Phức koszul và lý thuyết bội

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI PHM VN BN PHC KOSZUL V Lí THUYT BI LUN VN THC S TON HC H NI - 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI PHM VN BN PHC KOSZUL V Lí THUYT BI Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Dng Quc Vit H NI - 2013 Li núi u Lý thuyt Bi l mt nhng lý thuyt quan trng ca c i s giao hoỏn v Hỡnh hc i s Nú phỏt trin t khỏi nim bi ca nghim ca mt a thc v vic m s bi giao Hỡnh hc i s Trong khong mt th k qua, nú ó c phỏt trin theo nhiu cỏch thc bi cỏc tờn tui ln ca Toỏn hc th gii Kt qu ni bt nht v Lý thuyt Bi c vit lờn bi Jean-Pierre Serre nm 1965 Algốbre locale Multiplicitộs v mi liờn h gia bi v c trng Euler-Pointcarộ ca phc Koszul: Cho mt Rmodule hu hn sinh M v mt dóy x R l mt h bi ca M Gi H (x , M ) l ng iu Koszul ca x vi h s M v I = (x ) l ideal ca R Khi ú, t (1)i l(Hi (x , M )) (x , M ) = i thỡ theo nh lý Serre ta cú e(I, M ) nu x l mt h tham s ca M, (x , M ) = vi cỏc trng hp khỏc Nm 1958, bi bỏo Codimension and multiplicity, M Auslander v D A Buchsbaum ó chng minh c mt phiờn bn ca nh lý Serre i vi mi vnh Noether, ng thi a mụ t rừ rng cho khỏi nim bi D G Northcott nm 1968 Lessons on rings, modules, and multiplicii ties ó gii thiu khỏi nim bi hỡnh thc (multiplicity symbol), v phỏt trin mt cỏch h thng lý thuyt bi t nhng tớnh cht hỡnh thc ca khỏi nim ny Liờn quan n c trng Euler-Pointcarộ, vi mi j 0, t j (x , M ) = (1) ij l(Hi (x , M )) ij v gi l c trng Euler-Pointcarộ tng phn Ta cú mt kt qu khỏ quan trng xem xột cỏc c trng ny, l j (x , M ) vi j Serre ó chng minh j (x , M ) vi j > Vic chng minh mnh ny ỳng trng hp j = (c trỡnh by On the vanishing of Tor in regular local rings ca S Lichtenbaum nm 1966) giỳp ta a c tiờu chun khỏc cho module Cohen-Macaulay Mc ớch chớnh ca lun l h thng li mt cỏch chi tit mt s kt qu c bn ca Lý thuyt bi, ú, ni dung chớnh l chng minh nh lý Serre lm c iu ny, lun c tin hnh theo chng: Chng 1: Trỡnh by v phc Koszul, nhng tớnh cht ca phc Koszul v ng iu Koszul, chun b cỏc kin thc cn thit nh ngha c trng Euler-Pointcarộ ca phc Koszul Chng 2: Trỡnh by v hm Hilbert, bi hỡnh thc v nhng tớnh cht ca bi hỡnh thc Trong ú: Mc 2.1 trỡnh by hm Hilbert, a thc Hilbert ca mt module phõn bc cựng cỏc tớnh cht liờn quan Mc 2.2 núi v bi ca mt module hu hn sinh, bi hỡnh thc v mt s kt qu chớnh ca Lý thuyt bi, ú cú nh lý Serre v cỏc h qu ca nú õy l ni dung chớnh ca lun hon thnh lun ny, tụi ó nhn c s hng dn, ch bo nhit ii tỡnh, sõu sc ca PGS TS Dng Quc Vit Tụi xin gi li cm n chõn thnh nht, sõu sc nht n ngi thy ca tụi Tụi cng xin cm n cỏc thy cụ Hi ng phn bin ó c v cho tụi nhng ý kin quý bỏu Ngoi ra, tụi cng xin gi li cm n chõn thnh n cỏc thy cụ B mụn i s, khoa Toỏn Tin cựng cỏc thy cụ khỏc ó ging dy, hng dn, to iu kin tụi hon thnh bn lun ny H Ni, thỏng 09 nm 2013 Ngi thc hin Phm Vn Bn iii Mc lc Li núi u i Danh mc cỏc ký hiu v Phc Koszul 1.1 Ly tha ngoi v i s ngoi 1.2 nh ngha phc Koszul 1.3 Cỏc tớnh cht ca phc Koszul Lý thuyt bi 21 2.1 Hm Hilbert - Samuel 21 2.2 Lý thuyt bi 29 Ti liu tham kho 44 iv Danh mc cỏc ký hiu R Vnh giao hoỏn, cú n v = (R, m) Vnh a phng Noether vi ideal cc i l m M M =( Ly tha tensor ca Rmodule M M) / xy