tài liệu xác suất thống kê

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợpHoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ nphần tử đã cho... Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợpHoán vị của n

Ngày 8 tháng 9 năm 2013

1 Tập hợp

Khái niệmQuan hệ giữa các tập hợpCác phép tính trên tập hợpTính chất

2 Giải tích tổ hợp

Qui tắc cộngQui tắc nhânChỉnh hợp

Tổ hợp

Khái niệm tập hợp là khái niệm không có định nghĩa, tương tự như

khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học

Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự sưu tập của một số hữu hạnhay vô hạn các đối tượng nào đó Các đối tượng này được gọi là cácphần tử của tập hợp

1 Thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp

2 Nếu a là phần tử của tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a /∈ A

3 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

Khái niệm tập hợp là khái niệm không có định nghĩa, tương tự như

khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học

Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự sưu tập của một số hữu hạn

hay vô hạn các đối tượng nào đó Các đối tượng này được gọi là các

phần tử của tập hợp

1 Thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp

2 Nếu a là phần tử của tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a /∈ A

3 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

Khái niệm tập hợp là khái niệm không có định nghĩa, tương tự như

khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học

Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự sưu tập của một số hữu hạn

hay vô hạn các đối tượng nào đó Các đối tượng này được gọi là các

phần tử của tập hợp

1 Thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp

2 Nếu a là phần tử của tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a /∈ A

3 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

Khái niệm tập hợp là khái niệm không có định nghĩa, tương tự như

khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học

Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự sưu tập của một số hữu hạn

hay vô hạn các đối tượng nào đó Các đối tượng này được gọi là các

phần tử của tập hợp

1 Thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp

2 Nếu a là phần tử của tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a /∈ A

3 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

1 Thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp.

2 Nếu a là phần tử của tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a /∈ A

3 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

1 Thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để kí hiệu tập hợp.

2 Nếu a là phần tử của tập A, ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a /∈ A

3 Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B).

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhau

Cho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)

Ví dụ

Ta có:

A = {0, 1, 5}, B = {0, 1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5, 0}Kết luận: A ⊂ B và A = C

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)

Ví dụ

Ta có:

A = {0, 1, 5}, B = {0, 1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5, 0}Kết luận: A ⊂ B và A = C

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập A và B Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B

và ngược lại, thì 2 tập A và B bằng nhau ( A=B)

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A

x ∈ B

• HợpHợp của 2 tập hợp đã cho A và B là tập hợp các phần tử thuộc

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B)

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

Hợp của 2 tập hợp đã cho A và B là tập hợp các phần tử thuộc

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B)

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A

x ∈ B

• HiệuHiệu của 2 tập hợp đã cho A và B là tập hợp các phần tử thuộc

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

ít nhất một trong hai tập này (A ∪ B).

A mà không thuộc B (A \ B)

A \ B = {x : x ∈ A và x /∈ B}

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

C \ B = {x ∈ Z | x là bội của 6 và x không là bội của 3 } = ∅.

Giả sử để hoàn thành một công việc phải thực hiện k giai đoạn

Giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện

Giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện

Giai đoạn k có mk cách thực hiện

Cuối cùng ta có: m1× m2× × mk cách hoàn thành công việc

Ví dụ

Giả sử đi từ thành phố A đến thành phố C, bắt buộc phải đi quathành phố C Có 2 con đường khác nhau từ A đến B và 4 con đườngkhác nhau từ B tới C

Vậy có 2 × 4 = 8 cách khác nhau để đi từ thành phố A đến thànhphố C

Giả sử để hoàn thành một công việc phải thực hiện k giai đoạn

Giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện

Giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện

Giai đoạn k có mk cách thực hiện

Cuối cùng ta có: m1× m2× × mk cách hoàn thành công việc

Ví dụ

Giả sử đi từ thành phố A đến thành phố C, bắt buộc phải đi qua

thành phố C Có 2 con đường khác nhau từ A đến B và 4 con đường

Giai đoạn k có mk cách thực hiện

Cuối cùng ta có: m1× m2× × mk cách hoàn thành công việc

Ví dụ

Giả sử đi từ thành phố A đến thành phố C, bắt buộc phải đi quathành phố C Có 2 con đường khác nhau từ A đến B và 4 con đườngkhác nhau từ B tới C

