Tài liệu xác suất thống kê - chương V - Lý thuyết mẫu ngẫu nhiên ppt

Ta muốn rút ra một kết luận về màu sắc của 200 viên bi tổng thể trong một hộp bằng cách chọn một mẫu gồm 20 bi từ hộp, trong đó mỗi bi được chọn sẽ được trả lại hộp chọn có hoàn lại sau

Trang 1

Ths Nguyễn Công Trí

LÝ THUYẾT MẪU NGẪU NHIÊN

CHƯƠNG 5

Ths NguyễnCông Trí

1 TỔNG THỂ – MẪU – THỐNG KÊ SUY DIỄN

(Xem)

2 PHƯƠNG PHÁP CHỌN MẪU (Xem)

3 CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ (Xem)

4 CÁC THAM SỐ CỦA MẪU (Xem)

5 CÁC LUẬT PHÂN PHỐI CỦA MẪU (Xem)

6 PHÂN PHỐI TẦN SỐ – PHÂN PHỐI TẦN SUẤT

(Xem)

7 PHƯƠNG PHÁP TÍNH CÁC THAM SỐ MẪU

CHO DỮ LIỆU ĐƯỢC NHÓM (Xem)

8 BÀI TẬP (Xem)

TỔNG THỂ VÀ MẪU

q Ta muốn rút ra một kết luận có giá trị về các cá thể hay vật thể trong một nhóm lớn

q Thay vì phải khảo sát toàn bộ nhóm, được gọi làtổng thể, điều này khó thự hiện nên

ta chỉ có thể khảo sát trên một phần nhỏ của tổng thể này được gọi làmẫu

q Mục đích suy diễn một sự việc nào đó của tổng thể từ kết quả tìm được trên mẫu, được gọi làsuy diễn theo thống kê

q Quá trình lấy các các phần tử từ tổng thể được gọi làchọn mẫu.

qVÍ DỤ 5.1 Ta muốn rút ra một kết luận về

chiều cao (trọng lư ïng) của 12.000 sinh viên

(tổng thể) bằng cách chỉ khảo sát 100 sinh

viên (mẫu) được chọn từ tổng thể này.

qVÍ DỤ 5.2 Ta muốn rút ra một kết luận về

tỷ lệ con bu-long bị hỏng do một nhà máy

sản xuất trong suốt tuần lễ (6 ngày làm

việc), bằng cách mỗi ngày khảo sát 20 con

tại các thời điểm khác nhau Trong tr ờng

hợp này, tất cả các con bu-lông được sản

xuất trong tuần là tổng thể, khi đó 120 con

bu-long được chọn tạo thành một mẫu.

qVÍ DỤ 5.3 Ta muốn rút ra một kết luận về tính công bằng của một đồng xu, bằng cách tung đồng xu này nhiều lần (tổng thể), một mẫu có thể là kết quả quan sát của 60 lần tung đồng xu đ àu tiên và ghi nhận tỷ lệ của mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu đó.

qVÍ DỤ 5.4 Ta muốn rút ra một kết luận về màu sắc của 200 viên bi (tổng thể) trong một hộp bằng cách chọn một mẫu gồm 20

bi từ hộp, trong đó mỗi bi được chọn sẽ được trả lại hộp (chọn có hoàn lại) sau khi

đ ghi nhận màu sắc của nó.

qTổng thể thư øng chỉ sự đo lư øng hơn là để

chỉ các cá thể hay các vật thể Trong ví dụ

5.1, ta có tổng thể là chiều cao (trọng lư ïng)

của 12.000 sinh viên, trong khi ở ví dụ 5.4 ta

có tổng thể là màu của 200 bi trong hộp

qTổng thể có thể là h õu hạn hoặc vô hạn

số phần tử trong tổng thể được gọi là kích

thư ùc tổng thể, ký hiệu là N Tương tự số

phần tử trong mẫu được gọi là kích thư ùc

mẫu, ký hiệu là n, thư øng là h õu hạn Trong

ví dụ 5.1, N = 12.000, n = 100, trong ví dụ 5.3,

N vô hạn, n = 60.

