Tài liệu xác suất thống kê lê anh vũ

Phép thử luơn được thực hiện trong một nhĩm các điều kiện nào đĩ hồn tồn xác định.. Biến cố ngẫu nhiên BCNN là biến cố cĩ thể xảy ra, cũng cĩ thể khơng xẩy ra khi thực hiện xong phép th

CHƯƠNG 1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT

Nội dung

‰ Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố

‰ Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học )

‰ Các cơng thức tính xác suất:

• Cơng thức cộng xác suất

• Xác suất cĩ điều kiện và cơng thức nhân xác suất

• Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes

• Cơng thức Bernoulli

1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ

1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Ví dụ 1.1

Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –

đĩ là một phép thử Vài kết cục cĩ thể hoặc khơng thể xảy ra:

• Mặt sấp xuất hiện

• Mặt ngửa xuất hiện

• Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện

• Khơng mặt nào xuất hiện

Chúng cịn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét

Ví dụ 1.2

Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –

đĩ cũng là một phép thử Sinh ra bởi phép thử này cĩ thể kể một vài biến cố dưới đây

• Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6)

• Mặt cĩ số chấm lẻ xuất hiện

• Mặt cĩ số chấm chẵn xuất hiện

• Mặt cĩ số chấm khơng quá k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6)

• Mặt cĩ số chấm lớn hơn 6 xuất hiện

• Mặt cĩ số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện

1.1.2 M Ô TẢ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

‰ Phép thử là một hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm

nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Phép thử luơn được thực hiện trong một nhĩm các điều kiện nào đĩ hồn tồn xác định Ta thường đồng nhất phép thử với nhĩm điều kiện xác định nĩ

1.2

2.1

‰ Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay

kết cục) nhất định Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và cĩ thể xẩy ra,

cũng cĩ thể khơng xẩy ra sau khi phép thử kết thúc Các biến cố sẽ đặc trưng cho phép thử

CÁC LOẠI BIẾN CỐ

1.2.1 B IẾN CỐ CHẮC CHẮN

Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép

thử Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U

Biến cố khơng thể cĩ là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện

Biến cố khơng thể cĩ được ký hiệu là ∅

Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố cĩ thể xảy ra, cũng cĩ thể khơng xẩy ra

khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ cĩ thể dự đốn nhưng khơng thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của biến cố đĩ Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C…

Ví dụ 1.3

• Bĩc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đĩ là một phép thử

Biến cố “bĩc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố khơng thể cĩ Biến

cố “bĩc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên Biến cố

“bĩc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc chắn

• Một người mua một tờ vé số - đĩ là một phép thử Các biến cố vé số đĩ trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải khuyến khích, khơng trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên Biến cố

vé số đĩ hoặc trúng giải, hoặc khơng trúng giải là biến cố chắc chắn Biến

cố vé số đĩ vừa trúng giải nhất vừa khơng trúng giải nào là biến cố khơng thể cĩ

Ví dụ 1.4

Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc Hãy kể các biến cố chắc chắn, khơng thể cĩ và BCNN

2 PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

TỔNG CỦA CÁC BIẾN CỐ

• Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra

khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được

thực hiện Như vậy

(A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra)

• Tổng của n biến cố A1, A2… An, ký hiệu

1

n i i

A

=

∑ = A1 + A2 + … + An (hay ), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi cĩ ít nhất một biến cố Ai nào

đĩ ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện Như vậy 1

n

i i

A

=

∪

( xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, hoặc A2 xẩy ra, …, hoặc An xẩy ra) 1

n

i i

A

=

∑

2.2 TÍCH CỦA CÁC BIẾN CỐ

• Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện Như vậy

(AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra)

