M0 k =1 M k =1 M dT = e dAk + i e i dAk = dAk + dAk n n k =1 k =1 T1 T0 = Ake + Aki c Định lí chuyển động khối tâm Khối tâm hệ chuyển động nh chất điểm mang khối lợng hệ chịu tác dụng lực đợc biểu diễn véc tơ ngoại lực tác dụng lên hệ n e M Wc = Fk k =1 đó: M : khối lợng hệ Wc : Gia tốc khối tâm Fke : Ngoại lực tác dụng d Định lí biến thiên định luật bảo toàn mô men xung lợng Đạo hàm theo thời gian mô men xung lợng hệ tâm hay trục tổng mô men tâm hay trục ngoại lực tác dụng lên hệ n d L0 = M Fke dt k =1 [ ] với: L0 = r mv : mô men xung lợng hệ e M F k : mô men ngoại lực tác dụng lên hệ tâm O Nếu tổng mô men tất ngoại lực tâm O mô men động lợng hệ tâm không đổi hớng giá trị [ ] L0 = r mv = const Luận văn tốt nghiệp II lý thuyết học giải tích áp dụng cho việc giải tập Các khái niệm hệ không tự a Liên kết phơng trình liên kết Cơ hệ không tự tập hợp chất điểm mà chuyển dộng chúng bị ràng buộc số điều kiện hình học động học cho trớc, độc lập với điều kiện đầu chuyển động lực tác dụng đợc gọi liên kết mặt toán học, liên kết đợc biểu thị phơng trình bất phơng trình gọi phơng trình liên kết f (t , x k , y k , z k , x k , y k , z k ) (1) đó: x k , y k , z k : Là toạ độ đề chất điểm Mk thuộc hệ x k , y k , z k : Là hình chiếu vận tốc chất điểm M k lên trục toạ độ t: Là thời gian : 1,2 ,S N (9) điều kiện để {q j } di chuyển hệ: f q q j = ;=1,S (10) j số bậc tự hệ (9): m= r-s Nếu {qj} toạ độ suy rộng đủ s = vậy, m = r Tức số bậc t hệ Holonom số toạ độ suy rộng đủ d Lực suy rộng Luận văn tốt nghiệp - Công lực di chuyển gọi tắt công lực - Cho hệ di chuyển rk Công lực ( ) A F = Fk rk = ( Fkxxk + Fyk y k + Fzk z k ) N k =1 ( ) r A F = Qi ri i =1 (11) (12) đó: Qi = Fk rk x y z = Fkx k + Fky k + Fkz k q i qi qi qi (13) đợc gọi lực suy rộng tơng ứng với toạ độ suy rộng qi Chú ý: Đối với hệ hôlonômvà toạ độ suy rộng đủ q j (12) độc lập với Còn trờng hợp toạ độ suy rộng thừa, q j có quan hệ phụ thuộc (10) Trong trờng hợp hệ bảo toàn hàm có dạng U = U ( q1 q n ) (14) U ;j =1,r q j (15) Qj = Bản chất vật lý lực suy rộng phụ thuộc vào chất vật lý toạ độ suy rộng tơng ứng Nếu toạ độ suy rộng độ dài lực suy rộng lực, toạ độ suy rộng góc lực suy rộng ngẫu lực * Dới số phơng pháp tính lực suy rộng + Phơng pháp 1: Tính lực suy rộng theo định nghĩa (13) Trớc hết tìm hình chiếu lực trục toạ độ đề các, biểu thức toạ độ điểm đặt lực theo toạ độ suy rộng từ (7) sau tính đạo Luận văn tốt nghiệp hàm toạ độ đề theo toạ độ suy rộng thay đại lợng tìm đợc vào (13) + Phơng pháp 2: Tính tổng công lực toạ độ đề các, sau biểu diễn di chuyển qua biến phân toạ độ suy rộng theo biểu thức (8) qua viết biểu thức công dạng (12) Các hệ số đứng trớc biến phân toạ độ suy rộng lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng + Phơng pháp 3: Trong trờng hợp toạ độ suy rộng đủ, tính riêng lực suy rộng