áp dụng cho lọc Chebyshev và elliptic). Vì lọc Butterworth không có độ gợn sóng, pvà s xem như sự suy giảm. Sự suy giảm dải qua và dải dừng có thể diễn tả trong giai decibel (6.1) và (6.2). Hình 6.1 là đặc tính nền tảng của lọc thông thấp.
Hàm truyền và đáp ứng tần số thường được diễn tả ở dạng bình phương (6.4), (6.5) và hình.6.3 thay vì ở dạng biên độ. Lọc Butterworth với bậc N và tần số cắt c có N cực nằm bên nửa mặt phẳng được cho bởi (6.8) trên nửa vòng tròn bán kính c(hình 6.2 và (6.8)). Từ đặc tính cho trước, lọc bậc N được cho bởi (6.10), và tần số cắt (6.11).
Lọc Chebyshev ( cũng gọi là lọc Cauer) có độ chuyển tiếp hẹp hơn lọc Butterworth filter mà có cùng bậc lọc. Có hai loại lọc : Chebyshev-1 có độ gợn sóng trong dải qua và giảm đơn điệu trong dải dừng và Chebyshev-2 có thuộc tính ngược lại.
Bình phương đáp ứng biên độ hàm truyền của Chebyshev-1 được cho bởi (6.12) và (6.13) phụ thuộc CN(x) được gọi là đa thức Chebyshev-1 loại 1 và thông số độ gợn sóng . Hình.6.4 vẽ bình phương đáp ứng biên độ. Ở đây có sự liên hệ giữa những đối số và độ gợn sóng dải qua p(6.16) (6.17) đưa ra công thức để tính lọc bậc N. Hình 6.5 vẽ bình phương đáp ứng biên độ Chebyshev-2.
Lọc Elliptic có độ gợn sóng trong cả dải qua và dải dừng, có dải chuyển tiếp ngắn nhất. (6.20) là bình phương đáp ứng biên độ mà phụ thuộc thông số độ gợn sóng như lọc Chebyshev và hàm Jacobian elliptic function UN(x).
Lọc Bessel có độ chuyển tiếp dải qua dài hơn lọc Butterworth nhưng có đáp ứng pha tuyến tính. Tuy nhiên, lọc Bessel không sử dụng trong thiết kế lọc số
6.2 Phƣơng pháp bất biến xung
Với hệ thống và tín hiệu tương tự, biến đổi Laplace và một công cụ toán học hữu ích cho sự phân tích và thiết kế. Hàm truyền Ha(s) của hệ thống LTI (hoặc LSI) có cùng dạng như hàm truyền H(z) của hệ thống DSP (6.22), (6.24), dù nó có một vài đỉểm khác quan trọng. Chuyển từ mặc phẳng s sang z không phải là biến đổi một-một, đó đó nó dẫn đến hiện tượng biệt danh.
Hình.6.9 vẽ ý tưởng nền tảng của phương pháp thiết kế bất biến xung. Thật sự ta không cần đi hết những bước này, một phương pháp đã phát triển cho phép chúng ta có sự chuyển trực tiếp hàm truyền tương tự sang (6.33) và hình 6.10. Một vài ví dụ trình bày vấn đề này.
6.3 Phƣơng pháp biến đổi lƣỡng tính
Phương pháp thiết kế bất biến xung là một ý tưởng tốt nhưng gặp phải vấn đề biệt danh. Ngược lại trong biến đổi đôi lưỡng tính, chuyển từ mặt phẳng s sang z là một sang một (hình. 6.17). Một điều quan trọng nữa, sự chuyển đảm bảo rằng một lọc tương tự nhất định sẽ chuyển thành lọc số tương ứng. Phần 6.3.1 trình bày chi tiết sự chuyển từ s sang z. Kết quả cho trong công thức. (6.37), (6.38) và (6.39).
Sự chuyển từ tần số tương tự sang tần số số là một khía cạnh quan trọng khác. (6.41) và (6.42) chỉ sự chuyển tần số sẽ xấp xỉ ở tần số thấp và không tuyến tính ở tần số cao (Hình. 6.17, 6.18). Điều này gọi là sự nén tần số hay frequency warping. Vì phần này, trong thiết kế ta phải áp dụng sự prewarping tần số để lọc nguyên mẫu tương tư và lọc số thiết kế có tần số cắt giống nhau. Một vài ví dụ cho thấy điều đó.
6.4 Biến đổi phổ
Một lọc thông thấp IIR được thiết kế có thể chuẩn thành ba loại lọc tần số khác: thông cao, dải qua và dải dừng. Sự biến đổi phổ này (biến đổi tần số) có thể thực hiện trong miền tương tự hoặc số.
Sự biến đổi phổ tương tự được tổng hợp trong bảng 6.1. Thiết kế thật sự đòi hỏi nhiều sự tính toán như trong một vài ví dụ điển hình.
Với biến đổi phổ số, bảng 6.2 cho ta công thức biến đổi và bảng 6.3 là trường hợp tần số prewarping đã đựoc tính toán.
6.5 Lọc pha tối thiểu và lọc qua tất cả
A minimum-phase digital filter hàm truyền H(z) có tất cả không nằm bên trong hoặc trên vòng tròn đơn vị, mặc khác nó có pha chuẩn hóa nhỏ nhất. Lọc pha nhỏ nhất mạng pha thay đổi trong cùng dải
42 tần số [0,], hoặc [0,fs 2] bằng với zero (E q. (6.54)). Hình. 6.25 chỉ đáp ứng pha của những