qChọn mẫu để mỗi phần tử của tổng thể có thể được chọn nhiều lần thì được gọi là

chọn mẫu có hoàn lại, chọn mẫu để mỗi phần tử của tổng thể chỉ được chọn nhiều nhất một lần thì được gọi là chọn mẫu không hoàn lại.

qChọn mẫu có hoàn lại từ một tổng thể

h õu hạn trên lý thuyết có thể được xem như mẫu vô hạn Trong thự hành, chọn mẫu từ tổng thể h õu hạn có kích thư ùc lớn thì có thể được xem như chọn mẫu từ tổng thể vô hạn.

CHỌN MẪU CÓ HOÀN LẠI VÀ MẪU KHÔNG HOÀN LẠI

yen

Trang 2

q Việc rút ra các kết luận đ ùng tin cậy liên

quan đến tổng thể là tùy thuộc vào chọn

mẫu có đúng đ én, có đủ đ ïi diện hay

không Một trong những vấn đề quan trọng

của suy diễn thống kê là cách chọn mẫu.

q Một phương pháp để thự hiện lấy mẫu

đối với tổng thể h õu hạn có kích thư ùc nhỏ

là chọn mẫu ngẫu nhiên, bằng cách rút

thăm hay dùng bảng số ngẫu nhiên.

q Do tổng thể được suy diễn từ một mẫu

nên ta phải sử dụng đến ngôn ngữ xác suất

cho bất kỳ kết luận nào về tổng thể.

MẪU NGẪU NHIÊN

q Một tổng thể được xem là tư øng minh khi

ta biết luật phân phối xác suất f(x) của ĐLNN X (tính chất được quan tâm của tổng thể) Chẳng hạn, trong ví dụ 5.1 Nếu X là ĐLNN với các giá trị là chiều cao (hoặc trọng lư ïng) của 12.000 sinh viên thì X có luật phân phối xác suất f(x).

q Nếu X có phân phối chuẩn thì ta nói tổng thể có phân phối chuẩn Tương tự, nếu X có phân phối nhị thứ thì ta nói tổng thể có phân phối nhị thứ

CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ

q Hàm f(x) của tổng thể được xác định thì

các tham số của tổng thể đó cũng sẽ được

xác định, chẳng hạn m và s trong tr ờng hợp

phân phối chuẩn hoặc p trong tr ờng hợp

phân phối nhị thứ Tất cả các số đ ëc tr ng

này được gọi là các tham số của tổng thể.

q Nếu luật phân phối xác suất f(x) của tổng

thể chưa biết Ví dụ, có thể có một vài lý do

nào đó cho rằng tổng thể có dấu hiệu của

phân phối chuẩn Trong tr ờng hợp đó có

thể ta chưa biết một hoặc cả hai giá trị m và

s, ì vậy ta có khuynh h ớng chọn suy diễn

thống kê để đưa ra các giá trị của chúng.

CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ

qChọn mẫu NN từ tổng thể, ta sẽ sử dụng các phần tử mẫu này để tính các giá trị tham số mẫu, phục vụ cho ư ùc lư ïng và

kiểm địnhcác tham số của tổng thể.

qĐể minh họa, xem ví dụ 5.1, trong đó X là ĐLNN gồm các chiều cao khác nhau Để chọn một mẫu có kích thư ùc 100, tr ớc tiên

ta chọn NN một SV trong tổng thể 12.000 SV, gọix 1là giá trị của ĐLNN X 1 Tương tự, chọn phần tử thứ hai của mẫu, gọix 2là giá trị của ĐLNN X 2 Tiếp tục quá trình này cho đến X 100 , để đơn giản, ta giả sử việc chọn mẫu trong

tr ờng hợp này là có hoàn lại.

