Thông tin tài liệu
1 Chương THIẾT KẾ LỌC IIR Một lọc IIR (đáp ứng xung lâu vô hạn) có đáp ứng xung tồn mãi khứ, tương lai Về mặt cấu trúc, lọc IIR hệ thống đệ qui, có số kết nối từ ngõ đến điểm bên hệ thống để ngõ phụ thuộc vào ngõ vào ngõ trước Thật ra, lọc IIR đệ qui không đệ qui (phần 2.6.2), lọc đệ qui loại IIR FIR Khi ta nói lọc IIR lọc đệ qui thường có nghĩa Phương trình tín hiệu vào lọc IIR nhân (2.21) lặp lại đây: N y(n) = a k y(n – k) + k 1 M b k 0 k x (n – k) Với ak , bk hệ số lọc Theo lý thuyết, N, M vô hạn Lọc IIR hiệu lọc FIR độ nhạy, lọc IIR với hệ số cho đáp ứng biên độ tần số với lọc FIR với nhiều hệ số Tuy nhiên lọc IIR có hai mặt nhược điểm Chúng không ổn định hệ số chọn không thích hợp Chúng có pha không tuyến tính (phần 5.2) không phù hợp cho số ứng dụng lọc Xét pha tuyến tính ta nên biết hàm truyền H(z) lọc pha tuyến tính phải thỏa mãn liên hệ H(z) = z–N H(z–1) -N Với z trình bày trễ N mẫu Sự liên hệ ngụ ý có cực ảo bên đường tròn đơn vị với cực bên trong, ngược lại điều kiện để lọc ổn định nhân tất cực phải nằm bên đƣờng tròn đơn vị (phần 4.4.2) Điều có nghĩa lọc ổn định nhân có pha tuyến tính Nếu không yêu cầu nhân quả, lọc IIR có pha tuyến tính trường hợp lọc FIR thuận lợi Trong thiết kê lọc FIR lợi cho phương pháp thiết kế tương tự, lọc IIR phù hợp từ mặt phẳng tương tự s đến mặt phẳng số z Vì vậy, phương pháp thiết kế IIR giống nguyên mẫu tương tự chẳng hạn: Butterworth, Chebyshev, lọc elliptic Hai phương pháp thiết kế xung bất biến biến đổi đôi tuyến tính Bên cạnh đó, IIR thiết kế phương pháp đặt cực không lọc FIR (phần 4.8), phương pháp bình phương tối thiểu miền số 6.1 Một tóm tắt ngắn lọc Butterworth, Chebyshev Elliptic Với mục đích việc thiết kế lọc số, sau tóm tắt ngắn kiến thức lọc tương tự thông thấp cần thiết Đầu tiên, ta nhìn lại thông số khác lọc số (hình 5.9, 5.10, 5.28) Những thông số áp dụng vào lọc tương tự ký hiệu lại p, c, s Đáp ứng biên độ diễn tả dạng tuyến tính thang dB với | H a () | dB 20 log10 | H a () | Ví dụ đáp ứng , chuẩn hóa biên độ tương ứng với dB, / ứng với -3 dB Ta gọi p tần số cạnh dải qua, s tần số cạnh dải dừng, c tần số cắt (hoặc tần số -3 dB ) Độ gợn sóng dải qua p , độ gợn sóng dải dừng s liên hệ với suy giảm dải qua dải dừng thang dB (6.1) (6.2) 6.1.1 Lọc Butterworth Lọc Butterworth lọc tương tự phổ biến Nó có độ phẳng lớn tần số ( = 0) tăng dải qua dải dừng Nó độ gợn sóng, băng rộng chuyển tiếp ngắn (giữa dải qua dải dừng) đáp ứng pha không tuyến tính (Chebyshev elliptic có đáp ứng pha không tuyến tính) Hình 6.1 đáp ứng biên độ tần số chuẩn hóa lọc Butterworth Bậc lọc cao gần với đáp ứng lý tưởng Hình 6.1: Đáp ứng biên độ chuẩn hóa lọc Butterworth thông thấp filters Biểu thức tổng quát hàm truyền với bậc N lọc lọc Butterworth Ha(s) = 1 (s p ) (s p a )(s p a ) (s p a N ) (6.3) N i 1 Hàm có N cực không Với lọc thông thấp có hai đối số lọc để thiết kế: Bậc N tần số cắt (hoặc -3 dB) c Bình phương biên độ hàm truyền H a (s) (6.4) s/jΩc 2N Bình phương đáp ứng biên độ tần số có cách thay s j, mà cho H a () Chú ý thành phần Ω/Ω c 2N (6.5) Ω/Ωc 2N tử để chắn ứng tần số H () thay bình phương H () Những tác giả khác xem đáp Điều cho trường hợp lọc Chebyshev elliptic nói đến sau Lọc Butterworth có độ phẳng lớn đáp ứng biên độ không tần số ( 0) Vì lọc Butterworth độ gợn sóng, đối số xem suy giảm Những cực đáp ứng bình phương hàm truyền cho s + jc 2N =0 s = (–1)1/2N jc Ta diễn tả -1 j thành phần phức: –1 = ej(2i - 1) i = 1, 2, 3, … j = ej/2 Vì vậy, cực pai = c ej(2i + N - 1)/2N , i = 1, 2, 3, …, 2N (6.6a) Chú ý độ lớn tất cực c gốc pha (6.6b) Kết cực phân bố đường tròn có tầm gốc bán kính tần số cắt c mặt phẳng s (hình 6.2) Với lọc có bậc N = 5, số cực 2N = 10 Cực (i= 1) pa1 s - plane j pa10 pa2 pa9 c pa3 pa8 pa4 pa7 pa5 pa6 Hình 6.2: Cực | H a ( s) | với N = Cực lọc Butterworth ổn định với bậc N = có nửa mặt phẳng pa1 = c ej(2x1 + - 1)/2x5 = c ej3/5 = c 108O Cực thứ hai (i = 2) pa2 = c ej(2x2 + - 1)/2x5 = c ej4/5 = c 144O Cực thứ 10 tách 360O/10 = 36O (Hình 6.2) Để lọc ổn định ta chọn M cực nằm nửa mặt phẳng bên trái, ví dụ pa1 đến pa5 Chú ý cực gồm thực (pa1) xuất đôi liên hiệp phức (pa1 pa5; pa2 pa4) Vì vậy, lọc Butterworth với bậc N có N cực mặt phẳng bên trái cho pai = c ej(2i + M - 1)/2M i = 1, 2, … N Ví dụ, cực lọc bậc ba pa1 = c ej2/3 = (–0,5 + j0,866)c pa2 = c ej = –1c pa3 = c ej4/3 = (–0,5 - j0,866)c Vì vậy, với tần số cắt c rad / s hàm truyền s 2s 2s F / Hz Một lọc thông thấp có tần số cắt c rad / s (or c ) gọi lọc thông thấp chuẩn Ha(s) = (6.7) s 0,5 j0,866s 1s 0,5 j0,866 hóa hình 6.3 đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa với tần số cạnh dải qua p , tần số cạnh dải dừng s , tần số cắt c , bình phương độ gợn sóng (sự suy giảm) (1 p ) bình phương độ gợn sóng dải dừng (sự suy giảm) s2 Từ bình phương đáp ứng biên độ (6.5) ta tìm bậc lọc N để đặc tính gặp Tạ cạnh dải qua ta có (1 p ) 2N ( p / c ) or p c 2M (1 p ) 1 (6.8a) | H a () | (0 dB) (1 p ) 0.5(3 dB) s2 p c s Hình 6.3: Bình phương đáp ứng biên độ lọc Butterworth Giống vậy, cạnh dải dừng ta có s c s (6.8b) Từ hai biểu thức trước bậc lọc có N log [ (1δ1 p) 1]/ δ12 s Ω (6.9) log Ωps Ta lấy N làm tròn đến giá trị nguyên gần Vì đảm bảo dải qua dải dừng ngưỡng (tốt yêu cầu) Để phù hợp ràng buộc dải qua cách xác ta giải(6.9a) với tần số cắt cho c p [ (11 p) 1] (6.10) 2N Trong trường hợp buộc dải dừng vượt độ gợn sóng dải dừng s nhỏ Tần số cắt cho kết lớn giá trị thực có từ đồ đáp ứng tần số Một cách thay thế, giả (6.9b) với tần số cắt c để phù hợp xác ràng buộc dải dừng ngược lại điều kiện dải qua vượt Kết khác từ (6.11) Nếu ta muốn vượt điều kiện dải qua dải dừng ta lấy tần số cắt trung bình hai tần số cắt đề cập Với cực chọn nằm nửa bên phải mặt phẳng lọc Butterworth ổn định Hàm truyền lọc thông thấp bậc N với tần số cắt Hàm truyền lọc Butterworth thiết kế sử dụng (6.6) (6.11a) Một cách khác ta sử dụng bẳng hệ số tính trước sau Chú ý hàm truyền lọc thông thấp bậc N chuẩn hóa : Những hệ số đa tức mẫu với lọc bậc cho bảng 6.1 Bảng 6.1: Những hệ số mẫu lọc Butterworth thông thấp chuẩn hóa N a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 0 0 1 0 0 2 0 2.613126 3.414214 2.613126 0 3.236068 5.236068 5.236068 3.236068 Bây giờ, Nếu thực tần số cắt 3-dB, hàm truyền có cách thay s vào công thức s/ Đây biến đổi phổ, phần nói đến phần 6.4 Vì hàm truyền lọc Butterworth thông thấp bậc N Ví dụ, lọc thông thấp bậc với tần số cắt (nghĩa , Fc = 10Hz) hàm truyền 6.1.2 Lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ lọc Chebyshev (cũng gọi lọc Cauer) có độ chuyển tiếp hẹp so với Butterworth có bậc lọc, gợn sóng (độ gợn sóng giống từ đỉnh sang đỉnh khac) dải qua dải dừng (Chebyshev loại 2) Bình phương hàm truyền đáp ứng biên độ tần số Chebyshev-1 bậc N H a (s) (6.12) C N s/jΩ c C N s/jΩ c (6.13) H a ( Ω) C 2N Ω/Ω c Với CN(x), x / c , đa thức Chebyshev-1 loại bậc N, c tần số cắt đối * số độ gợn sóng Hàm truyền lọc Chebyshev bậc N có N cực, không nằm đường mặt phẳng s trường hợp Butterworth nằm ellipse, Biểu thức đa thức Chebyshev-1 có bậc không cao CO (x) = C1 (x) = x C2 (x) = 2x2 – C3 (x) = 4x3 – 3x C4 (x) = 8x4 – 8x2 + C5 (x) = 16x5 – 20x3 + 5x CN (x) = 2xCN– 1(x) – CN – 2(x) (6.14) (6.14) công thức đệ qui đa thức Hình 6.4 vẽ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa lọc Chebyshev-1 bậc lẻ Như ta thấy, gợn sóng dải qua dải dừng Tại tần số ( ) biên độ chuẩn hóa Với lọc Chebyshev-1 có bậc chẵn giá trị /(1 ) Số độ gợn sóng với bậc lọc Độ gợn sóng xuất mức cao mức thấp /(1 2 ) Khoảng cách hai mức bình phương dải thông độ gợn sóng đỉnh đến đỉnh (1 p ) Từ (6.13), cạnh dải qua đáp ứng (1 p ) c ( p / c ) (6.15a) N Và cạnh dải dừng đáp ứng s2 c ( p / c ) (6.15b) N Khi ta dẫn hai biểu thức tần số cắt c không hủy trường hợp lọc Butterworth Để dễ dàng, thường lấy c p Với thay (6.15a) đưa kết nối đối số độ gợn sóng độ gợn sóng dải qua p : H a () (0 dB) (1 p ) 1 2 Chebyshev filter 0,5 (–3 dB) Butterworth filter s2 R c s (rad/s) Hình 6.4: Chebyshev loại có bậc lẻ (trong trường hợp N = 5) Với bậc chẵn, đáp ứng bắt đầu mức thấp /(1 2 ) sau vài dao động, đạt đến mức cao trước rơi nhanh (1 p ) 1 (6.16a) Hoặc (1 p ) 2 1 (6.16b) Hoặc (6.15b) cho bậc lọc N cosh 1 ( s2 1 ) cosh 1 ( s / p ) (6.17) Với N tìm thấy ta xử lý thiết kế vẽ đáp ứng tần số Hàm truyền lọc Chebyshev-1 có cực nằm bên trái ellipse có tâm gốc, trục dọc theo trục ảo j, trục ảo dọc theo trục thực Kích thức ellipse phụ thuộc đối số độ gợn sóng Độ gợn sóng nhỏ độ chuyển tiếp rộng Với độ gợn sóng zero, lọc Chebyshev trở thành lọc Butterworth Lọc Chebyshev loại (Chebyshev-2) hàm truyền có cực không Đáp ứng biên độ bắt đầu giảm dải qua, gợn sóng dải dừng Bình phươg đáp ứng biên độ cho biểu thức | H a (Ω | 2 C 2N (Ω c Ω) 1 2 C 2N (Ω s Ω) (6.18) Hình 6.5 vẽ đáp ứng Kết nói hai đối số độ gợn sóng s | H a () | (1 p ) 0.5 2 1 2 s p c s Hình 6.5: Bình phương đáp ứng biên