cách chọn di chuyển đặc biệt Ví dụ: Để tính lực suy rộng Q i ta chọn di chuyển đặc biệt nh sau: q1 = 0; q = 0; .; qi = qi 0; qi +1 = 0; ; q n = tức cho hệ di chuyển có toạ độ q i thay đổi, toạ độ khác không đổi Tính tổng công lực di chuyển này, ký hiệu A F ( q i ) lực suy rộng Qi bằng: Q i = A F ( q i ) q i e Liên kết lý tởng: Nếu tổng công nguyên tố lực liên kết di chuyển hệ không liên kết đặt lên hệ gọi liên kết lý tởng A( R k ) = R r k Hàm largăng k = (16) 10 Luận văn tốt nghiệp a Hàm Lagrăng chất điểm chuyển động tự hệ quy chiêú quán tính K - Hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu mà không gian đồng nhất, đẳng hớng Các tính chất vật lý hệ cô lập không thay đổi phép tịnh tiến toàn hệ không gian Chất điểm tự hệ cô lập Hàm Lagrăng chứa đựng tính chất vật lý không thay đổi chất điểm tịnh tiến không gian Điều có nghĩa hàm Lagrăng chất điểm tự không phụ thuộc vào bán kính véc tơ xác định vị trí chất điểm Tính đồng thời gian có nghĩa tất thời điểm khác tơng đơng với Vì hàm Lagrăng chất điểm cô lập không phụ thuộc tờng minh vào thời gian Hàm Lagrăng chẩt điểm phụ thuộc vào vận tốc Tính chẩt đẳng hớng không gian có nghĩa tất phơng không gian tơng đơng mặt vật lý Vì hàm Lagrăng chất điểm cô lập không phụ thuộc vào phơng véc tơ vận tốc v mà phụ thuộc vào độ lớn vận tốc, nghĩa phụ thuộc vào v2: L=L(v2) Để tìm dạng hàm Lagrăng ta dùng nguyên lý tơng đối Galilê Nếu hệ quy chiếu quán tính k chuyển động hệ quy chiếu quán tinh k với vận tốc v (v=cons) theo định lý công vận tốc: v = v' + V v ' = v V theo nguyên lý tơng đối Galilê, phơng trình chuyển động chất điểm hai hệ quy chiếu k k phải giống Khi chuyển k k L L Hàm L khác hàm L đạo hàm toàn phần theo thời gian ( ) hàm f r , t bất kỳ, nghĩa là:L=L+ ( ) d f r, t dt v' = v V v' = v + V 2vV = v + ( ( d V t 2rV dt suy ra:L=a v' ; L=a v ; f(r,t)=a V t 2rV ) ) 45 Luận văn tốt nghiệp 1 m1R s 2 2 T = mx + m1 ( x + s 2xs cos ) + 2 2 R2 = ( m1 + m ).x + m1s m1s x cos Tính lực suy rộng: Cho hệ di chuyển đặc biệt x ; s = Ta có A k =0 Q x =0 Cho hệ di chuyển đặc biệt s ; x = Ta có A k A = P sin s = Q s Q = k = P sin s s s Phơng trình Lagrang: Các đạo hàm riêng: d T T =Q ; s dt s s T T =0; = (m1 + m ) x m1s cos ; x x T T =0; = m1s m1 x cos s s (m1 + m )x m1 cos s = Vậy m1s m1x cos = P sin = m1g sin (m1 + m )x m1 cos s = s x cos = g sin x = m1 cos s m1 + m m1 cos s = g sin m1 + m s = 2g sin (m1 + m ) 3(m1 + m ) 2m1 cos g sin 2.m Vậy gia tốc lăng trụ: We = x = 3(m + m ) 2m cos 2g (m + m ) sin Gia tốc trục hình trụ: Wr = s = 3(m + m ) 2m cos 46 Luận văn tốt nghiệp Bài 13: Một vật A có trọng lợng P đợc buộc vào đầu sợi dây không dãn, không trọng lợng, dây vắt qua ròng rọc cố định O, đầu dây vào khối trụ có trọng lợng Q, bán kính R Vật A trợt mặt phẳng ngang, hệ số ma sát vật A mặt phẳng f Tìm gia tốc vật A gia tốc tâm C