tài liệu xác suất thống kê

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP XÁC SUT THNG KÊ (Dùng cho sinh viên ngành CNTT và TVT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP XÁC SUT THNG KÊ Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Lý thuyt xác sut thng kê là mt b phn ca toán hc, nghiên cu các hin tng ngu nhiên và ng dng chúng vào thc t. Ta có th hiu hin tng ngu nhiên là hin tng không th nói trc nó xy ra hay không xy ra khi thc hin mt ln quan sát. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong các phép th nh nhau, ta có th rút ra đc nhng kt lun khoa hc v hi n tng này. Lý thuyt xác sut cng là c s đ nghiên cu Thng kê – môn hc nghiên cu các các phng pháp thu thp thông tin chn mu, x lý thông tin, nhm rút ra các kt lun hoc quyt đnh cn thit. Ngày nay, vi s h tr tích cc ca máy tính đin t và công ngh thông tin, lý thuyt xác sut thng kê ngày càng đc ng dng rng rãi và hiu qu trong mi lnh vc khoa hc t nhiên và xã h i. Chính vì vy lý thuyt xác sut thng kê đc ging dy cho hu ht các nhóm ngành  đi hc. Có nhiu sách giáo khoa và tài liu chuyên kho vit v lý thuyt xác sut thng kê. Tuy nhiên, vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên phi làm vic đc lp nhiu hn, vì vy cn phi có tài liu hng dn hc tp ca tng môn h c thích hp cho đi tng này. Tp tài liu “Hng dn hc môn toán xác sut thng kê” này đc biên son cng nhm mc đích trên. Tp tài liu này đc biên son cho h đi hc chuyên ngành in t-Vin thông theo đ cng chi tit chng trình qui đnh ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc khi k thu t và theo kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng khi k thut. Giáo trình gm 6 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit): Chng I: Các khái nim c bn v xác sut. Chng II: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng. Chng III: Véc t ngu nhiên và các đc trng ca chúng. Chng IV: Lut s ln và đnh lý gii hn. Chng V:.Thng kê toán hc Chng VI: Quá trình ngu nhiên và chui Markov. iu kin tiên quyt môn hc này là hai môn toán cao cp đi s và gii tích trong chng trình toán đi cng. Tuy nhiên vì s hn ch ca chng trình toán dành cho hình thc đào to t xa, do đó nhiu kt qu và đnh lý ch đc phát bi u và minh ha ch không có điu kin đ chng minh chi tit. Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và ch dn rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m rng tng quát hn các kt qu và hng ng dng vào thc t. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: đt bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau các chng có phn tóm tt các ni dung chính và cui cùng là các câu hi luyn tp. Có khong t 20 đn 30 bài tp cho mi chng, tng ng vói 3 -5 câu hi cho mi tit lý thuyt. H th ng câu hi này bao trùm toàn b ni dung va đc hc. Có nhng câu kim tra trc tip các kin thc va đc hc nhng cng có nhng câu đòi hi hc viên phi vn dng mt cách tng hp và sáng to các kin thc đ gii quyt. Vì vy vic gii các bài tp này giúp hc viên nm chc hn lý thuyt và kim tra đc mc đ tip thu lý thuy t ca mình. Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó. Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh  Bu Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã khuyn khích đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này. Hà Ni, đu nm 2006. Lê Bá Long Khoa c bn 1 Hc Vin CNBCVT Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 3 CHNG I: CÁC KHÁI NIM C BN V XÁC SUT GII THIU Các hin tng trong t nhiên hay xã hi xy ra mt cách ngu nhiên (không bit trc kt qu) hoc tt đnh (bit trc kt qu s xy ra). Chng hn ta bit chc chn rng lông ca qu có mu đen, mt vt đc th t trên cao chc chn s ri xung đt ó là nhng hin tng din ra có tính quy lut, tt đ nh. Trái li khi tung đng xu ta không bit mt sp hay mt nga s xut hin. Ta không th bit có bao nhiêu cuc gi đn tng đài, có bao nhiêu khách hàng đn đim phc v trong khong thi gian nào đó. Ta không th xác đnh trc ch s chng khoán trên th trng chng khoán… ó là nhng hin tng ngu nhiên. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong nhng hoàn c nh nh nhau, thì trong nhiu trng hp ta có th rút ra nhng kt lun có tính quy lut v nhng hin tng này. Lý thuyt xác sut nghiên cu các qui lut ca các hin tng ngu nhiên. Vic nm bt các quy lut này s cho phép d báo các hin tng ngu nhiên đó s xy ra nh th nào. Chính vì vy các phng pháp ca lý thuyt xác sut đc ng dng rng rãi trong vic gii quyt các bài toán thu c nhiu lnh vc khác nhau ca khoa hc t nhiên, k thut và kinh t-xã hi. Chng này trình bày mt cách có h thng các khái nim và các kt qu chính v lý thuyt xác sut: - Các khái nim phép th, bin c. - Quan h gia các bin c. - Các đnh ngha v xác sut: đnh ngha xác sut theo c đin, theo thng kê. - Các tính cht ca xác sut: công th c cng và công thc nhân xác sut, xác sut ca bin c đi. - Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác sut đy đ và đnh lý Bayes. - Dãy phép th Bernoulli và xác sut nh thc Khi nm vng các kin thc v đi s tp hp nh hp, giao tp hp, tp con, phn bù ca mt tp con … hc viên s  d dàng trong vic tip thu, biu din hoc mô t các bin c.  tính xác sut các bin c theo phng pháp c đin đòi hi phi tính s các trng hp thun li đi vi bin c và s các trng hp có th. Vì vy hc viên cn nm vng các phng pháp đm - gii tích t hp (đã đc hc  lp 12 và trong ch ng 1 ca toán đi s A2). Tuy nhiên đ thun li cho ngi hc chúng tôi s nhc li các kt qu chính trong mc 3. Mt trong nhng khó khn ca bài toán xác sut là xác đnh đc bin c và s dng đúng các công thc thích hp. Bng cách tham kho các ví d và gii nhiu bài tp s rèn luyn tt k nng này. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 4 NI DUNG 1.1. PHÉP TH VÀ BIN C 1.1.1. Phép th (Experiment) Trong thc t ta thng gp nhiu thí nghim, quan sát mà các kt qu ca nó không th d báo trc đc. Ta gi chúng là các phép th ngu nhiên. Phép th ngu nhiên thng đc ký hiu bi ch C . Tuy không bit kt qu s xy ra nh th nào, nhng ta có th lit kê đc hoc biu din tt c các kt qu ca phép th C . Mi kt qu ca phép th C đc gi là mt bin c s cp. Tp hp tt c các bin c s cp ca phép th đc gi là không gian mu, ký hiu Ω . Ví d 1.1: ̇ Phép th tung đng xu có không gian mu là { } NS, = Ω . ̇ Vi phép th tung xúc xc, các bin c s cp có th xem là s các nt trên mi mt xut hin. Vy {} 6,5,4,3,2,1=Ω . ̇ Phép th tung đng thi 2 đng xu có không gian mu là {} ),(),,(),,(),,( NNSNNSSS = Ω . Chú ý rng bn cht ca các bin c s cp không có vai trò đc bit gì trong lý thuyt xác sut. Chng hn có th xem không gian mu ca phép th tung đng tin là {} 1,0=Ω , trong đó 0 là bin c s cp ch mt sp xut hin và 1 đ ch mt nga xut hin. 1.1.2. Bin c (Event) Vi phép th C ta thng xét các bin c (còn gi là s kin) mà vic xy ra hay không xy ra hoàn toàn đc xác đnh bi kt qu ca C . Mi kt qu ω ca C đc gi là kt qu thun li cho bin c A nu A xy ra khi kt qu ca C là ω . Ví d 1.2: Nu gi A là bin c s nt xut hin là chn trong phép th tung xúc xc  ví d 1.1 thì A có các kt qu thun li là 2, 4, 6. Tung hai đng xu, bin c xut hin mt mt sp mt mt nga (xin âm dng) có các kt qu thun li là ),(;),( SNNS . Nh vy mi bin c A đc đng nht vi mt tp con ca không gian mu Ω bao gm các kt qu thun li đi vi A . Mi bin c ch có th xy ra khi mt phép th đc thc hin, ngha là gn vi không gian mu nào đó. Có hai bin c đc bit sau: • Bin c chc chn là bin c luôn luôn xy ra khi thc hin phép th, bin c này trùng vi không gian mu Ω . • Bin c không th là bin c nht đnh không xy ra khi thc hin phép th. Bin c không th đc ký hiu φ . Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 5 Tung mt con xúc xc, bin c xut hin mt có s nt nh hn hay bng 6 là bin chc chn, bin c xut hin mt có 7 nt là bin c không th. 1.1.3. Quan h gia các bin c Trong lý thuyt xác sut ngi ta xét các quan h sau đây cho các bin c. a. Quan h kéo theo Bin c A kéo theo bin c B , ký hiu B A ⊂ , nu A xy ra thì B xy ra. b. Quan h bin c đi Bin c đi ca A là bin c đc ký hiu là A và đc xác đnh nh sau: A xy ra khi và ch khi A không xy ra. c. Tng ca hai bin c Tng ca hai bin c BA, là bin c đc ký hiu B A ∪ . Bin c B A ∪ xy ra khi và ch khi có ít nht A hoc B xy ra. Tng ca mt dãy các bin c { } n AAA , ,, 21 là bin c ∪ n i i A 1= . Bin c này xy ra khi có ít nht mt trong các bin c i A xy ra. d. Tích ca hai bin c Tích ca hai bin c BA, là bin c đc ký hiu A B . Bin c A B xy ra khi và ch khi c hai bin c A , B cùng xy ra. Tích ca mt dãy các bin c { } n AAA , ,, 21 là bin c ∏ = n i i A 1 . Bin c này xy ra khi tt c các bin c i A cùng xy ra. e. Bin c xung khc Hai bin s BA, gi là xung khc nu bin c tích A B là bin c không th. Ngha là hai bin c này không th đng thi xy ra. Chú ý rng các bin c vi phép toán tng, tích và ly bin c đi to thành đi s Boole do đó các phép toán đc đnh ngha  trên có các tính cht nh các phép toán hp, giao, ly phn bù đi vi các tp con ca không gian mu. f. H đy đ các bin c Dãy các bin c n AAA , ,, 21 đc gi là mt h đy đ các bin c nu: i. Xung khc tng đôi mt, ngha là φ = ji AA vi mi nji , ,1 = ≠ , ii. Tng ca chúng là bin c chc chc, ngha là Ω= = ∪ n i i A 1 . c bit vi mi bin c A , h { } AA, là h đy đ. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 6 Ví d 1.3: Mt nhà máy có ba phân xng sn xut ra cùng mt loi sn phm. Gi s rng mi sn phm ca nhà máy ch do mt trong ba phân xng này sn xut. Chn ngu nhiên mt sn phm, gi 321 ,, AAA ln lt là bin c sn phm đc chn do phân xng th nht, th hai, th ba sn xut. Khi đó h ba bin c 321 ,, AAA là h đy đ. g. Tính đc lp ca các bin c Hai bin c A và B đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia. Tng quát các bin c n AAA , ,, 21 đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra ca mt nhóm bt k k bin c, trong đó nk ≤ ≤ 1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay không xy ra ca các bin c còn li. nh lý 1.2: Nu BA, đc lp thì các cp bin c: BA, ; BA, ; BA, cng đc lp. Ví d 1.4: Ba x th A, B, C mi ngi bn mt viên đn vào mc tiêu. Gi CBA ,, ln lt là bin c A, B, C bn trúng mc tiêu. a. Hãy mô t các bin c: ,,ABC A B C A B C∪∪. b. Biu din các bin c sau theo CBA ,, : - :D Có ít nht 2 x th bn trúng. - :E Có nhiu nht 1 x th bn trúng. - :F Ch có x th C bn trúng. - :G Ch có 1 x th bn trúng. c. Các bin c CBA ,, có xung khc, có đc lp không ? Gii: a. ABC : c 3 đu bn trúng. A BC : c 3 đu bn trt. CBA ∪∪ : có ít nht 1 ngi bn trúng. b. CABCABD ∪∪= . Có nhiu nht mt x th bn trúng có ngha là có ít nht hai x th bn trt, vy ACCBBAE ∪∪= . CBAF = . CBACBACBAG ∪∪= . c. Ba bin c CBA ,, đc lp nhng không xung khc. 1.2. NH NGHA XÁC SUT VÀ CÁC TÍNH CHT Vic bin c ngu nhiên xy ra hay không trong kt qu ca mt phép th là điu không th bit hoc đoán trc đc. Tuy nhiên bng nhng cách khác nhau ta có th đnh lng kh nng xut hin ca bin c, đó là xác sut xut hin ca bin c. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 7 Xác sut ca mt bin c là mt con s đc trng kh nng khách quan xut hin bin c đó khi thc hin phép th. Da vào bn cht ca phép th (đng kh nng) ta có th suy lun v kh nng xut hin ca bin c, vi cách tip cn này ta có đnh ngha xác sut theo phng pháp c đin. Khi thc hi n nhiu ln lp li đc lp mt phép th ta có th tính đc tn sut xut hin ca mt bin c nào đó. Tn sut th hin kh nng xut hin ca bin c, vi cách tip cn này ta có đnh ngha xác sut theo thng kê. 1.2.1. nh ngha c đin v xác sut Gi s phép th C tho mãn hai điu kin sau: (i) Không gian mu có mt s hu hn phn t. (ii) Các kt qu xy ra đng kh nng. Khi đó ta đnh ngha xác sut ca bin c A là thÓ cã hîptr−êng sè víièi lîi thuËn hîptr−êng sè A AP đ )( = (1.1) Nu xem bin c A nh là tp con ca không gian mu Ω thì Ω = Ω = A A AP cña tö phÇn sè cña tö phÇn sè )( (1.1)’ Ví d 1.5: Bin c A xut hin mt chn trong phép th gieo con xúc xc  ví d 1.1 có 3 trng hp thun li ( 3=A ) và 6 trng hp có th ( 6=Ω ). Vy 2 1 6 3 )( ==AP .  tính xác sut c đin ta s dng phng pháp đm ca gii tích t hp. 1.2.2. Các qui tc đm a. Qui tc cng Nu có 1 m cách chn loi đi tng 1 x , 2 m cách chn loi đi tng 2 x , , n m cách chn loi đi tng n x . Các cách chn đi tng i x không trùng vi cách chn j x nu j i ≠ thì có n mmm + ++  21 cách chn mt trong các đi tng đã cho. b. Qui tc nhân Gi s công vic H gm nhiu công đon liên tip k HHH , ,, 21 và mi công đon i H có i n cách thc hin thì có tt c k nnn × × ×  21 cách thc hin công vic H . c. Hoán v Mi phép đi ch ca n phn t đc gi là phép hoán v n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc: Có !n hoán v n phn t. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 8 d. Chnh hp Chn ln lt k phn t không hoàn li trong tp n phn t ta đc mt chnh hp chp k ca n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc s các chnh hp chp k ca n phn t là )!( ! kn n A k n − = (1.2) e. T hp Mt t hp chp k ca n phn t là mt tp con k phn t ca tp n phn t. Cng có th xem mt t hp chp k ca n phn t là mt cách chn đng thi k phn t ca tp n phn t. Hai chnh hp chp k ca n phn t là khác nhau nu: ̇ có ít nht 1 phn t ca chnh hp này không có trong chnh hp kia. ̇ các phn t đu nh nhau nhng th t khác nhau. Do đó vi mi t hp chp k ca n phn t có !k chnh hp tng ng. Mt khác hai chnh hp khác nhau ng vi hai t hp khác nhau là khác nhau. Vy s các t hp chp k ca n phn t là )!(! ! ! knk n k A C k n k n − == (1.3) Ví d 1.6: Tung mt con xúc xc hai ln. Tìm xác sut đ trong đó có 1 ln ra 6 nt. Gii: S các trng hp có th là 36. Gi A là bin c “ trong 2 ln tung con xúc xc có 1 ln đc mt 6”. Nu ln th nht ra mt 6 thì ln th hai ch có th ra các mt t 1 đn 5, ngha là có 5 trng hp. Tng t cng có 5 trng hp ch xut hin mt 6  ln tung th hai. Áp dng quy tc cng ta suy ra xác sut đ ch có mt ln ra mt 6 khi tung xúc xc 2 ln là 36 10 . Ví d 1.7: Cho các t mã 6 bit đc to t các chui các bit 0 và bit 1 đng kh nng. Hãy tìm xác sut ca các t có cha k bit 1, vi 6, ,0 = k . Gii: S trng hp có th 6 2=Ω . t k A là bin c " t mã có cha k bit 1" . Có th xem mi t mã có cha k bit 1 là mt t hp chp k ca 6 phn t, vy s trng hp thun li đi vi k A là s các t hp 6 chp k . Do đó )!6(! !6 6 kk CA k k − == Vy xác sut ca các bin c tng ng () 6, ,0, 2)!6(! !6 6 = − = k kk AP k . Ví d 1.8: Mt ngi gi đin thoi quên mt hai s cui ca s đin thoi và ch nh đc rng chúng khác nhau. Tìm xác sut đ quay ngu nhiên mt ln đc đúng s cn gi. . phi có tài liu hng dn hc tp ca tng môn h c thích hp cho đi tng này. Tp tài liu “Hng dn hc môn toán xác sut thng kê này đc biên son cng nhm mc đích trên. Tp tài liu. thuyt xác sut: - Các khái nim phép th, bin c. - Quan h gia các bin c. - Các đnh ngha v xác sut: đnh ngha xác sut theo c đin, theo thng kê. - Các tính cht ca xác sut:. nhân xác sut, xác sut ca bin c đi. - Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác sut đy đ và đnh lý Bayes. - Dãy phép th Bernoulli và xác