Hàm Hilbert H(M, n) cho biết độ dài của thành phần thuần nhất thứ n của một module phân bậc M. Trong phần đầu của chương này, ta sẽ chứng minh rằng hàm Hilbert là một đa thức khi n đủ lớn, và giới thiệu về chuỗi Hilbert và bội của một module phân bậc.
Ở phần tiếp theo, với khái niệm vành phân bậc liên kết theo một lọc, chúng ta mở rộng những khái niệm trên cho những module không phân bậc và dẫn đến khái niệm "hàm Hilbert - Samuel" và "bội" của một module hữu hạn sinh theo một ideal xác định. Cuối cùng, ta chứng minh định lý Serre, định lý giải thích bội như một đặc trưng Euler của một đồng điều Koszul xác định.
2.1 Hàm Hilbert - Samuel
Trước hết, ta nói về hàm Hilbert của một module phân bậc trên một vành phân bậc. Giả sử R = L
n≥0Rn là một vành phân bậc có R0 là một vành địa phương Artin và R là một R0−đại số hữu hạn sinh, M = L
n∈ZMn là một R−module phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, mỗi thành phần thuần nhấtMn của
M là một R0−module hữu hạn sinh. Do đó lR0(Mn) hữu hạn.
Định nghĩa 2.1. Cho M là mộtR−module phân bậc hữu hạn sinh. Một hàm số học H(M,−) : Z → Z với H(M, n) = lR0(Mn) (hay l(Mn) nếu không nhầm lẫn) với mọi n ∈Z được gọi là hàm Hilbert, và HM(t) =P
n∈ZH(M, n)tn được gọi là chuỗi Hilbert của M.
Trong phần còn lại của chương này, ta giả sửR được sinh bởi các phần tử thuần nhất bậc 1 trên R0, hay R =R0[R1].
Một hàm số học F : Z→ Z được gọi là có kiểu đa thức (bậc d) nếu tồn tại một đa thức P(X) ∈ Q[X] (bậc d) sao cho F(n) = P(n) với mọi n đủ lớn. Ta quy ước đa thức 0 có bậc là −1.
Ta định nghĩa toán tử số gia ∆ trên tập các hàm số học xác định bởi (∆F)(n) = F(n + 1) − F(n) với mọi n ∈ Z. Khi đó, ∆ biến một hàm đa thức thành một hàm đa thức, giảm bậc của các đa thức khác 0 đi 1. Thực hiện toán tử ∆ d lần liên tiếp được ký hiệu là ∆d. Ta quy ước ∆0F = F. Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2. Cho F : Z → Z là một hàm số học, và một số nguyên d ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương:
a. ∆dF(n) =c, c 6= 0, với mọi n đủ lớn;
b. F có kiểu đa thức bậc d.
Chứng minh: Chiều b. ⇒ a. là tầm thường. Ta chứng minh a. ⇒ b. bằng quy nạp theo d.
Nếu d= 0 thì ta suy ra F là đa thức hằng có degF = 0 =d.
Nếu d > 0, ∆dF(n) = ∆d−1(F(n+ 1)−F(n)) = c, c 6= 0 với mọi n đủ lớn. Bởi giả thiết quy nạp nên tồn tạin0 và một đa thức P(X) ∈ Q[X] bậcd−1sao
cho F(n+ 1)−F(n) =P(n) với mọi n≥ n0. Khi đó, F(n+ 1) =F(n0) + n X k=n0 P(k)
và vế phải là một đa thức bậc d của n.
Định lý 2.3 (Định lý Hilbert). Cho M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó, H(M, n) có kiểu đa thức bậc d−1.
Chứng minh: Ta giả sử M 6= 0, khi đó, tồn tại một dãy
0 = N0 ⊂N1 ⊂ · · · ⊂Nn =M
các module con của M sao cho với mỗi i ta có Ni+1/Ni ∼= (R/p
i)(ai), trong đó pi là một ideal nguyên tố phân bậc.
Do hàm Hilbert (hàm độ dài của module) có tính chất cộng tính trên các dãy khớp ngắn nên ta có
H(M, n) =X i
H((R/pi)(ai), n).