khối trụ hệ chuyển động, bỏ qua khối lợng ròng rọc xA N Giải: Fms A T O P Z T * Phơng pháp học véc tơ B Gọi gia tốc vật A W , tâm khối trụ WC Q ta có : WC = Wr + We đó: Wr : gia tốc khối trụ vật A We : gia tốc kéo theo We = W Vì khối trụ chuyển động chiều vật A nên WC = W + Wr ; Wr = R Phơng trình chuyển động khối trụ T +Q = Q Wc g T R = J c T R T g (1) = J = QR ( *) C (2) P g P g Phơng trình chuyển động vật A: T Fms = W T fP = W ( 3) Lấy (1) + ( 3) ta có: Q fP = c R Q P WC + W g g Thay giá trị vào ( 4) : Q fP = = ( 4) Q P (W + R ) + W g g Q T 2g P W +R + W g QR g 47 Luận văn tốt nghiệp P g Từ phơng trình ( 3) : T = fP + W Q fP = = W = Q 2g P P W+ ( fP + W ) + W g Q g g Q 2P P W + fP + W+ W g g g Q fP g 3P + Q Thay vào ( 3) T = P Q fP PQ(1 + f ) g + fP = g 3P + Q 3P + Q PQ(1 + f ) g gP (1 + f ) gP (1 + f ) = Wr = 3P + Q QR (3P + Q) R 3P + Q Thay vào ( *) (Q fP ) g gP (1 + f ) Q + (2 f ) P WC = W + Wr = + = g 3P + Q 3P + Q 3P + Q = Vậy gia tốc vật A W = (Q fP ) g 3P + Q Gia tốc tâm C khối trụ WC = Q + (2 f ) P g 3P + Q * Phơng pháp học giải tích: Hệ khảo sát gồm vật nặng A, khối trụ D dây Hệ có bậc tự Khi giữ vật C không quay vật A chuyển động, giữ vật A không chuyển động khối trụ quay sợi dây - Chọn tọa độ suy rộng q1 = x : khoảng cách từ vật A đến điểm N cố định q = z : khoảng cách từ tâm C đến O cố định Cho hệ di chuyển đặc biệt cho x 0; z = công nguyên tố lực hoạt động di chuyển là: A = fPx Q x = A = fP x 48 Luận văn tốt nghiệp Cho hệ di chuyển cho z 0; x = công nguyên tố lực hoạt động di chuyển là: A = Qz Q z = Q Động hệ: T = T A + TC 1P 1 x ; TC = mVC + J CW 2g 2 VC = Ve + Vr ;VC = z ;Ve = x ;Vr = R TA = Do Ve ,Vr hớng nên: Ve = Ve + Vr Vr = VC Ve W = Vậy T = Vr VC Ve z x = = R R R P Q 2 Q P Q x + R + VC = x + ( z x ) + z 2g 2g 2g 2g g Phơng trinh Lagrang: d T T d T T = Qx ; = Qz dt x x dt z z T T P Q = 0; = x ( z x ) x x g 2g Các đạo hàm riêng T T Q = 0; = (3 z x ) z z g Thay giá trị đạo hàm vào ta có P Q x ( z x) = fP g 2g Q (3z x) = Q 2g Qz ( 2P + Q )x = 2fPg 3z x = 2g Giải ta đợc: Q fP g = We - Gia tốc vật A : x = 3P + Q - Gia tốc tâm C: Wr = z = Q + P(2 f ) g Q + 3P 49 Luận văn tốt nghiệp Bài 14: Một chất điểm có khối lợng m chuyển động ống nhẵn có đờng trục đờng tròn bán kính a Trong ống quay tự quanh đờng kính thẳng đứng,mômen quán tính ống đờng kính thẳng đứng J Thiết lập phơng trình chuyển động hệ biết ống quay dới tác dụng mô men không đổi M Giải Ta thấy : xác định vị trí vòng tròn bán kính a : xác định vị trí chất điểm vòng tròn Do hệ có hai bậc tự do: Chọn toạ độ suy rộng B q1 = , q = Động hệ: T = Td + TM O với Td : Động vòng tròn a M TM : Động điểm M 1 Td = J = J 2 1 2 TM = mV M = m(V e + V r ) = m(a 2 + sin ) 2 V đó: V e e : vận r A tốc chuyển động ống quanh trục: = r , r = a sin V P : vận tốc chuyển động tơng đối M : V r = a T he = 1 J + ma 2 + ma 2 sin 2 Các lực suy rộng: Q , Q Cho di chuyển đặc biệt ; = const A Công nguyên tố: A1 = P sin Q = = P sin Cho di chuyển đặc biệt ; = const 50 Luận văn tốt nghiệp Công nguyên tố: A2 = M ; Q = Phơng trình Lagrang: A d T T d T T = Q = Q ; : dt dt T T 2 Các đạo hàm riêng : = ma ; = J + ma sin T = ma 2 sin cos ma ma 2 sin cos = mga sin J + ma sin + 2ma sin cos = M ( ) hay: Phơng trình vi phân chuyển động có dạng: a a 2 sin cos + ga sin J + ma sin + 2ma sin cos = M ( ) Bài 15: Các đầu mút đồng chất AB trợt không ma sát theo cạnh nằm ngang thẳng đứng khung cứng quay quanh trục thẳng đứng, khối lợng = m, độ dài 2a Mô men quán tính khung trục quay Khung quay quanh trục thẳng đứng với tác dụng ngẫu lực có mô men M bỏ qua ma sát Thiết lập phơng trình chuyển động hệ Giải: Cơ hệ khảo sát gồm có khung quay quanh trục cố định AB - Đối với khung chuyển động chuyển động song phẳng chọn khung làm hệ động chuyển động M chuyển động tơng đối P A - Cơ hệ có hai bậc tự do, để xét vị trí hệ yc 2a dl c xc B 51 Luận văn tốt nghiệp ta dùng toạ độ suy rộng q1= , q2 = : góc quay khung : góc nghiêng trục thẳng đứng Các liên kết lý tởng Các lực hoạt động gồm có: trọng lực thanh, ngẫu lực có mô men M Gọi T1,T2 lần lợt động khung AB Động hệ: T = T1+T2 với T1 = J ; T2 = mk Vk2 ; Vk = Ve + Vr k =1 Ve Vr Vk2 = Ve2 + Vr2 T2 = 1 mk Vrk2 + mk Vek2 với Vr: vận tốc chuyển động tơng 2 đối Ve: vận tốc chuyển động quay Hay : T2=Te+Tt ( ) 1 ma 2 2 Trong +) Tr = Ve m + J c = x c + y c m + 2 2 = 2 2 ma = ma 3 +) Te = J z Xét đơn vị chiều dài dl Gọi mật độ khối lợng đơn vị chiều dài: dm = dl 2a 2a 2a J z = r dm = r dl = l sin dl = ma sin với m = 2a 0 Te = 14 ma sin 23 52 Luận văn tốt nghiệp 2 2 2 Động hệ: T = T1 + T2 = J + ma sin + ma Tính lực suy rộng Cho di chuyển đặc biệt: 0, = Trong di chuyển công lực là: A = pa sin Q = A = pa sin cho di chuyển đặc biệt 0, = Trong di chuyển công lực là: A ( M ) = M Q = M Phơng trình Lagrăng: Các đạo hàm riêng: d T T d T T = Q = Q ; dt dt T T = ma = J + ma sin ; T = ma sin cos Vậy phơng trình vi phân là: 2 J + ma sin + ma sin cos = M 4 ma ma sin cos = mga sin 3 hay 2 J + ma sin + ma sin cos = M 4 2 a a sin cos ga sin = 3 53 Luận văn tốt nghiệp Bài 16:Theo mặt phẳng nghiêng lăng trụ (1) hợp với phơng ngang góc , khối trụ tròn đồng chất (2) có khối lợng m2 chuyển động lăn không trợt làm cho lăng trụ dịch chuyển mặt phẳng nhẵn nằm ngang làm cho lò xo (3) biến dạng Lò xo (3) gắn vào tờng thẳng đứng, lò xo có độ cứng k Khối lợng lăng trụ m1 Tại thời điểm ban đầu lò xo cha bị biến dạng Hãy thiết lập phơng trình vi phân chuyển động hệ toạ độ gốc x tính từ vị trí ban đầu x2 ( 3) ( 2) o H m2 (1) x1 m1 g Giải Tơng tự nh số 12, nhng hệ bao gồm lăn, lăng trụ lò xo Cơ hệ có hai bậc tự Chọn toạ độ suy rộng q1 = x1, q2 = x2 Động hệ: The = T1 + T2 đó: T1 = m1x 1 T2 = Jx 