i M i s ngoi ca M Tớch M Ly tha ngoi th i ca M K (f ) Phc Koszul ca dng tuyn tớnh f K (f, M ) = K (f ) R M Phc Koszul ca f vi h s M H (f ) ng iu Koszul ca f H (f, M ) ng iu Koszul ca f vi h s M H (f ) = H (K (f )) i ng iu Koszul ca f H (f, M ) = H (K (f, M )) i ng iu Koszul ca f vi h s M grade(I, M ) Bc ca M I H(M, n) Hm Hilbert ca module phõn bc M HM (t) Chui Hilbert ca module phõn bc M Toỏn t s gia PM (X) a thc Hilbert ca module phõn bc M e(M ) Bi ca module phõn bc M grI (R) Vnh phõn bc liờn kt ca R theo ideal I grI (M ) Module phõn bc liờn kt ca M theo ideal I v IM (n) Hm Hilbert - Samuel ca M theo ideal I e(I, M ) Bi ca M theo I R+ (I) = i i i=0 I t Vnh Rees i i i=0 I M t R+ (I, M ) = (I, M ) tri gii tớch ca I theo M (I) = (I, R) tri gii tớch ca I e(x , M ) Bi hỡnh thc (x , M ) c trng Euler ca ng iu Koszul H (x , M ) Kq (R) Phm trự cỏc Rmodule hu hn sinh, m cú s chiu khụng quỏ q j (x , M ) c trng Euler tng phn ca M theo x vi Chng Phc Koszul ă Phc Koszul ln u xut hin "Uber die Theorie der algebraischen Formen" (1890) ca Hilbert: sau chng minh nh lý syzygy, Hilbert xỏc nh mt phộp gii t ca k[X1 , , Xn ]module k Phc Koszul K (x ) l mt cụng c hu hiu tỡm hiu tớnh cht ca mt dóy x = x1 , , xn cỏc phn t vnh R Ta cú th tớnh grade(I, M ) thụng qua ng iu ca K (x ) M ú I l ideal sinh bi x Hn na, phc Koszul va cú cu trỳc mt phc, li va cú cu trỳc i s nhn mnh iu ny, ta gii thiu mt cỏch tng quỏt phc Koszul t cỏc dng tuyn tớnh Cỏc kt qu chớnh v phc Koszul chng ny c a t [4] thun tin cho bn c, xin bt u t ly tha ngoi v i s ngoi 1.1 Ly tha ngoi v i s ngoi Cho R l mt vnh, M l mt Rmodule Chỳng ta xột R nh mt vnh phõn bc vi mt phõn bc tm thng t M i l ly tha tensor th i ca M , ngha l tớch tensor M M ã ã ã M ca i nhõn t M , vi i > 0, v R ng vi i = Ly tha tensor cú dng mt Rmodule phõn bc M i M= i=0 Tng ng ((x1 , , xm ), (y1 , , yn )) x1 ã ã ã xm y1 ã ã ã yn sinh mt ỏnh x Rsong tuyn tớnh t M m ì M n M (m+n) , m rng Mì ca nú M lm cho M cú cu trỳc ca mt Ri s phõn bc kt hp i s tensor ny c c trng bi mt tớnh ph dng: Cho mt ỏnh x Rtuyn tớnh : M A vi A l mt Ri s, tn ti nht mt ng cu Ri s : M A l m rng ca , õy, chỳng ta ng nht M v M i s ngoi M l i s cỏc lp thng d M / M= ú l ideal sinh bi phn t x x, x M Do phn t thun nht nờn Tớch l ideal sinh bi cỏc M k tha cu trỳc ca mt Ri s phõn bc M c ký hiu l x y Núi chung, M khụng giao hoỏn, nhiờn, nú cú tớnh cht thay phiờn: x y = (1)(deg x)(deg y) y x vi mi phn t thun nht x, y v x x = vi mi phn t thun nht x, deg x l Cho x1 , , xn M v l mt hoỏn v ca {1, 2, , n} Khi ú x(1) ã ã ã x(n) = ()x1 ã ã ã xn M Mnh 2.17 Cho R l mt vnh Noether, J I l cỏc ideal thc s ca R, v M l mt Rmodule hu hn sinh Cỏc iu kin sau l tng ng a J l mt ideal rỳt gn ca I theo M b R+ (I, M ) l R+ (J)module hu hn sinh Chng minh: a b Gi s I n+1 M = JI n M thỡ R+ (I, M ) c sinh trờn R+ (J) bi cỏc phn t cú bc hn bng n, nờn l module hu hn sinh b a Ta cú th chn mt cỏc phn t thun nht x1 , , xr R+ (I, M ) Gi n l bc ln nht ca cỏc phn t thun nht xi ny, v cho x I n+1 M Tn ti cỏc phn t J bi , vi bi = n + deg xi cho r x= xi i=1 T xi J b+i I n+1bi M JI n M nờn suy x JI n M Hay I n+1 M JI n M Bao hm ngc li l tm thng Do ú, I n+1 M = JI n M hay J l mt