SKKN chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đánh giá phần tử đại diện

Cũng từ đó đã nảy sinh ra việc nghiên cứu một phương pháp chứng minh bấtđẳng thức mà được gọi là phương pháp đánh giá phần tử đại diện.. Phương pháp nàythể hiện được nguồn gốc xuất phát

PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã gặpnhững tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tại sao người ta lại nghĩ được bài toánchứng minh bất đẳng thức này?” Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí củatôi và luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó

Cũng từ đó đã nảy sinh ra việc nghiên cứu một phương pháp chứng minh bấtđẳng thức mà được gọi là phương pháp đánh giá phần tử đại diện Phương pháp nàythể hiện được nguồn gốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “Chứng minh bấtđẳng thức bằng phương pháp đánh giá phần tử đại diện”

II Mục đích nghiên cứu:

Với mục đích cung cấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh vàquan trọng hơn cả là giúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng,thấy được sự sáng tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản Sửdụng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức là mộtphương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một lớp các bài toán chứng minh bấtđẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, một nội dung mà họcsinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặp rất nhiều khókhăn trong việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương pháp này sẽ xoá tan tâm

lí sợ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiếtcho các đối tượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinhđang chuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướngsáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức

III Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh đội tuyển học sinh giỏi và ôn thiđại học qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là đội tuyển học sinh giỏiToán lớp 12 và học sinh lớp 12A1 năm học 2012- 2013

IV Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu:

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức trong chương trình ôn thi học sinh giỏi các cấp

và ôn thi Đại học

V Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng tạo Xây dựng và định hướng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức Tiến

hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

VI Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lý luận : “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường

ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”

Phương pháp quan sát : Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinhcủa trường trong năm học vừa qua.Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả họctập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay

VII Thời gian nghiên cứu:

 Từ đầu học kì I đến giữa học kì II năm học 2013 – 2014

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG I.Cơ sở lí thuyết :

1 Nghiệm bội của đa thức :

- Cho đa thức P(x), a được gọi là nghiệm bội r của P(x) nếu ta có

   r  

P x  x a Q x Trong đó Q(x) là đa thức và Q(a)  0

- Ta có a là nghiệm bội r khi và chỉ khi P(a) = P’(a) = …= P (r-1) = 0 và P (r) (a)

 0

2 Bất đẳng thức thuần nhất đối xứng ba biến và kĩ thuật chuẩn hóa :

- Đa thức f a b c( , , ) đối xứng định nghĩa dưới dạng: / / / /

f a b c f a b c

trong đó ( , , )a b c/ / / là một hoán vị tùy ý của ( , , )a b c Hay nói cách khác là

) , , ( ) , , ( )

,

, ,abc p ab bc ca r k

c b

đơn giản hóa và qui bất đẳng thức về chứng minh theo từng biến

III Các bước tiến hành

Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểmtừng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạng các biến được

cô lập dạng f x( ) 1 f x n  hoặc f x( ) 1 f x n  và với giả thiết với giảthiết g x( ) 1  g x n k Sau đó thực hiện theo các bước sau :

- Bước 1: Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và phải là x1  x n a

- Bước 2: Dựa vào hình thức của BĐT xét phần tử đại diện f x( )m g x  n hoặc

- Bước 5: Kiểm nghiệm P x    0, x D

- Bước 6: Từ đó đưa ra lời giải :

 

f x m g x n hoặc f x( )i m g x  i n,  x i D i, 1,n

- Bước 7: Cộng n bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh

I.V Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 3 Chứng minh

5 3

- Dấu “=” của BĐT xảy ra khi a b c  1

- Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện abc 3 đềukhông ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử

đại diện

2 2

Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a b c  1.

Ví dụ 2: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  1 Chứng minh

a  b  c  đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ

ngay đánh giá phần tử đại diện 1 2

P x    x    Q x

  trong đó Q x  0, x 0;1 Suy ra phải

tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội 1

3

n P

a  b  c  d  đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta

nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 1 2

- Ta đi tìm m, n sao cho 1 2

P x    x    Q x

  trong đó Q x 0, x 0;1 Suy ra phải tìm

điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội 1

2

x  , tức là

10

42

51

2

P

m n P

Nhận xét: Bài này không thể giải được bằng phương pháp tiếp tuyến.

Ví dụ 4: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 2

a   b   c   đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta

nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện 21 1

P x    x    Q x

  trong đó Q x 0, x 0 Suy ra phải tìm

điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội 1

2

x  , tức là

10

22

11

2

P

m n P

- Bất đẳng thức trên ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện

3 2

Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khia b c 

Ví dụ 6: Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh

- Dấu “=” của BĐT xảy ra khi a b c 

- Bất đẳng thức trên ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện

2 2 2 2 2 2

a b c a b     b c  c a

Phân tích :

- Dấu “=” xảy ra khi a b c  1

- Ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2a2b2c 9 a  b  c  a b c 2a2b2c9

- Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện a b c  3

đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tửđại diệnx4 2x mx 2 n

- Ta đi tìm m, n sao cho x4 2x mx 2 n luôn đúng với   x  0;1 

và dấu bằng xảy ra khi x 1

- Ta thấy x4 2x mx 2  n x4  mx2 2x n 0 Ta đi tìm m, nsao cho đa thức P x    x4  mx2  2 x n  có dạng

- Ta thấy điều kiện của bài toán 1 a 2 b2 c2 ab bc ca 

- Bất đẳng thức trên và điều kiện ab bc ca  1 này khiến ta nghĩ

ngay đánh giá phần tử đại diện 1

1  x  mx n 

- Ta đi tìm m, n sao cho 1

1  x  mx n  luôn đúng với   x  0;1 vàdấu bằng xảy ra khi x 1

- Ta thấy x4 2x mx 2  n x4  mx2 2x n 0 Ta đi tìm m, nsao cho đa thức P x    x4  mx2  2 x n  có dạng

P x    x    Q x

  trong đó Q x  0, x 0;1 Suy ra phải tìm

điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội 1

3

n P

a b c

b c  a c  a b   

A.KẾT QUẢ:

Qua năm học 2013 – 2014, áp dụng cho các lớp 12A1 và đội tuyển học sinhgiỏi môn Toán lớp 12 của nhà trường dưới sự hướng dẫn của giáo viên kết hợp thảoluận trao đổi với nhau của học sinh Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập,nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, học sinh đã hứng thú hơn với các bàitoán chứng minh bất đẳng thức trong các đề thi Cụ thể như sau:

Thống kê điểm kiểm tra khảo sát chuyên đề hình học không gian tổng hợp:

5- 7.75

B.KẾT LUẬN:

1 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:

Rõ ràng phương pháp đánh giá phần tử đại diện là một phương pháp chứngminh bất đẳng thức rất rõ ràng, hiệu quả, dễ áp dụng đối với học sinh Giúp học sinhkhông còn cảm giác “sợ “ khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức, một nội dung

mà học sinh luôn gặp trong mọi kì thi của cấp trung học phổ thông, một nội dung mà

đa số mọi học sinh đều gặp vướng mắc trong việc tìm phương pháp giải Phương phápnày đã được áp dụng cho đối tượng là học sinh lớp 12A1 và đội tuyển học sinh giỏikhối 12 trong chuyên đề ‘Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức” Trongchuyên đề này các em đã có thể tự giải những lớp bài toán chứng minh bất đẳng thứcthuần nhất hoặc cùng bậc trong các kì thi Olympic Quốc tế và hơn thế nữa các em đã

có sự tập tành nghiên cứu khoa học là tự sáng tác các bài toán chứng minh bất đẳngthức Mặc dù không phải bất cứ bài toán chứng minh bất đẳng thức nào cũng có thểgiải bằng phương pháp trên nhưng ít ra nó cũng đã giúp các em có một phương pháp

rõ ràng, dễ thực hiện đối với một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức khó vàquan trọng hơn cả nó đã giúp các em thấy được xuất xứ của bài toán chứng minh bấtđẳng thức và các em cũng có thể tự sáng tác bài toán chứng minh bất đẳng thức tạo sựhứng thú học tập và sáng tạo cho các em Từ đó tạo một niềm tin trong học tập chocác em, tạo một thái độ học tập là phải nắm được cái cốt lõi của vấn đề, và chínhnhững điều đó đã giúp các em các em học sinh giỏi trong đội tuyển 12 đạt kết quả tốttrong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh

2 Những bài học kinh nghiệm:

Trong quá trình áp dụng sáng kiến , bản thân đã rút ra được kết luận

Phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức dành để vậndụng cho một lớp bất đẳng thức thuần nhất hoặc cùng bậc cùng với phép chuẩn hoáthích hợp để cô lập được các biến

Việc vận dụng Phương pháp đánh giá phần tử đại diện trong chứng minh bấtđẳng thức thật sự là một phương pháp giải toán vô cùng hiệu quả trong việc giải mộtlớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức Qua việc vận dụng phương pháp nàychúng ta có thể rèn luyện được phương pháp tư duy khoa học, phát triển vấn đề từnhững vấn đề cơ bản và cuối cùng là rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề một cách sâusắc từ gốc rễ, không qua loa đại khái, hời hợt bên ngoài

cho các em học sinh khối 12 và đội tuyển học sinh giỏi môn Toán

Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng khôngtránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy côgiáo đồng nghiệp để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn

Bảo Thắng, ngày 07 tháng 03 năm 2014 Người viết

Nguyễn Thị Thu Hằng

Tài liệu tham khảo

[1] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[2] Tài liệu trên mạng

Trang

PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU …1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Đối tượng nghiên cứu 1

IV Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu 1

V Nhiệm vụ nghiên cứu 2

VI Phương pháp nghiên cứu 2

VII Thời gian nghiên cứu 2

PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG 3

I Cơ sở lý thuyết 3

II Thực trạng vấn đề 3

III Các bước tiến hành 3

IV Ví dụ minh họa 4

V Bài tập vận dụng 16

PHẦN THỨ BA : KẾT QUẢ - KẾT LUẬN 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 22