Chương 5 THIẾT kế lọc FIRL

1 Chương THIẾT KẾ LỌC FIR Lọc hệ thống điển hình thường đựợc sử dụng hệ thống rời rạc thời gian Lọc thay đổi đặc tính biên độ-tần số, pha-tần số tín hiệu theo cách mà ta muốn Một ứng dụng điển hình lọc tách tín hiệu mong muốn khổi nhiễu Lọc số thuật toán tính toán tiến hành phần cứng phần mềm, ngược lại lọc tương tự tổng trung bình tín hiệu vào vài thời điểm Lọc số vượt trội so với lọc tương tự nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu: âm thanh, hình ảnh, video, nén liệu, sinh học….Điểm thuận lợi lọc số là: - Chúng thiết kế để có đáp ứng pha tuyến tính - Chúng thiết kế sử dụng cải tiến kỹ thuật VLSI - Chúng dễ dàng lập trình lập trình lại với chức khác - Chúng nhạy với thay đổi môi trường (nhiễu, nhiệt độ, nguồn công suât) Tuy nhiên lọc số có số điểm bất lợi chúng bị ảnh hưởng từ hiệu ứng chiều dài từ vô hữu hạn (xem chương 7) Lọc số phân loại đáp ứng xung hữu hạn (FIR), lọc không đệ qui, đáp ứng xung vô hạn (IIR), lọc đệ qui Chương ta thảo luận lọc FIR thiết kế chúng Nội dung chương lọc lựa chọn tần số lý tưởng, lọc FIR pha tuyến tính, ba phương pháp thiết kế lọc: cửa sổ, tối ưu, lấy mẫu tần số 5.1 LỌC FIR Phương trình tín hiệu vào lọc FIR (công thức (2.20a)) M  h( k ) x ( n  k ) y (n)  (5.1) k  M Với h(k) hệ số, hay đáp ứng xung lọc (công thức (2.19)), x(n – k) tín hiệu vào x(n) bị trễ k mẫu Với lọc FIR nhân công thức trở thành M y(n)=  h(k)x(n-k) k=0 (5.2) = h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2)x(n  2) + + h(M)x(n-M) Trong hình thức bậc lọc M, chiều dài lọc (tổng số hệ số lọc ) M  Một số tác giả sử dụng N thay M, viết ngưỡng N  để chiều dài lọc N (cách viết thấy matlab) Ta nên đánh dấu để tránh nhầm lẫn Đáp ứng tần số biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) đáp ứng xung:  H ()   h(n )e  jn (5.3) n 0 Biết đáp ứng tần số H () ta lấy biến đổi ngược DTFT để có đáp ứng xung h(n ) Để phân tích, thiết kế tiến hành hệ thống, hàm truyền (hàm hệ thống) quan trọng Nó biến đổi z đáp ứng xung (công thưc 4.4) M H ( z )   h(n) z n  h(0)  h(1) z 1   h( M ) z  M (5.4a) n 0 Nhắc lại (phần 4.25) đáp ứng tần số H ( ) có từ hàm truyền H ( z ) cách thay z e j Để tìm cực không lọc FIR, ta diễn tả H(z) thành thành phần mũ dương z cách nhân tử mẫu với zM , kết H ( z)  h(0) z M  h(1) z M 1   h( M  1) z  h( M ) zM (5.4b) Trong hình thức này, lọc FIR có số cực không cực nằm gốc, hệ thống ổn định 5.1.1 Ƣu điểm khuyết điểm lọc FIR F Lọc FIR có số ưu điểm lọc IIR, hai điểm bật là: - Lọc FIR có để thiết kế để có pha tuyến tính (phần 5.2) để dạng sóng tín hiệu vào giữ lại, yêu cầu nhiều lĩnh vực ứng dụng: xử lý ảnh, y khoa… - Lọc FIR ổn định Hàm truyền chúng hàm hữu tỉ có không Sự đảm bảo ổn định làm lọc FIR hữu ích lọc thích nghi Ngược lại, lọc FIR có số nhược điểm như: - Lọc FIR yêu cầu nhiều hệ số để đạt tới chất lượng đáp ứng tần số, đòi hỏi nhiều thời gian tính toán cất lớn - Lọc FIR không giống lọc tương tự, ta không thiết kế kỹ thuật tương tự 5.1.2 Lọai lọc lựa chọn tần số lý tƣởng Dựa vào đặc điểm tần số(hoặc đáp ứng tần số) lọc phân lọai thành: thông thấp, thông cao, dải qua, dải chặn (hình 5.1) Lọc lý tưởng có biên độ băng thông số, biên độ dải chặn không, truyền gián đoạn (thời gian truyền với không) Chú ý phân loại không dựa đặc điểm pha Để chi tiết, lọc phân loại trơn, băng hẹp, notch, comb, dải qua, pha cực tiểu… H(  ) passband stopband (a) Lowpass - -c c  2  3 passband H(  ) (b) Highpass - - c c H(  ) (c) Bandpass -  3  2 3  passband  l u -u - l 2  3π H(  ) (d) Bandstop (Bandsuppress) - stopband -u - l - l u  2 3  Hình.5.1: Những loại lọc lựa chọn tần số lý tưởng Ta nên nhớ phổ, tần số pha hệ thống tín hiệu rời rạc thời gian có chu kỳ 2 với chu kỳ trung tâm thƣờng lấy  ,  0,2 Phần tiếp theo, thích hợp để đề cập hai lọc mà tham khảo đến vài lần, vi phân số định nghĩa hàm Hilbert, tƣơng ứng nhƣ sau H ω  = jω ,     H ω  = -j , 0   (Vi phân lý tưởng) (5.5) Và (Hàm Hilbert lý tưởng) (5.6) j ,    Với phân lý tưởng, đáp ứng lọc H ()   ()   H() H()  –  –  –  () /2 ()  /2 –  –   –/2  (a) Vi phân lý tưởng (b) Biến đổi Hilbert Hình.5.2: Đáp ứng tần số vi phân số biến đổi Hilbert Với biến đổi Hilbert1, H ()  ()   ,      , 0   Kết hình 5.2 5.1.3 Sự quan hệ lọc lý tƣởng Từ hình 5.1 thích hLP (n) H LP () đặc trưng thời gian tần số lọc thông thấp lý tưởng Sau đó, quan hệ đáp ứng tần số với giả sử tần số cắt là: H HP ()   H LP () - Cao qua: (5.7a) - Dải qua: H BP ( )  H LP ( ) - Dải chặn: H BS ()   H BP () u  H LP ( ) l (5.7 b) (5.7c) Với u tần số cắt trên, l tần số cắt Bằng cách lấy biến đổi ngược DTFT ta có liên hệ đáp ứng xung sau: - Cao qua: (5.8a) hHP (n)  (n)  hLP (n) - Dải qua: hBP (n)  hLP (n) - Dải chặn: hBS (n)   (n)  hBP (n) u hLP (n) (5.8b) l (5.8c) Ví dụ đáp ứng xung lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c tìm thấy ví dụ 3.7.3 hLP (n)  Với   n   Thì sin c n n c  hHP (n)   c sin c n ) , n0  c n (5.9) n0 , hHP (n)   (n)  Nghĩa ( sin c n n sin c n , n (5.10a) n0 c , n0  sin u n sin l n hBP (n)   , n0 n n u l  , n0    sinu n sin l n  hBS (n)   (n)    , n0  n   n 1 Nghĩa hBS (n)  sin l n sin u n  , n n 1 ( u l  )   , (5.10b) (5.10c) n0 n0 Chú ý rằng, tần số cắt c lọc thấp qua cao qua có bù trừ độ nhạy mà tổng đáp ứng xung mẫu đơn vị (n ) Và tần số giới hạn l u , dải qua dải chặn có bù trừ 5.1.4 Biến đổi lọc thông thấp thành lọc khác Trong phần trước ta đề cập quan hệ chung lọc Trong phần ta thảo luận biến đổi lọc thông thấp, đáp ứng xung biết, sau cách sử dụng thuộc tính dich tần số DTFT (phần 3.5) ta chuyển lọc thông thấp thành lọc khác có đặc tính Đáp ứng tần số lọc thông cao có từ thông thấp cách dịch khứ  radians, i.e thay     : H HP ()  H LP (  ) Trễ tần số đáp ứng tần số  radians tương ứng với nhân đáp ứng dụng với e ứng xung lọc thông cao (5.11a) jn , đáp hHP (n)  e j n hLP (n) Hoặc hHP (n)=( -1)n hLP (n)  (cos  n)hLP (n) (5.11b) Kết nghĩa ta giữ dấu mẫu thời điểm chẵn (n  0,2,4 ) hLP (n) , đảo dấu mẫu thời điểm lẻ (n  1,3,5 ) of hLP (n) Biến đổi ngược vậy: hLP (n)=( -1)n hHP (n)  (cos πn)hHP ( n) (5.11c) Bên trên, (1) cos n , ta viết đáp ứng xung hai hình thức Nếu phương trình tín hiệu trình bày lọc thông thấp, (công thức 2.21) n N y (n)   ak y (n  k )  k 1 M  b x(n  k ) k  M (5.12a) k Thì công thức lọc thông cao N y (n)   ( 1) k ak y (n  k )  k 1 M  (1) k  M k bk x(n  k ) (5.12b) Ví dụ lọc thông thấp có phương trình tín hiệu y(n)  0.8 y(n  1)  0.5x(n) Thì tương ứng lọc thông cao có phương trình y(n)  0.8 y(n  1)  0.5x(n) Bây xem cách chuyển lọc thông thấp sang lọc thông qua Ta biết DTFT nhân miền thời gian tương ứng nhân chập miền tần số (phần 3.72) DTFT sinusoid cos n0 gồm hai xung tần số  0 (phần 3.7.2 ) Vì ta nhân đáp ứng xung lọc thông thấp cos 0 n ta có lọc thông qua tƣơng ứng có tần số 0 băng thông gấp đôi băng thông lọc thông thấp Thuộc tính nhân chập tần số (3.51) DTFT nói nhân miền thời gian tương ứng với nhân chập miền tần số Ta biết DTFT cos 0 n hai mẫu đơn vị   0 Ví dụ hình 3.29 vẽ đáp ứng biên độ lọc thông thấp với đáp ứng xung 21 mẫu (từ n  10 to n  10 ) với biên độ 1/21, nghĩa là, h( n)  1  ,  10  n  10 N  21 , otherwise Đáp ứng xung lọc thông qua có tần số trung tâm 0   / hBP (n)  cos 3 n ,  10  n  10 21 , otherwise Từ kết ta có đáp ứng biên độ hình 5.3 1.0 0.5 n - 0.5 1.0 H() /3  n 5.2 Lọc pha tuyến tính Khả để có đáp ứng pha tuyến tính đảm bảo ưu điểm quan trọng lọc FIR lọc IIR Phần trình bày điều quan trọng trước ta vào thiết kế lọc FIR phần nhỏ sau Ta thích H () đáp ứng biên độ () or  H () đáp ứng pha lọc 5.2.1 Trễ pha Nó biết miền thời gian tín hiệu ngõ cho nhân chập thời gian y ( n )  x ( n )  h( n )  h( n )  x ( n ) Mà biến đổi sang miền tần số Y ()  H () X () Biên độ pha tín hiệu tương ứng là, Y ()  H () X () (5.13) Y ()  H ()  X () Với quan hệ pha bên trên, pha H () có nghĩa dịch pha (trễ tới trước) Vì điều dịch pha phụ thuộc vào tần số, thành phần tần số khác tín hiệu vào có chịu dịch pha khác tín hiệu xuyên qua lọc, kết dạng sóng ngõ bị méo dạng Hình dạng méo gọi méo dạng pha Xét sinusoid tương tự có chu kỳ T0 s, tần số gốc 0 rad/sec, (0  2 / T0 ) Vì chu kỳ tương ứng với pha thay đổi với 2 rad, trễ pha  tương ứng với thời gian trễ  p  ( / 2)T0 sec Vì trễ pha giải thích trễ thời gian Trễ pha lọc định nghĩa thuộc tính âm pha () chia tần số tương ứng  : τ p (ω) = - Φ(ω) ω (5.14) Chú ý dù gọi trễ pha  p () thật trễ thời gian Một lọc nói đến có pha tuyến tính đáp ứng tần số pha tỉ lệ với trừ tần số Φ(ω)= H (ω)= -αω (5.15a) Điều có nghĩa H ( )  H 0e j (5.15b) Với  số H thừa số độ lợi độc lập với tần số Nếu  dương lọc làm trễ tín hiệu vào, âm tới trước tín hiệu vào Trễ pha  p( )   (  )   (5.16) Vì trễ pha số, nghĩa tất thành phần tần số tín hiệu vào bị trễ thời gian, thành phần tần số có dạng sóng đầu vào Vì tín hiệu phiên bảng trễ vào Trong lọc với đặc tính pha không tuyến tính, dạng sóng ngõ bị méo so với vào Tất nhiên, tín hiệu sin túy có thành phần tần số ngõ giống xác đặc tính pha lọc Trường hợp sau xem pha tuyến tính Φ(ω) = -αω+β (5.17) Với   số Trường hợp nguyên mẫu pha tuyến tính công thức 5.15a , gọi pha tuyến tính tổng quát Với   ta có pha tuyến tính, với giá trị khác   ta có pha tuyến tính tổng quát, trường hợp    xem pha tuyến tính (phần 5.2.3) Xét ví dụ lọc có ham truyền H ( z )  z 2 Nhớ điều có nghĩa lọc trễ tín hiệu vào x(n) hai mẫu để có tín hiệu x(n  2) Đáp ứng tần số có cách thay z  e j (công thức (4.27)), H ()  e  j  Phổ biên độ pha tương ứng là, H ()  ()  2 Phổ pha hình.5.4 Vẽ thật pha  2 chu kỳ  ,  đường thẳng AB , nhưng, để thuận tiện, khác phổ pha giới hạn dải  ,  Điều quan trọng nói nhiều lần chương A ( ) 2    -     - -2 Hình.5.4: phổ pha H ()  e  j   B 5.2.2 Trễ nhóm Xuất phát từ pha tương ứng với tần số trễ gọi trễ nhóm trễ bao, thích  g () :  g (ω) = - dΦ(ω) dω (5.18) Với pha tuyến tính công thức (5.15a), trễ nhóm  g ()   số, giống với trễ pha công thức 5.16 Ý tưởng tín hiệu vào chứa nhiều thành phần sin mà họa tần không liên quan, trễ pha sử dụng với trễ nhóm để thay đổi pha tín hiệu qua Ví dụ pha tuyến tính tổng quát (5.17) trễ pha  p( )           Phụ thuộc tần số  , ngược lại trễ nhóm g( )   Độc lập tần số  (5.19) 5.2.3 Những loại lọc pha tuyến tính Vì lọc FIR nhân miêu tả (5.2), phụ thuộc bậc lọc M chẵn lẻ, đáp ứng xung h(n ) đối xứng hay phi đối xứng, ta chia thành loại khác với đặc tính khác Hình 5.5 miêu tả bốn loại FIR-1 Bậc lọc M chẵn, đáp ứng xung đối xứng (hình 5.4a) h  n  = h M - n  ,  n  M (5.20) , otherwise Đáp ứng có giá trị từ  n  M đối xứng, dải thật  n  M / trường hợp đáp ứng xung hình 3.31 tất thuộc loại FIR_1 Đầu tiên xét ví dụ đơn giản với M=4 Chú ý h(0)  h(4) , h(1)  h(3) , h(2) nó, ta viết công thức cho đáp ứng tần số H ()  h(0)  h(1)e j  h(2)e j 2  h(1)e j 3  h(0)e j 4      e j 2 h    h   e j 2  e j 2  h 1 e j  e j   e j 2 h    2h   cos 2  2h 1 cos   Hoặc   H ( )  e j 2  h    2 h(k ) cos   k    k 0   (5.21) Vì bậc lọc M H (ω) = e -jωM/2 M -1  M   h( )+2  h(k )cosω(M / -k )  (FIR-1)   k=0 Trục đối xứng h(n) at n  M 2 4(M) n (a) FIR-1 (M chẵn, h(n) đối xứng) h(n) = h(M – n) h(n) Trục đối xứng Trục đối xứng h(n) at n  1 4(M) n (c) FIR-3 (M chẵn, h(n) bất đối xứng) h(n) = -h(M – n) M  2 3(M) n (b) FIR-2 (M lẻ, h(n) đối xứng) h(n) = h(M – n) h(n) Trục đối xứng M 2 at n  (5.22) at n  M  2 3(M) n (d) FIR-4 (M lẻ, h(n) bất đối xứng) h(n) = -h(M – n) Hình.5.5: loại lọc FIR pha tuyến tính nhân (bậc lọc M chiều dài lọc M+1) Mà hình thức H ( )  e jM / 2G( ) (5.23) Với G() thực dương âm Khi G()  trễ pha  M / lọc pha tuyến tính xác (5.15a) Khi G()  pha ( )   M   (5.24) Trong trường hợp này,  công thức (5.17) is  Đây pha tuyến tính tổng quát Nó thấy có pha méo dạng (dạng sóng tín hiệu bị méo dạng) May mắn biên độ G() H () âm dải chặn nơi biên độ hoàn toàn nhỏ (so với biên độ thông qua) hiệu ứng méo dạng chấp nhận Tất lọc chọn tần số (hình 5.1) FIR lọai M chẵn (Hình 3.31) FIR-2 Bậc lọc M lẻ, đáp ứng xung đối xứng (hình.5.4b) công thức (5.20) dải thật  n  (M  1) / Nó đáp ứng tần số H  ω  = 2e -jωM (M-1)/2  h  k  cosω M -k  (FIR-2) (5.25) k=0 Pha tuyến tính giống loại Bất kỳ lựa chọn tần số (hình 5.1) FIR loại M lẻ FIR-3 Bậc lọc M chẵn, đáp ứng xung bất đối xứng (Hình.5.4c), i.e h  n  = -h  M-N  ,  n  M (5.26) , otherwise Đáp ứng có giá trị từ  n  M , nhưng, bất đối xứng, dải thật  n  M FIR-1 Đáp ứng tần số H  ω = 2e j  -ωM 2+ 2 M/2-1  h  k  sinω  M -k  (FIR-3) (5.27) k=0 Chú ý lọc cho pha tiến  / (mà  công thức (5.17)), số tương ứng với tần số Đáp ứng pha ( )   M   2 (5.28) i.e pha tuyến tính tổng quát Vi phân số biến đổi số Hilbert (hình 5.2) FIR loại M chẵn (hình 5.8) FIR-4 Bậc lọc M lẻ, đáp ứng xung bất đối xứng (Hình.5.4d) (5.24) dải thật  n  (M  1) / FIR-2 Đáp ứng tần số H  ω  = 2e j  -ω M 2+  (M-1)/2  h  k  sinω  M -k  (FIR-4) (5.29) k=0 Pha tuyến tính giống loại Vi phân số lọc FIR loại M lẻ Với loại 4, hai bất đối xứng, đáp ứng tần số luôn không tần số   , chúng sử dụng lọc thông thấp Ngược lại, cộng chúng dịch pha  / 10 làm chúng hữu ích thiết kế vi phân biến đổi Hilberl (hình 5.2) Loại linh hoạt Để hơn, ta xét hàm truyền thay đáp ứng tần số Với lọc pha tuyến tính, thảo luận trước, đáp ứng xung đối xứng phi đối xứng,i.e h(n)  h( M  n) mà biến đổi thành M M n 0 n 0 H ( z )   h( n ) z n    h( M  n ) z n Một thay đổi biến dẫn đến H  z  = ±z -M H  z -1  (5.30) Từ ta có quan sát khác vị trí không, ví dụ với lọc bất đối xứng, M chẵn lẻ, có không z=1; trường hợp M chẵn cộng không z=-1 (làm lọc thích hợp với lọc thông qua) Khi tổng H ( ) H ( z ) từ n  đến N  (như thích nhiều tác giả khác), thay n  đến M ta sử dụng đây, sau tất công thức trước bao gồm M ta nên thay N-1 M (hoặc N M-1) Ví dụ 5.2.1 Từ đáp ứng xung biết lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c , dẫn đáp ứng xung cho lọc pha tuyến tính nhân có M hệ số Giải Đáp ứng xung lọc thông thấp lý tưởng có dạng ví dụ 3.7.2, lặp lại (5.9): hLP ( n)  sinc n c sinc n   n  c n c  , , n0 , (5.31a) n0 Trường hợp c   / xét Đáp ứng xung vô hạn ta lấy hữu hạn cách cắt  N N , lại N  mẫu (Hình 5.6a) Sau đó, ta dịch chuỗi cắt đến bên phải N mẫu để có hệ thống (hình 5.6b) Mẫu trước n   N gốc n  , mẫu trước N N , hay M theo thích ta, mẫu trước gốc M/2 Hình 5.6 trường hợp M  , trục đối xứng n  Đây lọc FIR pha tuyến tính loại Hình 5.7 đáp ứng biên độ pha lọc Chú ý đáp ứng biên độ không tốt (vì cắt cụt) tần số cắt  / mong đợi 31 nghĩa sử dụng cửa sổ chữ nhật Xem  ( ) lỗi đáp ứng tần số lý tưởng H d ( ) đáp ứng tần số thiết kế H ( ) :  ( )  H d ()  H () (5.46) Lỗi khác với tần số đại lượng phức, giống đáp ứng tần số Ta ý vào lỗi biên độ, ta lấy bình phương: (5.47) |  () |2  Re2  ()  Im2  ()   () * () Vì |  ( ) |2 phụ thuộc vào tần số, sau ta lấy giá trị trung bình:   2     |  ( ) | d  2    ( )    2    [H  * ( )d (5.48) ( )  H ( )][ H d ( )  H ( )] d d Vấn đề tìm H ( ) để lỗi trung bình bình phương  nhỏ (nghĩa là, bình phương trung bình bé - LMS) Vì đáp ứng tần số H ( ) diễn tả thành phần đáp ứng xung thiết kế h(n) , ta tìm kiếm đáp ứng xung lọc với LMS Để kết thúc ta lấy độ lệch d / dh(n) cho không để tìm h(n) với  nhỏ Sau số tính toán (không trình bày đây), ta có đáp ứng xung h( n)  2  H  d ( )e jn d  hd (n) (5.49) This result means that when we start the design by evaluating the impulse response from the given (desired) filter frequency response then we will obtain the LMS error (that is, no other design methods can give a smaller mean square error) Kết nghĩa ta bắt đầu thiết kế cách tính đáp ứng xung từ đáp ứng tần số lọc cho, sau ta lây LMS (nghĩa là, phương pháp thiết kế khác đưa lỗi bình phương nhỏ hơn) Trong LMS ta nhấn mạnh lỗi lớn (tại tần số cục bộ) Tiêu chuẩn phù hợp, tiêu chuẩn khác thích hợp hơn, chẳng hạn độ rộng chuyển tiếp phải hẹp có thể, lỗi phải phân bố dải qua dải dừng … 5.4 VI PHÂN SỐ Trong xử lý tín hiệu số, ta cần lấy vi phân tích phân tín hiệu Ví dụ vi phân (độ lệch) di chuyển tốc độ vi phân tốc độ gia tốc Nó ý người trước nhận định lọc FIR IIR, ngược lại người sau lọc IIR Trong phần ta thảo luận vi phân số (hình 5.2) thiết kế FIR-3 FIR-4 với pha tuyến tính liên quan với cửa sổ Phương pháp thiết kế FIR khác chẳng hạn phương pháp tối giản thảo luận phần nhỏ, sử dụng Trong phương trình tín y(t) liên hệ với tín hiệu vào x(t) y (t )  dx(t ) dt Với hệ thống số LTI (LSI) có đáp ứng tần số DTFT H ( ) , ngõ vào x(n)  e jn cho ngõ H ( )e jn (phần 3.7.3): y(n)  H ( )e jn Ngược lại độ lệch ngõ vào x(n)  e jn is y ( n)  dx(n)  je jn dn Bằng cách so sánh hai biểu thức ta có 32 H ω  = jω , - π ≤ ω ≤ π (5.50) Đây đáp ứng tần số vi phân số lý tưởng Đáp ứng ảnh túy, đáp ứng biên độ | H ( ) | tỉ lệ với tần số đáp ứng pha ( )  , độc lập với tần số (Hình.5.2) Vì vi phân pha tuyến tính tổng quát (Công thức (5.17) với   ,    ) Hình 5.23 khác | H ( ) |  ideal H(  ) first order difference Central difference /4 /2  3/4  Hình.5.23: Đáp ứng tần số loại vi phân số khác Dù đơn giản vi phân nhận định cách xác thực tế Vì mạch xấp xỉ sử dụng, đơn giản vi phân bậc (5.51) y(n)  x(n)  x(n 1) Đáp ứng tần số tìm thấy H ()   e j  (1  cos )  j sin  Biên độ 1/2 | H ( ) | (1  cos  )  sin    2sin  Điều vẽ hình.5.21 Sự xấp xỉ nhìn chung tốt tần số thấp Chú ý với  nhỏ, (small  ) H ()  (1 1)  j  j Thật vi phân thường thiết kế để sử dụng tần số thấp đáp ứng cao tần số cao tăng nhiễu Điều lần khẳng định vi phân bậc phù hợp Lọc FIR pha tuyến tính tiến hành vi phân lọc FIR loại ( H ( )  at   and  at    ) Để giảm đáp ứng cao tần số cao, vi phân trung tâm phù hợp y(n)  0.5x(n)  0.5x(n  2) (5.52) Có đáp ứng tần số H ( )  0.5  0.5e j 2  0.5(1  cos 2)  j sin 2  Đáp ứng biên độ | H () | sin  Đáp ứng vẽ hình.5.23 Chú ý H ( )   thấp Lọc FIR pha tuyến tính tiến hành vi phân lọc FIR loại ( H ( )  at both   and    ) Ví dụ 5.4.4 33 Với vi phân lý tưởng (a) Tìm biểu thức đáp ứng xung hai bên Tính vẽ đáp ứng cho M /  n  M / với M = 20 (b) Tìm biểu thức đáp ứng xung nhân (c) Thiết kế vi phân sử dụng cửa sổ Hamming với chiều dài 21 Giải (a) Lấy biến đổi ngược DTFT đáp ứng tần số cho H ( )   j ta có đáp ứng xung hai bên hDIF (n)   2 2     H  d ( )e jn d H ( ) cos  nd  j 2  H  d ( )sinn d (a) (b) Hình.5.24: Ví dụ 5.3.4 đáp ứng xung có M = 20 vi phân lý tưởng ((a)hai bên (phi nhân quả),, (b) nhân quả) H d ( ) hàm lể cosin chẵn, sin lẻ, ta cần giữ thành phần cuối biểu thức hDIF (n)  j 2  H  d ( ) sin  nd       sin  nd cos n , n0 n , n0 (5.49a) Hoặc , n , n , hDIF (n)   n  1, 3, 5 n  2, 4, 6 (5.49b) n0 Trường hợp cuối lấy cách tích phân thông thường Hình 5.24a vẽ đáp ứng xung FIR-3 34 (b) Ta dịch kết phi nhân (5.49a) M/2 mẫu , i.e cách thay n n – M/2 , để có đáp ứng xung nhân Bắt đầu từ đáp ứng tần số vi phân pha tuyến tính nhân (đáp ứng hai bên j bị trễ M/2 mẫu):  j M2  ,      Lấy biến đổi ngược để có đáp ứng xung nhân H ( )  je hD / F (n)  cos(n  M / 2) sin(n  M / 2)  , nM /2 (n  M / 2) (n  M / 2)  , nM /2 (5.53) Khi đặt M/2 = vào công thức ta có công thức (5.49a) mong muốn Cả hai đáp ứng xung (5.49a) (5.50) ta ý hD / F (n)  hD / F (M  n) , vi phân pha tuyến tính loại M chẵn (Hình.5.5c) loại M lẻ (Hình.5.5d) ( /  ) ( /  ) Hình.5.25: Ví dụ 5.3.4 (đáp ứng biên độ vi phân với M = 20 (a) sử dụng cắt ctj (cửa sổ chữ nhật) (b) sử dụng cửa sổ Hamming ) (c) Chiều dài 21 nghĩa M + = 21 bậc lọc M = 20 Ta sử dụng đáp ứng xung hai bên (a) dịch M/2 = 10 mẫu tương lại để có có đáp ứng nhân quả, sử dụng đáp ứng nhân (b) Hình 5.25a đáp ứng tần số vi phân với cắt cụt (thích hợp sử dụng cửa sổ chữ nhật), Hình.5.23b đáp ứng tần số vi phân sử dụng cửa sổ Hamming Phương pháp tối ưu (phần trước) phương pháp tốt để thiết kế vi phân số 5.5 PHƢƠNG PHÁP LẤY MẪU TẦN SỐ Trong phương pháp thiết kế cửa sổ Fourier đáp ứng tần số mong muốn lọc FIR có theo tần số liên tục, sau lấy DTFT ngược để có đáp ứng xung lọc, cuối cửa sổ Bây giờ, phương pháp lấy mẫu tần số, đáp ứng tần số mong muốn lọc có tần số rời rạc mẫu đồng đáp ứng tần số DTFT liên tục, sau lấy DFT ngược (phần 3.9) sử dụng để có đáp ứng xung rời rạc thời gian Từ đáp ứng xung ta tiến hành lọc FIR, cần thiết (với mục đích so sánh kiểm tra) DTFT sử dụng để tìm trở lại đáp ứng tần số liên tục 35 Phương pháp lấy mẫu tần số cho phép ta thiết kế lọc chọn tần số có pha tuyến tính Thật phương pháp đơn giản hiệu nhất, không cho phép điều khiển độ gợn sóng Ưu điểm thật dẫn đến lọc FIR đệ qui mà hệ số nguyên, dó tính toán nhanh dù xác Vì vậy, phương pháp lấy mẫu tần số, trình bày ngắn gọn 5.5.1 Phƣơng pháp lấy mẫu tần số Với đáp ứng biên độ tần số liên tục H d () lọc (Hình.5.26a), ta tách biên độ N khoảng tần số  k  (2 / N )k , k  0,1,2, , chu kỳ tần số    2 (Hình.5.26b), Nghĩa ta đặc tả Hd() c  2   2 13  k 2  (a) H(k) H(k) 0 10 11 12 (b) H() l  l transition band (c) Hình.5.26:phương pháp lấy mẫu tần số với lọc thông thấp lý tưởng H (k )  H d (k )  k  2 k N  2   Hd  k ,  N  k  0,1,2, , N  (5.54) Chú ý để thuận tiện ta viết H (k ) thay cho H (k ) với k  (2 / N )k Đáp ứng xung h(n) lọc thiết kế DFT đảo ngược đáp ứng tần số H (k ) : h( n )  N 1  H (k )e j (2 / N )kn N k 0 ,  n  N 1 (5.55) 36 Điều dẫn đến lọc FIR với chiều dài N (hoặc bậc N – 1) Phụ thuộc loại lọc FIR pha tuyến tính (phần 5.23) tổng rút giảm tương thích Để kiểm tra kết thiết kế, ta lấy DTFT đáp ứng xung để có đáp ứng số liên tục H () (Hình 5.26c) Nếu ta không làm lỗi thao cách này, H () thiết kế H d () mong muốn khớp tần số rời rạc  k Điều lý thuyết Tuy nhiên, điểm lấy mẫu, đáp ứng khác Cách giải rõ ràng cần lấy nhiều mẫu tần số, độ rộng chuyển tiếp giảm tương ứng Mặc khác, phân tích thành phần tần số tuyến tính sồ thay tần số số gốc ω Theo vậy, ta lấy N khoảng không gian ứng mẫu tần số khoảng với tần số thứ k (5.56) Những mẫu có từ DFT đáp ứng xung: (5.57a) Vì vậy, (5.57b) DTFT đáp ứng tần số H(f) phụ thuộc vào loại pha tuyến tính (phần 5.2.3) Với loại bậc lọc , (5.23) (5.58) Với G(f) biên độ thực Mẫu thứ n đáp ứng xung (5.59) Với h(n) thực sử dụng thuộc tính đối xứng DFT (phần 8.2.4), (5.60) Với lọc loại 2, M lẻ giới hạn tổng (M - 1)/2 thay M/2 loại Ví dụ lọc thông thấpvới bậc M = 20 với tần số cắt fc = fs/4 lấy mẫu 0, Sau hệ số lọc Biên độ tuyến tính đáp ứng tần số dB hình 5.27 Chú ý đáp ứng xuyên qua điểm mẫu mong muốn có độ gợn sóng điểm 37 Hình 5.27: Đáp ứng biên độ tần số lọc thông thấp bậc lọc M = 20 [Trích từ R.J Schilling S.L Harris, 2005] 5.5.2 Tối ƣu đáp ứng biên độ Trong phương pháp lấy mẫu có cân đo đáp ứng biên độ độ rộng chuyển tiếp Để giảm biên độ độ gợn sóng, độ rộng chuyển tiếp lơn (đó lọc không lý tưởng) ta lấy mẫu nhiều bên băng chuyển tiếp (hình 5.27) Trong trường hợp lọc thông thấp, với mẫu cộng thêm vào dải chuyển tiếp suy giảm dải chặn tăng khoảng 20dB  0 2 10 11 12 13 Hình.5.28: Thêm mẫu dải chuyển tiếp Xét lại ví dụ Cùng bậc lọc M = 20 ta cộng thêm mẫu vào dải qua Bây hệ số lọc  k 38 Đáp ứng biên độ hình 5.29 Chú ý độ suy giảm dải dừng tăng từ 15.6dB đến 29dB, độ gợn sóng dải qua giảm đáng kể Đây xử lý tối ưu để tính đệ qui số mẫu tần số dải chuyển tiếp để giảm dải chặn lớn Thật ra, Rabiner phát triển cách xử lý cách hoàn chỉnh cho phép ta sử dụng 5.6 PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU Biến đổi Fourier liên quan với phương pháp thiết kế cửa sổ lọc FIR (Fourier-cửa sổ) tổng quát đơn giản có số hạn chế: - - Độ gợn sóng dải qua dải dừng giả sử thực tế độ gợn sóng dải dừng nhỏ nhiều, phương pháp ta bỏ qua thiết kế lọc dải qua điều dẫn đến bậc lọc cao không cần thiết Dù phương pháp lỗi (phần 5.3.4) nhỏ độ nhạy LMS lỗi (trong hình thức overshoot undershoot) tập trung gần vùng hai bên dải chuyển tiếp Vào thập niên 1970 kết hợp với phương pháp lấy mẫu tần số, tối ưu phương pháp thiết kế lọc FIR gọi xấp xỉ Chebyshev, Remez, tất thành phần nhiều liên quan, phát triển sử dụng Nhìn chung phương pháp tối ưu linh hoạt hiệu phương pháp cửa sổ 5.6.1 Lọc cân 39 Phương pháp thiết kế cửa sổ cho phép ta độ rộng múi độ rộng chuyển tiếp múi bên Thường, múi bên gần với vùng chuyển tiếp dải qua dải dừng có giá trị lớn gây lỗi lớn lọc thiết kế mong muốn, ngược lại xa lỗi chuyển tiếp nhỏ Điều đưa ý tưởng lỗi phân bố khoảng tần số     , ta có cân đối độ gợn sóng, độ rộng chuyển tiếp bậc lọc Tuy nhiên cân đối không dẫn đến LMS nhỏ Phương pháp tối ưu cho phép mức độ độ gợn sóng dải qua dải dừng hai mức độ độ gợn sóng hai dải xác định tách biệt (hình 5.28) 5.6.2: Thuật toán Parks – McClellan Những đối số đặc tính lọc N ,  p , s ,  p ,  s (Hình 5.9 hình Fig.5.10) tương tác với làm khó thiết kế Thích hợp cố định hầu hết chúng để vài biến thay đổi Hai thuật toán, phát triển vào năm 1970 Thuật toán Parks and McClellan (và khác) N ,  p , s , tỉ số  p /  s cố định,  p (or  s ) biến đổi Thuật toán The Parks-McClellan linh hoạt hiệu cho tính toán, xét Theo sau, ta xét trường hợp lọc FIR loại pha tuyến tính (hình 5.5a), phương pháp bổ sung để áp dụng đến ba lọc FIR pha tuyến tính tổng quát khác Nhó FIR-1 đáp ứng xung thiết kế đối xứng h(n)  h(n)  N  M /  n  N  M / (hai bên) (5.56) Vì M chẵn, M / số nguyên Đáp ứng tần số tương ứng G( )  N h n N G (n)e  jn N  hG (0)  2 hG (n) cos n (hai bên) (5.57) n 1 Chú ý G() hàm thực tuần hoàn  âm dương Lọc làm nhân cách dịch hai bên (phi nhân quả) hd (n) M / mẫu đến tương lai: h(n)  hG (n  M / 2)  h(M  n),  n  M (nhân quả) (5.58) Đáp ứng tần số tương ứng (5.23): H ()  e  jM / G() (nhân quả) (5.59) Chú ý điều giống (5.22) Hàm cos n diễn tả thành phần tổng mũ cos  ta viết đáp ứng tần số thiết kế G() N G()   a k (cos ) k (5.60) k 0 Đây đa thức bậc N cos  , với hệ số phụ thuộc vào đáp ứng xung hG (n) Vì G() có hình thức N G ()   a n x n n 0 (5.61) 40 Một đa thức có bậc N biến x Nhìn chung G() đa thức Chelyshev với trường hợp đa thức lượng giác Trong vấn đề xấp xỉ tối ưu ta phải rõ tiêu chuẩn Để kết thúc, ta định nghĩa hàm trọng số lỗi E () , khác hàm tần số mong muốn thiết kế W () E ()  W ()[ H d ()  G()], 0  (5.62) Nhớ H d () dải qua dải dừng hàm trọng số dương W () cho phép ta định lượng quan hệ quan trọng (câp độ độ lệch) dải tần số Với lọc thông thấp với G() có dải qua độ gợn sóng  p dải dừng độ gợn sóng  s hàm trọng số chọn W ( )  , p , s    p p     (5.63) Ví dụ, với  p  0.01,  s  0.001 ta sử dụng trọng số với dải qua trọng số  p /  s  10 với dải dừng Một ví dụ khác với lọc thông qua  p /  s  2.5 ta sử dụng trọng số 2.5, 1, 2.5 cho ba dải (với trọng số cho dải qua), trọng số (10, 4, 10) cho ba dải Trong xấp xỉ Chebyshev manh mối để xác định hệ số a n ,  n  N , để E () Tuy nhiên thiết kế lọc FIR xấp xỉ Chebyshev phải dựa thuật toán hóan đổi Remez để khả thi Thuật toán rõ minimize maximum biên độ lỗi E () thông qua đặc tính dải qua dải dừng, thuật toán minimax max E ( )   F (5.64) Với F đặc tính tập khoảng tần số     Chú ý phương pháp dải chuyển tiếp không đặc tả Sau hệ số a(n) xác định, đáp ứng xung hG (n) đáp ứng gần số thiết kế G() dẫn Thuật toán hoán đổi Remez dựa vào lý thuyết thay để giải vấn đề xấp xỉ Trong trường hợp lý thuyết giải thích sau: 5.6.3 Định lý thay Lấy F thích tập hợp đóng khoảng tần số     , hàm trọng số dương W () định nghĩa công thức (5.62), đáp ứng tần số thiết kế G() (5.61) đa thức (5.61), maximum biên độ hàm trọng số lỗi E () thích  :   max E ()  F (5.65) 41 H() 1+p 1-p ideal filter designed filter Δ c 1 2 s 3 p s 4 5 6 7 8 9 10   -s Hình.5.30: 10 thay lọc FIR cân tối ưu với bậc lọc (tất điểm thay thế) Một điều cần đủ cho G() để có hàm đồng minimizes  tập tần số đồng F nghĩa E () phải có N  thay (đỉnh dương âm độ gợn sóng), tần số , 0  1   N 1 , E (i )   E (i 1 )   , i  1,2, , N  (5.66) Lấy dẫn xuất công thức (5.60), ta có N d G ()   sin  na n (cos ) k 1 d n 1 (5.67) Vì sin      nên luôn maximum minimum hai tần số thay (vì chúng không đạt đến đỉnh đáy tập giá trị   p or   s ) Sự thay đề cập nghĩa lọc tối ưu cân Đặc tả lý thuyết, số tối thiểu thay N  , có một vài phụ thuộc vào lọc Cũng thay điều chỉnh phải có dấu thay Ví dụ lọc bậc hình.5.28 có 10 giá trị thay ( gồm  p  p ) lọc cân bằng, ngược lại lọc bậc hình 5.29 có giá trị thay lọc cân tối ưu 42 H() 1+p 1-p (a) c 1 2 (b) p s 3 4 5 6 7   (c) Hình.5.31: Sự thay lọc FIR cân với bậc (những điểm) (a), (b) (c) không thay thế) Lọc không tối ưu Công thức (5.60) G() đa thức bậc N cos  Vì có hầu hết N  vị trí nhỏ lớn khoảng tần số     G() rõ      nói Tại tần số dải cạnh  p , trọng số lỗi nhỏ nhất, tần số cạnh  s lớn Vì có hầu hết N     N  tần số E () 5.6.4 Thuật toán hoán đổi Remez Từ lý thuyết thay thế, đến xấp xỉ tối ưu ta cần giải N  phương trình W ()H d ()  G()  (1) n , i  0,1,2, , N  (5.68) Với  cho (5.65) Với N  phương trình viết dạng ma trận hệ số chưa biết a n :  1   1     1   1  x0 x1  xN x N 1   a  G (0 )       1 x12 x1N  a1  G (1 ) W (1 )                N (  )    x N2 x NN  a L  G ( N ) W ( N )    N 1     (1) x N2 1 x NN 1    G ( N 1 ) W ( 1 )  x02 x0N W ( )             (5.69) Với xi  cos i Nếu tần số rõ  i biết, tập phương trình giải với hệ số chưa biết a i lỗi lớn  , từ tối ưu G() tìm thấy Parks-McCellan dựa thuật toán hoán đổi Remez, xử lý 43 tương tác hiệu quả, để xác định vị trí tần số rõ tối ưu G() mà không cần giải tập phương trình với hệ số a i Mỗi lặp lại bao gồm vài bước bắt đầu với việc đoán giá trị đầu tần số rõ Với lọc thông thấp cân ta sử dụng công thức sau để ước đoán bậc Phụ thuộc vào băng thông độ gợn sóng  p , dải dừng độ gợn sóng  s , độ rộng chuyển tiếp   s   p : M   10 log 10 ( p  s )  13 2.324 Với bậc lọc phương pháp tối ưu cho lỗi xấp xỉ tốt phương pháp sổ Kaiser Tối ưu (cân bằng) phương pháp thiết kế lọc FIR cải tiến phần giới thiệu khóa học DSP này, ta không nên bỏ phân Ở có hàm có giá trị MATLAB Toolbox, thiết kế toolbox, phân tích thiết kế cửa sổ tool (WinTool) cho thiết kế lọc FIR với phương pháp khác 5.7 TỔNG KẾT CHƢƠNG 5.1 Lọc FIR Lọc FIR loại lọc điển hình thường sử dụng hệ thống rời rạc thời gian Phương trình tín hiệu lọc FIR diễn tả dạng nhân phi nhân Ta nên biết bậc lọc chiều dài lọc Đáp ứng xung h(n) liên quan với đáp ứng tần số H () DTFT, liên quan với hàm truyền hệ thống H ( z ) Lọc FIR có số ưu điểm lọc IIR: chúng thiết kế với pha tuyến tính ổn định loại lọc chọn tần số bản: thông thấp, thông cao, dải qua dải chặn định nghĩa kèm theo với đặc tính đáp ứng biên độ chúng Nhớ đáp ứng tần số có chu kỳ 2 với chu kỳ trung tâm [, ] [0, 2] Vi phân số hàm truyền the Hilbert transformer lọc FIR đặc biệt Từ đáp ứng tần số H LP () lọc thông thấp lý tưởng ta dẫn đáp ứng tần số ba loại lọc lại Cũng thế, từ đáp ứng xung hLP (n) lọc thông thấp ta dẫn đáp ứng xung phương trình tín hiệu ba loại lọc kia.Chú ý, đặc biệt, chuyển đổi lọc thông thấp đến lọc thông qua 5.2 Lọc pha tuyến tính Khả để có đáp ứng pha tuyến tính đảm bảo đặc tính quan trọng lọc FIR Đầu tiên, ta phải biết trễ pha, méo dạng pha, liên hệ trễ pha trễ thời gian Một lọc nói có pha tuyến tính đáp ứng tần số pha tỉ lệ với trừ tần số (5.15a, 5.16b) Trong nhiều trường hợp, ta pha tuyến tính túy ta có pha tuyến tính tổng quát (5.17) Trễ nhóm sử dụng với trẽ pha để tính toán đầy đủ cho đặc tính pha hệ thống Ở có loại lọc pha tuyến tính (Hình.5.4) phụ thuộc vào bậc lọc M chẵn hay lẻ, đáp ứng xung h(n) đối xứng hay phi đối xứng lọc có tên FIR-1, FIR-2, FIR-3, FIR-4 Mỗi loại có công thức đáp ứng tần số (5.22), (5.25), (5.27), (5.29)) Những công thức cho thấy đặc tính pha lọc 5.3 Phƣơng pháp cửa sổ Thiết kế lọc FIR thường bắt đầu với đặc tính đáp ứng tần số biên độ Nhưng ta phải thiết kế lọc để có đặc tính pha tuyến tính Hình 5.8 5.9 đặc tính khác lọc Trong phương pháp cửa sổ (thật phương pháp Fourier-cửa sổ), ta nhân đáp ứng xung vô hạn lý tưởng lọc FIR mong muốn hd (n) với cửa sổ hữu hạn w(n) để có đáp ứng xung h(n): 44 h(n)  hd (n)w(n) (5.34) Tất đáp ứng xung mong muốn sổ phải nhân quả, từ n = đến n = M Nhân miền thời gian tương ứng nhân chập miền tần số, liên hệ tương ứng H ()  H d ()*W () (5.35) Ở có vài cửa sổ cố định biết như: chữ nhật, tam giác, Hanning, Hamming, Blackman (được liệt bảng 5.1, bảng 5.2 vẽ hình 5.15) Ở có nhiều đặc điểm ta cần hiểu để thiết kế (bảng 5.2) Theo hàm cửa sổ khác ta có khác dáp ứng tần số Cửa sổ chữ nhật cắt cụt tức thời đáp ứng xung Đáp ứng xung cửa sổ có múi nhiều múi bên Số múi bên tăng theo chiều dài cửa sổ Đặc tính dao động cửa sổ nhân chập với đáp ứng lọc lý tưởng có kết đáp ứng lọc thiết kế với độ chuyển tiếp độ gợn sóng rộng dải qua dải dừng Tất cửa sổ đề cập, từ chữ nhật đến Blackman, hàm đơn giản dễ tính toán Tất chúng chuẩn hóa (giá trị đỉnh n=M/2) không hai bên đầu cuối ngoại trừ chữ nhật Hamming Đáp ứng tần số tập trung xung quanh   (múi (như mong muốn) Cửa sổ đối xứng với điểm n=M/2, điều kết hợp với đáp ứng xung lọc đối xứng phi đối xứng có lọc thiết kế với pha tuyến tính pha tổng quát tương ứng Khi mô đáp ứng tần số không cửa sổ tốt khía cạnh có cân đo đặc tính, chọn cửa sổ thích hợp phụ thuộc vào yêu cầu Với độ rộng múi nhỏ cửa sổ chữ nhật thích hợp, với suy giảm múi bên tốt nhất, cửa sổ Blackman Ở giữa, cửa sổ Hamming thích hợp Trong cửa sổ cố định có chiều dài M+1 điều chỉnh Cửa sổ Kaiser (định nghĩa (5.40)) linh hoạt Nó cộng thêm đối số độ gợn sóng  , cho phép ta cân đối độ chuyển tiếp độ gợn sóng Với   Kaiser chữ nhật với   5.44 gần với Hamming Đối số  chọn để đáp ứng lọc nằm vùng cho phép (Hình.5.1) Hình.5.18 Kaiser với giá trị khác  M Cửa sổ Kaiser đối xứng chuẩn hóa Với lọc lý tưởng Kaiser có độ gợn sóng  dải qua dải dừng Với lọc thực tế độ gợn sóng khác Trong thiết kế ta thường lấy độ gợn sóng chung   min( p , s ) Thật  thường đặc tả thành phần dBs : A  20log10  Kaiser phát triển công thức chung hướng dẫn để thiết kế lọc FIR pha tuyến tính Phần nhỏ 5.3.3 đưa số ví dụ thiết kế Trong thiết kế lọc ta ý vào lỗi bình phương trung bình định nghĩa (5.48) Kết luận cho thấy phương pháp thiết kế Fourier cho lỗi bình phương trung bình nhỏ (lỗi LMS) 5.4 Vi phân số Nó đáp ứng tần số vi phân lý tưởng đơn giản H ()  j ,       (5.50) Vi phân có pha tuyến tính tổng quát (  ,    / 2) Dù đơn giản vi phân tiến hành thực tế Vì ta dẫn đến quan hệ xấp xỉ, vi phân lọc bậc (5.51), vi phân trung tâm (5.51) Vi phân phải liên quan với cửa sổ để có đáp ứng tần số trơn tru 5.5 Phƣơng pháp lấy mẫu tần số Trong phương pháp lấy mẫu tần số, tần số mong muốn lọc FIR cho ta tần số rời rạc có mẫu đồng tương ứng với DTFT tần số liên tục Đảo DFT sử dụng để có đáp ứng xung rời rạc thời gian tương ứng Phương pháp lấy mẫu tần số cho phép ta thiết kế lọc chọn tần số pha tuyến tính, không cho phép ta điều khiển độ gợn sóng Trong ưu điểm thực tế dẫn đến tiến hành đệ qui lọc FIR với hệ số nguyên, dẫn đến tính toán nhanh xác Với đáp ứng tần số biên độ tương tự lọc mong muốn H d () ta đặc tả biên độ N mẫu tần số k  (2 / N )k , k  0,1, 2, , chu kỳ tần sô    2 (5.54) Đáp ứng xung h(n) lọc thiết kế đảo DFT đáp ứng tần số H(k) mà dẫn đến lọc FIR với chiều dài N (5.55) 45 Thường ta lấy mẫu nhiều dải chuyển tiếp Ở trình tối ưu để tính đệ qui mẫu tần số để suy giảm dải dừng lớn 5.6 Phƣơng pháp tối ƣu Phương pháp tối ưu gọi xấp xỉ Chelyshev, hoán vị Remez Nhìn chung phương pháp linh hoạt hiệu phương pháp cửa sổ Fourier Nội dung để phân bố lỗi khoảng tần số     để có cân đô tốt độ gợn sóng độ rộng chuyển tiếp bậc lọc Tuy nhiên, cân đối không dẫn đến LMS nhỏ phương pháp Fourier-cửa sổ Phương pháp tối ưu chấp nhận mức độ độ gợn sóng cho dải qua dải dừng, hai mức độ độ gợn sóng hai dải xác định riêng rẽ (Hình 5.25) Thuật toán Parks-McClellan đối số lọc N,  p , s tỉ sốo  p / s cố định,  p (or s ) thay đổi Với lọc FIR pha tuyến tính, có chi tiết với phân tích khác Ta xét loại FIR-1 Đầu tiên đáp ứng lọc hai bên G() diễn tả thành phần cosin cos n (5.57) Kế đến ta diễn tả đáp ứng tần só thiết kế G() đa thức bậc N cos  (5.60) (5.61), hình thức đa thức Chebyshev Để chuyển thiết kế vào vấn đề tối ưu xấp xỉ, ta định nghĩa hàm trọng số lỗi E () (5.62) Bước xác định hệ số an ,  n  N , để tối thiểu E () Lọc FIR thiết kế xấp xỉ Chebyshev dựa thuậ toán hoán vị Remez thật tế Thuật toán đặc biệt min-max biên độ lỗi xuyên qua dải qua dải dừng Thuật toán hoán vị Remez dựa lý thuyết giao hoán Đầu tiên ý giá trị lớn biên độ hàm sai số trọng số  (5.65) Điều kiện cần đủ G() hàm đồng nhỏ  qua đồng tần số E () phải có N + thay (dương âm đỉnh độ gợn sóng), tần số 0  1  N 1 Sự thay có nghĩa lọc tối ưu cân Từ lý thuyết thay thế, dẫn đến xấp xỉ tối ưu ta cần giải N + phương trình (5.68) mà viết dạng ma trận với thành phần hệ số chưa biết an Parks-McClellan dựa thuật toán hoán vị Remez để xác định vị trí số tối ưu G() mà không cần giải tập phương trình Thật ra, công thức hàm Matlab phát triển để ta sử dụng [...]... khoảng với tần số thứ k là (5. 56) Những mẫu có được từ DFT của đáp ứng xung: (5. 57a) Vì vậy, (5. 57b) DTFT đáp ứng tần số H(f) phụ thuộc vào loại của pha tuyến tính (phần 5. 2.3) Với loại 1 và bậc lọc , nó là (5. 23) (5. 58) Với G(f) là biên độ thực Mẫu thứ n của đáp ứng xung là (5. 59) Với h(n) thực và sử dụng thuộc tính đối xứng của DFT (phần 8.2.4), nó có thể chỉ rằng (5. 60) Với lọc loại 2, M lẻ và giới... chọn lọc FIR pha tuyến tính thích hợp (phần 5. 2.3) Một xử lý hoàn hảo để thiết kế lọc FIR theo những bước sau: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Đặc tính của lọc Chọn một loại lọc pha tuyến tính thích hợp (phần 5. 2.3) Chọn phương pháp thiết kế như cửa sổ, tối ưu, lấy mẫu tần số… Tính hệ số lọc (đáp ứng xung) Tìm cấu trúc thích hợp (chương 7) Phân tích hiệu ứng chiều dài từ hữu hạn (chương 7) Tiến hành lọc. .. nhau  15 H 1  p 1 1  p  l u s  s ωsl cl ωpl 0  pu cu ω su   Hình .5. 10: Đặc tính lọc thông qua Dù sự yêu cầu ban đầu gán cho đáp ứng biên độ nhưng ta phải thiết kế lọc có pha tuyến tính hoặc pha tuyến tính tổng quát Thiết kế lọc nhìn chung Từ đặc tính lọc, bước đầu tiên là chọn giữa lọc FIR và IIR dựa vào ưu điểm và khuyết điểm của chúng Chương này chỉ quan tâm tới lọc FIR Bước kế tiếp... 0.1102( A  8.7)  5. 65 Với M 2  33 và   5. 65 , cửa sổ Kaiser (5. 40) là  n  36  I 0 {5. 65 1    }  36  W ( n)  I 0 (5. 65) 2 Đáp ứng xung của lọc thông cao FIR-1 hHP (n) được tính với 0  n  66 , và đáp ứng xung được thiết kế là h(n)  hHP (n)w(n) Như thông thường, đáp ứng tần số là đảo ngược DTFT của đáp ứng xung trên Sử dụng Matlab ta có thể mô phỏng tất cả đáp ứng 5. 3.4 Lỗi trong phƣơng...  , nM /2 (n  M / 2) (n  M / 2) 2  0 , nM /2 (5. 53) Khi đặt M/2 = 0 vào công thức trên ta có công thức (5. 49a) như mong muốn Cả hai đáp ứng xung (5. 49a) và (5. 50) ta có thể chú ý rằng hD / F (n)  hD / F (M  n) , vì vậy vi phân là pha tuyến tính loại 3 khi M chẵn (Hình .5. 5c) hoặc loại 4 khi M lẻ (Hình .5. 5d) ( /  ) ( /  ) Hình .5. 25: Ví dụ 5. 3.4 (đáp ứng biên độ của vi phân với M = 20 khi (a)... n n 1 Hình .5. 8b vẽ | H ( ) | và hình .5. 7c vẽ | H ( ) |dB Đáp ứng biên độ thì xa so với lý tưởng Ta có thể bắt đầu với lọc nhân quả và sử dụng (5. 22) cho đáp ứng xung Trường hợp 50  n  50 được xử lý như trên, kết quả chỉ như trong hình 5. 7d và e Đáp ứng tần số thì gần với đáp ứng tần số của lọc lý tưởng, nhưng sự gợn sóng vẫn còn thấy rõ 5. 3 PHƢƠNG PHÁP CỬA SỔ Thiết kế của một lọc FIR bắt đầu... ta sẽ có kết quả như trong (5. 32) c   e  j ( n M ) 2 d c ■ Ví dụ 5. 2.2 Tìm đáp ứng xung với 10  n  10 của lọc thông qua có tần số cắt dưới l  2 5 và tần số cắt trên u  3 5 Dẫn ra đáp ứng tần số từ đáp ứng xung bị cắt cụt Lặp lại với 50  n  50 (a) 13 (b)  designed (c) (d) (e) Hình .5. 8: Ví dụ 5. 2.2 (lọc thông qua pha tuyến tính với l = 2 5 , u  3 5 ;(a) Đáp ứng xung (b) và... ứng xung nhân quả hLP (n) của lọc thông thấp lý tưởng (Công thức (5. 32)) với 0  n  20 Chú ý rằng với M chẵn và h(n) đối xứng ta có FIR-1 pha tuyến tính (Hình .5. 5a) Kết quả được vẽ trong hình .5. 21a Kế đến ta tính cửa sổ Hamming w(n)  0 .54  0.46 cos 2n , M 0  n  M = 20 Kết quả được vẽ trong hình .5. 21b Đáp ứng xung của lọc được thiết kế là tích h(n)  hLP (n)w(n) , 0  n  M = 20 Ta có thể tính w(n)... (công thức 5. 10b) hBP ( n )  Với sin u n sin l n  n n 400 2  1200 3 200  l  2  1200 3  u  2 Vì M lẻ ta có FIR loại 2 pha tuyến tính Đáp ứng xung được thiết kế là h(n)  hBP (n)w(n) Sau đó ta lấy biến đổi ngược của h(n) để có đáp ứng tần số của lọc được thiết kế (hình .5. 22)  Ví dụ 5. 3.3 Thiết kế một lọc FIR thông cao sử dụng cửa sổ Kaiser để có những đặc tính - Tần số cắt 2 ,5 kHz - Độ... phù hợp Lọc FIR pha tuyến tính tiến hành vi phân là lọc FIR loại 1 ( H ( )  0 at   0 and  0 at    ) Để giảm đáp ứng cao tại tần số cao, vi phân trung tâm thì phù hợp y(n)  0.5x(n)  0.5x(n  2) (5. 52) Có đáp ứng tần số H ( )  0 .5  0.5e j 2  0 .5 (1  cos 2)  j sin 2  Đáp ứng biên độ là | H () | sin  Đáp ứng cũng được vẽ trong cùng hình .5. 23 Chú ý rằng H ( )  0 tại  thấp Lọc FIR ... giá trị MATLAB Toolbox, thiết kế toolbox, phân tích thiết kế cửa sổ tool (WinTool) cho thiết kế lọc FIR với phương pháp khác 5. 7 TỔNG KẾT CHƢƠNG 5. 1 Lọc FIR Lọc FIR loại lọc điển hình thường sử... dẫn để thiết kế lọc FIR pha tuyến tính Phần nhỏ 5. 3.3 đưa số ví dụ thiết kế Trong thiết kế lọc ta ý vào lỗi bình phương trung bình định nghĩa (5. 48) Kết luận cho thấy phương pháp thiết kế Fourier... (5. 22), (5. 25) , (5. 27), (5. 29)) Những công thức cho thấy đặc tính pha lọc 5. 3 Phƣơng pháp cửa sổ Thiết kế lọc FIR thường bắt đầu với đặc tính đáp ứng tần số biên độ Nhưng ta phải thiết kế lọc để