22 + m v 02 với v = ve + v r 2 với v e = x ; v r = x Theo định lý hàm cosin: v 02 = ve2 + v r2 2ve v r cos = x 12 + x 22 x x cos x m2R = ;J = R 54 Luận văn tốt nghiệp Vậy The = m1 x 12 + = m2 R x 22 + m2 x 12 + x 22 x x cos 2 R2 ( ) ( m1 + m ) x 12 + m x 22 m x x cos Thế hệ: U = kx 12 + m g( H x sin ) Lực suy rộng: Q1 = U = kx x Q2 = U = m g sin x áp dụng phơng trình Lagrăng dạng II d T T d T T = Q1 ; = Q2 dt x x dt x x Các đạo hàm riêng: T = ( m1 + m ) x m x cos ; x T = m x m x cos x 2 Vậy: Phơng trình vi phân chuyển động hệ: ( m1 + m ) x m x cos = kx m x m x cos = m g sin hay ( m1 + m2 ) x1 m2 x2 cos = kx1 x2 x1 cos = g sin Nhận xét: Những tập động lực học hệ có hai bậc tự tập tơng đối khó, giải ta gặp khó khăn hơn, đặc biệt giải phơng pháp học véc tơ, nhiên số toán ta giải 55 Luận văn tốt nghiệp hai phơng pháp Còn đa số toán ta tìm lực tác dụng lên chất điểm hệ khó khăn hầu hết tập có hai bậc tự đợc giải cách ngắn gọn phơng pháp học giải tích Trớc hết ta chọn hệ toạ độ suy rộng thích hợp tìm động T, U Đối với lực không thế, ta tìm công di chuyển lực đó, sau suy lực suy rộng Cuối viết hàm Lagrăng L=T-U , sau viết phơng trình Lagrăng d L L d L L =0 ; =0 dt q q1 dt q q2 d T T d T T dt q q = Q1 ; dt q q = Q2 1 2 Giải phơng trình suy đại lợng cần tìm / 56 Luận văn tốt nghiệp Phần III: kết luận Luận văn với đề tài Các phơng pháp giải tập học lý thuyết phần động lực học vật rắn nhằm tìm hiểu cách giải tập học lý thuyết phơng pháp khác để thấy đợc u nhợc điểm phơng pháp giải tìm đợc phơng pháp giải tốt cho toán, đặc biệt tìm hiểu sâu thêm phơng pháp học giải tích Nội dung luận văn gồm phần chính: + Cơ sở lý thuyết cho phơng pháp giải toán học lý thuyết phần Động lực học vật rắn + Một số toán áp dụng Nh trình bày luận văn Khi trình bày hệ thống tập, phân loại tập từ đơn giản đến phức tạp: Bài tập hệ có bậc tự tập hệ có hai bậc tự tập hệ có nhiều bậc tự Đối với loại tập hệ có bậc tự ta sử dụng hai phơng pháp để giải phơng pháp học véc tơ phơng pháp học giải tích: Với phơng pháp học véc tơ, tìm trực tiếp phơng trình vi phân chuyển động nhờ phép phân tích lực, tìm tổng hợp lực tác dụng lên hệ nh tổng mô men lực tác dụng lên vật Với phơng pháp học giải tích, trớc hết xác định số bậc tự hệ, từ xác định toạ độ suy rộng thích hợp, tìm động năng, hệ tìm lực suy rộng thông qua toạ độ suy rộng sau tìm hàm Lagrăng phơng trình Lagrăng Còn tập có hai bậc tự đa số đợc giải băng hai phơng pháp, lại đợc giải phơng pháp học giải tích Đối với loại toán có ba bậc tự trở lên - Đó loại toán phức tạp, gặp thời gian có hạn nên tìm hiểu hai loại hệ nói Mỗi loại tập sau giải xong đa phơng pháp để giải cho loại tập sau Luận văn tốt nghiệp 57 Nh nội dung tiểu luận trình bày vừa có sở lý thuyết cách khái quát vừa đa đợc hệ thống tập ứng dụng sở lý thuyết để giải Qua việc giải tập thấy rằng, sử