CÁC THAM SỐ CỦA MẪU

q Trong tr ờng hợp tổng quát, một mẫu có

kích thư ùc n sẽ được mô tả bởi các giá trị

x 1 , x 2 , , x n của các ĐLNN X 1 , X 2 , , X n

Trong tr ờng hợp chọn mẫu có hoàn lại thì

X 1 , X 2 , , X n độc lập, các ĐLNN có phân

phối giống nhau và có hàm xác suất làf(x)

Hàm xác suất đồng thời là

P(X=x 1 , X=x 2 , ,X=x n ) = f(x 1 )f(x 2 ) f(x n )

q Mọi số đ ëc tr ng thu được từ mẫu nhằm

ư ùc lư ïng tham số của tổng thể thì được gọi

làthống kê mẫu

q Tùy vào mỗi tham số của tổng thể sẽ có một thống kê được tính từ mẫu

q Thông thư øng phương pháp để đ ït được thống kê này từ mẫu tương tự như phương pháp thu được tham số từ tổng thể h õu hạn.

q Một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết mẫu là quyết định cách thứ thiết lập thống kê mẫu thích hợp để ư ùc lư ïng tham số của tổng thể tốt nhất

q Ta sẽ sử dụng các mẫu tự m và s cho giá trị của tham số tổng thể, các mẫu tự x, s, cho giá trị của thống kê mẫu tương ứng.

yen

Trang 3

q Một thống kê mẫu được tính từ các ĐLNN

X 1 , X 2 , , X n là một hàm của các ĐLNN trên

Luật phân phối xác suất của thống kê mẫu

thư øng được gọi làluật phân phối mẫu.

q Ta có thể quan tâm đến tất cả các mẫu

có cùng kích thư ùc n được chọn ra từ một

tổng thể, với mỗi mẫu ta có thể tính thống

kê tương ứng Theo cách này ta có thể thu

được luật phân phối của thống kê mẫu

q Với luật phân phối mẫu, ta có thể tính

trung bình, phương sai, ộ lệch chuẩn

CÁC LUẬT PHÂN PHỐI CỦA MẪU

q Cho một mẫu (X 1 , X 2 , , X n ) gồm các ĐLNN độc lập, có cùng luật phân phối

nghĩa như sau

q Nếu x 1 , x 2 , , x n là các giá trị thu được trong mẫu cụ thể có kích thư ùc là n thì

q VÍ DỤ 5.5 Cho một mẫu có kích thư ùc là

5 có các giá trị là 7, 9, 1, 6, 2, thì trung bình mẫu là

TRUNG BÌNH MẪU

X

n

=

x

n

+ + +

=

7 9 1 6 2

5 5

x= + + + + =

q Định lý 5-1: Trung bình của phân phối

trung bình mẫu, ký hiệu là , được cho bởi

biểu thứ sau

trong đó m là trung bình của tổng thể.

q Định lý 5-2: Nếu tổng thể là vô hạn và

chọn mẫu ngẫu nhiên hoặc nếu tổng thể là

h õu hạn và chọn mẫu có hoàn lại thì

phương sai của phân phối trung bình mẫu,

ký hiệu , được cho bởi biểu thứ

trong đó s 2 là phương sai của tổng thể.

PHÂN PHỐI CỦA TRUNG BÌNH MẪU

E X =m =m

X

m

2

X

s

2

X

E X

n

s

m s

é - ù= =

q Định lý 5-3: Nếu tổng thể có kích thư ùc N, chọn mẫu không hoàn lại và kích thư ùc mẫu là n £ N thì

Chú ý rằng khi N ® ¥ thì định lý 5-3 trở thành định lý 5-2.

q Định lý 5-4: Nếu tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình m và phương sai s 2 Một mẫu được chọn từ tổng thể này thì trung bình mẫu cũng có phân phối chuẩn với trung bình m và phương sai là s 2 /n.