Do d = dimM nên d là cận trên đúng của các giá trị dimR/pi. Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợpM =R/p với plà một ideal nguyên tố phân bậc.
Nếu d = dimR/p= 0thì p= m0⊕L
n>0
Rn là ideal tối đại phân bậc duy nhất củaR, trong đó m0 là ideal tối đại của R0. Nó kéo theo rằng H(R/p, n) = 0 với mọi n. Hay H(M, n) là một đa thức có bậc −1 =d−1.
Nếu d = dimR/p > 0, ta có thể chọn phần tử thuần nhất bậc 1 x ∈ R/p, x6= 0. Dãy khớp ngắn
cho ta phương trình
∆H(R/p, n) =H(R/p, n+ 1)−H(R/p, n) =H(R/(x,p), n+ 1).
Do dimR/(x,p) =d−1 nên ta chứng minh bằng quy nạp theo d như sau:
Nếu d= 1 thì ∆d−1H(R/p, n) =H(R/p, n) =H(R/p,0) + n X i=1 H(R/(x,p), i) là một hằng số do H(R/(x,p), i) = 0 với i đủ lớn và hằng số này khác 0 do H(R/p,0)6= 0. Hay H(R/p, n) là có kiểu đa thức bậc 0 =d−1.
Nếu d >1 thì
∆d−1H(R/p, n) = ∆d−2(∆H(R/p, n)) = ∆d−2(H(R/(x,p), n+ 1))
là một hằng số khác 0 (theo Bổ đề 2.2) nên suy ra H(R/p, n) có kiểu đa thức
bậc d−1.
Bổ đề sau đây sẽ cho biết khi nào một đa thức thuộc Q[X] nhận giá trị nguyên.
Bổ đề 2.4. Cho P(X) ∈ Q[X] là một đa thức bậc d−1. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
a. P(n)∈ Z với mọi n ∈Z;
b. Tồn tại các số nguyên a0, a1, . . . , ad−1 sao cho
P(X) = d−1 d−1 X i=0 ai X+i i .
a. ⇒ b. Ta có Xi+i với i∈ N là một Q−cơ sở của không gian vector Q[X], do đó P(X) = d−1 X i=0 ai X +i i , ai ∈ Q. Mặt khác ta có X+i+ 1 i − X +i i = X+i i−1 nên ta suy ra ai = ∆iP(−i−1)∈Z, i = 0, . . . , d−1.
Định nghĩa 2.5. ChoM là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Đa thức duy nhất PM(X) ∈ Q[x] thỏaH(M, n) =PM(n) với mọin đủ lớn được gọi là đa thức Hilbert của M. Ta viết
PM(X) = d−1 X i=0 (−1)d−1−ied−1−i X+i i .
Khi đó, bội của M được định nghĩa như sau
e(M) = e0 nếu d >0, l(M) nếu d= 0.
Nhận xét 2.6. Hàm Hilbert liên tiếpHi(M, n),i ∈ Ncủa mộtR−module phân bậc hữu hạn sinh M được định nghĩa một cách đệ quy như sau:
H0(M, n) =H(M, n) và Hi(M, n) =X j≤n
Hi−1(M, j)
với i > 0. Theo Bổ đề 2.2 và Bổ đề 2.4 ta suy ra Hi(M, n) có kiểu đa thức bậc d+i −1, với d = dimM. Đặc biệt, với mọi n đủ lớn, có một cách biểu diễn H1(M, n) =Pd
i=0ai n+ii với ai ∈ Z, và dễ thấy rằng ad = e(M).
Bổ đề 2.7. Cho H(t) = P
antn là một chuỗi Laurent hình thức với hệ số nguyên, và ai = 0 với mọi i đủ bé. Hơn nữa, cho số nguyên d > 0. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
a. Tồn tại một đa thức P(X) ∈ Q[X] bậc d−1 sao cho P(n) = an với mọi n
đủ lớn;
b. H(t) =Q(t)/(1−t)d với Q(t) ∈Z[t, t−1] và Q(1) 6= 0.
