Xử lý tín hiệu số chương IV (phần 2)

30 557 1
Xử lý tín hiệu số chương IV (phần 2)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc DFT [ x (n)] = X (k ) DFT [ x (n)] = X (k ) (4.26) X (k ) = aX (k ) + bX (k ) ý chiều dài x1 (n) x (n) khác L[ x1 (n)] = N L[ x (n)] = N ta phải chọn chiều dài dãy x (n) sau : L[ x (n)] = N = max( N , N ) tất DFT[x1(n)], DFT[x2(n)] DFT[x3(n)] phải tính đến N3 mẫu Giả sử N1 < N2 dãy x1(n) phải kéo dài thêm N2 – N1 mẫu không DFT[x1(n)] phải tính N3 = N2 mẫu DFT[x2(n)] DFT[x3(n)] tính N3 + N2 mẫu Cụ thể : X (k ) = X (k ) = X (k ) = N1 −1 ∑ x (n)W n =0 N −1 ∑x n =0 n =0 ≡ X (k ) N , ≤ k ≤ N2 – (n)W Nkn2 ≡ X (k ) N , ≤ k ≤ N2 – (n)W Nkn2 ≡ X (k ) N , ≤ k ≤ N2 – N −1 ∑x kn N2 để nhấn mạnh rõ chiều dài dãy miền n miền k ta ghi thêm chiều dài vào ký hiệu dãy ; x1 (n) N1 : Dãy có chiều dài N1 x (n) N : Dãy có chiều dài N2 x (n) N : Dãy có chiều dài N3 X (k ) N : Dãy có chiều dài N4 … b Trễ Vòng Trước hết, nhìn lại trễ tuyến tính trễ tuần hoàn có chu kỳ N để so sánh rút kết luận trễ vòng Để thấy cách trực quan ta có ví dụ sau : Ví dụ 4.4 : Cho dãy x(n) sau : Xử Lý Tín Hiệu Số 138 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc n  1− x (n ) =  0 , 0≤n≤4 x (n ) , n lại Hãy tìm trễ tuyến tính x(n - 2) x(n + 2) n Giải : Chúng ta giải đồ thò cho hình 4.12 Hình 4.12a Ví dụ 4.5 : x (n − 2) Cho dãy tuần hoàn chu kỳ N = 4, ~x (n) sau đây: n  1− , 0≤n≤4 x (n ) =  0 , n lại n Hãy tìm ~x (n − 2) ~x (n + 2) , sau lấy chu kỳ hai dãy Hình 4.12b x (n + 2) Giải : Chúng giải đổ thò cho hình 4.13 n ~ x ( n) x (n ) Hình 4.12c n n Hình 4.13a Hình 4.13b ~ x (n − 2) x ( n − 2) n n Hình 4.13c Xử Lý Tín Hiệu Số Hình 4.13d 139 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ x (n + 2) x (n + 2) n n Hình 4.13e Hình 4.13f Để phân biệt loại trễ ta ký sau : x(n – n0) : Trễ tuyến tính ~ x (n − n ) N : Trễ tuần hoàn chu kỳ N x(n – n0)N : Trễ vòng với chiều dài N Từ ví dụ, ta thấy trích chu kỳ từ (từ đến N-1) trễ tuầ hoàn chu kỳ N ta có trễ vòng x(n ± n0)N, so sánh với trễ tuyến tính x(n ± n0), vượt khỏi (từ đến N-1) vòng lại để x(n)N xác đònh khoảng [0, N-1], lúc trễ vòng xác đònh khoảng [0, N-1] Ta viết sau : x (n ) N = ~ x (n ) N rect N (n ) x (n ± n ) N rect N (n ) x (n ± n ) N = ~ (4.27) Hinh 4.14 minh hoạ chất trễ vòng x (n ) ≡ x (n ) x (n − 2) n n Hình 4.14a Hình 4.14b x ( n − 2) = x ' ( n ) n Hình 4.14c Xử Lý Tín Hiệu Số 140 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x’(1) x(1) x(2) x’(2 x(0) x’(0) 3 x(3) x’(3 Hình 4.14d x (n + 2) x (n + 2) = x '' (n ) n