dụng phơng pháp học giải tích giải cách ngắn gọn tập có nhiều bậc tự Với kết đạt đợc, hy vọng luận văn tài liệu tham khảo cho bạn quan tâm đến vấn đề Luận văn đợc hoàn thành khoa Vật Lý trờng Đại Học Vinh Luận văn tốt nghiệp 58 Tài liệu tham khảo Nguyễn Trọng Cơ học sở Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội 1997 Đỗ Sanh Bài tập học tập - Động lực học Nhà xuất Giáo dục Đào Văn Dũng Bài tập học lý thuyết Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Mình Bài tập Vật lý lý thuyết Nhà xuất Giáo dục 1993 Nguyễn Hữu Mình Cơ học lý thuyết Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Luận văn tốt nghiệp 59 Mục lục Nội dung Trang Lời mở đầu Phần 1: Cơ sở lý thuyết I Lý thuyết học véctơ II Lý thuyết học giải tích Phần 2: Bài tập 15 I Một số toán có bậc tự 15 II Một số toán có hai bậc tự 38 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 57 Mục lục 56 [...]... xác địnhgia tốc của vật A 19 Luận văn tốt nghiệp Giải: * Phơng pháp cơ học véc tơ: Cơ hệ khảo sát gồm: - Vật A chuyển động tịnh tiến - Tời B quay quanh trục cố định Cơ hệ có 1 bậc tự do - Các lực tác dụng lên hệ gồm: trọng lực P,Q ngẫu lực có mô men M và các nội lực Trong đó chỉ có ngẫu lực có mô men M và trọng lực P sinh công, còn Q không sinh công vì điểm đặt cố định, các nội lực cũng không sinh... tay quay (1) ( 2) M A r2 R0 O r1 Giải: * Phơng pháp cơ học véc tơ: Cơ hệ khảo sát gồm: - Tay quay OA quay quanh trục cố định O - Bánh 2 chuyển động song phẳng Cơ hệ có một bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm: Ngẫu lực có mô men M, trọng lực các khâu, các phản lực tại O và A, tại điểm tiếp xúc giữa bánh 1 và 2 Ta thấy chỉ có ngẫu lực sinh công, công của trọng lực = 0 vì cơ hệ đặt trong mặt phẳng ngang cố... phơng trình chuyển động của hệ có dạng: d L L =0 dt q i qi + Trong trờng hợp các lực suy rộng có cả các lực không thế, ta có d T T = Qi dt q i qi 15 Luận văn tốt nghiệp Phần II: bài tập I Một số bài toán có một bậc tự do Bài 1: Một cái đĩa có khối lợng m lăn không trợt theo mặt phẳng nghiêng hợp với phơng ngang 1 góc Hãy xác định gia tốc khối tâm của đĩa Giải: * Phơng pháp cơ học véc tơ - Chọn... con chạy A, B là nh nhau và bằng Q Bỏ qua ma sát Giải: * Phơng pháp cơ học véc tơ: Khảo sát cơ hệ gồm tay quay, thớc vẽ 24 Luận văn tốt nghiệp Và các con chạy A,B - Các lực tác dụng lên hệ gồm: Trọng lực P , Q , mô men quay M0 Ta thấy chỉ có mô men quay thực hiện công, còn các trọng lực không sinh công vì cơ hệ đợc đặt trong mặt phẳng nằm ngang cố định - Động năng của hệ: The = TAB+TA+TB+T0 Toạ độ A,... cơ hệ và tổng cộng khả dĩ của các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ Từ (17) chúng ta nhận đợc các dạng khác nhau của phơng trình chuyển động của cơ hệ - Phơng trình tổng quát của động lực học trong dạng véc tơ: (F N k =1 k ) mk rk rk = 0 (18) trong