Chứng minh: a. ⇒ b. Đặt F(n) =an với mọi n ∈Z. Khi đó
(1−t)dH(t) =X n ∆dF(n−d)tn, và theo Bổ đề 2.2 thì (1−t)dH(t) ∈Z[t, t−1]. Đặt Q(t) =P n ∆dF(n−d)tn. Giả sử Q(1) = 0 thì khi đó 0 =X n ∆dF(n−d) =X n (∆d−1F(n+ 1−d)−∆d−1F(n−d)) = ∆d−1F(m) với mđủ lớn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết F là đa thức bậcd−1(theo Bổ đề 2.2).
b. ⇒ a. Giả sử tồn tại Q(t) ∈ Z[t, t−1] sao cho Q(1) 6= 0 thỏa H(t) = Q(t)/(1−t)d. Đặt Q(t) = P ibiti. Chú ý rằng 1 (1−t)d = P n≥0 n+d−1 n tn. Khi đó ta có H(t) = X i biti ! X n≥0 n+d−1 n tn !
Nhân và đồng nhất số hạng của chuỗi ta thu được
an =X i bi n+d−i−1 n−i với n 0.
Vế phải của biểu thức trên là một đa thức bậc d−1.
Hệ quả 2.8. Cho M 6= 0 là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó tồn tại duy nhất QM(t) ∈Z[t, t−1] với QM(1)6= 0 sao cho
HM(t) = QM(t) (1−t)d.
Hơn nữa, nếu QM(t) = P
ihiti thì min{i : hi 6= 0} là số nhỏ nhất sao cho
Chứng minh: Ở phần đầu của hệ quả, nếu d = 0 thì kết quả là rõ ràng. Nếu
d >0 thì kết luận được rút ra từ Định lý 2.3 và Bổ đề 2.7.
Để chứng minh phần thứ hai của hệ quả, ta có
(1−t)dHM(t) =QM(t) =X i
hiti.
Ta khai triển và so sánh hệ số của hai vế.
Trong mệnh đề tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra cách để tính các hệ số ei của đa thức Hilbert của module M từ QM(t). Chúng ta ký hiệu P(i) là đạo hàm thứ i của P ∈Z[t, t−1].
Mệnh đề 2.9. Với các giả sử như ở Hệ quả 2.8 thì ta có công thức sau
ei= Q
(i)
M(1)i! i!
với i = 0, . . . , d−1. Hơn nữa, e(M) =QM(1).
Chứng minh: Ta viết HM(t)− d−1 X i=0 (−1)i i! Q(Mi)(1) (1−t)d−i = D(t) (1−t)d trong đó D(t) =QM(t)− d−1 X i=0 (−1)i i! Q (i) M(1)(1−t)i
là phần còn lại trong khai triển Taylor củaQM(t) tới bậc d−1. Phần tử D(t) ∈ Z[t, t−1] chia hết (1−t)d vì D(j)(1) = 0 với j = 0, . . . , d−1. Điều này kéo theo hệ số của HM(t) và d−1 P i=0 (−1)i i! Q(Mi)(1) (1−t)d−i là trùng nhau khi n đủ lớn. Do đó d−1 X i=0 (−1)i i! Q(Mi)(1) (1−t)d−i =X n≥0 PM(n)tn
từ hệ số của cả hai chuỗi là các hàm đa thức của n mà bằng nhau khi n đủ lớn. Khai triển vế trái của biểu thức như một chuỗi lũy thừa và so sánh các hệ số, ta được ei =Q(Mi)(1)/i!.
Nếu d >0 thì ta có e(M) =e0 =QM(1). Nếu d= 0 thì e(M) =l(M) =X
n
H(M, n) =HM(1) =QM(1)
do HM(t) =QM(t).
Hệ quả 2.10. Với các giả sử như ở Hệ quả 2.8 và thêm vào M là Cohen- Macaulay. Cho QM(t) =P
ihiti. Khi đó, hi ≥0 với mọi i. Hơn nữa, ei ≥0 với mọi i nếu Mj = 0 với mọi j <0.
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử trường các lớp thặng
dư của R0 là vô hạn. Theo Mệnh đề 2.9, ta chỉ cần chứng minh hi ≥ 0 với mọi i. Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp theo d.
Nếu d = 0, thì QM(t) = HM(t) (theo Hệ quả 2.8), và do đó mọi hệ số của QM(t) đều không âm.