n Hình 4.14e Hình 4.14f x’’(1) x(1) x(2) x’’ (2) x(0) x’’(0) x(3) Hình 4.14g x’’ (3) Nếu ta xét miền k, chất tương tự : ~ X(k ) N = X(k ) N rect N (k ) ~ X(k ± k ) N = X(k ± k ) N rect N (k ) (4.28) Xét tính chất trễ miền n, miền k : DFT[ x (n ) N ] = X(k ) N (4.29) DFT[ x (n ± n ) N ] = WNkn X(n ) N Chứng minh : Dựa vào cách chứng minh tính chất trễ, ta có : ~ DFT[~ x (n ± n ) N ] = WNkn X(n ) N Xử Lý Tín Hiệu Số 141 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Nếu lấy hai vế chu kỳ [0, N-1], lúc x (n − n ) N = ~ x (n − n ) N rect N (n ) ~ X(k ) N = X(k ) N rect N (n ) Vậy ta có : DFT[ x (n ± n ) N ] = WNkn X(n ) N Tương tự ta có tính chất trễ miền k Nếu có : DFT[X(k ) N ] = x (n ) N DFT[X(k − k ) N ] = WN− kn x (n ) N (4.30) Nhận xét : Nếu trích chu kỳ (từ đến N -1) dãy tuần hoàn biến đảo ~x (−n ) N dãy biến đảo vòng chiểu dài hữu hạn x (−n ) N , nghóa chiều dài hữu hạn không vượt khỏi [0, N-1] Ta viết lại x (−n ) N = ~ x (− n ) N rect N (n ) (4.31) Ta xét miền k: ~ X(− k ) N = X(−k ) N rect N (k ) (4.32) Do tính tuần hoàn ~x (n ) , ta có ~ x (n ) = ~ x (n + N) ~ x (−n ) = ~ x (− n + N) = ~ x(N − n) Và ta có : x (−n ) N = ~ x (− n )rect N (n ) X( N − n ) N = ~ x ( N − n )rect N (n ) (4.33) X(−k ) N = X( N − k ) N (4.34) DFT[ x (− n ) N ] = X(− k ) N (4.35) DFT[ x ( N − n ) N ] = X( N − k ) N (4.36) Trong miền k c Tính Đối Xứng Chúng ta có dãy chiều dài hữu hạn N x(n) N DFT[ x (n ) N ] = X(k ) N ta có : Xử Lý Tín Hiệu Số 142 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc DFT[ x * (n ) N ] = X * (− k ) N Dấu * biểu thò liên hợp phức Chứng minh : x * (n ) N = ~ x * (n ) N rect N (n ) ~ X * (−k ) N = X(− k )rect N (n ) ta có : ~ DFT [ x * (n) N ] = X * (−k ) N tương tự ta có : DFT [ x * (−n) N ] = X * (k ) Các tính chất đối xứng DFT dãy có chiều dài hữu hạn suy từ tính chất DFT dãy tuần hoàn chu kỳ N, tính chất biến đổi Fourier (FT) chương Bây ta xét chi tiết tính đối xứng dãy phức có chiều dài hữu hạn N x(n)N Dãy x(n)N biểu diễn dạng sau : x(n) N = Re[ x(n) N ] + j Im[ x(n) N ] (4.37) x * (n) N = Re[ x(n) N ] − j Im[ x(n) N ] (4.38) : x( n) N + x * ( n) N ] Re[ x(n) N ] = x ( n) N − x * ( n) N ] j Im[ x(n) N ] = (4.39) (4.40) Do ta viết : N −1 DFT {Re[ x(n) N ]} = ∑ Re[ x(n) N ]W Nkn = n =0 DFT [ x(n) N + x * (n) N ] = [ X (k ) N + X * (−k ) N ] = X e (k ) N Xe(k)N phần đối xứng liên hợp X(k)N Trong thực tế thường gặp dãy tín hiệu thực, ta xét trường hợp riêng x(n)N thực Ta biểu diễn X(k)N dạng sau : X (k ) N = Re[ X (k ) N ] + j Im[ X (k ) N ] (4.41) X (k ) N = Re[ X (k ) N ] − j Im[ X (k ) N ] Re[ X (k ) N ] = [ X (k ) N + X * (k ) N ] j Im[ X (k ) N ] = [ X (k ) N − X * (k ) N ] (4.42) * Xử Lý Tín Hiệu Số 143 (4.43) (4.44) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x(n) thực ta có : x(n)N = X*(n)N DFT [ x(n) N ] = DFT [ x * (n) N ] Thức (4.45) X (k ) N = X * (−k ) N Lấy liên hợp phức hai vế ta có : (4.46) X * (k ) N = [ X * (−k ) N ]* = X (−k ) N với biến đảo –k ta có : Re[ X (−k ) N ] = theo (4.45) (4.46) ta có : Re[ X (−k ) N ] = Vậy với x(n) thực ta có : [ X (−k ) N + X * (−k ) N ] [ X * (k ) N + X (k ) N ] (4.47) Re[ X (k ) N ] = Re[ X (−k ) N ] tương tự ta có : (4.48) Im[ X (k ) N ] = − Im[ X (− k ) N ] Bây ta xét module Argument 2 X (−k ) N = [ X (k ) N X (k ) N ] = [ X (−k ) N X (−k ) N ] = X (−k ) N * * (4.49) tương tự arg[ X (k ) N ] = arctg d  Im[ X (−k ) N ]  Im[ X (k ) N ] = arctg −  = − arg[ X (−k ) N ] (4.50) Re[ X (k ) N ] Re[ X ( − k ) ] N   Tích chập vòng Đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N ta có quan hệ sau : N −1 ~ ~ x ( n) = ~ x1 (n)( * ) N x (n) N = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x ( n − m) m =0 miền k ta có : ~ ~ ~ X (k ) = X (k ) X (k ) Chú ý : tất dãy quan hệ tuần hoàn chu kỳ N Còn dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N, coi chúng tương ứng với chu kỳ dãy tuần haòn chu kỳ N, có đònh nghóa tính chất tương tự dãy tuần hoàn chu kỳ N Đònh nghóa : Xử Lý Tín Hiệu Số 144 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Tích chập vòng hai dãy không tuần hoàn x1(n)N x2(n)N có chiều dài hữu hạn N dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N x3(n)N cho quan hệ sau : N −1 x ( n ) N = ∑ x1 ( m ) N x ( n − m ) N (4.51) m=0 ~ = x1 (n) N ( * ) x (n) N (4.52) (*)N tích chập vòng chiều dài N Nếu miền n tích chập vòng miền k ta dễ dàng chứng minh tính chất sau : (4.53) X (k ) N = X (k ) N X (k ) N X (k ) N = DFT [ x1 (n) N ] X (k ) N = DFT [ x (n) N ] X (k ) N = DFT [ x (n) N ] Ví dụ 4.6 : Cho hai dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N = sau : x1 (n) = δ (n − 1)  n 1− x (n ) =   ,0 ≤ n ≤ , n lại Hãy tính tích chập vòng chiều dài N = hai dãy Giải : ~ x ( n ) = x1 ( n ) ( * ) x ( n ) = ∑ x1 ( m ) x ( n − m ) m =0 x (0) = ∑ x1 (m) x (0 − m) m =0 x (1) = ∑ x1 (m) x (1 − m) m=0 x (2) = ∑ x1 (m) x (2 − m) m =0 x (3) = ∑ x1 (m) x (3 − m) m=0 để thấy rõ chất tích chập vòng, xem trình tính toán kết đồ thò cho hình 4.15 Xử Lý Tín Hiệu Số 145 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x (n ) = δ (n − 1) x (0 − m ) x (n ) n m n Hình 4.15a Hình 4.15b Hình 4.15c x ( − m) x (1 − m) m m Hình 4.15e Hình 4.15d x (n ) ≡ x (n − 1) x (3 − m) m n Hình 4.15f Hình 4.15g Nhận xét : Chúng ta áp dụng tính chất biểu thức (4.38) để tính tích chập vòng, cách tính gián tiếp thông qua DFT, cho ta hiệu cao Để thấy rõ, xét ví dụ Ví dụ 4.7 : Cho hai dãy có chiều dài hữu hạn sau : x (n ) N = x (n ) N = rect N (n ) Hãy tính x (n) N = x1 (n) N (*) x (n) N thông qua DFT Giải : N −1 X (k ) N = X (k ) N = ∑ WNkn n =0 N = 0 , k =0 , k lại p dụng biểu thức (4.53) ta có : Xử Lý Tín Hiệu Số 146 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc  N2 X (k ) N = X (k ) N X (k ) N =  0 , k =0 , k lại Để tìm x3(n)N ta áp dụng công thức IDFT x (n ) N = N −1 X (k ) N WN− kn ∑ N k =0  X (0) W = n N N  N = 0 , ≤ n ≤ N −1 , n lại , ≤ n ≤ N −1 , n lại minh hoạ đồ thò cho hình 4.16 với N = x (n ) x (n ) n n -1 -1 Hình 4.16a Hình 4.16b X1 (k ) = X (k ) 4 X (k ) 16 k -1 Hình 4.16c x (n ) n k -1 Hình 4.16d -1 Hình 4.16e 4.3.3 Tích chập nhanh (hay tích chập phân đoạn) a Tổng quan Để ứng dụng DFT vào việc tính tích chập không tuần hoàn, tức tích chập tuyến tính, trước hết phải phân biệt hai trường hợp Trường hợp thứ dãy chập với có chiều dài gần ngắn; trường hợp thứ hai dãy chập với có chiều dài khác Trường hợp thứ trường hợp nghiên cứu phần Nhưng thực tế, thường gặp trường hợp thứ hai Việc tính toán DFT Xử Lý Tín Hiệu Số 147 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x (n ) n a) h (n ) n b) x (n ) n c) x (n ) n d) 16 23 24 x (n ) n e) Xử Lý Tín Hiệu Số 16 153 23 24 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc y ' (n ) 2,5 n f) y '1 ( n ) 2,5 n g) y ' (n ) 2,5 n g) y ' (n ) 2,5 n h) Hình 4.18 Xử Lý Tín Hiệu Số 154 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc 4.4 Khôi Phục Biến Đổi Z Và Biến Đổi Fourier Từ DFT a Khôi Phục Biến Đổi Z Giả sử có dãy x(n)N có chiều dài hữu hạn N Vậy ta có : ∞ N −1 n = −∞ n =0 ∑ x ( n) N z − n = ∑ x ( n) N z − n X ( z) = Chúng ta tìm X(z) theo hàm DFT[x(n)N]  N −1  x (n ) N WNkn DFT[ x (n ) N ] = X(k ) N = ∑ n =0  , ≤ k ≤ N −1 , k Còn lại  N −1 X(k ) N WN− kn  IDFT[X(k ) N ] = x (n ) N =  N ∑ k =0  , ≤ n ≤ N −1 , n lại Ta có ZT[x(n)N] sau : N −1 1 X ( z) = ∑  n=0  N = N  X (k ) N W N− kn .z − n = ∑ N k =0  N −1 N −1 N −1 k =0 n =0 ∑ X (k ) N ∑ (W N−k z −1 ) n = N N −1 N −1 k =0 n=0 ∑ X (k ) N ∑ W N− kn z − n N −1 − (W N− k z −1 ) N k =0 − W N− k z −1 ∑ X (k ) N W N−kN = X ( z) = 1− z −N N N −1 X (k ) N ∑ 1−W k =0 −k N (4.61) z −1 Nhận xét : - Có thể nói rằng, nhận biến đổi z dãy có chiều dài hữu hạn từ N giá trò X(k)N - Các giá trò (N giá trò) X(k)N mẫu X(z) đánh giá vòng tròn 2π k , đơn vò điểm rời rạc Im[z] K= Re[z] N vòng tròn đơn vò ta lấy mẫu x(z) điểm sau : z=e jωk =e j 2π k N = W N− k K= ta viết : Xử Lý Tín Hiệu Số Hình 4.19 155 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 X ( z) z =W N− k = ∑ x(n) N W Nkn = X (k ) N n =0 Đến ta nói biểu thức (4.62) cho công thức biến đổi z dãy có chiều dài hữu hạn N từ N “mẫu tần số” X(z) vòng tròn đơn vò Vò trí “các mẫu tần số” vòng tròn đơn vò mặt phẳng z minh hoạ hình 4.19 với N = b Khôi Phục Biến Đỗi Fourier Chúng ta nhận biến đổi Fourier từ biến đổi z, vòng tròn đơn vò nằm miền hội tụ biến đổi z X (e jω ) = X ( z ) z =e jω = = − e − jωN N − e − jωN N N −1 ∑ k =0 N −1 ∑ k =0 X (k ) N j 2π k N 1− e e − jω X (k ) N 1− e j( 2π k −ω ) N ta biết : 1− e jx =e −j x x x −j  −j  j 2x  e − e  = 2e sin x     : X (e jω )= N sin N −1 ∑ X (k ) k =0 N sin( ω ωN − π N e  N −1 π  − j ω + k N   (4.62) k) Biểu thức (4.62) quan hệ cho phép ta tìm biến đổi Fourier cách nội suy từ giá trò X(k)N 4.5 Biến Đổi Fourier Nhanh (FFT) Để tiết kiệm thời gian tính toán biến đổi Fourier rời rạc (DFT), ta sử dụng thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) cách chia nhỏ số điểm để xử lý 4.5.1 Thuật Toán FFT Cơ Số Chia Theo Thời Gian a Tính đối xứng (4.63) W k ( N − n ) = ( W kn ) * b Tính tuần hoàn W kn = W k ( n + N ) = W ( k + N ) n = W ( k + N )( n + N ) Xét biến đổi Fourier rời rạc N điểm chuỗi x(n) Xử Lý Tín Hiệu Số 156 (4.64) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 X(k ) = ∑ x (n ) W kn với k = 0, 1, 2, … , N-1 (4.65) n =0 ta tách dãy x(n) dãy chẵn dãy lẻ sau : X(k ) = N −1 N −1 n = chẵn n = lẻ ∑ x (n )W kn + ∑ x (n)W kn thay biến n = 2r n chẵn n = 2r + n lẻ, ta có : N −1 N −1 r =0 n = 0û X(k ) = ∑ x (2r ) W rk + ∑ x (2r + 1) W k ( r +1) mà W2 = WN/2 W2 = e-j2(2π/N) = e-j2π(N/2) = WN/2 ta viết lại biểu thức sau : N −1 N −1 r =0 n = 0û X(k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ + WNk ∑ x (2r + 1) WNrk/ N −1 X (k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ đặt với (X0 tương ứng r chẵn) với (X1 tương ứng r lẻ) r =0 N −1 X (k ) = ∑ x (2r + 1) WNrk/ n = 0û ta có : X(k) = X0(k) + Wk X1(k) Ví dụ 4.8 : xét hình 4.20 , chọn N = 8, k = 4, ta có : Giải : X(4) = X0(4) + WN4 X1(4) Do tính chất tuần hoàn nên X0(4) = X0(0) X1(4) = X1(0) nên X(4) = X0(0) + WN4 X1(0) Ta làm phép so sánh sau : - Một DFT có N điểm cần N2 phép nhân phức khoảng N2 phép cộng phức - Nếu tách thành DFT có N/2 điểm cần 2(N/2)2 phép nhân phức khoảng 2N(/2)2 phép cộng phức để thực X0(k) X1(k) thêm N phép nhân phức W X1(k) thêm N phép cộng phức để tính X(k) từ X0(k) W.X1(k) Như vậy, tổng cộng ta cần N + 2(N/2)2 = N + N2/2 phép nhân phức phép cộng phức để tính tất giá trò X(k) Xử Lý Tín Hiệu Số 157 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc - Nếu số điểm N có dạng N = 2M ta tiếp tục chia đôi sang M lần số x(0) X0(0) DFT N/2 điểm x(2) x(4) X0(1) X0(2) x(6) X0(3) X(0) W0 W1 W2 X(1) X(2) X(3) W3 x(1) X1(0) DFT N/2 điểm x(3) x(5) X1(1) X1(2) x(7) X1(3) X(4) W4 W5 W6 X(5) X(6) X(7) W7 Hình 4.20 điểm DFT 2, nên người ta gọi cách chia FFT số chi với FFT số N = 4M … xem hình 4.20 , cụ thể ta có tách X0(k) sau : N −1 N −1 r =0 n = 0û X (k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ = WNk ∑ g (r ) WNrk/ x(0) x(4) x(2) x(6) X0(0) DFT N/4 điểm W0N/2 W1N/2 X0(2) DFT N/4 điểm W2N/2 Hình 4.21 Xử Lý Tín Hiệu Số X0(1) 158 W3N/2 X0(3) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Nếu ta đặt l = 2r, ta tách thành hai dãy chẵn lẻ N −1 N −1 l =0 l = 0û X (k ) = ∑ g (2l) WN2lk/ + WNk ∑ g (2l + 1) WN( 2/l2+1) k N −1 N −1 l=0 l = 0û X (k ) = ∑ g (2l) WN2lk/ + WNk / ∑ g (2l + 1) WNlk/ X (k ) = X 00 (k ) + WNk / X 01 (k ) - X 00 (k ) : DFT dãy g(r) có số chẵn - X 01 (k ) : DFT dãy g(r) có số lẻ Hình 4.20 x(0) X(0) DFT N/4 điểm x(4) x(2) x(1) x(3) Hình 4.22 X0(0) W0 N = X0(4) W2 = WN/2N = -1 Hình 4.23 Xử Lý Tín Hiệu Số W1 W4 W2 W6 W3 X(3) W0 W4 W2 W5 X(5) X(6) DFT N/4 điểm x(7) W2 X(1) X(4) DFT N/4 điểm x(5) W0 X(2) DFT N/4 điểm x(6) W0 159 W4 W6 W6 W7 X(7) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Hình 4.22 sau hai lần phân chia X0(0) X0(0) W0 W X0(1) X0(4) -1 W2 W1 X0(2) X0(2) W X0(6) -1 W W3 W6 X0(1) W X0(4) W X0(5) X0(5) W2 -1 X0(3) W5 X0(6) X0(3) W X0(7) W X0(7) W7 W6 -1 Hình 4.24 Hình 4.23 : Lưu đồ tính cho hai điểm x(0) x(4) Hình 4.24 : sau ba lần phân chia(N = 8) Theo bảng , thấy cách tính số phép toán M = log2N N N2 N.log2N 16 32 16 64 256 1024 24 64 160 64 4096 384 128 16384 896 256 65536 2048 512 262144 4608 10 1024 1048576 10240 Trước tiên, qui ước ký hiệu sau : - Nút thứ i tầng thứ m ký hiệu Xm(i) Mỗi tầng có N nút có M = log2N tầng Để thuận tiện ta ký hiệu x(n) tầng thứ - Đối với tầng thứ (m + 1), ta xem dãy Xm(i) dãy Xm+1(i) dãy Đối với tầng đầu N = ta có : X0(0) = x(0) ; X0(4) = x(4) X0(1) = x(1) ; X0(5) = x(5) X0(2) = x(2) ; X0(6) = x(6) X0(3) = x(3) ; X0(7) = x(7) Xử Lý Tín Hiệu Số 160 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Sử dụng ký hiệu từ sơ đồ, ta thấy phép tính tầng có Xm(p) Xm+1(p) dạng chung sau : WrN Xm+1(p) = Xm(p) + WNr Xm(q) (*) Xm(q) Xm+1(q) Xm+1(q) = Xm(p) + WNr+N/2 Xm(q) r r+N/2 = Xm(p) - WN Xm(q) WN = - WNr Biểu diễn theo lưu đồ hình bướm hình 4.25 Hình 4.25 Cặp phép tính này, biểu diễn hình 4.25 Mỗi tầng có số hình bướm N/2 hình Nhờ tính chất WNr+N/2 = - WNr , nên ta rút bớt số phép nhân nửa, số hạng T = WNr Xm(q) cần tính lần công thức (*) N lưu đồ hình 4.25 Ta có : Xm+1(p) = Xm(p) + T Xm(p) Xm+1(p) = Xm(p) + T (*) Xm+1(q) = Xm(q) – T Xm(q) Xm+1(q) = Xm(q) – T WrN -1 Hình 4.26 Kết hợp hình 4.24 hình 4.26 ta có lưu đồ tính FFT phân chia theo thời gian với hình bướm cải tiến hình 4.27 Số phép nhân lưu đồ giảm nửa X0(0) W X0(0) X0(1) X0(4) W0 -1 X0(2) W1 W0 X0(6) W0 -1 W2 X0(2) -1 W -1 W3 X0(3) X0(4) X0(1) X0(5) W0 -1 X0(3) W0 X0(7) W0 -1 W2 W4 W1 W5 -1 W2 -1 W3 Hình 4.27 Xử Lý Tín Hiệu Số W0 161 X0(5) X0(6) W W7 X0(7) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Sơ đồ hình 4.27 sau ba lần phân chia (N = 8) 4.5.2 Thuật Toán FFT Cơ Số Chia Theo Tần Số Hình 4.24 phân chia theo tần số DFT N điểm thành hai DFT N/2 điểm (N = 8) giả thiết N = 2M , ta chia dãy làm hai nửa N −1 X(k ) = ∑ x (n ) WNnk + n =0 N −1 ∑ x (n ) W n = N/2û nk N (4.66) N −1 N −1 n =0 n = 0û X(k ) = ∑ x (n ) WNnk + WN( N / 2) k ∑ x (n + N / 2) WNnk (4.67) với WN( N / 2) = −1 rút gọn lại ta có : N −1 X(k ) = ∑ [ x (n ) + (−1) k x (n + N / 2)]WNnk n =0 xét k = 2r (k chẵn) k = 2r + (k lẻ), ta có : N −1 X(2r ) = ∑ [ x (n ) + x (n + N / 2)]WN2 rn n =0 với r = 0, 1, 2, … , (N/2 -1) WN2 rn = WNrn/ nên X(2r) DFT N/2 điểm dãy g(n) = x(n) + x(n + N/2) X(2r + 1) DFT N/2 điểm tích W với dãy h(n) = x(n) - x(n + N/2) Như vậy, sau có hai dãy h(n) g(n), ta thực h(n)Wn , sau lất DFT hai dãy ta có điểm X(k) số chẵn số lẻ, Hình 4.24 tính với N = Với DFT N/2 điểm, ta tiến hành tương tự táchnthành N/4 Hình 4.25 cho ta thấy lưu đồ tổng quát cách tính DFT theo phương pháp phân chia tần số Như vậy, có N/2 phép nhân ta có M = log2N tầng Số phép nhân tổng cộng (N/2) log2N, với số phép nhân cách tính theo phương pháp phân chia theo thời gian số phép cộng Xử Lý Tín Hiệu Số 162 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc g(0) x(0) X(0) g(1) x(1) DFT N/2 điểm g(2) x(2) X(4) X(6) g(3) x(3) h(0) x(4) x(5) X(2) X(1) -1 x(6) -1 x(7) -1 h(1) DFT N/2 điểm h(2) X(3) X(5) h(3) X(7) -1 Hình 4.24 X0(0) X0(0) X0(1) X0(4) -1 W0 X0(2) -1 W0 N -1 X0(2) X0(3) X0(4) X0(5) X0(6) X0(6) -1 W0 N -1 W -1 W2 N W N -1 W X0(1) X0(5) -1 N -1 W X0(3) W0 N X0(7) X0(7) -1 W N -1 Hình 4.25 Xử Lý Tín