2 2

1

X

N n

s

s = ỉç - ư÷

qĐịnh lý 5-5: Giả sử tổng thể có luật phân

phối với trung bình m và phương sai s 2 ,

không nhất thiết phải là phân phối chuẩn

Một mẫu được chọn từ tổng thể này thì

ĐLNN được chuẩn hóa liên kết với , được

cho bởi

xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc nghĩa là

X

X Z n

m s

-=

2

1 2

n

p

¥

®¥

qGiả sử một tổng thể h õu hạn và có phân phối nhị thứ với tham số p và q = 1 – P

qVí dụ, tổng thể là tất cả các lần tung của một đồng xu, trong đó xác suất của biến cố mặt ngửa xảy ra trong mỗi lần tung là p = ½

qXét các mẫu có kích thư ùc n được chọn

ra từ tổng thể này với mỗi mẫu ta xác định một thống kê là tỷ lệ f của số lần thành công (tỷ lệ xuất hiện mặt ngửa) Từ đó ta thu được luật phân phối tỷ lệ mẫu

PHÂN PHỐI TỶ LỆ MẪU

(1 )

p p pq

P

n n

m = s = =

yen

Trang 4

qGiả sử có 2 tổng thể Từ tổng thể thứ nhất,

chọn một mẫu n l , tính thống kê S 1 , được m s1 ,

s s1 Tương tự, chọn một mẫu n 2 từ tổng thể

thứ hai, tính thống kê S 2 , được m S2 , s S2

qTa có thể thu được phân phối hiệu, S 1 – S 2 ,

của thống kê mẫu Trung bình m S1–S2 và độ

lệch chuẩn s S1–S2 của phân phối mẫu này

cho bởi

qPhân phối tổng mẫu của thống kê S 1 và S 2

có trung bình và độ lệch chuẩn là

PHÂN PHỐI HIỆU VÀ TỔNG CỦA MẪU

,

m + =m +m s + = s +s

Gọi X 1 , X , X 2 , , X n là một mẫu ngẫu nhiên có kích thư ùc n thì ĐLNN của phương sai mẫuđược định nghĩa

Trong định lý 5-1 ta thấy E(X) = m, và rất đẹp nếu ta cũng có E(S 2 ) = s 2 Tuy nhiên nó có khuynh h ớng là

Khi giá trị kỳ vọng của thống kê tương ứng bằng tham số tổng thể thì ta gọi thống kê đó là mộtư ùc lư ïng không chệch.

PHƯƠNG SAI MẪU

( ) (2 )2 ( )2

2 X X X X X n X S

n

-=

( ) 2

s

n

E S

n

m - s

= =

Biểu thứ E(S 2 ) rất gần với s 2 chỉ khi giá trị n

lớn (n ³ 30) Ước lư ïng không chệch được

xác định là

sao cho

Vì lý do này, một vài nhà thống kê chọn

định nghĩa phương sai mẫu là Tuy nhiên ta

sẽ dùng định nghĩa phương sai mẫu S 2 vì

các kết quả về sau sẽ đơn giản hơn.

n

-$2 2

( )

2

S$

qVÍ DỤ 5.6 Cho một mẫu có kích thư ùc là 5 có các giá trị là 7, 9, 1, 6, 2, thì phương sai mẫu là

khi đó ư ùc lư ïng không chệch là

qNếu chọn mẫu từ một tổng thể vô hạn hoặc chọn mẫu có hoàn lại từ tổng thể h õu hạn có kích thư ùc N thì khi đó

qKhi N ® ¥, E(S 2 ) = [(n–1)/n]s 2

9, 2 5

s - + - + - + - +

( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

s s - + - + - + - +

$

1

s

E S

= = çè - ÷çøè ÷ø

qĐịnh lý 5-6: Nếu mẫu ngẫu nhiên có kích

thư ùc n được chọn từ một tổng thể có phân

phối chuẩn thì ĐLNN

có phân phối chi-bình phương n–1 bậc tự do

qĐịnh lý 5-7: Nếu các mẫu ngẫu nhiên có

kích thư ùc n được chọn từ một tổng thể có

phân phối chuẩn thì thống kê

có phân phối Student với n – 1 bậc tự do.

PHÂN PHỐI CỦA PHƯƠNG SAI MẪU

( )$2 ( ) (2 )2 ( )2 2

n S nS

X X T

S n

m m

-Thay vì xét phân phối hiệu của phương sai mẫu, ta chú ý đến thống kê S 1 /S 2

q Định lý 5-8: Cho hai mẫu ngẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thư ùc lần lư ït là m và n, được chọn từ hai tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai lần lư ït là s 1 và s 2 Nếu phương sai của các mẫu ngẫu nhiên lần lư ït là S 1 2 và S 2 thì thống kê

có phân phối F với m – 1, n – 1 bậc tự do.