độ lọc thông thấp Chebyshev-2 s (6.19a) s2 Hoặc 2 s2 1 (6.19b) 6.1.3 Lọc Elliptic Lọc Chebyshev có độ chuyển tiếp ngắn lọc Butterworth cho phép độ gợn sóng dải qua dải dừng (hình 6.6) có độ chuyển tiếp nhỏ lọai lọc có bậc lọc Biểu thức hàm truyền đáp ứng tần số lọc elliptic giống với lọc Chebyshev: H a () 1 U N / p (6.20) Với đối số độ gợn sóng có nghĩa trường hợp Chebyshev, U N (x) hàm Jacobian elliptic function có bậc N Thiết kế lọc elliptic phức tạp lọc Chebyshev 6.1.4 Lọc Bessel Nó đáng giá để đề cập lọc Bessel Hàm truyền có cực trường hợp Butterworth Chebyshev loại 1: H a (s) (6.21) B M (s) Với BM(s) đa thức Bessel có bậc M Lọc Bessel có độ chuyển tiếp dài lọc Butterworth, ngược lại có đáp ứng pha tuyến tính dải qua Tuy nhiên đặc tính pha thích hợp bị hủy biến đổi đôi tuyến tính (phần 6.3) Bởi lý này, lọc Besel không sử dụng cho thiết kế lọc số Ha()2 1 (1 p ) 1 0.5 s2 p c s Hình 6.6: Lọc Elliptic với bậc lẻ (Trong trường hợp Nc = 5).cVới bậc chẵn bắt đầu mức thấp /(1 ) kết thúc mức trước rơi nhanh 6.2 PHƢƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG XUNG BẤT BIẾN Lọc tương tự có lịch sử phát triển sử dụng lâu đời (hơn 50 năm) Đặc biệt, phương pháp lý thuyết thiết kế lọc tương tự xây dựng tốt, điều khai thác để thiết kế xấp xỉ lọc IIR số Ta xét phương pháp bất biến xung 6.2.1 Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Với hệ thống tuyến tính tín hiệu tương tự, biến đổi Laplace công cụ toán học hiệu cho thiết kế phân tích Hàm tuyền Ha(s) hệ thống tuyến tính bất biến thời gian (LTI LSI) có hình thức hàm truyền H(z) hệ thống DSP (4.28) N(s) G(s z a )(s z a )(s z a ) Ha(s) = = (6.22) (s p a )(s p a )(s p a ) D(s) Với s biến phức công thức lọc tương tự tổng quát N y(t) = αk k 1 d k y(t) dt k M β k k 0 d k x(t) dx k (6.23) Nó giống với công thức lọc số tương ứng (6.1) Hàm truyền lọc tương tự diễn tả thành phần hệ số trường hợp lọc số (công thức 4.13a) M β Ha(s) = k 0 N k sk αks (6.24) k k 1 Tuy nhiên có vài khác quan trọng (hình 6.7) - Trong biến đổi Laplace, đáp ứng tần số H a () có cách thay s j vào hàm truyền Ha(s), i.e Ha(s) dọc theo trục ảo j đáp ứng tần số H a () , ngược lại biến đổi - - z đáp ứng tần số H ( ) hàm truyền H(z) dọc theo vòng tròn đơn vị Tần số tương tự (đơn vị radian/s) khác dọc theo đường thẳng với giá trị từ đến , ngược lại tần số số (đơn vị radian/sample) khác xung quanh đường tròn với giá trị từ đến 2 (hoặc từ to ) tuần hoàn; Để lọc tương tự ổn định (và nhân quả), cực Ha(s) phải nằm nửa mặt phẳng bên trái cảu mặt phẳng s, ngược lại lọc số ổn định nhân quả, cực phải nằm bên đường tròn đơn vị j Imaginary z s-plane z-plane 0 Real z Unit Circle Hình 6.7: Chuyển tổng quát từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Một cách toán học, chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z z = esT (6.25) Với T chu kỳ lấy mẫu khoảng lấy mẫu (T = 1/fs, fs tần số lấy mẫu) Thay s = + j z = rej ta có rej = eT ejT Vì r = eT T (6.26) Điều có nghĩa tương ứng với r , to r , to r Vì nửa mặt phẳng bên trái s chuyển vào bên đường tròn đơn vị mặt phẳng z (và nửa mặt phẳng bên phải sang bên ngoài) trục j thành đường kính đường tròn đơn vị nói (hình 6.8) Vấn đề chuyển cuối sang vị biến đổi T nghĩa khoảng / T / T chuyển thành khoảng , khoảng –(2k – 1)/T (2k – 1)/T , với k nguyên, chuyển khoảng Điều kết lấy mẫu tín hiệu Dải 2 / T nửa mặt phẳng bên trái s chuyển vào bên đường tròn đơn vị, kết dải giống chuyển vào bên j /T Imaginary z s-plane z-plane T 0 Unit circle –/T Hình 6.8: Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z sang 6.2.2 Phƣơng pháp thiết kế Real z 10 Nhìn vào hình.6.9 Từ đáp ứng biên độ tần số yêu cầu | H ( ) | khoảng , ta xét đáp ứng biên độ tần số lọc tương tự H a () có hình dạng (nhưng mở rộng đến ) Kế đến, từ H a () ta tìm đáp ứng xung tương tự ha(t), ví dụ cách lấy biến đổi Laplace ngược Ha(s) Sau ta lấy mẫu ha(t) để có đáp ứng xung h(n) lọc IIR thiết kế Ha( ) (a ) ha(t) Analog filter (b) /T2 /T1 H() (d) H() /2 h(n) Digital filter t 2 (c) Digital filter T1 n h(n) (e) (f) n T2 tần số củalọc tương tự tương ứng với lọc số hai chu kỳ Hình 6.9: Đáp ứng xung lấy mẫu khác T1 T2 Lấy mẫu phải thỏa định lý lấy mẫu (phần 1.3.2) vấn đề đáp ứng tần số tương tự tồn đến vô cực vậy, ta thỏa định lý lấy mẫu, xuất biệt danh, kết làm tăng phần tần số cao lọc số Vì lý này, phương pháp bất biến xung phù hợp với lọc thông thấp Một điểm khác tìm biến đổi Laplace ngược không thuận tiện Vì