• Tích của n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu n i

i n

A

=

∏ = A1A2 … An (hay ), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố Ai đều xảy ra sau khi phép

thử được thực hiện

1

n i i

A

=

∩

( n i xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … và An xảy ra)

i n

A

=

∏

2.3 BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIẾN CỐ ĐỐI LẬP

• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng khơng thể cùng

xảy ra khi phép thử được thực hiện Tức là

A.B = ∅

• Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết

phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia Biến cố đối lập của A là được ký hiệu là A Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định cĩ một và chỉ một

trong hai biến cố A hoặc A xảy ra Tức là

;

A A U AA

⎧ + =

⎪

⎨

= ∅

⎪⎩

Nĩi riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc Ngược lại nĩi chung là sai

Ví dụ 1.5

Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp và Kinh tế lượng Gọi T là biến cố sinh viên đĩ đậu mơn Tốn cao cấp, K là biến cố sinh viên đĩ đậu mơn Kinh tế lượng Hãy biểu diễn các biến cố sau qua T, K:

a) Sinh viên đĩ đậu ít nhất một mơn

b) Sinh viên đĩ đậu cả hai mơn

c) Sinh viên đĩ bị trượt mơn Tốn cao cấp

d) Sinh viên đĩ bị trượt cả hai mơn

e) Sinh viên đĩ chỉ đậu mơn Kinh tế lượng

f) Sinh viên đĩ chỉ đậu một mơn

g) Sinh viên đĩ đậu khơng quá một mơn

Giải

Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G Ta cĩ

a) A = T + K (= TK + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K );

d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B )

2.4 BIẾN CỐ SƠ CẤP - KHÔNG GIAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP –

NHÓM ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ

• Biến cố sơ cấp là biến cố khơng thể phân tích được qua các biến cố nào khác ∅

và khác chính nĩ Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi

là khơng gian các biến cố sơ cấp Khơng gian mẫu các biến cố sơ cấp thường

được ký hiệu là Ω Cũng cĩ khi dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để

ký hiệu

• Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An được gọi là một nhĩm (hay hệ) đầy đủ

các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, cĩ một và chỉ một trong các biến cố

đĩ xẩy ra Tức là

φ

= ≤ ≠ ≤

⎧

⎨ + + + =

⎩ 1 2

, 1 ;

i j

n

Nĩi riêng, { }A A là một nhĩm đầy đủ gồm hai biến cố Ngược lại , mỗi nhĩm đầy ,

đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập

Ví dụ 1.6

Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc Đặt

• A là biến cố mặt i chấm xuất hiện, i i=1,6

• C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện

• L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện

Khi đĩ , , , , , là tất cả các biến cố sơ cấp Khơng gian các biến cố

1

A

=

Ω

2

A

1,

A

3

A

2,

A

4

A

3,

A

5

A

4, A A

6

A

5, A

Các biến cố C, L khơng là biến cố sơ cấp vì: 2 4 6

;

= + +

⎧

⎨ = + +

⎩

2.5 BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay khơng xẩy

ra của biến cố nào trong chúng đều khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố cịn lại

• Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi là độc lập tồn phần nếu A2 độc lập với

A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1

Ví dụ 1.7

Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi mơn Kinh tế lượng Gọi L, T lần lượt là biến cố Lan, Tuấn đậu Rõ ràng L và T độc lập với nhau

Chú ý

Hai biến cố đối lập thì khơng thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định

sự xẩy ra của biến cố kia

2.6 VÀI TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

1) Tính giao hốn: A+B= B+A và A.B=B.A

2) Tính kết hợp: A+(B+C) (= A+B)+C và A.( ) ( )B.C = A.B.C

3) Tính phân phối: A.(B+C)= A.B+A.C và A+( ) (B.C = A+B)( A+C)

4) A+ A= A ; A.A= A ; ( )A = A

5) Luật DeMorgan:

• A1+A2 + +A n = A1.A2 A n

• A A A1 2 n =A1+A2+ + A n

3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

3.1 NHẬN XÉT – Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT

‰ Các biến cố ngẫu nhiên cĩ đặc điểm chung là cĩ thể xẩy ra, cĩ thể khơng xẩy ra sau khi thực hiện phép thử Khi phép thử chưa thực hiện xong ta khơng thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm cĩ xẩy ra

hay khơng Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này

dễ xẩy ra hơn, cịn biến cố kia khĩ xẩy ra hơn Nĩi một cách khác, khả năng (dễ hay khĩ) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nĩi chung là khác

nhau

‰ Ta muốn lượng hĩa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố

bởi một con số Con số đĩ gọi là xác suất của biến cố đang xét Nĩi rõ hơn, xác suất của một biến cố A nào đĩ là một số, ký hiêu P(A), dùng để

đo khả năng (dễ hay khĩ) xẩy ra của biến cố A Xác suất P(A) càng nhỏ thì biến cố A càng khĩ xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng

dễ xảy ra

‰ Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của các biến cố chứ dường như khơng mấy quan tâm đến bản chất thực tế của biến cố Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau nhưng cĩ xác suất bằng nhau, tức là chúng cĩ khả năng xẩy ra như nhau thì về một mặt nào đĩ, cĩ thể xem là chúng tương đương với nhau

‰ Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)? Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A) Chú ý rằng dù xác định xác suất như thế nào thì nĩ cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển nhiên như sau

• P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1;

• 0% = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = 100%, với mọi biến cố ngẫu nhiên A

Giả sử sau khi thực hiện phép thử ta có tất cả n trường hợp đồng khả năng, trong đó

có đúng mA trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy ra Khi đó xác suất P(A) của A được định nghĩa như là tỷ số của số trường hợp thuận lợi và số tất cả các trường hợp Tức là

n

m A

P( )= A

Nhận xét

• Định nghĩa cổ điển của xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính toán

• Tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp dụng được khi số tất cả các trường hợp đồng

khả năng sau phép thử là một số hữu hạn

Ví dụ 1.8

Tung một con xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang Tính khả năng (xác suất) để

a) Mặt 6 chấm xuất hiện ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất hiện

Giải

Vì con xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ 1 đến 6 nên sau khi gieo (tức là thục hiện xong phép thử), có đúng 6 trường hợp đồng khả năng

Ta đặt tên các biến cố như sau :

Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 1 , 6 ;

C là biến cố mặt có số chấm chẵn xuất hiện Theo yêu cầu đề bài, ta cần tính P(A6) và P(C) Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho

A6 và C xẩy ra lần lượt là m6 = 1 và mC = 3 Do đó

6

P A = ; b) ( ) 3 1

6 2

P C = = ( = 0, 5 = 50%)

Nhận xét

• Để dễ trực cảm được khả năng xẩy ra của biến cố, xác suất của biến cố thường được để dưới dạng phần trăm

• ( ) 1; 1, 2, ,6

6

i

P A = i= ; P(L) = 50% ( L là biến cố mặt có số chấm lẻ xuất hiện)

Giả sử ta thực hiện một phép thử τ nhiều lần (trong những điều kiện hoàn toàn giống nhau) và quan sát để đếm số lần xẩy ra của biến cố A

‰ Nếu trong n lần thực hiện phép thử τ có m lần xuất hiện biến cố A, thì tỷ số ( )

n

m

f A

n

= được gọi là tần suất xuất hiện A trong n lần thử, m được gọi là tần số

xuất hiện biến cố A

‰ Khi số lần thử đủ lớn, tần suất f n (A) sẽ dao động xung quanh một giá trị ổn định nào đó Giá trị đó được gọi là xác suất của biến cố A Một cách chính xác, ta định

nghĩa

P (A) = lim n( )

→+∞

Nhận xét

• Định nghĩa thống kê của xác suất cũng đơn giản, dễ hiểu Định nghĩa theo cách này không cần phải đòi hỏi sau khi thực hiện phép thử số tất cả các trường hợp phải hữu hạn và đồng khả năng như là định nghĩa cổ điển nữa Tuy nhiên rất khó dùng cách này để tính xác suất một cách chính xác Hơn nữa, muốn tính xác suất nhờ định nghĩa thống kê cần phải tốn thời gian và có thể cả kinh phí