ideal rỳt gn ca I theo M nh ngha 2.18 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, I l mt ideal thc s ca R v M l mt Rmodule hu hn sinh S (I, M ) = dim(R+ (I, M )/mR+ (I, M )) = dim(grI (M )/m grI (M )) gi l tri gii tớch ca I theo M t (I) = (I, R) v gi l tri gii tớch ca I Mnh 2.19 Vi cỏc gi thit nh ngha 2.18 ta cú à(J) (I, R) vi mi ideal rỳt gn J ca I theo M Nu thờm gi thit R/m hu hn sinh thỡ tn ti mt ideal rỳt gn J ca I theo M cho à(J) = (I, M ) Chng minh: Ta cú module R+ (I, M )/mR+ (I, M ) l module hu hn sinh J i /mJ i m õy l vnh nhõn t ca k[X1 , , Xm ] trờn R+ (J)/mR+ (J) = i0 31 vi m = dimk J/mJ = à(J) Do ú ta cú dim(R+ (I, M )/mR+ (I, M )) m hay à(J) (I, R) Bõy gi ta t A = R+ (I)/a, ú a l cỏi trit ca R+ (I)module R+ (I, M )/mR+ (I, M ) Ideal a l phõn bc v cha mR+ (I) Do ú, A l mt R/mi s thun nht, v dim A = (I, M ) T R/m l vụ hn, nh lý tiờu chun húa Noether núi rng tn ti cỏc phn t y1 , , yd A bc 1, d = (I, M ) cho A l mt Bmodule hu hn sinh vi B = k[y1 , , yd ] Nú kộo theo R+ (I, M )/mR+ (I, M ) l mt Bmodule phõn bc hu hn sinh Vi mi yi ta chn zi I ú zi l to nh ca yi qua phộp chiu chớnh tc I R+ (I)/a t J = (z1 , , zd ) thỡ à(J) = (I, M ) v R+ (I, M )/mR+ (I, M ) l module hu hn sinh trờn R+ (J)/mR+ (J) Khi ú, theo b Nakayama phiờn bn phõn bc thỡ ta cú R+ (I, M ) l R+ (J)module hu hn sinh nờn theo Mnh 2.17 thỡ J l ideal rỳt gn ca I theo M Nhn xột 2.20 Cho (R, m, k) l mt vnh a phng Noether v I l mt ideal thc s ca R, J c gi l ideal rỳt gn cc tiu ca I nu J l ideal rỳt gn ca I v J khụng cú ideal rỳt gn thc s no khỏc Nu k l vụ hn thỡ ta cú mt kt qu sau: Cho J l ideal rỳt gn ca I, v gi s J cú h sinh cc tiu l x1 , , xn Khi ú, J l ideal rỳt gn cc tiu ca I nu v ch nu cỏc phn t x1 , , xn l c lp i s I v n = (I) H qu 2.21 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether cú trng cỏc lp thng d vụ hn, M l mt Rmodule hu hn sinh v I l ideal xỏc nh ca M Khi ú, tn ti mt h tham s x ca M cho (x) l ideal rỳt gn ca I theo M c bit, e(I, M ) = e((x), M ) trờn ta thy vic tớnh bi e(I, M ) ca mt module hu hn sinh M theo ideal xỏc nh I cú th rỳt gn thnh trng hp I c sinh bi h tham s ca M S thun tin ca vic rỳt gn ny s tr lờn rừ rng chỳng ta ch rng 32 bi ca mt module M theo mt ideal sinh bi h tham s cú th c mụ t gii hn ca ng iu Koszul H (x , M ) Chỳng ta s tip cn mc tiờu ny bng vic gii thiu bi hỡnh thc e(x , M ) Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether v M l mt Rmodule hu hn sinh Mt dóy cỏc phn t x = x1 , , xn m c gi l h bi ca M nu l(M/(x )M ) hu hn, hay nu (x ) l mt ideal xỏc nh ca M B 2.22 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, x l mt dóy cỏc phn t R, v M M M l mt dóy khp cỏc Rmodule hu hn sinh Khi ú dóy x l h bi ca M v ch x l h bi ca M v M Chng minh: Tớnh khp ca dóy M /(x )M M/(x )M M /(x )M cho ta kt qu l(M /(x )M ) l(M/(x )M ) l(M /(x )M ) + l(M /(x )M ) Do ú, nu x l h bi ca M v M ta suy x l h bi ca M Ngc li, nu l(M/(x )M ) < thỡ l(M /(x )M ) < Theo B ArtinRees thỡ tn ti s nguyờn m cho (x )m M M (x)M v ú l(M /(x )M ) l(M /(x )m M M ) l(M/(x )m M ) nờn nu l(M/(x )M ) < thỡ l(M /(x )M ) < Ta suy iu cn chng minh H qu 2.23 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh v x = x1 , , xn l mt h bi ca M Khi ú x = x2 , , xn l mt h bi ca M/x1 M v (0 : x1 )M 33 Chng minh: Ta cú x (M/x1 M ) = x (M/x1 M ) v x (0 : x1 )M = x (0 : x1 )M T dóy khp x M M M/x1 M v x l h bi ca M ta suy x l h bi ca M/x1 M v t ú x l h bi ca M/x1 M Phn cũn li chng minh tng t H qu trờn cho ta mt cỏch nh ngha quy v bi hỡnh thc: nh ngha 2.24 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh v x = x1 , , xn l mt h bi ca M Nu n = thỡ l(M ) < , ta t e(x , M ) = l(M ); nu n > 0, ta t e(x , M ) = e(x , M/x1 M ) e(x , (0 : x1 )M ) vi x = x2 , , xn Ta gi e(x , M ) l bi hỡnh thc T cỏi nhỡn u tiờn, ta cú cm giỏc rng bi hỡnh thc ph thuc vo th t cỏc phn t ca dóy x Tuy nhiờn, iu ny khụng ỳng theo nh lý di õy Chỳ ý rng ng iu H (x , M ) ca phc Koszul ca h bi x ca M cú di hu hn Do ú, ta cú th xem xột c trng Euler ca ng iu Koszul (1)i l(Hi (x , M )) (x , M ) = i B sau cho ta mt tớnh cht c bn ca c trng ny: B 2.25 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether v x = x1 , , xn l mt dóy cỏc phn t m Khi no c trng Euler c xỏc nh, nú cú cỏc tớnh cht sau a (x, ) cú tớnh cht cng tớnh trờn cỏc dóy khp ngn, tc l vi bt k dóy khp ngn M M M cho x l h bi ca M , ta cú (x, M ) = (x, M ) + (x, M ); 34 b Nu x1 M = thỡ (x, M ) = c Nu x1 l M chớnh quy thỡ (x, M ) = (x2 , , xn , M/x1 M ) Chng minh: a Bi tớnh cht cng tớnh ca hm di, tng thay phiờn ca cỏc di ca cỏc module ng iu dóy khp di ã ã ã Hi (x , M ) Hi (x , M ) Hi (x , M ) ã ã ã bng T ú ta suy (x , M ) = (x , M ) + (x , M ) b t x = x2 , , xn Nu x1 M = thỡ Hi (x , M ) = Hi (0, x , M ) = Hi (x , M ) Hi1 (x , M ) vi mi i (theo Mnh 1.21) Do ú (1)i (l(Hi (x , M )) + l(Hi1 (x , M ))) = (x , M ) = i c Nu x1 l phn t M chớnh quy thỡ theo H qu 1.13 thỡ Hi (x , M ) = Hi (x , M/x1 M ) v ta suy iu cn chng minh T B 2.25 ta cú mt kt qu quan trng sau nh lý 2.26 (Auslander - Buchsbaum) Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh v x l mt h bi ca M Khi ú e(x, M ) = (x, M ) Chng minh: Cho x = x1 , , xn v x = x2 , , xn Nu n = thỡ ta cú (x , M ) = l(M ) = e(x , M ) Nu n > 0, ta ch rng (x , M ) = (x , M/x1 M ) (x , (0 : x1 )M ) 35 (2.1) Dóy tng cỏc module ca M (0 : x1 )M (0 : x21 )M ã ã ã l dng vỡ M l module Noether Gi a l mt s nguyờn cho (0 : xa1 )M = a (0 : xa+1 )M Khi ú ta cú x1 l phn t chớnh quy trờn N = M/(0 : x1 )M v x l mt h bi ca (0 : xa1 )M Xột biu giao hoỏn vi cỏc dũng v ct l khp sau / 0   (0 : x1 )M (0 : x1 )M  x1 0 / / (0 : xa1 )M / (0 : xa1 )M /  C  /  / M x1  x1  / M  M/x1 M / / N  / / N  N/x1 N    0 0 T B 2.25 a thỡ ta cú (x , N/x1 N ) = (x , M/x1 M ) (x , C) v (x , C) = (x , (0 : x1 )M ), v ú (x , N/x1 N ) = (x , M/x1 M ) (x , (0 : x1 )M ) (2.2) p dng B 2.25 a v c ta c (x , N/x1 N ) = (x , N ) = (x , M ) (x , (0 : xa1 )M ) (2.3) Bng cỏch quy np theo i, t B 2.25 a v b., v t dóy khp i i i1 (0 : xi1 )M (0 : x1 )M (0 : x1 )M /(0 : x1 )M ta suy (x , (0 : xi1 )M ) = vi mi i iu ny cựng vi (2.2) v (2.3) ta suy (x , M ) = (x , M/x1 M ) (x , (0 : x1 )M ) 36 Nu dóy x l h sinh ti tiu ca ideal I thỡ ng iu Koszul H (x , M ) ch ph thuc vo ideal (x ) Bi nh lý 2.26, ta cú lp lun tng t cho bi hỡnh thc nh lý 2.27 (Serre) Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh, x = x1 , , xn l mt h bi