Phân phối chuẩn

• Việc chuẩn hóa ph}n phối chuẩn cho trước để có thể sử dụng được bảng ph}n phối Z không l|m ảnh hưởng gì đến c{c x{c suất cần tính v| như vậy, không ảnh hưởng đến kết quả b|i to{n gốc.

Phân phối chuẩn

Đặng Hải V}n – Lê Phong – Nguyễn Đình Thúc

Khoa CNTT – ĐHKHTN

{dhvan,lphong,ndthuc}@fit.hcmus.edu.vn

1

Phân phối liên tục

• Ph}n phối được gọi l| liên tục nếu

▫ biến ngẫu nhiên nhận gi{ trị trong một miền vô hạn không đếm được

▫ h|m ph}n bố tích lũy tạo th|nh một đường cong liên tục

• nếu X l| một biến ngẫu nhiên liên tục

▫ không thể sử dụng h|m độ lớn x{c suất (pmf) cho X

▫ ta có thể tính x{c suất cho một khoảng gi{ trị của X

▫ x{c suất X = a với a l| bất kỳ gi{ trị cụ thể n|o đều bằng 0

Phân phối liên tục

• Được đặc trưng bởi h|m mật độ x{c (pdf)

• Để tìm x{c suất của một biến ngẫu nhiên

liên tục, thường ta tính diện tích phần dưới đường cong nằm giữa 2 điểm cần tính x{c suất

a

a  X  b   f x dx

Phân phối chuẩn

• Ph}n phối chuẩn l| mô hình x{c suất được

đặc trưng bởi hai đại lượng

x f

x

, 2

1 )

2

2

) (









• Điểm chuẩn (điểm z) l| gi{ trị biểu diễn độ

lệch chuẩn trên hay dưới trung bình

• Bảng ph}n phối Z: bảng tra ph}n bố tích

lũy (cdf) khi biết gi{ trị z

2 1

2

) 0

2

1 2

1

1 )

(

z z

e e

• Chuẩn hóa ph}n phối chuẩn N(  ,  ) l| biến

đổi ph}n phối chuẩn đã cho sang ph}n phối Z với N(  = 0,  = 1) hay N(0,1).

• Việc chuẩn hóa ph}n phối chuẩn cho trước

để có thể sử dụng được bảng ph}n phối Z không l|m ảnh hưởng gì đến c{c x{c suất cần tính v| như vậy, không ảnh hưởng đến kết quả b|i to{n gốc

Bài toán tính xác suất

• Bài toán: cho một/khoảng gi{ trị của X,

tìm x{c suất nhỏ hơn, lớn hơn hay trong khoảng n|y

Bài toán tính xác suất

• Ví dụ Chiều d|i c{ được mô hình hóa

bằng ph}n phối chuẩn N(  =16 (cm),  =4

(cm)) Ta cần trả lời c{c c}u hỏi sau:

▫ Câu hỏi 1: X{c suất bắt được con c{ nhỏ

(nhỏ hơn 8 (cm))?

▫ Câu hỏi 2: Giả sử, ai bắt được con c{ lớn

(lơn hơn 24(cm)) sẽ được thưởng Hỏi x{c suất được thưởng l| bao nhiêu?

▫ Câu hỏi 3: X{c suất bắt được con c{ vừa

(trong khoảng 16-24(cm))?

Bài toán tính xác suất

• Bước 1: biểu diễn đồ thị của ph}n phối

▫ Nhớ lại

f(x)

Bài toán tính xác suất

• Bước 2: chuyển về b|i to{n x{c suất

• Ví dụ

▫ Câu hỏi 1  P(X<8)=?

▫ Câu hỏi 2  P(X>24)=?

▫ Câu hỏi 3  P(16<X<24)=?

• Chú ý l| kết quả vẫn không bị ảnh hưởng

nếu ta sử dụng dấu ≤,  thay vì < hay >

Bài toán tính xác suất

• Bước 3: chính tắc hóa về ph}n phối Z

Bài toán tính xác suất

• Bước 4: tra bảng ph}n phối Z

• Sử dụng bảng Z

▫ Để tìm x{c suất nhỏ hơn z cho trước

 Tìm h|ng biểu diễn ký số trước v| sau chấm thập ph}n

 Tìm cột biểu diễn ký số thứ 2 sau dấu thập phân

 Giao của h|ng v| cột n|y chính l| kết quả cần tìm

▫ chọn gi{ trị ở ô tương ứng với h|ng 2.1, cột 0.03 Kết quả l| 0.9831, hay P(Z<2.13)=0.9831

Bài toán tìm ngưỡng

• Bài toán: cho Pr(X<a) hay Pr(X>a), tìm a.

• Đối với Pr(X<a), giải như sau

▫ Diễn tả b|i to{n dưới dạng x{c suất: Pr(X<a)

▫ Tìm ô có gi{ trị gần nhất với gi{ trị Pr(X<a) trong bảng Z

▫ Lấy nhãn của h|ng v| cột cộng lại được một

Bài toán tìm ngưỡng

• Bài tập: Giả sử chiều d|i c{ trong hồ có

ph}n phối chuẩn N(  =16(cm),  =4(cm)) Ta

muốn trả lời c{c c}u hỏi sau:

▫ Câu hỏi 4: Biết 10% c{ trong hồ l| c{ nhỏ,

vậy thế n|o l| c{ nhỏ?

▫ Câu hỏi 5: Chỉ quan t}m đến 10% c{ lớn

nhất trong hồ, vậy c{ d|i hơn bao nhiêu l| c{ lớn?

• Ph}n phối chuẩn có thể được dùng để xấp

xỉ x{c suất nhị thức khi n lớn.

• Câu hỏi 1: n lớn bao nhiêu?

• Quy tắc: có thể sử dụng phối chuẩn để xấp xỉ

nhị thức khi n thỏa (n×p) > 5 và (n×(1 – p)) >

5 Và n càng lớn thì xấp xỉ càng tốt

làm trơn cạnh của c{c thanh của nhị thức

bằng một đường cong liên tục

▫ Nếu x{c suất nhỏ hơn hoặc bằng, cộng ½ v|o X trước khi lấy x{c suất Chẳng hạn, nếu X ≤ 5 sẽ được nắn th|nh 5.5.

▫ Nếu x{c suất lớn hơn hoặc bằng, trừ ½ khỏi

X trước khi lấy x{c suất Chẳng hạn, nếu X

 2 sẽ được nắn th|nh 1.5.

▫ Nếu x{c suất nằm giữa 2 gi{ trị, chẳng hạn

2 ≤ X ≤ 5, ta thực hiện c{c bước 1, 2 v| 3a để nắn gi{ trị X = 5; c{c bước 1, 2 v| 3b để nắn

X = 2

▫ Nếu x{c suất bằng đúng 1 gi{ trị, nắn bằng c{ch vừa cộng vừa trừ Chẳng hạn, P(X = 3) nắn th|nh P(2.5 ≤ X ≤ 3.5)

▫ Nếu x{c suất lớn hơn hẳn, chuyển X th|nh

X + 1 Chẳng hạn, P(X > 27) th|nh P(X ≥ 28) v| tính tiếp