PHÂN PHỐI TỶ LỆ CỦA PHƯƠNG SAI MẪU

( ) ( )

$

2

1

2

mS m S F

nS n S

s s

yen

Trang 5

qMột mẫu có kích thư ùc lớn thì rất khó

khăn quan sát các tính chất khác nhau

hoặc tính các thống kê, do đó cần tổ chứ

hoặc phân nhóm dữ liệu thô

qGiả sử có một mẫu gồm các chiều cao

của 100 sinh viên n õ ở Đại học XYZ Ta sắp

xếp dữ liệu thành từng lớpvà xác định số

cá thể thuộc vào mỗi lớp, được gọi là tần

số của lớp

qKết quả việc sắp xếp này (xem Bảng 5-2),

được gọi là phân phối tần số hay bảng

phân phối tần số.

PHÂN PHỐI TẦN SỐ

Chiều cao của 100 sinh viên n õ ờ Đại học XYZ được thể hiện trong bảng 5-2 Hình 5-1 là biểu diễn tần số chiều cao của mẫu gồm

100 sinh viên n õ.

Nếu trong bảng 5-2 ta ghi nhận tần suất hay

tỷ lệ bách phân chiều cao sinh viên

Tổng diện tích các hình chữ nhật bằng 1

Các tần suất được coi là các xác suất thự

nghiệm,nên phân phối tần suất được hiểu

là cácphân phối xác suất thự nghiệm.

1 Tổng số

5/100 18/100 42/100 27/100 8/100

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 – 74

Tần suất Chiều cao

Chiều cao

PHÂN PHỐI TẦN SUẤT

Có 2 cách mô tả mẫu ngẫu nhiên

•Mô tả bằng bảng phân phối tần số

hay trong đó:

kMô tả bằng bảng phân phối tần suất

trong đó:

n k

n j

n 2

n 1

n x i i x 1 x 2 x j x k

1

k i i

=

å

f k

f j

f 2

f 1

f i x 1 x 2 x j x k

x i

1

k i i

f

=

= å

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THAM SỐ MẪU

n Tổng

n 1

n 2

.

n k

x 1

x 2

.

x k

n i

x i

2 Phương sai mẫu

(2) Cách tính nhanh phương sai có điều chỉnh Từ bảng phân phối tần số tínhSxi 2ni

•Áp dụng công thứ : (3)

‚Lập bảng tính theo công thứ

(4)

3 Độ lệch chuẩn mẫu

=

= å

1

1 n

i i i

n

2

ˆ 1

- êëå èå øúû

( )2

1

1 ˆ 1

n

i i i

( )2

2 1

k i i

x x n s

n

=

-=å

ˆ 1

n

s s n

Þ =

-2

VÍ DỤ Tính điểm trung bình và phương sai từ một mẫu gồm 50 sinh viên như sau

Cách 1.

Sx i 2 n i = (4 2 ´10+ 5 2 ´15+ 7 2 ´13+ 9 2 ´12) = 2.144

12 13

15 10

n i

9 7

5 4

x i

=

1

i i i

50

( )2

1

1 ˆ 1

n

i i i

( )2

49

yen

Trang 6

Cách 2.

Từ kết quả tính toán ở bảng trên, ta có:

2144 314

50 Tổng

160 375 637 972

40 75 91 108

10 15 13 12

4 5 7 9

n i x i 2

n i x i

n i

x i

50

=

1

i i i

n

2

ˆ

1

i i i i

- êëå èå ø úû

3,5118

=

VÍ DỤ Chọn một mẫu NN gồm 40 đ àu tư ngắn hạn tại thành phố trong năm 2000.

(a) Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn (có điều chỉnh) kỳ hạn thanh toán của 40

đ àu tư ngắn hạn trên.

(b) Các đ àu tư có kỳ hạn thanh toán dư ùi 60 tháng là các loại đ àu tư kém hiệu quả, tính tỷ lệ các đ àu tư kém hiệu quả của mẫu trên.