Giả sử d >0, ideal cực đại thuần nhất duy nhất M =m0⊕L
n>0Rn của R không thuộc AssM, và ideal I =L
n>0Rn được sinh bởi các phần tử của R1 là M−nguyên sơ. Từ R/M là vô hạn nên tồn tại một phần tửa ∈R1 làM−chính quy. Đặt N =M/aM, khi đó N là một R−module phân bậc Cohen-Macaulay chiều d−1, và dãy khớp
0→M(−1) −→a M → N → 0
cho ta phương trình (1−t)HM(t) = HN(t) và do đó QM(t) = QN(t). Do giả thiết quy nạp nên ta suy ra điều cần chứng minh.
Nhận xét 2.11. Các lập luận ở phần chứng minh trên cho ta một kết quả đáng chú ý: Giả sửM là một R−module phân bậc hữu hạn sinh, vàx là một M−dãy gồm các phần tử bậc 1, thì QM(t) =QM/(x)M(t).
Định lý Hilbert nói rằng hàm Hilbert của một module phân bậc hữu hạn sinh là một hàm đa thức với n đủ lớn. Ta sẽ xác định từ giá trị nào của n thì điều trên xảy ra.
Mệnh đề 2.12. Cho M 6= 0 là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều
d, và QM(t) = Pb
i=ahiti với hb 6= 0. Khi đó, H(M, b − d) 6= PM(b − d) và
H(M, i) =PM(i) với mọi i ≥b−d+ 1.
Chứng minh: Với i = a, . . . , b ta đặt Hi = hiti/(1−t)d và Pi(n) = n−di+−d1−1. Khi đó Hi(t) =
∞
P
n=i
Pi(n)tn, nhưng từ Pi(n) = 0 với n =i−d+ 1, . . . , i−1 nên
ta có Hi(t) = ∞ P n=i−d+1 Pi(n)tn. Hơn nữa, PM(n) = b P i=a
Pi(n) với mọin ∈Z. Vớii ≥ b−d+ 1ta cóH(M, n) = b P i=a Pi(n), trong khi đó, H(M, b− d) = b−1 P i=a Pi(b−d) và Pb(b −d) 6= 0. Do đó H(M, b−d) 6=PM(b−d). 2.2 Lý thuyết bội
Ở mục trước, ta đã xây dựng khái niệm hàm Hilbert và bội của mộtR−module phân bậc hữu hạn sinh M. Ở mục này, ta sẽ xây dựng khái niệm bội cho một R−moduleM bất kỳ. Để làm được điều này, ta dựa vào khái niệm module phân bậc liên kết của M.
Cho (R,m) là một vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R−module. Ideal I ⊂ m được gọi là ideal xác định của M nếu l(M/IM) hữu hạn. Cho I là một ideal xác định của M, đặt grI(R) = ∞ M i=0 (Ii/Ii+1) và grI(M) = ∞ M i=0 (IiM/Ii+1M). Khi đó, grI(M) là một grI(R)−module phân bậc.
Định nghĩa 2.13. Hàm Hilbert lặp lần thứ nhất χIM(n) = H1(grI(M), n) = n P i=0 H(grI(M), i) = n P i=0
l(IiM/Ii+1M) =l(M/In+1M)
được gọi là hàm Hilbert - Samuel của M và e(I, M) = e(grI(M)) được gọi là bội của M theo I.
Mệnh đề 2.14. Cho (R,m) là một vành địa phương Noether, M 6= 0 là một
R−module hữu hạn sinh có chiều d, và I là một ideal xác định của M. Khi đó
a. Hàm Hilbert - Samuel χIM có kiểu đa thức bậc d.
b. e(I, M) = lim n→∞
d!
ndl(M/In+1M).
Chứng minh: a. Ta có dimM = dim grI(M) nên theo Nhận xét 2.6 thì ta suy ra điều cần chứng minh.
b. Từ ý a. ta có: với n đủ lớn thì χIM(n) = (e(I, M)/d!)nd+ các hạng tử có bậc bé hơn d. Do đó, e(I, M) = lim
n→∞
d!
ndl(M/In+1M).