ca M v I l ideal sinh bi x Khi ú (x, M ) = e(I, M ) nu x l mt h tham s ca M , vi cỏc trng hp khỏc Cựng vi nh lý 2.26 ta thy: Vi mi h tham s x ca M thỡ cỏc s e(x , M ), e((x ), M ) v (x , M ) l ging Chng minh: t K = K (x , M ) l phc Koszul, v vi mi s nguyờn m ta (m) t K l phc ca K I m Kn I m+1 Kn1 ã ã ã I m+n K0 (m) Ta cú K l khp vi mi m ln: Vi mt s nguyờn i c nh, chu trỡnh (m) th i l Zi (K ) = Zi (K ) I m+ni Ki Theo B Artin-Rees ta cú Zi (K ) I m+ni Ki = I ã (Zi (K ) I m+ni1 Ki ) vi mi m ln Ta cú th chn m0 ln cho ng thc trờn ng thi xy vi mi i v m m0 n (m) Cho m m0 v z Zi (K ), ú z = xi zi vi zi Zi (K ) i=1 I m+ni1 Ki t e1 , , en l mt c s ca K1 (x , R) vi dx (ei ) = xi vi n i = 1, , n v dx l vi phõn trờn K (x , R) Khi ú w = i=1 v dx ,M (w) = z Do ú (m) K thc s l khp T dóy khp cỏc phc K(m) K K /K(m) 37 ei zi I m+ni1 Ki+1 (m) ta suy H (K ) = H (K /K ), ú (x , M ) = (m) v tớnh khp ca K n i=0 (m) (m) (1)i l(Hi (K /K )) Tuy nhiờn, t di ca Ki /Ki = n i l(M/I m+ni M ) l hu hn vi mi i ta cú n n (1) i l(Hi (K /K(m) )) (m) (1)i l(Ki /Ki = ) i=0 i=0 v ú vi m ln thỡ n (x , M ) = = (1)i n i IM (m + n i 1) = n IM (m 1) i=0 e(I, M ) nu dim M = n, nu dim M < n; theo Mnh 2.14 v tớnh cht hm gim bc ca cỏc hm a thc Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether v I l mt ideal xỏc nh ca R Vi mt s nguyờn q, ta t Kq (R) l mt phm trự y ca phm trự M(R) cỏc Rmodule hu hn sinh, m cú s chiu khụng quỏ q Ta nh ngha eq (I, M ) = e(I, M ) nu dim M = q nu dim M < q H qu 2.28 Bi eq (I, M ) l mt hm cng tớnh trờn phm trự Kq (R), ngha l eq (I, M ) = eq (I, M ) + eq (I, M ) vi mi dóy khp M M M Kq (R) Chng minh: Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s trng thng d R/m l vụ hn v M dóy khp trờn cú chiu l q Theo H qu 2.21 thỡ tn ti mt h tham s x = x1 , , xq ca M cho (x ) l ideal rỳt gn ca I theo M v ú eq (I, M ) = e(I, M ) = (x , M ) Ngoi ta, (x ) cng l ideal rỳt gn ca I theo M v M nờn ta cng cú eq (I, M ) = (x , M ) v eq (I, M ) = (x , M ) v ú, theo B 2.25 v nh lý 2.26 ta suy iu cn chng minh 38 H qu 2.29 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, I l mt ideal xỏc nh ca R v M l mt Rmodule hu hn sinh cú chiu khụng quỏ q Khi ú eq (I, M ) = l(Mp )eq (I, R/p), p vi tng trờn thc hin trờn tt c cỏc ideal nguyờn t p cho dim R/p = q Chng minh: Module M cú mt lc l = M0 M1 ã ã ã Mr1 Mr = M cho Mi /Mi1 = R/pi vi i = 1, , r Hin nhiờn dim R/pi q Do ú, t r h qu trc ta cú eq (I, M ) = eq (I, R/pi ) Tng ny ch thc hin cỏc hng i=1 t tha dim R/pi = q C nh mt ideal nguyờn t p tha dim R/p = q, ú, s cỏc s nguyờn i tha eq (I, R/pi ) = eq (I, R/p) bng vi di ca Mp , iu ny d thy bi tớnh cht a phng húa ti p Ta thu c iu cn chng minh Nh mt trng hp c bit quan trng ca kt qu trc, ta cú H qu 2.30 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh cú hng dng, v I l mt ideal mnguyờn s ca R Khi ú e(I, M ) = e(I, R) rank M c bit, e(M ) = e(R) rank M Chng minh: t r = rank M , ú ta cú Mp = Rpr vi mi ideal nguyờn t p tha dim R/p = d c bit, M cú chiu ln nht v ú e(I, M ) = ed (I, M ), d = dim R Theo H qu 2.29 ta cú e(I, M ) = l(Mp )e(I, R/p) = p rl(Rp )e(I, R/p) = e(I, R) rank M, p õy, tng c thc hin trờn cỏc ideal nguyờn t p tha dim R/p = d 39 Mt kt qu ca nh lý 2.26 l: Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh v x l mt h bi ca M Khi ú (x , M ) = i (1) i l(Hi (x , M )) Vi j 0, ta nh ngha c trng Euler tng phn ca M theo x : (1)ij l(Hi (x , M )) j (x , M ) = ij Theo Serre, tt c cỏc c trng Euler tng phn u khụng õm Ta ch chng minh kt qu ny vi (x , M ) nh lý 2.31 (Serre) Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh v x l mt h bi ca M a (x, M ) 0, hay tng ng vi l(M/xM ) (x, M ) b Gi s thờm x l mt h tham s ca M Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: i (x, M ) = 0; ii H1 (x, M ) = 0; iii Hi (x, M ) = vi mi i 1; iv x l mt M dóy; v M l Cohen-Macaulay Chng minh: Cho x = x1 , , xn , ta chng minh a bng quy np theo n: Nu n = thỡ (x1 , M ) = l(H1 (x1 ; M )) v iu cn chng minh l tm thng Cho n > 1, t x = x1 , , xn Chỳ ý rng (x , M ) = l(M/x M )1 (x , M ), ú (x , M ) = (x , M/x1 M ) + (x , (0 : x1 )M ) 40 (2.4) theo (2.1) trờn Theo gi thit quy np thỡ (x , M/x1 M ) v t iu kin (x , (0 : x1 )M ) nờn ta suy iu cn chng minh b S tng ng ca cỏc mnh ii n v ó c chng minh da trờn iu kin Cohen-Macaulay ca M v x l mt h tham s ca M iii i da vo nh ngha c trng Euler tng phn Chỳng ta ch cn chng minh chiu i v Gi s rng (x , M ) = 0, ú t (2.4) ta cú (x , M/x1 M ) = v (x , (0 : x1 )M ) = Bng quy np, ta cú th gi s M/x1 M l Cohen-Macaulay vi chiu n 1, ta cn ch rng (0 : x1 )M = t M1 = M/(0 : x1 )M , ỏp dng b rn vo biu giao hoỏn / (0 : x1 )M x1 /  (0 : x1 )M / M x1 /  M / M1 / x1  M1 / / 0 ta thu c dóy khp (0 : x1 )M (0 : x1 )M (0 : x1 )M1 M/x1 M M1 /x1 M1 (0 : x1 )M D thy l mt ng cu Ta chng minh l ng cu Tht vy, ta cú dim(0 : x1 )M n (x , (0 : x1 )M ) = Mt khỏc, dim R/p = n vi mi p Ass(M/x1 M ) M/x1 M l Cohen-Macaulay Do ú, ta suy Hom((0 : x1 )M , M/x1 M ) = Ta thu c cỏc ng cu M/x1 M = M1 /x1 M1 v (0 : x1 )M = (0 : x1 )M1 T (2.1) ta c (x , M ) = l(M/x M ) (x , M/x1 M ) + (x , (0 : x1 )M ), 41 v ú, t phng trỡnh tng t cho M1 v cỏc ng cu trờn ta c (x , M1 ) = (x , M ) = Lp li cỏc lp lun trờn, ta thu c mt dóy cỏc module Mn c nh ngha mt cỏch quy l Mn = Mn1 /(0 : x1 )Mn1 vi Mn /x1 Mn = (0 : x1 )Mn1 = Mn1 /x1 Mn1 v (0 : x1 )Mn Xột dóy M M1 ã ã ã Mn1 Mn cỏc ton cu chớnh tc Mt lp lun quy np n gin ch rng nhõn ca nú l (0 : xn1 )M Do M l module m+1 Noether nờn tn ti s nguyờn m cho (0 : xm )M v ú )M = (0 : x1 ton cu chớnh tc Mm Mm+1 phi l mt ng cu, ú, (0 : x1 )Mm = Khi ú (0 : x1 )M = (0 : x1 )M1 = ããã = (0 : x1 )Mm = nờn ta suy M l Cohen-Macaulay T H qu 2.30 v nh lý 2.31 ta c tiờu cho cỏc module CohenMacaulay nh sau: H qu 2.32 Cho (R, m) l mt vnh a phng Noether, M l mt Rmodule hu hn sinh cú hng dng, I l ideal c sinh bi mt h tham s ca R a l(M/IM ) e(I, R) rank M b M l Cohen-Macaulay v ch l(M/IM ) = e(I, R) rank M c Gi s R l Cohen-Macaulay, ú M l Cohen-Macaulay v ch l(M/IM ) = l(R/I) rank M 42 Kt lun Lun ó trỡnh by mt s kt qu c bn v phc Kozsul v lý thuyt Bi, c trỡnh by c th hai chng Chng 1: Trỡnh by cỏc kt qu v phc Koszul: xõy dng mt cỏch tng quỏt phc Koszul ca mt dng tuyn tớnh v ca mt dóy phn t vnh thụng qua cỏc khỏi nim v ly tha ngoi v i s ngoi; cỏc tớnh cht quan trng ca phc Koszul v ng iu Koszul Cỏc kt qu ỏng chỳ ý ca chng ny l nh lý 1.16 v nh lý 1.17 liờn quan n mi liờn h gia