7

70–79 7

80–89 4

90–99 8

50–59 10

60–69 3

30–39 1 Số đ àu tư

40–49 Kỳ hạn thanh

toán (tháng)

Cách 1 Đưa bảng về dạng điểm

(a) Trung bình và phương sai (có điều chỉnh)

Sx i 2 n i =(34,5 2 ´3+44,5 2 ´1+ +94,5 2 ´4)=269,48

(b) Tỷ lệ mẫu

7

74,5 7

84,5 4

94,5 8

54,5 10

64,5 3

34,5 1 Số đ àu tư

44,5

Kỳ hạn thanh

toán (tháng)

=

1

i i i

40

( )2

1

1 ˆ

1

n

i i i

- ëå û 1 195.470 40 68( )2 269,48

ˆ 269,487 16, 42

s

n

40

+ +

195470 2720

40 4 378 35721 94,5

90-99 84,5 7 591,5 49981,75 80-89 74,5 7 521,5 38851,75 70-79 64,5 10 645 41602,5 60-69 54,5 8 436 23762 50-59 44,5 1 44,5 1980,25 40-49 34,5 3 103,5 3570,75 30-39 x i n i x i n i x i n i Kỳ hạn

1

68 40

n

i i i

n =

269.487

i i i i

=

ˆ 269, 487 16, 42

s

Cách 2:

Lập bảng

k f n

40

+ +

1 PHÂN PHỐI TRUNG BÌNH MẪU [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [49] [50] [51] [52]

[53] [54] [55] [56]

2 PHÂN PHỐI TỶ LỆ MẪU [8] [9] [10] [11] [57] [58] [59] [60] [61] [62]

3 PHÂN PHỐI HIỆU VÀ TỔNG [12] [13] [14] [15*] [16] [17] [63] [64] [65]

[66] [67] [68] [69] [70] [71]

3 PHÂN PHỐI PHƯƠNG SAI MẪU [18] [19] [20*] [21] [22] [23] [72] [73] [74]

[75] [76] [77] [78]

4 PHÂN PHỐI TỶ LỆ CỦA PHƯƠNG SAI MẪU [26] [27] [79] [80] [81]

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5 PHÂN PHỐI TẦN SỐ [28] [29] [30] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]

6 TÍNH TRUNG BÌNH, PHƯƠNG SAI [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126]

7 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP [43] [44*] [45] [46] [47] [48] [127] [128] [129] [130] 131] [132]

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

yen

Trang 7

LÝ THUYẾT MẪU

CHƯƠNG 5

PHÂN PHỐI TRUNG BÌNH MẪU

5.1 Một tổng thể gồm năm số 2, 3, 6, 8, 11 Xét tất cả các mẫu có kích thước là hai

được chọn có hoàn lại từ tổng thể này Hãy tìm (a) trung bình của tổng thể, (b) độ lệch chuẩn của tổng thể, (c) trung bình của phân phối các trung bình mẫu, (d) độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu (sai số chuẩn của các trung bình)

Đs (a) 6; (b) 3,29; (c) 6; (d) 2,32 5.2 Giải bài tập 5.1 trong trường hợp chọn mẫu không hoàn lại.

Đs (a) 6; (b) 3,29; (c) 6; (d) 2,01 5.3 Giả sử chiều cao của 3.000 sinh viên nữ ở một trường đại học có phân phối chuẩn

với trung bình là 68,0 inches và độ lệch chuẩn là 3,0 inches Nếu chọn 80 mẫu, mỗi mẫu gồm 25 sinh viên Tính trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu nếu thực hiện việc chọn mẫu (a) có hoàn lại, (b) không hoàn lại?

Đs (a) 0,6; (b) 0,5975 5.4 Có bao nhiêu mẫu trong bài tập 5.3 mà bạn hy vọng tìm được chiều cao trung bình

của các sinh viên (a) giữa 66,8 và 68,3 inches, (b) bé hơn 66,4 inches?