Vậy có 2 × 4 = 8 cách khác nhau để đi từ thành phố A đến thànhphố C

Giai đoạn k có mk cách thực hiện

Cuối cùng ta có: m1× m2× × mk cách hoàn thành công việc

Ví dụ

Giả sử đi từ thành phố A đến thành phố C, bắt buộc phải đi quathành phố C Có 2 con đường khác nhau từ A đến B và 4 con đườngkhác nhau từ B tới C

Vậy có 2 × 4 = 8 cách khác nhau để đi từ thành phố A đến thànhphố C

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

• Mẫu không lặpCác phần tử của mẫu chỉ xuất hiện 1 lần trong mẫu.

• Các chữ số không lặpa=3, b=3, c=2 nên có 3.3.2 cách chọn

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ nphần tử đã cho

Số hoán vị của n phần tử là Pn= An= n! và ta qui ước 0! = 1Xếp 4 sinh viên ngồi vào bàn có 4 chỗ ngồi là 1 hoán vị của 4 phần

tử Vậy có P4= 4! = 24 cách

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ nphần tử đã cho

Số hoán vị của n phần tử là Pn= An= n! và ta qui ước 0! = 1Xếp 4 sinh viên ngồi vào bàn có 4 chỗ ngồi là 1 hoán vị của 4 phần

tử Vậy có P4= 4! = 24 cách

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ nphần tử đã cho

Số hoán vị của n phần tử là Pn= An= n! và ta qui ước 0! = 1Xếp 4 sinh viên ngồi vào bàn có 4 chỗ ngồi là 1 hoán vị của 4 phần

tử Vậy có P4= 4! = 24 cách

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ n

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ n

phần tử đã cho

Số hoán vị của n phần tử là Pn= An= n! và ta qui ước 0! = 1

Xếp 4 sinh viên ngồi vào bàn có 4 chỗ ngồi là 1 hoán vị của 4 phần

tử Vậy có P4= 4! = 24 cách

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ nphần tử đã cho

Số hoán vị của n phần tử là Pn= An= n! và ta qui ước 0! = 1Xếp 4 sinh viên ngồi vào bàn có 4 chỗ ngồi là 1 hoán vị của 4 phần

tử Vậy có P4= 4! = 24 cách

Hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp

Hoán vị của n phần tử là một mẫu có thứ tự, không lặp, có đủ nphần tử đã cho

Số hoán vị của n phần tử là Pn= An= n! và ta qui ước 0! = 1Xếp 4 sinh viên ngồi vào bàn có 4 chỗ ngồi là 1 hoán vị của 4 phần

tử Vậy có P4= 4! = 24 cách

Trong định nghĩa chỉnh hợp bắt buộc mỗi phần tử chỉ được có mặt 1

lần trong mẫu Tuy nhiên nếu ta bỏ đi điều kiện này thì ta có định

nghĩa chỉnh hợp lặp

Định nghĩa

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm kphần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể

có mặt hơn 1 lần trong mẫu

Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặpnên k có thể lớn hơn n

Trong định nghĩa chỉnh hợp bắt buộc mỗi phần tử chỉ được có mặt 1

lần trong mẫu Tuy nhiên nếu ta bỏ đi điều kiện này thì ta có định

nghĩa chỉnh hợp lặp

Định nghĩa

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k

phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể

có mặt hơn 1 lần trong mẫu

Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp

Trong định nghĩa chỉnh hợp bắt buộc mỗi phần tử chỉ được có mặt 1

lần trong mẫu Tuy nhiên nếu ta bỏ đi điều kiện này thì ta có định

nghĩa chỉnh hợp lặp

Định nghĩa

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k

phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể

có mặt hơn 1 lần trong mẫu

Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp

Định nghĩa

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm kphần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể

có mặt hơn 1 lần trong mẫu

Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặpnên k có thể lớn hơn n

Định nghĩa

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm kphần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể

có mặt hơn 1 lần trong mẫu

Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặpnên k có thể lớn hơn n

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt

thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt

thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân biệt

thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho

Mỗi đề thi Lịch Sử gồm 4 câu hỏi được lấy từ 25 câu hỏi ôn tập cho

trước Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi?