Hệ phương trình tuyến tính

Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính Thái Minh Hướng dẫn học : Hệ phương trình tuyến tính Hoạt động 1: Giải hệ phương trình sau: Cách 1: Dùng định thức: ( Cái biết hồi học lớp 10 !) a11 x1 + a12 x = b1  (1) a 21 x1 + a 22 x = b2 Cách 2: - Nhớ nhân hai vế phương trình với số khác ta phương trình tương đương Hãy nhân hai vế phương trình thứ với -a 21 ; nhân hai vế phương trình thứ hai với a11 Rồi cộng vế với vế hai phương trình cho nhau, ta hệ tương đương với hệ cũ Viết hệ ? - Hãy tìm cách vận dụng hai cách giải cho hệ phương trình sau đây:  x1 + x + x3 =   x1 + x + x3 = 2 x + x + x =  Hoạt động 2: Tiếp thu khái niệm I Hệ phương trình tuyến tính: 1.Định nghĩa: Hệ phương trình với m phương trình, n ẩn số có dạng: a11 x1 + a12 x + + a1n x n = b1 a x + a x + + a x = b 22 2n n  21   (1) ai1 x1 + x + + a in x n = bi   a m1 x1 + a m x + + a mn x n = bm n gọn hơn: ∑a j =1 ij x j = bi ; i=1,2, m Trong aij ; bi số thực; bi gọi hạng tử tự i:=1;2;…;m j:=1;2;…;n x1; x2;….;xn ẩn Được gọi hệ phương trình tuyến tính Bộ số: x1= c1; x2 = c2;….xn = cn nghiệm hệ nghiệm phương trình hệ Giải hệ (1) tìm nghiệm  a11 a  21  Ma trận: A =  a  i1   a m1 a12 a 22 am2 a1n −1 a n −1 ain −1 a mn −1 a1n  a n    ain    a mn  -1- Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính Thái Minh gọi ma trân hệ số hệ (1) Ma trận :  a11 a  21  B =a  i1   a m1 a12 a 22 am2 a1n −1 a n −1 ain −1 a mn −1 a1n a2n a in a mn b1  b2    bi    bm  Gọi ma trận bổ sung hệ (1)  x1    Với: X =    x n   b1  B =   bm hệ (1) viết dạng ma trận: A.X = B Em lấy ví dụ hệ phương trình tuyến tính rõ ma trận hệ số ; ma trận bổ sung tìm hạng ma trận ( sau trao đổi với bạn bên cạnh để tư vấn cho ! ) II Hệ phương trình Crame: Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trinh, n ẩn số có định thức ma trân hệ số khác không Được gọi hệ phương trình Crame 2.Định lý: Hệ phương trình Crame có nghiệm xj = Dj D với j = 1,2…,n; D = A ; Dj thu từ D cách thay cột j cột hạng tử tự bi Ví dụ: Cho hệ phương trình:  x1 + x + ax3 =   x1 + ax + ax3 = ax + x + x =  với a tham số - Tìm a để hệ hệ Crame - Giải hệ hệ hệ Crame Hoạt động : III Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Cho hệ phương trình :  x1 + x − x3 + x =  2 x1 + x + x3 − x = -2- Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính Thái Minh - Tìm hạng ma trận hệ số A hạng ma trận bổ sung B so sánh r(A); r(B) - Giải hệ phương trình ( - lưu ý hệ có nghiệm phụ thuộc vào tham số đo !!) Định lý: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm ρ (A) = ρ (B) Cách giải: a Dùng định lý: r ( A) ≠ r ( B ) vo nghiêm - Tìm r(A); r(B)  r ( A) = r ( B) có nghiêm - Hệ cho tương đương với hệ gồm r phương trình có chứa hệ số phần tử định thức cấp r khác ma trận A B Giữ vế trái hạng tử có hệ số phần tử định thức nói trên, đồng thời chuyển hạng tử lại sang vế phải gán cho giá trị tham số - Hệ trở thành hệ Crame phụ thuộc tham số ? Hãy giải tiếp !  x1 − x + x3 − x = 3 x + x − 3x + x = −2  Ví dụ:  2 x1 − x + x3 + 3x = 6 x1 + x − x3 + x = −4 b Dùng phương pháp Gauss ( biến đổi sơ cấp hàng ma trận bổ sung B) ( Thực chẳng có “ghê gớm “ biết từ thủa lớp 8; ) * Nhưng mà hay thi ! - Viết ma trận bổ sung hệ - Nhân hàng với số phù hợp để cộng hàng với hàng làm cho ma trận B dạng tam giác ( người ta gọi khử dần ẩn số Một lần nhắc lại rằng:” Khi nhân hai vế phương trình với số khác phương trình tương đương với nó” ! ) Hãy giải ví dụ phương pháp Gauss c Nếu hệ Crame : AX = B Thì X = A-1.B Ví dụ: 1.Giải hệ phương trình A.X = B 2 1  A = Với : 1  1 1 1 1 1  1 1 ;B =   1 1   2 1 Giải biện luận hệ phương trình sau theo a -3- Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính ax1 + x + x3 + x  x + ax + x + x    x1 + x + ax3 + x  x1 + x + x3 + ax Thái Minh =1 =1 =1 =1 Hoạt động : Bài tập Bài tập : Các tập giải hệ phương trình Trang 33-34-34 Giáo trình ; tập phần hệ phương trình tuyến tính sách Toán học cao cấp tập ( Nguyễn Đình Trí – chủ biên) • Em có ý kiến đề nghị thắc mắc lớp ghi lại vào cuối trang này.( nhiên thắc mắc cần rõ khó khăn đâu, không nêu đề nghị thầy giải giúp em tập này, mà nên tập em gặp khó khăn đây, đề nghị thầy giúp đỡ ! ) • Chúc em học tập tiến ! -4- ... ) II Hệ phương trình Crame: Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trinh, n ẩn số có định thức ma trân hệ số khác không Được gọi hệ phương trình Crame 2.Định lý: Hệ phương trình. .. dụ: Cho hệ phương trình:  x1 + x + ax3 =   x1 + ax + ax3 = ax + x + x =  với a tham số - Tìm a để hệ hệ Crame - Giải hệ hệ hệ Crame Hoạt động : III Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng... tuyến tính tổng quát: Cho hệ phương trình :  x1 + x − x3 + x =  2 x1 + x + x3 − x = -2- Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính Thái Minh - Tìm hạng ma trận hệ số A hạng ma trận bổ