Tính toán động học thuật robot dư dẫn động bằng phương pháp khalil và phương pháp gradient thu gọn

Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, vấn đề tự động hoá sản xuất có một vai trò đặc biệt quan trọng.

LỜI NÓI ĐẦU

Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, vấn đề tự độnghoá sản xuất có một vai trò đặc biệt quan trọng Nhu cầu nâng cao năng suất

và chất lượng sản phẩm ngày càng đòi hỏi ứng dụng rộng rãi các phương tiện

tự động hóa sản xuất Xu hướng đó tạo ra những dây chuyền về thiết bị tựđộng có tính linh hoạt cao Vì vậy nhu cầu ứng dụng Robot để tạo ra hệ thốngsản xuất linh hoạt ngày càng tăng nhanh

Khi xét về vấn đề Robot chúng ta đặt ra các bài toán: động học Robot,động lực học Robot và điều khiển Robot Bài toán động học Robot là cơ sở,đầu vào cho các bài toán động lực học Robot và điều khiển Robot Bài toánđộng học Robot gồm có động học thuận và động học ngược Với nhữngRobot có số bậc tự do bằng kích thước không gian làm việc thì tọa độ cáckhâu hoàn toàn xác định và là duy nhất Trường hợp Robot có số bậc tự dolớn hơn kích thước không gian làm việc người ta gọi là Robot dư dẫn động,loại Robot này có tính mềm dẻo và linh hoạt cao đang được ứng dụng rộngrãi

Robot dư dẫn động được tạo ra nhằm thoả mãn các yêu cầu như: tránhcấu hình kỳ dị, tránh chướng ngại vật, tạo ra sự khéo léo cho Robot, giới hạnmômen khớp, cực tiểu động học v.v…

Để thấy được các ưu điểm của Robot dư dẫn động, đồ án tốt nghiệp nàytập trung nghiên cứu bài toán động học thuận và động học ngược của Robot

dư dẫn động Đồ án gồm các chương sau:

Chương 1: Dựa trên lý thuyết cơ bản về ma trận Denavit- Hartenberg đểgiải bài toán động học thuận: xác định vị trí bàn kẹp, vận tốc bàn kẹp, gia tốcbàn kẹp v.v….Quan trọng nhất của phần này là xác định được vị trí bàn kẹp làđầu vào để giải quyết bài toán động học ngược được trình bày ở phần sau

1

Chương 2: Đưa ra một số phương phỏp tỡm nghịch đảo ma trận chữ nhật

là cơ sở để giải quyết bài toỏn động học ngược Robot Đặc biệt là phươngphỏp phõn tớch cõn xứng của Khalil

Chương 3: Dựa trờn phương phỏp tớnh ma trận tựa nghịch đảo trỡnh bày

ở chương hai, chỳng ta tập trung nghiờn cứu và đưa ra 2 phương phỏp:phương phỏp Khalil và phương phỏp Reduced _ Gradient để giải quyết bàitoỏn động học ngược Robot dư dẫn động

Trong quỏ trỡnh thực hiện đồ ỏn này, do kiến thức về Robot cú hạn, thờigian ớt và tài liệu bằng tiếng Việt chưa cú nờn đồ ỏn của em vẫn cũn nhiềuthiếu xút, em kớnh mong được sự chỉ bảo, hướng dẫn của cỏc thầy để ngàycàng hoàn thiện mỡnh hơn

Em xin chõn thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, Th.S Đỗ Thành Trung đó tận tỡnh chỉ bảo, hướng dẫn em hoàn thành bản đồ ỏn này.

Em cũng xin chõn thành cảm ơn cỏc thầy giỏo trong bộ mụn Cơ học ứng dụng

đó tạo điều kiện giỳp đỡ em trong quỏ trỡnh làm đồ ỏn tại bộ mụn

tính toán động học thuận robot d dẫn động bằng phơng

pháp khalil và phơng pháp gradient thu gọn

2

Khớp

1

0i

Khớp Khâu i-1

Khớp Khâu i

1.1 BỘ THÔNG SỐ DH VÀ MA TRẬN DENAVIT-HARTENBERG

1.1.1 Bộ thông số DH

Dưới đây là trình bày cách xây dựng hệ tọa độ đối với hai khâu liên tiếp i

và i+1 Hình 1.1 là trường hợp 2 khớp động liên tiếp là khớp quay Hình 1.2

là khớp tịnh tiến

Đối với Robot công nghiệp, Denavit-Hartenberg(1995) đã đưa ra cách chọncác hệ trục tọa độ như sau:

 Trục z i 1 được chọn dọc theo hướng của trục khớp động thứ i

 Trục x i 1 được chọn dọc theo đường vuông góc chung của haitrục z i 2 và z i 1, hướng đi từ trục z i 2 sang trục z i 1 Nếu trục

Khớp

1

0i

Khớp Khâu i-1

Khớp Khâu i

 Đối với hệ tọa độ Oxyzo theo quy ước trên ta mới chỉ chọn đượctrục z o, còn trục x o chưa có trong quy ước trên Ta có thể chọntrục x o một cách tuỳ ý

 Đối với hệ tọa độ Oxyzn do không có khớp n+1 nên ta theo quyước trên không xác định được trục z n Trục z n không xác địnhduy nhất trong khi trục x n lại được xác định theo pháp tuyến củatrục z n 1 Trong trường hợp này nếu là khớp quay ta nên chọntrục z n song song với trục z n 1 Ngoài ra ta có thể chọn tuỳ ý saocho hợp lý

4

 Khi hai trục z i 1 và z i 2 song song với nhau thì giữa hai trục này

có nhiều đường pháp tuyến chung, ta có thể chọn trục x i 1 hướngtheo pháp tuyến chung nào cũng được

 Khi khớp thứ i là tịnh tiến, về nguyên tắc ta có thể chọn trục z i 1

một cách tuỳ ý Tuy nhiên trong nhiều trường hợp người ta thườngchọn trục z i 1 dọc theo trục của khớp tịnh tiến này

Vị trí của hệ tọa độ khâu Oxyzi đối với hệ tọa độ khâu Oxyzi 1 được xácđịnh bởi bộ thông số DH như sau:

-i: góc quay quanh trục z i 1 để trục x i 1 chuyển đến trục x ix i//x i

-d i: khoảng cách đo dọc trục khớp động thứ i từ đường vuông góc chunggiữa hai trục khớp động i+1 và i tới đường vuông góc chung giữa khớpđộng i và trục khớp động i-1

-a i: độ dài đường vuông góc chung giữa hai trục khớp động i+1 và i

-i: Góc chéo giữa hai trục khớp động i+1 và i

Trong bốn tham số trên, các tham số a i và i luôn luôn là các hằng số,

độ lớn của chúng phụ thuộc vào hình dáng và sự kết nối các khâu thứ i-1 vàkhâu thứ i Hai tham số còn lại i và d i, một là hằng số một là biến số phụthuộc vào khớp quay hay khớp tịnh tiến Nếu khớp i là khớp quay thì i làbiến còn d i là hằng , nếu khớp i là tịnh tiến thì d i là biến còn i là hằng số

1.1.2 Ma trận Denavit-Hartenberg

Trên cơ sở đã xây dựng các hệ tọa độ đối với hai khâu động liên tiếp như

đã trình bày ở trên, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ liên tiếptheo bốn bước sau đây:

0 cos sin

0

0 sin cos

0

0 0 0

1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

i i

i i

i

i

i i

i i

0 0

cos sin

0

sin sin

cos cos

cos sin

cos sin

sin cos

sin cos

i i

i

i i i i i

i i

i i i i i

i i

i

d a a

H là ma trận chuyển tọa độ của hệ quy chiếu Oxyzi 1 đối với hệ quy chiếu

Oxyzi Chính xác hơn ta phải ký hiệu là i

i-1H

Đơn giản cách viết ta sử dụng

ký hiệu Hi thay cho i

.

0

z z z z

y y y y

x x x x n n

n

p a s n

p a s n

p a s n

H H H H H

H

Trong đó p x, p y, p z là tọa độ vị trí của khâu thao tác

1.1.4 Giải quyết bài toán động học thuận của Robot

Giải quyết bài toán động học thuận của Robot thực chất là chúng ta chotrước cấu hình của Robot và quy luật chuyển động của các khâu, từ đó chúng

ta xác định quy luật chuyển động của bàn kẹp (điểm tác động cuối): vị trí bànkẹp, vận tốc bàn kẹp, gia tốc chuyển động bàn kẹp, vận tốc góc, gia tốc gócv.v…

1.2 TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC THUẬN CỦA MỘT SỐ ROBOT

1.2.1 Bài toán động học thuận của Robot 3 khâu phẳng

6

a1

a2

a3

000

b Phương trình xác định vị trí bàn kẹp của Robot

Áp dụng công thức (1.2) ta xác định được ma trận chuyển Dn:

3 2 2 1 1

0 0

0 1

0 0

1 sin )

sin(

) 3 2 1 sin(

0 ) cos(

) sin(

1 cos )

cos(

) 3 2 1 cos(

0 ) sin(

) cos(

1 2 1 2 3

3 2 1 3

2

1

1 2 1 2 3

3 2 1 3

2 1

q a q q a q q q a q

q q q

q

q

q a q q a

q q q a

q q q q

q

q

Từ đó ta có được vi trí bàn kẹp trong hệ tọa độ cố định:

1 1 2 1 2 3 2 1

a

1 1 2 1 2 3 2 1

3 sin(q q q ) a sin(q q ) a sinq a

Để tính toán cụ thể bài toán động học thuận ta phải cho trước quy luậtchuyển động của các biến khớp theo thời gian và cho giá trị cụ thể của cáckhoảng cách a i.

Ta chọn quy luật chuyển động của các biến khớp theo thời gian t như sau:

t q

15 ) 6

5 cos(

15 ) 6

11 cos(

) 3 sin(

15 ) 6

5 sin(

15 ) 6

11 sin(

5 ) 6

5 sin(

2

25 )

6

11 sin(

5 ) 6

5 cos(

2

25 ) 6

11 cos(

Đồ thị gia tốc bàn kẹp a y (t)

Đồ thị gia tốc bàn kẹp a x (t)

- Gia tốc:

2 2

5 cos(

12

125 )

6

11 cos(

2

) 3

sin(

3

5 ) 6

5 sin(

12

125 )

6

11 sin(

1.2.2 Bài toán động học thuận của Robot 4 khâu phẳng

0000

a1a2a3a4

0000

b Phương trình xác định vị trí bàn kẹp của Robot

Áp dụng công thức (1.2) ta xác định được ma trận chuyển Dn:

0 0

0 1

0 0

0 0

.

1 1 2 1 2 3 2 1 3 4 3 2 1 4 4

3 2 1 4 3 2 1

1 1 2 1 2 3 2 1 3 4 3 2 1 4 4 3 2 1 4 3 2 1

4 3 3 2 2 1 1 0

S a S a S

a S

a C

S

C a C a C

a C

a S

), cos(

sin ,

a

1 1 2 1 2 3 2 1 3 4 3 2 1

4 sin(q q q q ) a sin(q q q ) a sin(q q ) a sinq a

c Dữ liệu đầu vào cho Robot 4 khâu phẳng

Chọn quy luật chuyển động các biến khớp theo thời gian:

t q

15 ,

15 ,

7 cos 15 3

5 cos 15 3

2 cos 15

7 sin 15 3

5 sin 15 3

2 sin 15

7 sin 2

35 3

5 sin 25 3

2 sin 10

7 cos 2

35 3

5 cos 25 3

2 cos 10

Đồ thị gia tốc bàn kẹp Đồ thị gia tốc bàn kẹp

- Gia tốc:

2 2

2 2

3

1 cos 3

5 6

7 cos 12

245 3

5 cos 3

125 3

2 cos 3

2 2

3

1 sin 3

5 6

7 sin 12

245 3

5 sin 3

125 3

2 sin 3

1.2.3 Bài toán động học thuận của Robot 5 khâu phẳng

a Hình vẽ và bảng thông số động học Denavit- Hartanberg

00000

a1a2a3a4a5

00000

b Phương trình xác định vị trí bàn kẹp của Robot:

0 0

0 1

0 0

0 0

.

1 1 2 1 2 3 2 1 3 4 3 2 1 4 5 4 3 2 1 5 5

4 3 2 1 5 4 3

2

1

1 1 2 1 2 3 2 1 3 4 3 2 1 4 5 4 3 2 1 5 5 4 3 2 1 5 4 3

2

1

5 4 4 3 3 2 2 1

1

0

S a S a S

a S

a S

a C

S

C a C a C

a C

a C

a S

), cos(

sin ,

Đồ thị tọa độ bàn kẹp Đồ thị tọa độ bàn kẹp

Từ đó ta có được công thức tính vị trí bàn kẹp trong hệ tọa độ cố định:

1 1 2 1 2

3 2 1 3 4 3 2 1 4 5 4 3 2 1 5

cos )

cos(

) cos(

) cos(

) cos(

q a q q a

q q q a q q q q a q q q q q a

3 2 1 3 4 3 2 1 4 5 4 3 2 1 5

sin ) sin(

) sin(

) sin(

) sin(

q a q q a

q q q a q q q q a q q q q q a

c Dữ liệu đầu vào cho Robot 5 khâu phẳng

Chọn quy luật chuyển động của các biến khớp như sau theo thời gian như sau:

t q

t q

t q

t q

t

2

, 3

, 6

1 cos 10 12

23 cos 10 12

11 cos 10 12

1 cos

1 sin 10 12

23 sin 10 12

11 sin 10 12

1 sin

15

25 4

1 sin 2

5 12

11 sin 6

55 12

23 sin 6

115 12

1 sin

25 4

1 sin 2

5 12

11 sin 6

55 12

23 sin 6

115 12

5 cos 72

125 4

1 cos 8 5

12

11 cos 72

605 12

23 cos 72

2645 12

1 cos 72 5

2 2

2 2

t t

t

a x

12

5 sin 72

125 4

1 sin 8 5

12

11 sin 72

605 12

23 sin 72

2645 12

1 sin 72 5

2 2

2 2

t t

t

a y

0

Quỹ đạo bàn kẹp

17

1.2.4 Bài toán động học thuận của Robot PPR phẳng

q1q20

00a3

Pi/2Pi/20

b Vị trí bàn kẹp:

Từ biểu thức (1.2) ta có thể xác định ma trận chuyểnDn:

3

2 2

1 1

0 0

cos 0

sin cos

0 1

0 0

sin 0

cos sin

1 3 3 3 3

2 3 3 3

3

q q a q q

q q a q

q

Từ đó:

2 3

3 sinq q a

3 cosq q a

c Dữ liệu đầu vào cho Robot PPR phẳng

Chọn quy luật chuyển động của các biến khớp theo thời gian như sau:

t q t q t

p z  20 cos(  )  3

- Vận tốc:

4 ) cos(

- Gia tốc:

2

) sin(

1.2.5 Bài toán động học thuận của Robot RRRP1

000q4

a1a2a30

00Pi0

b Phương trình xác định vị trí bàn kẹp của Robot

0 0

1 0

0

0 0

.

4

1 1 2 1 2 3 2 1 3 3

2 1 3 2 1

1 1 2 1 2 3 2 1 3 3

2 1 3 2 1

4 3 3 2 2 1 1 0

q

S a S

a S

a C

S

C a C a C

a S

), cos(

sin ,

1 1 2 1 2 3 2 1

a

1 1 2 1 2 3 2 1

c Dữ liệu đầu vào cho rôbôt RRRP1

Ta chọn quy luật chuyển động của các biến khớp theo thời gian t như sau:

t q

- Vị trí:

) 4 cos(

20 ) 12

7 cos(

20 ) 4

5 cos(

) 4 sin(

20 ) 12

7 sin(

20 ) 4

5 sin(

5 ) 12

7 sin(

3

35 ) 4

5 sin(

5 ) 12

7 cos(

3

35 ) 4

5 cos(

7 cos(

36

254 )

4

5 cos(

7 sin(

36

254 )

4

5 sin(

Quỹ đạo bàn kẹp

24

1.2.6 Bài toán động học thuận Robot RRRP2

d100q4

0a200

Pi/20-Pi/20

0 0

0

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

.

1 2 2 4 3 2 3

2

2 1 2 2

1 2 3

2 1 4 3

2 1 4 3 2 1 3

2 1 1

3 2 1 3

2

1

2 1 2 2

1 2 3

2 1 4 3

2 1 4 3 2 1 3

2 1 1 3 2 1 3

2

1

4 3 3 2 2 1

1

0

d S a q C C

S a S

a C

q C

q C

C C

S S

C a C

a S

q S

q S

S S C

) sin(

), cos(

sin ,

cos i i i, i j i j i j i j

) cos(

2

1 ) cos(

2

1 ) sin(

2

1 ) sin(

2

1

2 1 2 2

1 2 3

2 1 4 3

2 1

q

) cos(

2

1 ) sin(

2

1 ) cos(

2

1 ) cos(

2

1

2 1 2 2

1 2 3

2 1 4 3

2 1

q

1 2 2 4 3

cos(q q q a q d

c Dữ liệu đầu vào cho Rôbôt RRRP2

Ta chọn quy luật chuyển động cho các biến khớp theo thời gin như sau:

t q

t q

t q

t q

2

3 ,

6

, 4

25 12

1 cos 2

25 4

3 sin 4

3 12

1 sin 4 3

25 12

7 sin 2

25 12

1 cos 4

3 4

3 cos 4

5 cos 2

3 25

Đồ thị tọa độ bàn kẹp Đồ thị tọa độ bàn kẹp

Đồ thị tọa độ bàn kẹp

26

t t

t t

t t

v x

12

7 sin 24

175 12

1 sin 24 25

4

3 cos 16

9 4

3 sin 4

3 12

1 cos 16

1 12

1 sin 4 3

t t

t t

t

v y

12

1 cos 24

25 12

7 cos

24

175

12

1 sin 16

1 12

1 cos 4

3 4

3 sin 16

9 4

25 12

5 cos 2

3 12

- Gia tốc:

2 2

2 2

12

7 cos 72

245 12

1 cos 72 5

4

3 sin 16

9 4

3 cos 2

3 12

1 sin 144

1 12

1 cos 6 1

t t

t t

t t

a x

2 2

2 2

12

1 sin 72

5 12

7 sin 72 245

12

1 cos 144

1 12

1 sin 6

1 4

3 cos 16

9 4

3 sin 2 3

t t

t t

t t

a y

2 2

4

1 sin 4

5 12

5 sin 3

5 12

5 cos 72

5 2

` 1

5 2 2

CHƯƠNG 2NGHỊCH ĐẢO MA TRẬN CHỮ NHẬT

1 p f

Đạo hàm hai vế của phương trình (2.1) ta được:

q q J q q

ta cần giải bài toán nghịch đảo ma trận Jacobi, từ đó chúng ta đưa ra địnhnghĩa ma trận tựa nghịch đảo

2.1 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN TỰA NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa 1: Ma trận nghịch đảo suy rộng (Generalized Inverse) của ma trận

Định nghĩa 2 Ma trận nghịch đảo suy rộng phản chiếu (Reflexive

Generalized Inverse) của ma trận m n

A là ma trận m n

X thoả mãncác phương trình (2.4) và (2.5) Ký hiệu là 

X hoặc X  A#

Chú ý: Ma trận tựa nghịch đảo còn gọi là ma trận Moore- Penrose để kỷ niệm

hai nhà bác học đã nghiên cứu loại ma trận này

Để giải quyết bài toán tìm ma trận nghịch đảo của ma trận chữ nhật ởchương này ta trình bày ba phương pháp tính ma trận tựa nghịch đảo:

Cho A là ma trận cỡ m  n A+ là ma trận tựa nghịch đảo cỡ n  m của A.

Nếu A có hạng đầy đủ thì A+ được xác định như sau:

n rank

n m

m rank

n m khi khi khi

) (

) (

1

A A A A

A A A

AA A A

T 1 T 1

T T

Rank( A)= m nếu m  n

Rank( A)= n nếu n  m

32

Nhập vào

So sánh m,n

2.2.2 Sơ đồ khối của phương pháp Moore- Penrose

Dựa trên lý thuyết về nghịch đảo ma trận của Moore-Penrose và sơ đồkhối ta xây dựng thủ tục MP_Inverse() để tính ma trận tựa nghịch đảo của

Phương pháp Greville cho phép tính toán ma trận tựa nghịch đảo A +

(ACmxn ) bằng phương pháp lặp Để xác định ma trận tựa nghịch đảo theophương pháp này ta đưa vào một số ký hiệu sau:

a , a , , a n A n a n

Gọi ma trận A k`là phần A k a1,a2, a k  A k1a k của ma trận A

Trong đó aklà cột thứ k của A, cho k=1, ,n

Vector dk và ck được định nghĩa bởi: d k A k1 a k



(2.9)

k 1 k k

k a A d

k 1 k 1 k k

1 k

b

b d A a

d (1

k k

Chú ý: nếu cả hai c k  0 và d k  0, khi đó a k  0 và b k  0

Như vậy dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp nghịch đảo ma trậnGreville, ta có thể xây dựng thuật giải cho phương pháp này như sau:

2 , 1

1 1

a A

Sau đó ta tính được d2và c2theo (2.9) và (2.10) từ đó theo công thức

(2.11) của định lý 2.2 ta tính được 

2

A b3 Cho kk 1cho đến khi k  n thì ta thu được A

2.3.2 Sơ đồ khối phương pháp Greville

34

1 1

1 ,

i

i i i i

b

b d A A

i:=i+1 false

END

START

true false

true

Nhập vào:

n m

1

1 1

1

2

1 , 1

)