ta phải phát triển phương pháp thiết kế, ta từ hàm truyền tương tự Ha(s) trực tiếp đến hà truyền lọc số H(z) Bắt đầu từ hàm truyền tương tự Ha(s) công thức (6.3) giả sử hàm tỉ số phù hợp, tất cực thực đơn để khai triển thành phân số thành phần với hình thức G1 G2 Gi Ha(s) = + +… +… (6.27) s p a i s p a s p a Vì ta phải phân giải lọc tương tự bậc cao thành vài lọc bậc dạng song song (hình 6.10) Xét lục sau: Hai(s) = Gi s p (6.28) Đáp ứng xung, i.e biến đổi ngược Laplace Hai(s), = G i e pai t t (6.29) 0, t< Chú ý cực pai phải âm,i.e nằm nửa mặt phẳng bên trái, để lọc ổn định Đáp ứng xung nhân lọc IIR tương ứng hai(t) 28 (43.812 10.342 ) s s (43.812 10.342 ) s (10.342 )(43.812 ) 105.1s s 105.15s 4472 H a ( s) (c) Sử dụng chuyển đổi (6.37) theo sau bước cần thiết, ta có lọc số thông qua tương ứng, hàm truyền H ( z ) 0.4208(1 z 2 ) 0.4425 z z 0.1584 z 2 Một số tác giả phát triển biến đổi trực tiếp từ tương tự sang số (A2D) tương ứng với prewarping tần số biến đổi tương tự sang số Từ lọc thông thấp nguyên mẫu thực biến đổi tương tự sang số để có hàm truyền lọc thông qua sau C z 1 H BP ( z ) 2 1 C 1 C z z 1 C 1 C (6.49) Với cos 0 , C tan 2 Giống vậy, với lọc thông qua bậc hai (lọc notch) với băng thông -3dB tần số trung tâm sử dụng A2D biến đổi thông thấp sang dải dừng z 2z H BS ( z ) C z 12C z 11CC (6.50) Với C diễn tả giống trước Thường với lọc dải qua dải dừng, tần số dải cạnh l u chuẩn hóa, thay tần số trung tâm Trong trường hợp tần số trung tâm đối xứng hình học tần số prewarped tan 0 tan 2l tan 2u (6.51) cos cos u 2l cos u 2l Tần số dải cạnh có từ u l , mà cho u cos 1 (cos 0 cos 2 ) l u (6.52) Ví dụ 6.4.2 Thiết kế lọc số thông qua vói thông số: (a) Độ rộng băng thông 3-dB với kHz tần số trung tâm kHz Tần số lấy mẫu 25 kHz (b) Băng thông tần số cạnh 3-dB với kHz kHz Tần số lấy mẫu 25 kHz Giải (a) Đại lượng số liên quan 2 0.4 25 2 0 0.48 25 29 C tan àn 0.7265 cos 0 0.0628 Vì vậy, từ (6.49) ta có 0.7265 z 1 H ( z) 0.7265 2 0.0628 0.7265 z 0.7265 0.7265 0.4208( z 1) z 0.0727 z 0.1584 Băng thông tần số cạnh u 0.5 0.4 cos 1 cos(0.48 ) cos( 0.24 ) 2.1488 l u 0.6840 0.4 0.284 Tương ứng với u f s 0.684 25 8.55 kHz 2 2 f 0.284 Fl l s 25 3.55 kHz 2 2 Fu Chú ý tần số không đối xứng so với tần số trung tâm F0 kHz (b) Những đại lượng liên quan 2 0.32 25 2 u 0.72 25 u l 0.4 l C tan 2 0.7265 cos u 2l cos u 2l 0.0776 Những hình kết hàm truyền H ( z) Tần số trung tâm 0.4208( z 1) z 0.0899 z 0.1584 0 cos 1 cos 1 (0.0776) 0.5247 Tương ứng với 0 f s 6.559 kHz 2 Ta lấy tần số trung tâm từ (6.51): F0 0 tan 1 tan 2 tan 2 0.5247 l Như u Ví dụ 6.4.3 Tín hiệu ECG dán đoạn can nhiễu 60 Hz từ đường công xuất lấy mẫu 300 Hz A – thứ hai ghi nhận tín hiệu nhiễu hình 6.21 Thiết kế lọc notch có tần số trung tâm F0 60 Hz phải đè tần số can nhiễu 60 Hz Lựa chọn lọc 30 (a) Q 50 , (b) Q Giải (a) Với lọc notch có Q 50 tần số notch f 60 Hz , băng thông F F0 / Q 1.2 Hz Lọc số notch tương ứng băng thông notch 2F0 2 50 0 0.4 rad / sample fs 250 2F 2 1.0 0.008 rad / sample fs 300 Mà cho C tan 2 tan 0.008 0.01267 cos 0 cos 0.4 0.309 Vì từ (6.50) ta có hàm truyền lọc dải qua 0.9876( z 0.6180 z 1) z 0.6104 z 0.9752 (b) Với lọc notch có Q ta có 50 10 Hz 2 10 0.08 rad / sample 250 C tan 0.08 0.1263 cos 0.4 0.3090 F Một lần nữa, sử dụng (6.50) ta có hàm truyền lọc notch 31 Hình 6.21: Đáp ứng biên độ pha ECG lọc notch với Q = 5) Đáp ứng biên độ pha cho trường hợp Q= hình 6.21 Đáp ứng trường hợp Q = 50 giống khác độ rộng băng hẹp Cả hai lọc xóa can nhiễu đường công xuất 60Hz cách hiệu lọc cao-Q có chuyển tiếp bắt đầu dài (kết thúc khoảng 1s) lọc Q-thấp có chuyển tiếp ngắn (kết thúc khoảng 0.1 s), lọc Q-thấp đề tần số xung quanh 60Hz, tín hiệu ECG 6.4.2 Biến đổi phổ sô (D2D) Biến đổi tần số làm miền số Đầu tiên ta sử dụng biến đổi đôi tuyến tính để thiết kế lọc số thông thấp, sau biến đổi sang lọc thông thấp, thông cao, thông qua dải chặn Chú thích lọc thông thấp số H ( z ) với dải thông tần số cạnh p (hoặc tần số cắt c ) 1 cách thay z H ( z ) hàm F (z ) (or z H ( z 1 ) F ( z 1 ) : z F(z) (6.53a) Sự biến đổi phải thỏa mãn số điều kiện Đầu tiên phải chuyển dạng đa thức tỉ sổ H ( z ) thành đa thức tỉ số H (z ) Thứ hai, F (z ) biến đổi đáp ứng tần số, phải chuyển đường tròn đơn vị thành Sự chuyển miền tần số j e(b) F (e j ) (6.53b) Time (seconds) Bảng 6.4: Chuyển đổi số sang số (D2D) (Lọc thông thấp số có dải thông tần số cạnh ) Sự biến đổi Đối số Chuyển đổi z 1 32 Thông thấp