Đs (a) 53; (b) 0 5.5 Năm trăm vòng bi có trọng lượng trung bình là 5.02oz và độ lệch chuẩn là 0.30 oz

Tìm xác suất của một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vòng bi được chọn từ nhóm này có trọng lượng tổng, (a) giữa 496 và 500oz, (b) lớn hơn 510oz

Đs (a) 0,2164; (b) 0,0015

5.6 Chứng minh định lý 5-1 E X

5.7 Chứng minh định lý 5-2 Var X 2

n

PHÂN PHỐI TỶ LỆ MẪU

5.8 Tìm xác suất trong 120 lần tung một đồng xu công bằng có (a) từ 40% đến 60%

xuất hiện mặt ngửa, (b) ít nhất 5

8 xuất hiện mặt ngửa

Đs (a) 0,9774; (b) 0,0040 5.9 Một nhóm 500 người, mỗi người tung một đồng xu công bằng 120 lần Hy vọng có

bao nhiêu người đạt (a) từ 40% đến 60% mặt ngửa (b) không dưới 5/8 mặt ngửa?

Đs (a) 489; (b) 2 5.10.Người ta phát hiện có 2% công cụ do một máy sản xuất bị hỏng Tính xác suất

trong 400 sản phẩm xuất xưởng có (a) không dưới 3% sản phẩm bị hỏng, (b) không quá 2% sản phẩm bị hỏng?

Đs (a) 0,1056; (b) 0,5714

yen

Trang 8

tổng số phiếu bầu có đa số phiếu bầu dành cho ứng viên này

Đs (a) 0,1131; (b) 0,0036

PHÂN PHỐI HIỆU VÀ TỔNG CỦA MẪU

5.12.Cho U1 là biến ngẫu nhiên đại diện cho các phần tử của tổng thể 3, 7, 8 và U2 là biến ngẫu nhiên đại diện cho các phần tử của tổng thể 2, 4 Tính (a) U1, (b) U2, (c) U U1 2, (d) U1, (e) U2, (f) U U1 2.

Đs (a) 6; (b) 3; (c) 3; (d)

1

14 3

17 3

5.13.Các bóng đèn do nhà máy A sản xuất có tuổi thọ trung bình là 1.400 giờ, độ lệch

chuẩn là 200 giờ, trong khi đó loại bóng đèn này do nhà máy B sản xuất có tuổi thọ trung bình là 1.200 giờ, độ lệch chuẩn là 100 giờ Chọn mẫu ngẫu nhiên mỗi nhà máy 125 bóng đèn để thử, tính xác suất các bóng đèn mang nhãn hiệu của nhà máy A có tuổi thọ trung bình hơn bóng đèn mang nhãn hiệu của nhà máy B ít nhất (a) 160 giờ, (b) 250 giờ?

Đs (a) 0,9772; (b) 0,0062 5.14.Trọng lượng trung bình của các vòng bi là 0,50 oz và độ lệch chuẩn là 0,02 oz

Tìm xác suất sao cho hiệu trọng lượng của hai lô hàng, mỗi lô có 1.000 vòng bi, ít nhất 2 oz?

Đs 0,0258 5.15.A và B cùng tham gia trò chơi tung đồng xu, mỗi người tung 50 đồng xu A thắng

nếu số mặt ngửa của A nhiều hơn B ít nhất là 5 lần Ngược lại thì B thắng Hãy xác định tỷ lệ cược A thắng trong trò chơi này

Đs 4,43 ăn 1 5.16.Có hai độ dài đo được lần lượt là 27,3 inches và 15,6 inches, độ lệch chuẩn (sai số

chuẩn) là 0,16 inches và 0,08 inches Hãy xác định trung bình và phương sai của (a) tổng, (b) hiệu của hai độ dài trên

Đs (a) 42,9 inch và 0,18 inch; (b) 11,7 inch và 0,18 inch 5.17.Một loại bóng đèn có có tuổi thọ trung bình là 1.500 giờ và độ lệch chuẩn là150

giờ Một bộ 3 bóng được mắc nối sao cho khi có một bóng hỏng, hai bóng còn lại vẫn cháy sáng Giả sử tuổi thọ bóng đèn có phân phối chuẩn, tìm xác suất để một bộ đèn này sẽ được thay sau (a) ít nhất 5.000 giờ, (b) tối đa 4.200 giờ?