ng iu Koszul vi hm t dn xut Ext v bc ca module i vi mt ideal Chng 2: Trỡnh by v hm Hilbert v Lý thuyt bi nh: khỏi nim hm Hilbert, chui Hilbert, bi ca mt module phõn bc; hm Hilbert - Samuel, bi hỡnh thc ca mt module hu hn sinh theo mt ideal xỏc nh; cỏc tớnh cht quan trng ca bi hỡnh thc Cỏc kt qu quan trng ca chng l nh lý Hilbert (nh lý 2.3) v hm Hilbert, nh lý Auslander - Buchsbaum (nh lý 2.26) v cỏc nh lý Serre (nh lý 2.27 v nh lý 2.31) v mi liờn h gia bi hỡnh thc vi c trng Euler ca ng iu Koszul H (x , M ) cng nh mi liờn h gia mt module Cohen-Macaulay vi c trng Euler tng phn 43 Ti liu tham kho [I] TI LIU TING VIT [1] Ngụ Vit Trung (2012), Nhp mụn i s giao hoỏn v Hỡnh hc i s, NXB Khoa hc t nhiờn v Cụng ngh, H Ni [2] Dng Quc Vit (2008), Lý thuyt Chiu, NXB i hc S phm, H Ni [II] TI LIU TING ANH [3] M F Atiyah v I G MacDonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press [4] M Auslander v D A Buchsbaum (1958), "Codimension and multiplicity", Ann of Math, 68: 625657 [5] Winfried Bruns v Udo Vetter (1998), "A Remark on Koszul Complexes", Contributions to Algebra and Geometry, 39(2): 249254 ă rgen Herzog (1993), Cohen - Macaulay Rings, [6] Winfries Bruns v Ju Cambridge University Press [7] D Eisenbud (1996), Commuative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Springer 44 [8] Bogdan Ichim v Udo Vetter (2006), "Generalized Koszul complexes", An St Univ Ovidius Constanta, 14(2): 6172 [9] D G Northcott (1968), Lessons on rings, modules, and multiplicities, Cambridge University Press [10] Paul C Roberts (1998), Multiplicities and Chern Classes in Local Algebra, Cambridge University Press [11] Jean-Pierre Serre (2000), Local Algebra and Multiplicities, Springer 45 [...]... thức khi n đủ lớn, và giới thiệu về chuỗi Hilbert và bội của một module phân bậc Ở phần tiếp theo, với khái niệm vành phân bậc liên kết theo một lọc, chúng ta mở rộng những khái niệm trên cho những module không phân bậc và dẫn đến khái niệm "hàm Hilbert - Samuel" và "bội" của một module hữu hạn sinh theo một ideal xác định Cuối cùng, ta chứng minh định lý Serre, định lý giải thích bội như một đặc trưng... thặng dư của x và y là các cơ sở của R/m−không gian vector I/mI Nếu f và f là các dạng tuyến tính trên Rn xác định bởi x và y một cách tương ứng, thì tồn tại một R−tự đồng cấu ϕ trên Rn (xác định bởi ma trận A) sao cho f = f ◦ ϕ, khi đó, từ Mệnh đề 1.8 thì ta suy ra các phức Koszul K• (x ) và K• (y ) đẳng cấu Điều này rõ ràng không đúng nếu x và y không có cùng độ dài Tuy nhiên, K• (x ) và K• (y ) thì... df = 0 và df (x ∧ y) = df (x) ∧ y + (−1)deg x x ∧ df (y) với mọi phần tử thuần nhất x, y ∈ n ··· → df L −→ L Do df ◦ df = 0 nên ta suy ra n−1 2 L → ··· → df f L −→ L → − R→0 (1.1) là một phức Tính chất thứ hai chứng tỏ rằng df là một vi phân ngoài Định nghĩa 1.1 Phức (1.1) được gọi là phức Koszul của f , ký hiệu là K• (f ) Tổng quát, nếu M là một R−module thì phức K• (f ) ⊗R M được gọi là phức Koszul. .. đề 1.8 ta có phức Koszul của một dãy x và của mọi hoán vị của x là đẳng cấu nhau Do đó, Hệ quả 1.19 là một chứng minh khác cho mệnh đề "Mọi hoán vị của một M −dãy cũng là một M −dãy" Nhận xét 1.20 Với một vành bất kỳ R và module M