hệ phương trình tuyến tính

Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH $1. Các khái niệm cơ bản $2. Phương pháp Gauss $3. Qui tắc Cramer $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.1 Đònh nghóa 1 : 1). Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn số là một hệ có dạng : $1. CC KHI NI M C B N : a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m trong ủoự a ij , b i R vaứ x 1 , x 2 , , x n laứ caực aồn soỏ. )1( $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 2). Ma trận : được gọi là ma trận hệ số của hệ (1). )( ij aA =               = mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả Gọi là cột hệ số tự do và là cột ẩn số               = m b b b B 2 1               = n x x x X 2 1 $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau : AX = B (2) $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả Ma trận : được gọi là ma trận bổ sung của hệ (1). )( BA               = mmnmm n n b b b aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11 211 $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.2 Đònh nghóa 2 : 1). Hệ (1) hoặc (2) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nếu : b 1 = b 2 = … = b m = 0 tức là B = O Khi đó hệ trên thành : $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả OAX xaxaxa xaxaxa xaxaxa nmnmm nn nn =⇔        =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 2222121 1212111 $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bao giờ cũng có nghiệm tầm thường : x 1 = x 2 = … = x n = 0 2). Hệ (1) hoặc (2) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, nếu : ∃i, với 1 ≤ i ≤ m sao cho b i ≠ 0 tức là B ≠ O [...]... TẬP : Hệ phương trình tuyến tính Bài 2.2 : Giải các hệ phương trình sau (Gauss) : 1) x + 2 x + 3x = 9  1 2 3 2 x + x + 2 x = 3  1 2 3  3 x1 + 2 x2 + x3 = −1  4 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 1  BÀI TẬP : Hệ phương trình tuyến tính 2)  x + 2 x − 3 x + 5 x = 1 1 2 3 4  x + 3 x − 13 x + 22 x = −1  1 2 3 4  3 x1 + 5 x2 + x3 − 2 x4 = 5 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 − 7 x4 = 4  BÀI TẬP : Hệ phương trình tuyến tính. .. : Giải hệ phương trình sau :  x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 = 2  − 2 x1 + x2 + 2 x3 − 3 x4 = 5 3 x − 7 x + 10 x = 8 3 4  1 BÀI TẬP : Hệ phương trình tuyến tính Bài 2.1 : Giải các hệ phương trình sau (Gauss) :  x1 + 2 x2 + x3 = 1  1) 2 x1 + 5 x2 + x3 = 6 − x − 4 x + 2 x = 2 2 3  1  x1 + 2 x2 − x3 = 3  2) 4 x1 + x2 + 2 x3 = 1 2 x − 3 x + 4 x = 2 2 3  1 BÀI TẬP : Hệ phương trình tuyến tính ... với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ta có : 1 Nếu r(A) = n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường 2 Nếu r(A) < n thì hệ có nghiệm không tầm thường $2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS : 2.1 Các bước thực hiện : 1) Viết ma trận bổ sung của hệ phương trình tương ứng 2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang R : (AB) → (RB’) Khi đó : AX = B ⇔ RX = B’ $2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS : 3) Viết lại hệ phương. .. Viết lại hệ phương trình tuyến tính ứng với RX = B’ và giải hệ này $2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS : 2.2 Các ví dụ : Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình sau :  x1 + 2 x2 + 3 x3 = 7 2 x + x + 2 x = 6  1 2 3  3 x1 + 2 x2 + x3 = 13 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 18  $2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS : Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau :  x1 + 2 x2 − 3 x3 = 1   x1 + 3 x2 − 13 x3 = −1 3 x + 5 x + x = 5 2 3  1 $2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS... + 19) x2 − 10 x3 = 2m − 12 x + 24 x + (m − 13) x = 0 1 2 3  BÀI TẬP : Hệ phương trình tuyến tính Bài 2.3 : Giải các hệ phương trình sau (Cramer) :  x − 2 x + x = 2 1 2 3  1) 2 x1 + x2 − 4 x3 = −1 3 x − 4 x − x = 0 2 3  1  x1 + x2 + x3 = 1  2) 2 x1 + x2 + 2 x3 = 1  x + x + 3x = 2 3  1 2 BÀI TẬP : Hệ phương trình tuyến tính mx1 + x2 + x3 = 1   3)  x1 + mx2 + x3 = m  2  x1 + x2 + mx3... 0 với một j nào đó thì hệ (2) vô nghiệm $3 QUI TẮC CRAMER : 3) Nếu ∆ = 0 và ∆j = 0 với mọi j (1 ≤ j ≤ n) thì không có kết luận về hệ (2); hệ có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm $3 QUI TẮC CRAMER : 3.2 Các ví dụ : Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình :  x1 + x2 + x3 = 11  2 x1 − 6 x2 − x3 = 0 3x + 4 x + 2 x = 0 2 3  1 $3 QUI TẮC CRAMER : Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình sau : (m − 7) x1...$1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN : 1.3 Đònh lý Kronecker Capelli : Cho hệ phương trình tuyến tính (2) Khi đó : 1 Nếu r(A) < r(A|B) thì hệ (2) vô nghiệm 2 Nếu r(A) = r(A|B) = n (n là số ẩn số) thì hệ (2) có nghiệm duy nhất $1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN : 3 Nếu r(A) = r(A|B) < n thì hệ (2) có vô số nghiệm, được gọi là nghiệm tổng quát của hệ, với n–r(A) ẩn tự do (hay ẩn phụ) Các ẩn tự do này đóng vai trò tham... 4  1 $3 QUI TẮC CRAMER : 3.1 Cách giải : Xét hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số : AX = B (2) trong đó A là ma trận vuông cấp n và B là ma trận cấp nx1 $3 QUI TẮC CRAMER : Đặt : ∆ = detA ∆j = detAj , với 1 ≤ j ≤ n trong đó Aj là ma trận có được từ A bằng cách thay cột j bằng cột B $3 QUI TẮC CRAMER : Khi đó : 1) Nếu ∆ ≠ 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất : xj = ∆j ∆ với 1 ≤ j... phương trình tuyến tính mx1 + x2 + x3 = 1   3)  x1 + mx2 + x3 = m  2  x1 + x2 + mx3 = m  mx1 + x2 + x3 = m  4) 2 x1 + (m + 1) x2 + (m + 1) x3 = m + 1  x + x + mx = 1 3  1 2 Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Kết thúc chương 2 . Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH $1. Các khái niệm cơ bản $2. Phương pháp Gauss $3. Qui tắc Cramer $1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả 1.1 Đònh nghóa 1 : 1). Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương. KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bao giờ cũng có nghiệm tầm thường : x 1 = x 2 = … = x n = 0 2). Hệ (1) hoặc (2) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất,. C B N :Ệ Ơ Ả 1.2 Đònh nghóa 2 : 1). Hệ (1) hoặc (2) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nếu : b 1 = b 2 = … = b m = 0 tức là B = O Khi đó hệ trên thành : $1. CÁC KHÁI NI M C