đó: Fk : Là lực hoạt động lên chất điểm Mk mk, rk: Là khối lợng và véc tơ điịnh vị của chất điểm Mk + Đối với cơ hệ chịu liên kết Holonom giữ,... M=const Tìm vận tốc của gầu xúc theo đoạn đờng di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên Giải * Phơng pháp cơ học véc tơ Khảo sát cơ hệ gồm Hai trục quay,băng tải Hai gầu xúc A,B - Lực tác dụng lên cơ hệ: Các lực sinh công P1, P2, M, còn các trọng lực của 2 trục quay và băng tải không sinh công vì điểm đặt của chúng đứng yên - Động năng của hệ: The = T01 + T02 + T A + TB + Tbangtai 22 Luận văn tốt nghiệp trong... 2 3 Wc = xc = Bài 2: 2 g sin 3 17 Luận văn tốt nghiệp Hai vật có trọng lợng P1, P2 đợc treo bằng một sợi dây mảnh không giãn và cuốn vào hai ròng rọc đồng tâm, gắn liền nhau có bán kính r 1, r2 Các vật chuyển động dới tác dụng của trọng lực của chúng Xác định gia tốc góc của ròng rọc, bỏ qua khối lợng của ròng rọc và dây buộc Giải: * Phơng pháp cơ học véc tơ Giả sử vật 1 đi xuống ,vật 2 đi lên áp... độ suy rộng của cơ hệ, Luận văn tốt nghiệp q i = 14 dqi : Là vận tốc suy rộng dt T: Là động năng của cơ hệ đợc biểu diễn qua các toạ độ suy rộng đủ và các vận tốc suy rộng U: Là thế nămg của cơ hệ n: Là số bậc t do của cơ hệ phơng trình (19) có thể viết dới dạng: d T L = Qi (20) dt q i qi trong đó :L=T-U là hàm Lagrăng + Trong trờng hợp tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ đều là các lực có thế thì phơng... mg * Phơng pháp cơ học giải tích: 23 Luận văn tốt nghiệp Hệ có một bậc tự do Chọn s - quãng đờng đi của vật A làm toạ độ suy rộng: 1 Q + P1 + P2 1 Q + P1 + P2 + m v 2 = + m s 2 2 g 2 g Động năng của hệ: T = Tính lực suy rộng Q: cho hệ một di chuyển khả dĩ s Công nguyên tố của các lực hoạt động trong di chuyển khả dĩ s là: A = P2s P1s + M với = s R M A = P2 P1 + s R A M - lực suy rộng:... Chọn vị trí ban đầu của vật làm gốc của hệ trục toạ độ - Chọn trục ox hớng theo chiều chuyển động khi vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng, các lực tác dụng lên vật bao gồm: + trọng lực + phản lực N của mặt phẳng nghiêng + lực ma sát F ms áp dụng định luật II Niu tơn: Fms + N + P = mWc (1) Fms R = J c (2) trong đó : Wc : Là gia tốc khối tâm của đĩa m: Là khối lợng của vật 16 Luận văn tốt ... cho ngời đọc có cách nhìn tổng quát giải toán Hiểu thêm u điểm học giải tích Nội dung đề tài bao gồm vấn đề sau: - Phần I: Cơ sở lý thuyết - Phần II: Bài tập động lực học vật rắn - Phần III : Kết... sử dụng phơng pháp để giải phơng pháp học véc tơ phơng pháp học giải tích Phơng pháp học véc tơ tìm trực tiếp phơng trình vi phân chuyển động nhờ phép phân tích lực, tìm tổng hợp lực tác dụng... nghiệp Giải: * Phơng pháp học véc tơ: Cơ hệ khảo sát gồm: - Vật A chuyển động tịnh tiến - Tời B quay quanh trục cố định Cơ hệ có bậc tự - Các lực tác dụng lên hệ gồm: trọng lực P,Q ngẫu lực có