với cạnh RP z 1 z 1 Thông cao với cạnh HP z 1 z 1 Thông qua với cạnh l , u z 2 a1 z 1 a a z 2 a1 z 1 Dải dừng với cạnh l , u z 2 a1 z 1 a a z a1 z 1 LP 0 sin LP 2 0 0 cos LP cos LP 2 sin l 0 K cos u tan l l cos u cos u 2K K 1 a1 , a2 K 1 K 1 l 0 K tan u tan u l l cos u 2 1 K a1 , a2 K 1 K 1 cos Có nghĩa F (e j ) e j Vì F (z ) lọc thông qua tất (phần 6.5), Nó cho qua tất tần số mà không suy giảm lọc qua tất thường sử dụng để bổ sung đáp ứng pha hệ thống Thứ ba, để trùy ổn định, biến đổi phải chuyển bên đường tròn đơn vị thành Chuyển đổi z 1 F ( z 1 ) liệt kê bảng 6.5 Table 6.5: Digital-to-digital transformations (D2D) (The digital lowpass prototype has passband edge frequency ) Sự biến đổi Đối số Chuyển đổi z z Thông thấp với cạnh LP LP z Thông cao với cạnh HP Thông qua với cạnh l , u z z z a1 z a a z a1 z LP sin 2 HP HP cos cos 2 l K tan tan u 2 l l cos u cos u 2K K 1 a1 , a2 K 1 K 1 sin 33 Dải dừng với cạnh l , u z a1 z a a z a1 z K tan u l tan l l cos u cos u 2 1 K a1 , a2 K 1 K 1 Ví dụ 6.4.4 Một lọc số thông thấp thiết kế với hàm truyền z ( z 1) 31z 26 z Và tần số cắt Fc kHz hoạt động tần số lấy mẫu f s kHz Thiết kế (a) Một lọc thông cao có tần số cắt kHz (b) Một lọc thông qua có dải cắt kHz kHz (c) Một dải dừng có cạnh 1.5 kHz 2.5 kHz H ( z) Giải (a) Điều tiên, radian tần số cắt lọc số thông thấp 0 2Fc 2 0.5 rad / sample fs Lọc thông cao yêu cầu có HP 2FHP 2 0.25 rad / sample fs Vì từ bảng 6.3: cos3π 8 ω ωHP ω ωHP α cos 0.4142 cos 2 cosπ 8 Chuyển đổi z z z 0.4142 z 0.4142 z Và hàm truyền lọc thông cao 0.28( z 1) z 0.0476 z 0.0723 (b) Bây ta tìm l 0.25 , u 0.75 , từ bảng 6.3 tan 4 cos 2 K 1, 0, a1 0, a tan 4 cos 4 H HP ( z ) Vì chuyển đổi z z 3( z 1) 31z 26 z (c) Bây ta tìm l 3 , u 5 , từ bảng 6.3 tan 8 cos 2 K 0.4142, 0, a1 0, a 0.4142 tan 8 cos 8 H BP ( z ) Vì chuyển đổi z 0.4142 z 0.4142 z 34 Và H BS ( z ) 0.28( z 1) z 0.0476 z 0.0723 | H ( ) | F(kHz) Hình.6.22: Ví dụ 6.4.4 (so sánh đáp ứng biên độ tần số lọc khác nhau) Hình 6.23 cho đáp ứng biên độ lọc thiết kế 6.4.3 LỌC PHA TỐI THIỂU VÀ LỌC CHO QUA TẤT CẢ Sự trình bày cập nhập từ Schilling R J Harris S.L., 2005 Bất kỳ lọc IIR diễn tả tích lọc pha tối thiểu lọc qua tất 6.5.1 Lọc pha tối thiểu Đáp ứng biên độ tần số lọc IIR không đặc tả đầy đủ lọc Thật với lọc IIR có m không, có tới m lọc khác có đáp ứng biên độ Như biết, đáp ứng pha đặc tính khác lọc Một lọc số H(z) lọc có pha tối thiểu tất không nằm bên đường tròn đơn vị, ngược lại lọc pha không tối thiểu Cụm từ pha tối thiểu sử dụng để thích thay đổi pha lọc vượt dải = [0, ] , f = [0, f s / 2] không: ( ) (0) (6.54) Lọc pha không tối thiểu có không nằm bên đường tròn đơn vị Nó H(z) có p cực bên vòng tròn đơn vị, thay đổi pha ( ) (0) p Vì vậy, lọc mà có đáp ứng biên độ, lọc pha tối thiểu có số lag pha Để minh họa cách lọc khác có đáp ứng biên độ giống đáp ứng pha khác, xét hàm truyền lọc IIR bậc hai 2( z 0.5)( z 0.5) (6.55a) ( z 0.5) 0.25 Đây lọc ổn định với cực z 0.5 j 0.5 Nó lọc pha tối thiểu không z 0.5 nằm đường tròn đơn vị Ở có ba lọc IIR khác mà có đáp ứng biên độ ( z 2)( z 0.5) (6.55b) H 10 ( z ) ( z 0.5) 0.25 ( z 0.5)( z 2) (6.55c) H 01 ( z ) ( z 0.5) 0.25 0.5( z 2)( z 2) (6.55d) H 11 ( z ) ( z 0.5) 0.25 H 00 ( z ) 35 Chú ý rằng, ba lọc có hai không bên đường tròn đơn vị lọc pha không tối thiểu Hình.6 24 vẽ đáp ứng biên độ chung hình 25 vẽ đáp ứng pha Chú ý thay đổi pha dải tần số [0, ] 00 0, 11 2 , 01 , 10 | H ( ) | 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 / 1.0 Hình 23: Đáp ứng biên độ chung lọc ( ) 01 11 00 -1 10 -2 -3 -4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 / 1.0 Hình 24: Đáp ứng pha khác lọc Mỗi lọc IIR chuyển thành lọc pha tối thiểu cách thay không bên đường tròn đơn vị nghịch đảo tỉ lệ âm với không Nếu lọc túy có đôi liên hiệp phức không z re j với r , hai thay không z r 1e j để hệ số lọc thực 36 6.4.4 Lọc qua tất Một lọc số H(z) với hệ số thức lọc qua tất có đáp ứng biên độ tất dải tần số [0, ] , f [0, f s / 2] : H ( ) 1, (6.56) Vì ràng buộc đáp ứng pha, lọc qua tất cộng thêm vào hệ thống số để bù vào đáp ứng pha hệ thống Một lọc qua tất bậc có hình thức z 1 * (6.57) H all ( z ) z 1 Cực nằm không / , i.e., cực không nghịch đảo liên hiệp phức tương ứng với đường tròn đơn vị Với hệ thống nhân ổn định, cực phải nằm đường tròn đơn vị (vì không nằm ngoài) Nó đáp ứng biên độ tần số hàm truyền đồng tần số [0, ] Ngược lại đáp ứng pha thay đổi cách thay đổi đối số Hình 26 cho ví