Định nghĩa 2.15. Cho R là một vành Noether, I là một ideal thực sự của R và M là một R−module hữu hạn sinh. Một ideal J ⊂ I được gọi là ideal rút gọn của I theo module M nếu J InM =In+1M với n đủ lớn.
Bổ đề 2.16. Cho (R,m) là một vành địa phương Noether,M là mộtR−module hữu hạn sinh, I là một ideal xác định của M và J là một ideal rút gọn của I
theo M. Khi đó J là một ideal xác định của M và e(J, M) =e(I, M).
Chứng minh: Với n đủ lớn thì ta có In+1M = J InM ⊂ J M và dó đó, J là một ideal xác định của M. Ngoài ra, ta được các bất đẳng thức
l(M/Im(n+1))≥ l(M/JmM) ≥l(M/ImM)
Mệnh đề 2.17. Cho R là một vành Noether, J ⊂I là các ideal thực sự củaR, và M là một R−module hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương
a. J là một ideal rút gọn của I theo M. b. R+(I, M) là R+(J)−module hữu hạn sinh.
Chứng minh: a. ⇒ b. Giả sử In+1M = J InM thì R+(I, M) được sinh trên R+(J) bởi các phần tử có bậc bé hơn bằng n, nên là module hữu hạn sinh.
b. ⇒ a. Ta có thể chọn một tập các phần tử thuần nhất x1, . . . , xr trong R+(I, M). Gọi n là bậc lớn nhất của các phần tử thuần nhất xi này, và cho x ∈ In+1M. Tồn tại các phần tử ai ∈ Jbi, với bi = n + 1 − degxi sao cho x=
r
P
i=1
aixi.
Từ aixi ∈ Jb+iIn+1−biM ⊂ J InM nên suy ra x ∈ J InM. Hay In+1M ⊂
J InM. Bao hàm ngược lại là tầm thường. Do đó, In+1M =J InM hay J là một
ideal rút gọn của I theo M.
Định nghĩa 2.18. Cho(R,m) là một vành địa phương Noether,I là một ideal thực sự của R và M là một R−module hữu hạn sinh. Số
λ(I, M) = dim(R+(I, M)/mR+(I, M)) = dim(grI(M)/mgrI(M))
gọi là độ trải giải tích của I theo M. Đặt λ(I) = λ(I, R) và gọi là độ trải giải tích của I.
Mệnh đề 2.19. Với các giả thiết ở Định nghĩa 2.18 ta có µ(J) ≥ λ(I, R) với mọi ideal rút gọn J của I theoM. Nếu thêm giả thiết R/m hữu hạn sinh thì tồn tại một ideal rút gọn J của I theo M sao cho µ(J) =λ(I, M).
Chứng minh: Ta có module R+(I, M)/mR+(I, M) là module hữu hạn sinh trên R+(J)/mR+(J) = L
i≥0
với m= dimkJ/mJ =µ(J). Do đó ta có dim(R+(I, M)/mR+(I, M)) ≤ m hay µ(J) ≥λ(I, R).
Bây giờ ta đặt A = R+(I)/a, trong đó a là cái triệt của R+(I)−module R+(I, M)/mR+(I, M). Ideal a là phân bậc và chứa mR+(I). Do đó, A là một R/m−đại số thuần nhất, và dimA = λ(I, M). Từ R/m là vô hạn, định lý tiêu chuẩn hóa Noether nói rằng tồn tại các phần tửy1, . . . , yd ∈ Abậc 1,d=λ(I, M) sao cho A là một B−module hữu hạn sinh với B = k[y1, . . . , yd]. Nó kéo theo R+(I, M)/mR+(I, M) là một B−module phân bậc hữu hạn sinh.
Với mỗiyita chọnzi ∈I trong đózilà tạo ảnh củayiqua phép chiếu chính tắc I → R+(I)/a. ĐặtJ = (z1, . . . , zd)thìµ(J) =λ(I, M) vàR+(I, M)/mR+(I, M) là module hữu hạn sinh trên R+(J)/mR+(J). Khi đó, theo bổ đề Nakayama phiên bản phân bậc thì ta có R+(I, M) là R+(J)−module hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 2.17 thì J là ideal rút gọn của I theo M.
Nhận xét 2.20. Cho (R,m, k) là một vành địa phương Noether và I là một