1 ,

1 , (

)

,

1 , (

i

i i i

T

m

i

i a

i m submatrix

i i m submatrix

d A a c

a A d

a A

A A

A a

1 1

i i

Dựa trên lý thuyết về ma trận nghịch đảo của Greville và sơ đồ khốitrên ta xây dựng thủ tục GRE_Inverse() để tính ma trận tựa nghịch đảo của

m  ) và có hạng là m Theo lý thuyết ma trận (F.R Gantmacher:

Matrazentheory, Springer Verlag, Berlin 1986), ta có thể phân tích A thành

tích của hai ma trận như sau:

n

mm m

m

m

c c

c c

J J

J J

1

1 11

C J A

m

I : Ma trận đơn vị cấp m k

m n

T T

m n m

1 1 1

1

1 1 1 1

) (

) (

C C C I

C C C I

C I

m n m n m

m n

m

1 1 1 1 1

,

C C C I

I

C 0

- Như vậy thuật toán của phương pháp này được đưa ra như sau:

b1 Nhập vào ma trận A.

b2 Phân tích A thành tích 2 ma trận Jm và ma trận C với ma trận Jmđược

lấy từ m cột đầu của ma trận A (Jmlà ma trận vuông).Ta tiến hành kiểm tranếu det(Jm)  0thì dừng lại và thoát khỏi chương trình còn nếu det(Jm)  0 thì

tiếp tục chương trình Ma trận C được tính theo công thức (2.15) và (2.16).

b3 Sử dụng công thức    1

C Jm

A để tính ma trận tựa nghịch đảo Avới

ma trận 

C được tính theo (2.18) hoặc (2.19)

- Dựa trên lý thuyết về nghịch đảo ma trận theo phương pháp phân tích cânxứng và sơ đồ khối ta xây dựng thủ tục KHALIL_Inverse() tính ma trận tựanghịch đảo của Am n, trình bày ở cuối phụ lục

2.4.2 Sơ đồ khối phương pháp Khalil

Return(A+ )

1



 JCmA

START

END

Nhập vào

)

1,

1,(: submatrix m m

0 )

i m i

i col i

a J c

A a

1:

),(:







false true

2 6 5 2

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

9 1 1

6 5 2

0942 0 1450 0

0499 0 0669 0

1

A

Vậy nghiệm của hệ là:

1 b A

x 

2382 0 5725 0 2834

0942 0 145 0

0499 0 0669 0

0 2834 0



x

Ví dụ 2: giải hệ 3 phương trình 5 ẩn sau

38

2 6 5 3

2

1 7 4 3

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

x x x x x

x x x x x

x x x x x

6 5 1 3 2

7 4 3 1 1

0079 0 0909 0 0889 0

0575 0 0142 0 0984 0

0272 0 0468 0 0241 0

1874 0 0730 0 1676 0

2

A

Nghiệm của hệ phương trình là:

2 b A

3856 0 7718 1 333 2

0575 0 0142 0 0984 0

0272 0 0468 0 0241 0

1874 0 073 0 1676 0

2

A

x 0 8756 0 1991  0 2426  2 3670 22 6572

2.6 SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TỰA NGHỊCH ĐẢO

- Đối với phương pháp Moore- Penrose: có thuật toán đơn giản nhất trong 3phương pháp cho phép ta có thể xác định ma trận tựa nghịch đảo của ma trận

A cỡ m n nhưng yêu cầu là hạng của ma trận A phải đầy đủ Nếu A có hạng

39

- Đối với phương pháp Greville: có thể tính toán tựa nghịch đảo ngay cả khi

ma trận A có hạng không đầy đủ (tức là r min(m,n)) Trong trường hợp

hạng của ma trận A là đầy đủ thì phương pháp này có cùng kết quả với

phương pháp Moore- Penrose

- Đối với phương pháp Khalil: cho phép xác định ma trận tựa nghịch đảo của

ma trận A cỡ m n với n  mvà hạng của ma trận A phải đầy đủ , nếu không

thì phương pháp này cũng không thể áp dụng Kết quả của phương pháp nàycho ta m hàng đầu của ma trận Agiống với 2 phương pháp trên, còn n  m

hàng sau thì có khác so với 2 phương pháp trên

40