dụ đáp ứng pha với giá trị chọn Hình thức tổng quát lọc qua tất z 1 k H all ( z ) 1 k 1 k z N (6.58) Với N số cực không lọc Với lọc có đáp ứng xung thực, tất cực phức phải xuất đôi liên hiệp phức, nghĩa là, k cực phức lọc k cực Hình 6.25: Đáp ứng pha lọc qua tất bậc với (a) 0.75 , (b) 0.25 , (c) 0.25 , (d) 0.75 Một hình thức khác lọc 37 H all ( z ) z N D( z 1 ) D( z ) (6.59) Với đa thức mẫu số hình thức D( z ) a1 z 1 a2 z 2 a N z N (6.60a) Vì đa thức tử số z N D( z 1 ) a N a N 1 z 1 a1 z ( N 1) z N (6.60b) Chú ý đa thức tử mẫu có hệ số chúng xuất trật tự đảo Với biến đổi số-số, điều kiện biến đổi đề cập cách chuyển z 1 k 1 k 1 k z N z 1 (6.61) Với k số thực Điểm quan trọng hàm truyền IIR H(z) phân giải thành tích lọc qua tất H all (z ) lọc pha tối thiểu H ( z ) : H ( z ) H all ( z ) H ( z ) (6.62) Pha tối thiểu H ( z ) pha nhỏ H(z), vậy, đáp ứng biên độ H ( z ) đáp ứng biên độ H(z) Ngược lại, H all (z ) đảo ngược hệ thống mà biến đổi H(z) thành hình thức pha nhỏ Kết quả, H all (z ) ổn định Sau thuật toán cho phân giải pha nhỏ Đặt H ( z ) H ( z ) , H all ( z ) Thừa số đa thức tử số H(z) sau b( z) b0 ( z z1 )( z z ) ( z z m ) Cho i = đến n Nếu | z i | tính F ( z) zi z z zi H ( z ) F ( z ) H ( z ) H all ( z ) F 1 ( z ) H all ( z ) Ví dụ 6.5.1 Cho lọc số sau H ( z) 0.2[( z 0.5) 1.5 ] z 0.64 Tìm thừa số phân giải H all (z ) H ( z ) Giải Lọc có cực thực P1, 0.8 liên hiệp phức không z1, 0.5 j1.5 Vì tất không nằm bên đường tròn đơn vị, lọc có pha lớn Hình thức pha nhỏ có cách thay không nghịch đảo nhân với trừ không Vì không z 3, 1 0.2 j 0.6 z1, 0.5 j1.5 Tích cực z1 z | z1 | , hình thức pha nhỏ H(z) 38 | z1 | 0.2( z z )( z z ) (0.25 2.25)0.2[( z 0.2) 0.6 ] z 0.64 0.5[( z 0.2) 0.6 ] z 0.64 H ( z ) Vì không thay, phần qua tất đa thức gốc chia cho tử số H ( z ) : H all ( z ) 0.2[( z 0.5) 1.5 ] 0.4[( z 0.5) 1.5 ] 0.5[( z 0.2) 0.6 ] ( z 0.2) 0.6 Hình 6.27 vẽ đáp ứng biên độ gốc phân giải, đáp ứng pha gốc phân giải Chú ý | H ( f ) || H ( f ) | , | H all ( f ) | mong đợi Cũng ( f ) có pha chậm ( f ) H H all H F / fs all F / fs Hình 6.26: Ví dụ 6.5.1 Đáp ứng biên độ đáp ứng pha 6.5 TÍCH PHÂN SỐ Nếu lọc FIR tiến hành vi phân số (phần 6.3.5) lọc IIR tiến hành tích phân số Một tích phân tương tự vùng tín hiệu sóng, ngược lại tích phân số tích lũy mẫu tín hiệu Tích phân lọc thông thấp, liên quan với lọc trung bình di chuyển (phần 2.6.1) 6.6.1 Tích phân số lý tƣởng Với tín hiệu vào tương tự x(t ) , tích phân tương tự cho ngõ y(t ) x(t )dt Với ngõ vào x(n) e jt , ngõ (6.63) 39 y(t ) e jt dt jt e H a ()e jt j Với H a () / j đáp ứng tần số tích phân tương tự lý tưởng Tích phân số có hình thức 1 | H ( ) | j H ( ) (6.64) Đáp ứng biên độ H ( ) đảo tần số (hình.2.28) đáp ứng pha / 6.5.2 Tích phân xấp xỉ Ở có vài thuật tóan đệ qui để xấp xỉ tích phân số lý tưởng Đơn giản tổng chạy (hoặc luật chữ nhật), mà tổng tích lũy tất mẫu đến thời điểm H() (d) (b) (c) 0 0.5 (a) 1.5 2.5 3.5 Hình 6.27: Đáp ứng biên độ tích phân số (a) lý tưởng, (b) tổng chạy, (c) hình thang, (d) Simpson n 1 y ( n) x(k) x(n) y(n 1) x(n) (6.65) k Hàm truyền tìm thấy từ công thức trên: y( z ) z (6.66a) 1 x( z ) z z 1 Mà có không z cực z phụ thuộc loại lọc thông thấp Đáp ứng tần số H ( ) H ( z ) z e j e j H ( z) Biên độ | H ( ) | 2[1 cos ] (6.66b) Đáp ứng biên độ tiến tới đến vô cực ( f 0) hủy ( f f s / 2) (hình 6.28) Sự xấp xỉ luật hình thang phổ biến: 40 y(n) y(n 1) 12 [x(n) x(n 1)] (6.67) Chú ý tổng cập nhập trung bình mẫu khứ Hàm truyền 1 z 1 z (6.68a) z 1 z Mà có không z 1 cực z phụ thuộc loại lọc thông thấp Đáp ứng biên độ tần số 1 e j H ( ) e j 1 1 cos (6.68b) | H ( ) | 1 cos Đáp ứng tiến tới vô cực hủy đến không ( f f s / 2) H ( z) Phương pháp xấp xỉ khác luật Simpson: y(n) y(n 2) x(n) x(n 1) x(n 2) (6.69) Luật phức tạp tốt Hàm truyền 1 z 1 z 2 z 4z (6.70a) 3 z 2 z2 1 Có cực z , không z 2 Vì cực z 1 đáp ứng biên độ tiến tới vô cực hủy tới không lọc thông thấp Đáp ứng tần số 1 4e j e j 2 H ( ) e j 2 H ( z) cos cos 2 | H ( ) | 3 cos 2 (6.70b) Hình 6.27 so sánh đáp ứng biên độ tích phân Hình 6.29 ý nghĩa tích phân khác Tổng chạy giá trị mẫu xét liên tục xuyên qua tất khoảng lấy mẫu T, diện tích cộng vào hình chữ nhật Luật hình thang, diện tích cộng vào hình thang Nó luật Simpson với lọc cong bậc hai, mà trường hợp hyperbole điểm T=1 x(n) (a) T=1 n x(n) (b) T=1 n x(n) n (c) hình 6.28: ý nghĩa tích phân xấp xỉ khác (a) tổng chạy, (b)hình thang, (c) Simpson 6.6 TỔNG KẾT CHƢƠNG 6.1 