bất kỳ thì từ H1 (x , M ) = 0 trong đó x là một M −dãy bán chính quy cho ta x M = M Cho R là một vành địa phương Noether, I là một ideal, x = x1 , , xn và y = y1 , ... = dx và d∗ = (dx )∗ 12 / ··· d∗ /  ∗ L d∗ / / 0 / 0 R ω1 n−1 / d L ω0 ∗ n L Mệnh đề 1.10 Cho x = x1 , , xn là một dãy trong vành R a Với các ký hiệu như vừa giới thiệu trên, ta có ωi−1 ◦ di = (−1)i−1 d∗n−i+1 ◦ ωi với mọi i b Các phức K• (x) và K • (x) = (K• (x))∗ là đẳng cấu nhau (ta nói K• (x) tự liên hợp) c Tổng quát hơn, với mọi R−module M thì phức K• (x, M ) và K • (x, M ) là đẳng cấu, và d... lại thì dễ dàng để kiểm tra Hệ quả 1.22 Cho R là một vành, I là một ideal hữu hạn sinh, và M là một R−module Giả sử x = x1 , , xm và y = y1 , , yn là các hệ sinh của I, và cho g ∈ N Khi đó, Hi (x, M ) = 0 với i = m − g + 1, , m nếu và chỉ nếu Hj (y, M ) = 0 với j = n − g + 1, , n 20 Chương 2 Lý thuyết bội Hàm Hilbert H(M, n) cho biết độ dài của thành phần thuần nhất thứ n của một module... của R/(x) Nhận xét 1.15 Cho R là một vành phân bậc và x = x1 , , xn là một dãy các phần tử thuần nhất Khi đó x cảm sinh một dạng tuyến tính bậc 0 trên F = n i=1 R(− deg xi ) Phức Koszul K• (x ) là một phức phân bậc với một vi phân bậc 0 nếu ta xác định trên Đặc biệt, ta có n F ∼ = R(− F một sự phân bậc như phần mô tả trên n i=1 deg xi ) Sự quan trọng của phức Koszul xuất phát từ việc H• (x , M )... grade(I, M ) nếu M là một module hữu hạn sinh trên một vành Noether R và I = (x ) Giả sử sự hữu hạn trong phát biểu trên là cần thiết để làm rõ ràng sự tồn tại của M −dãy trong I từ sự triệt tiêu của module đồng điều Hi (x , M ) Định lý sau được phát biểu mà không có giả sử này: Định lý 1.16 Cho R là một vành, x = x1 , , xn là một dãy trong R và M là một R−module Nếu I = (x) chứa một M −dãy yếu y... m) là một vành Noether địa phương, M = 0 là một R−module hữu hạn sinh và I ⊂ m là ideal sinh bởi x = x1 , , xn Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: a grade(I, M ) = n; b Hi (x, M ) = 0 với mọi i > 0; c H1 (x, M ) = 0; d x là một M −dãy Chứng minh: Tính tương đương của a và b kéo theo từ Định lý 1.17, từ b ⇒ c và d ⇒ a là tầm thường c ⇒ d được chứng minh bằng quy nạp theo Bổ đề 1.18 và Hệ quả... một đồng cấu giữa các phức ϕ : K• (x ) → F• mà là đồng nhất trên R/I; chú ý rằng ϕ là đồng luân duy nhất 11 Mệnh đề 1.9 Cho R là một vành, x = x1 , , xn là một dãy trong R và I = (x) Với mọi i, tồn tại đồng cấu tự nhiên i i Hi (x, M ) → TorR i (R/I, M ) và ExtR (R/I, M ) → H (x, M ) Chứng minh: Đồng cấu ϕ ở trên sinh ra các đồng cấu giữa các phức ϕ ⊗ M : K• (f, M ) → F• ⊗ M và HomR (ϕ, M ) → K • ... chng l nh lý Hilbert (nh lý 2.3) v hm Hilbert, nh lý Auslander - Buchsbaum (nh lý 2.26) v cỏc nh lý Serre (nh lý 2.27 v nh lý 2.31) v mi liờn h gia bi hỡnh thc vi c trng Euler ca ng iu Koszul H... M K (f ) Phc Koszul ca dng tuyn tớnh f K (f, M ) = K (f ) R M Phc Koszul ca f vi h s M H (f ) ng iu Koszul ca f H (f, M ) ng iu Koszul ca f vi h s M H (f ) = H (K (f )) i ng iu Koszul ca f... i s ngoi; cỏc tớnh cht quan trng ca phc Koszul v ng iu Koszul Cỏc kt qu ỏng chỳ ý ca chng ny l nh lý 1.16 v nh lý 1.17 liờn quan n mi liờn h gia ng iu Koszul vi hm t dn xut Ext v bc ca module