Đs (a) 0,0274; (b) 0,1251

PHÂN PHỐI PHƯƠNG SAI MẪU

5.18.Xem bài tập 5.1 Tìm (a) trung bình của phân phối phương sai mẫu, (b) độ lệch

chuẩn của phân phối phương sai mẫu, nghĩa là, sai số chuẩn của các phương sai

Đs (a) 5,4; (b) 4,8 5.19.Làm bài tập 5.18 trường hợp chọn mẫu không hoàn lại

Đs (a) 6,75; (b) 6,30

1

n

yen

Trang 9

5.23 (a) Sử dụng định lý 5-6 xác định số mẫu hy vọng trong bài tập 5.1 với các phương

sai mẫu lớn hơn 7,2 (b) Hãy kiểm tra kết quả trong câu (a) với kết quả thực

TRƯỜNG HỢP PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ CHƯA BIẾT

5.24.Chứng minh định lý 5-7

5.25.Theo bảng phân phối Student với 1 bậc tự do, ta có P 1.376 T 1.376 0.60 Hãy kiểm tra liệu biểu thức này là kết quả thu được trong bài tập 5.1 hay không?

PHÂN PHỐI TỶ LỆ CỦA CÁC PHƯƠNG SAI MẪU

5.26.Chứng minh định lý 5-8

5.27.Cho hai mẫu có kích thước là 8 và 10 được chọn từ hai tổng thể có phân phối

chuẩn có phương sai lần lượt là 20 và 36 Tìm xác suất sao cho phương sai của mẫu thứ nhất gấp hai lần phương sai của mẫu thứ hai.

5.28.Trong bảng 5-4 là trọng lượng của 40 sinh viên nữ ở một trường Đại học công lập

được thống kê lại, đơn vị tính là pound Hãy lập bảng phân phối tần số

Bảng 5-4

138 164 150 132 144 125 149 157

146 158 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 128

Hướng dẫn

Dĩ nhiên còn tồn tại các bảng phân phối tần số khác Ví dụ Bảng 5-6, thể hiện bảng phân phối tần số với chỉ 7 lớp, với mỗi khoảng lớp là 9 lb

Trọng lượng (lb) Thẻ ghi Tần số 118-122

123-127 128-132 133-137 138-142 143-147 148-152 153-157 158-162 163-167 168-172 173-177

/ //

//

////

//// / //// ///

////

//

///

/ //

1 2 2 4 6 8 5 4 2 3 1 2

118-126 127-135 136-144 145-153 154-162 163-171 172-180

///

////

//// ////

//// //// //

////

//

3 5 9 12 5 4 2

5.29.Xây dựng biểu đồ và đa giác tần số của phân phối trọng lượng trong bài tập 5.28

yen

Trang 10

Hình 5-7 Hình 5-8 5.30 Tung đồng thời 5 đồng xu 1.000 lần, mỗi lần tung quan sát số lần xuất hiện mặt

ngửa Số lần xuất hiện mặt ngửa trong suốt quá trình tung có thể là 0, 1, 2, 3, 4, và 5 được thể hiện trong Bảng 5-7 Hãy vẽ đồ thị của dữ liệu

Dữ liệu có thể được trình bày như trong Hình 5-9 hoặc Hình 5-10

Hình 5-9 có vẽ là đồ thị tự nhiên hơn Một lý do là số lần xuất hiện mặt ngửa không thể là 1,5 hay 3,2 Đồ thị này là một dạng của đồ thị hình thanh, trong đó các

thanh có độ rộng bằng không và đôi nó còn được gọi là đồ thị hình que Đặc biệt rất

hữu dụng khi dữ liệu là rời rạc

Hình 5-10 trình bày biểu đồ của dữ liệu Chú ý rằng tổng diện tích của biểu đồ là tổng của 1.000 tần số

Bảng 5-7

Số mặt ngửa Số lần tung (tần số) 0

1 2 3 4 5

38 144 342 287 164 25

yen

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	427,11 KB