Tóm tắt lọc Butterworth, Chebyshev elliptic Phần tóm tắt cách ngắn gọn loại lọc tương tự Ở xét đến lọc thông thấp Lọc Butterworth lọc phổ biến Nó có độ phẳng lớn tần số không sau giảm cách đơn điệu dải qua dải dừng Lọc độ gợn sóng Mạc khác, lọc có hai nhược điểm : độ chuyển tiếp rộng pha không tuyến tính (Chebyshev elliptic có pha không tuyến tính ) Đặc tính lọc bao gồm tần số cạnh dải qua p , tần số cạnh dải dừng s , tần số cắt ( dB) c , độ gợn sóng dải qua p , độ gợn sóng dải dừng s (những thông số thiết kế 41 áp dụng cho lọc Chebyshev elliptic) Vì lọc Butterworth độ gợn sóng, p s xem suy giảm Sự suy giảm dải qua dải dừng diễn tả giai decibel (6.1) (6.2) Hình 6.1 đặc tính tảng lọc thông thấp Hàm truyền đáp ứng tần số thường diễn tả dạng bình phương (6.4), (6.5) hình.6.3 thay dạng biên độ Lọc Butterworth với bậc N tần số cắt c có N cực nằm bên nửa mặt phẳng cho (6.8) nửa vòng tròn bán kính c (hình 6.2 (6.8)) Từ đặc tính cho trước, lọc bậc N cho (6.10), tần số cắt (6.11) Lọc Chebyshev ( gọi lọc Cauer) có độ chuyển tiếp hẹp lọc Butterworth filter mà có bậc lọc Có hai loại lọc : Chebyshev-1 có độ gợn sóng dải qua giảm đơn điệu dải dừng Chebyshev-2 có thuộc tính ngược lại Bình phương đáp ứng biên độ hàm truyền Chebyshev-1 cho (6.12) (6.13) phụ thuộc C N (x) gọi đa thức Chebyshev-1 loại thông số độ gợn sóng Hình.6.4 vẽ bình phương đáp ứng biên độ Ở có liên hệ đối số độ gợn sóng dải qua p (6.16) (6.17) đưa công thức để tính lọc bậc N Hình 6.5 vẽ bình phương đáp ứng biên độ Chebyshev-2 Lọc Elliptic có độ gợn sóng dải qua dải dừng, có dải chuyển tiếp ngắn (6.20) bình phương đáp ứng biên độ mà phụ thuộc thông số độ gợn sóng lọc Chebyshev hàm Jacobian elliptic function U N (x) Lọc Bessel có độ chuyển tiếp dải qua dài lọc Butterworth có đáp ứng pha tuyến tính Tuy nhiên, lọc Bessel không sử dụng thiết kế lọc số 6.2 Phƣơng pháp bất biến xung Với hệ thống tín hiệu tương tự, biến đổi Laplace công cụ toán học hữu ích cho phân tích thiết kế Hàm truyền H a (s) hệ thống LTI (hoặc LSI) có dạng hàm truyền H(z) hệ thống DSP (6.22), (6.24), dù có vài đỉểm khác quan trọng Chuyển từ mặc phẳng s sang z biến đổi một-một, đó dẫn đến tượng biệt danh Hình.6.9 vẽ ý tưởng tảng phương pháp thiết kế bất biến xung Thật ta không cần hết bước này, phương pháp phát triển cho phép có chuyển trực tiếp hàm truyền tương tự sang (6.33) hình 6.10 Một vài ví dụ trình bày vấn đề 6.3 Phƣơng pháp biến đổi lƣỡng tính Phương pháp thiết kế bất biến xung ý tưởng tốt gặp phải vấn đề biệt danh Ngược lại biến đổi đôi lưỡng tính, chuyển từ mặt phẳng s sang z sang (hình 6.17) Một điều quan trọng nữa, chuyển đảm bảo lọc tương tự định chuyển thành lọc số tương ứng Phần 6.3.1 trình bày chi tiết chuyển từ s sang z Kết cho công thức (6.37), (6.38) (6.39) Sự chuyển từ tần số tương tự sang tần số số khía cạnh quan trọng khác (6.41) (6.42) chuyển tần số xấp xỉ tần số thấp không tuyến tính tần số cao (Hình 6.17, 6.18) Điều gọi nén tần số hay frequency warping Vì phần này, thiết kế ta phải áp dụng prewarping tần số để lọc nguyên mẫu tương tư lọc số thiết kế có tần số cắt giống Một vài ví dụ cho thấy điều 6.4 Biến đổi phổ Một lọc thông thấp IIR thiết kế chuẩn thành ba loại lọc tần số khác: thông cao, dải qua dải dừng Sự biến đổi phổ (biến đổi tần số) thực miền tương tự số Sự biến đổi phổ tương tự tổng hợp bảng 6.1 Thiết kế thật đòi hỏi nhiều tính toán vài ví dụ điển hình Với biến đổi phổ số, bảng 6.2 cho ta công thức biến đổi bảng 6.3 trường hợp tần số prewarping đựoc tính toán 6.5 Lọc pha tối thiểu lọc qua tất A minimum-phase digital filter hàm truyền H(z) có tất không nằm bên vòng tròn đơn vị, mặc khác có pha chuẩn hóa nhỏ Lọc pha nhỏ mạng pha thay đổi dải 42 tần số [0, ] , [0, f s 2] với zero (E q (6.54)) Hình 6.25 đáp ứng pha dạng lọc khác Allpass filters có đáp ứng biên độ đồng tất tần số [0, ] , f [0, f s 2] (Eq (6.56)) Hình 6.26 đưa đáp ứng pha lọc qua tất bậc (6.58) dạng tổng quát lọc qua tất Điểm quan trọng tỉ số hàm truyền IIR H(z) phân giải thành tích lọc qua tất H all (z ) lọc pha tối thiểu H ( z ) (Eq.6.67) 6.6 Lọc tích phân Như lọc FIR tiến hành lọc vi phân, lọc IIR thực lọc tích phân Đáp ứng tần số H ( ) lọc tích phân lý tưởng tỉ lệ nghịch với tần số Ở có vài xấp xỉ hữu ích tích phân lý tưởng luật tổng chạy (luật chũ nhầt), luật hình thang, luật Simpson (Hình 6.27 6.28) [...]... e pa 1T = e–10(0.1) = 0. 