• Người ta thường xuyên áp dụng định nghĩa này khi xác định xác suất của nhiều

sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn Tuy nhiên, thay cho tính toán chính xác, ta

xấp xỉ P(A) với chính tần suất f n (A) của A khi n (số lần lặp phép thử) đủ lớn

Ví dụ 1.9

Khi tung nhiều lần một đồng tiền cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động quanh giá trị 0,5

– Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp là 2.048, tần suất là 0,5080

– Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp là 6.019, tần suất là 0,5016

– Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp là 12.012, tần suất là 0,5005

Như vậy, xác suất để xuất hiện mặt sấp là 0,5 = 50%

Trong nhiều trường hợp, ta có thể dùng hình học để xác định xác suất Ta sẽ giới thiệu định nghĩa này thông qua một ví dụ cụ thể

Ví dụ 1.10 (Bài toán hai người gặp nhau)

Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h Mỗi người đến (và chắc chắn đến) địa điểm đã hẹn trong khoảng thời gian đó một cách độc lập, chờ 20 phút, nếu không gặp người kia thì bỏ đi Tính khả năng ( xác suất ) để hai người gặp nhau

Giải

Gọi G là biến cố hai người gặp nhau; X, Y là thời điểm đến của mỗi người Rõ ràng X,

Y đều là một điểm ngẫu nhiên trong đoạn [20; 21] Để G xẩy ra, tức là hai người gặp nhau, ta phải có X Y− ≤20(phút) = 1

3(giờ)

Xem cặp (X, Y) như là một điểm trên mặt phẳng tọa độ Khi đó ta được hai miền phẳng

(D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất cả các trường hợp; (G) = { (X, Y) ∈(D) / 1

3

X Y− ≤ }: biểu diễn các trường hợp thuận lợi cho biến

cố G xẩy ra

Rõ ràng miền (G) càng to so với (D) thì khả năng gặp nhau của hai người càng lớn Do

đĩ sẽ là rất hợp lý khi ta định nghĩa P(G) chính là tỷ số diện tích của hai miền (G) và (D), tức là

P(G) =

5 ( ) 9 5 ( ) 1 9

S G

S D = =

4 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

• Cho hai biến cố A, B là hai biến cố xung khắc Ta cĩ cơng thức cộng xác suất như sau

) ( ) ( ) (A B P A P B

• Cho n biến cố A1, A2,…,An xung khắc từng đơi, ta cĩ cơng thức cộng xác suất như sau

) (

) ( ) ( )

(A1 A2 A n P A1 P A2 P A n

4.2 TRƯỜNG HỢP CÁC BIẾN CỐ BẤT KỲ

Với A, B, C là các biến cố bất kỳ (khơng nhất thiết xung khắc) Ta cĩ cơng thức cộng xác suất tổng quát như sau

) ( ) ( ) ( ) (A B P A P B P A B

P A B C+ + =P A +P B +P C −P AB −P BC −P CA +P ABC

4.3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI LẬP

Cho biến cố A trong phép thử τ, A cĩ biến cố đối lập là A Ta cĩ cơng thức

) ( 1 )

P = −

Ví dụ 1.11

Theo thống kê của Bộ nơng nghiệp Hoa kỳ, diện tích tồn bộ các nơng trại tại nước này được cho bởi bảng sau

Diện tích (ha) Tần suất Biến cố

trở lên

Chọn ngẫu nhiên một nơng trại Sử dụng bảng thống kê trên, hãy tính xác suất để nơng trại được chọn cĩ diện tích:

a) Từ 100 đến 499 ha

b) Nhỏ hơn 2.000 ha

c) Khơng dưới 50 ha

Giải

Gọi J, K, L lần lượt là các biến cố nơng trại được chọn thỏa mãn yêu cầu của các câu

a, b, c Ta cần tính các xác suất P(J), P(K), P(L) Từ bảng đã cho ta thấy:

J = D + E + F; K = I ; L = A B+

Vì các biến cố đã cho trong bảng từng đơi xung khắc nên ta cĩ:

a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4%

b) P(K) = ( )P I = 1 – P(I) = 1 – 0,026 = 0,974 = 97,4%

c) P(L) = P(A B+ ) = 1 – P(A+B)

= 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1%

Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1%

Ví dụ 1.12

Tại một câu lạc bộ âm nhạc, thăm dị 100 người thì thấy cĩ 80 người thích nhạc Văn Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Cơng Sơn; 60 người thích nhạc của cả hai nhạc sỹ trên Chọn ngẫu nhiên một người trong số họ Tính xác suất để người này thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên

Giải

Đặt C là biến cố người được chọn thích nhạc Văn Cao

S là biến cố người được chọn thích nhạc Trịnh Cơng Sơn

T là biến cố người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên

Do C, S khơng xung khắc nên áp dụng cơng thức xác suất cộng

P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS)

= 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90%

Kết luận: Xác suất để người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ

trên là 90%

5 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN

XÁC SUẤT

5.1 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT KHI CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

• Với A, B là hai biến cố độc lập, ta cĩ cơng thức nhân xác suất như sau

) ( )

( ) (A B P A P B

• Cho n biến cố A1, A2…, An độc lập tồn phần Cơng thức nhân xác suất đối với chúng như sau

) ( ) ( ) ( (A1A2 An ) P A1 P A2 P An

Ví dụ 1.13

Tung con xúc xắc 3 lần Tính xác suất mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần

Giải

Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở lần tung thứ i, i= 1,2,3

Gọi A là biến cố mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần Ta cần tính P(A) Rõ ràng là

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2

A A A A= +A A A +A A A +A A A3

Do đĩ P A( )=P A A A( 1 2 3+A A A1 2 3+A A A1 2 3+A A A1 2 3)

=P A A A( 1 2 3) (+P A A A1 2 3) (+P A A A1 2 3)+P A A A( 1 2 3)

Vì các biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung độc lập với nhau nên ta cĩ

6 6 6 216

P A A A =P A A A =P A A A =P A P A P A = × × = ;

6 6 6 216

P A A A =P A P A P A = × × =

Kết luận: ( ) 2

27

P A =

5.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

KHI CÁC BIẾN CỐ KHÔNG ĐỘC LẬP

Cho A, B là hai biến cố tùy ý Giả sử B đã xẩy ra rồi Khi đĩ xác suất của biến cố A (được tính trong điều kiện biết biến cố B đã xảy ra) được gọi là xác suất (cĩ điều kiện)

của A trong điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu là P(A/B)

Cơng thức xác suất cĩ điều kiện như sau

( ) ( )

( )

A P A B P

P B

= ; ( ) ( )

( )

B P B A P

P A

Do đĩ

( ) ( ) ( )A

P A B =P P B ; ( ) ( ) ( )

( )

B

P

P B

Rõ ràng là khi A, B độc lập thì P( B)= P(A) và P( A)=P(B)

Từ đây ta cĩ thể tổng quát cơng thức nhân cho n biến cố bất kỳ A1, A2, … ,An (khơng nhất thiết độc lập) như sau

(A A A1 2 n) ( ) (A1 A /2 1) (A /3 1 2) ( n/ 1 2 n 1)

Ví dụ 1.14

Một lơ hàng cĩ 20 sản phẩm, trong đĩ cĩ hai sản phẩm xấu Chọn lần lượt mỗi lần một sản phẩm cho đến khi phát hiện đủ hai sản phẩm xấu thì dừng Tính xác suất để dừng lại

ở lần chọn thứ 3 nếu

a) Chọn khơng hồn lại

b) Chọn cĩ hồn lại