367 90O z2 = e pa 2T = e(–5 + j8 .66 )(0,1) = 0 .60 6049.6O z3 = e pa 2T = e(–5 – j8 .66 )(0,1) = 0 .60 60–49.6O Hàm truyền là 0.00577210 0 0.00577150 0 0.01 + + z 0. 367 9 z 0 .60 6049 .6 0 z 0 .60 60 49 .6 0 0.002411 z 0.001248 = 3 z 1.153 z 2 0 .65 61 z 0.1351 H(z) = 16 Hình .6. 14: Ví dụ 6. 2.2 (Đáp ứng tần số) Đáp ứng biên độ được vẽ trong hình 6. 14c Vì vậy biệt danh có... cực của lọc số tương ứng được cho bởi e pa T = e–1x0,5 = 0 .60 65 Dẫn đến hàm truyền H a () H a (t ) 13 | H ( ) | | H ( ) | (d) Lọc số tƣơng ứng với T = 0.05s Hình 6. 12: Ví dụ 6. 2.1 H(z) = 1 1 e pa T 1 z = z 1 = 1 z 0 .60 65 1 0 .60 65 z Và đáp ứng tần số H() = H(z) z e j = 1 1 = j (1 0 .60 65 cos ) j 0 .60 65 sin 1 0 .60 65 e Biên độ là H() = (1 0 .60 65 cos ) 1 2 (0 .60 65 sin... của những lọc được thiết kế trên 6. 4.3 LỌC PHA TỐI THIỂU VÀ LỌC CHO QUA TẤT CẢ Sự trình bày ở đây được cập nhập từ Schilling R J và Harris S.L., 2005 Bất kỳ lọc IIR có thể diễn tả như tích của lọc pha tối thiểu và một lọc qua tất cả 6. 5.1 Lọc pha tối thiểu Đáp ứng biên độ tần số của một lọc IIR không đặc tả đầy đủ về lọc Thật ra nó có thể chỉ rằng với lọc IIR có m không, ở đây có tới 2 m lọc khác nhau... tuyến tính hơn Hình .6. 18 chỉ sự chuyển đổi từ một lọc nguyên mẫu thông thấp sang lọc số tương ứng 23 s s p p s Hình 6. 18: Chuyển của LPF tương tự sang lọc số bằng biến đổi đôi tuyến tính Trong thiết kế lọc, tần số số (như p , s , c ) được đặc tả Nếu ta thiết kế lọc số theo yêu cầu từ một lọc nguyên mẫu tương tự, ta phải tính những tần số tương tự tương ứng sử dụng (6. 41) Sự xử lý này được... = 0 .60 65 P2 = e p a 2T = e(–5 + j8 .66 )(0.05) = e–0.25 ej0.433 = 0.778824.8O P3 = e p a 3T = e(–5 – j8 .66 )(0.05) = e–0.25 e–j0.433 = 0.7788–24.8O 15 Imaginary Real (a) (b) Hình .6. 13:Ví dụ 6. 2.2(những cực trong mặt phẳng s và mặt phẳn z) Hàm truyền của lọc là 0.00577210 O 0.00577150 O 0.01 H(z) = + + z 0 .60 65 z 0.7788 24.8 O z 0.7788 24.8 O Hai thành phần cuối khi kết nối lại sẽ có kết... tròn đơn vị (hình 6. 7 và hình 6. 17) Quan trọng hơn, vì tất cả phương pháp thiết kế tương tự dẫn đến lọc tương tự ổn định, chẳng hạn một sự biến đổi sẽ có kết quả lọc số ổn định và nhân quả 6. 3.1 Chuyển từ s sang z Ý tưởng chính là xấp xỉ phương trình bậc nhất của lọc tương tự thành phương trình của lọc số Bắt đầu với hàm truyền của lọc tương tự thông thấp bậc nhất b s a H a (s) (6. 34) Phương trình... 2 6 0 0.48 25 29 C tan àn 0.7 265 cos 0 0. 062 8 Vì vậy, từ (6. 49) ta có 0.7 265 z 2 1 H ( z) 1 0.7 265 2 2 0. 062 8 1 0.7 265 z 1 0.7 265 1 0.7 265 0.4208( z 2 1) 2 z 0.0727 z 0.1584 Băng thông tần số cạnh là u 0.5 0.4 cos 1 cos(0.48 ) cos( 0.24 ) 2.1488 l u 0 .68 40 0.4 0.284 Tương ứng với u f s 0 .68 4... u Ví dụ 6. 4.3 Tín hiệu ECG dán đoạn bởi can nhiễu 60 Hz từ đường công xuất được lấy mẫu tại 300 Hz A 2 – thứ hai ghi nhận tín hiệu nhiễu chỉ trong hình 6. 21 Thiết kế một lọc notch có tần số trung tâm F0 60 Hz phải đè tần số can nhiễu 60 Hz Lựa chọn lọc là 30 (a) Q 50 , (b) Q 5 Giải (a) Với một lọc notch có Q 50 tại tần số notch f 0 60 Hz , băng thông F F0 / Q 1.2 Hz Lọc số notch... 0.008 0.01 267 2 cos 0 cos 0.4 0.309 Vì vậy từ (6. 50) ta có hàm truyền của lọc dải qua 0.98 76( z 2 0 .61 80 z 1) z 2 0 .61 04 z 0.9752 (b) Với một lọc notch có Q 5 ta có 50 10 Hz 5 2 10 0.08 rad / sample 250 C tan 0.08 0.1 263 2 cos 0.4 0.3090 F Một lần nữa, sử dụng (6. 50) ta có hàm truyền lọc notch là 31 Hình 6. 21: Đáp ứng biên độ và pha của ECG lọc notch... 1000 Thay T = 0.01s và làm những sự tính toán cần thiết kết quả trong 10 -6 (1 3z 1 3z 2 z 3 ) 2.221 6. 177z 1 5.783z 2 1.819z 3 0.4502 1.350 z 1 1.350 z 2 0.4502 z 3 10 6 1 - 2.781z 1 2 .60 3 z 2 0.819 z 3 H(z) Ví dụ 6. 3.3 Lọc tương tự có hàm truyền s 0,1 Ha(s) = (s 0,1) 2 16 Thiết kế lọc số có tần số cộng hưởng F0 50Hz Tần số lấy mẫu là 200 ... 0 .60 6049.6O z3 = e pa 2T = e(–5 – j8 .66 )(0,1) = 0 .60 60–49.6O Hàm truyền 0.00577210 0.00577150 0.01 + + z 0. 367 9 z 0 .60 6049 .6 z 0 .60 60 49 .6 0.002411 z 0.001248 = z 1.153 z 0 .65 61... 3.414214 2 .61 31 26 0 3.2 360 68 5.2 360 68 5.2 360 68 3.2 360 68 Bây giờ, Nếu thực tần số cắt 3-dB, hàm truyền có cách thay s vào công thức s/ Đây biến đổi phổ, phần nói đến phần 6. 4 Vì hàm truyền lọc Butterworth... 2005 Bất kỳ lọc IIR diễn tả tích lọc pha tối thiểu lọc qua tất 6. 5.1 Lọc pha tối thiểu Đáp ứng biên độ tần số lọc IIR không đặc tả đầy đủ lọc Thật với lọc IIR có m không, có tới m lọc khác có
Ngày đăng: 07/12/2015, 01:18
Xem thêm: Chương 6 THIẾT kế lọc IIR