Hiệu Số 163 W N -1 W Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc B TẬP CHƯƠNG IV Bài tập 4.1 Hãy chứng minh biểu thức sau : N −1 ∑ e n =0 j 2π n r N N = 0 , r = lN , r lại với l : nguyên Bài tập 4.2 ~ Giả sử ~x (n ) dãy tuần hoàn chu kỳ N X (k ) N = DFT1 [~x (n ) N ] dãy tuần hoàn có chu kỳ N Ta xem ~x (n ) dãy tuần hoàn chu kỳ 2N ta có ~ ~ X (k ) N = DFT2 [~ x (n ) N ] Vậy X (k ) N có chu kỳ 2N ~ ~ Hãy tìm X (k ) N theo hàm X (k ) N Bài tập 4.3 ~ Giả sử ~x (n ) dãy tuần hoàn chu kỳ N ta có X(k ) = DFT1 [~x (n )] ~ Hãy tìm DFT[X(k )] = ~x (l) theo hàm ~x (l) Bài tập 4.4 Giả sử cho hai dãy : ~ x (n ) dãy tuần hoàn chu kỳ N ~y(n ) dãy tuần hoàn chu kỳ M; N ≠ M ~ (n ) = ~ ta có w x (n ) + ~y(n ) ~ (n ) a Hãy tìm chu kỳ w ~ ~ b Tìm W (k ) theo hàm X(k ) Y(k ) Bài tập 4.5 Một tín hiệu tiếng nói có bề rộng phổ 20KHz lấy mẫu tần số Nyquist (fs = fNyquist) DFT tính 4096 mẫu x(n) Hãy tính khoảng cách hai mẫu tần số, tức khoảng cách tần số X(k) X(k + 1) Bài tập 4.6 Tính DFT có chiều dài N = 16 c1c dãy sau : 1 x (n )16 =  0 1 x (n )16 =  0 với n = 0,1, 2, 14, 15 với ≤ n ≤ 13 với ≤ n ≤ với ≤ n ≤ 15 Hãy so sánh kết rút nhận xét ? Xử Lý Tín Hiệu Số 164 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Bài tập 4.7 Cho dãy x1(n) có chiều dài hữu hạn N Ta tạo dãy x2(n) có chiều dài hữu hạn M.N cách sau :   n x x (n ) =   M   với n = mod M với n lại Hãy tìm X2(k) theo hàm X1(k) Bài tập 4.8 Cho dãy x1(n) có chiều dài hữu hạn N Ta tạo dãy x2(n) có chiều dài hữu hạn N x1(n) cách sau : x2(n) = (-1)nx1(n) Hãy tìm X2(k) theo hàm X1(k) Bài tập 4.9 Cho dãy x1(n) có chiều dài hữu hạn N Ta tạo dãy x2(n) có chiều dài hữu hạn M.N cách sau : x (n ) = ~ x (−n − 1)rect MN (n ) a b Hãy cho ví dụ x1(n) x2(n) Hãy tìm X2(k) theo hàm X1(k) Bài tập 4.10 Cho quan hệ hai dãy x1(n) x2(n) sau : x2(n) = x1(n) x1(2n) với x1(n) có chiều dài hữu hạn N Hãy tìm X2(k) theo hàm X1(k) Bài tập 4.11 Cho dãy x1(n) có chiều dài hữu hạn N Ta tạo dãy có chiều dài hữu hạn N x1(n) cách sau :  N  x (n ) + x  n +  x (n ) =  2   N -1 với n lại với ≤ n ≤ Hãy tìm X2(k) theo hàm X1(k) Bài tập 4.12 Cho dãy x1(n) có chiều dài hữu hạn N Chứng minh : x(-n)N = x(N-n)N Bài tập 4.13 Cho dãy x1(n) có chiều dài hữu hạn N, DFT tính N mẫu : x(k)N = DFT[x(n)N] Xử Lý Tín Hiệu Số 165 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Nếu x(n) thoả mãn quan hệ sau : x(n) = -x(N-1-n) Hãy tính X(0)N Bài tập 4.14 Cho dãy x(n) có chiều dài hữu hạn N, DFT tính N mẫu : x(k)N = DFT[x(n)N] Nếu x(n) thoả mãn quan hệ sau : x(n) = -x(N-1-n) với N chẵn Hãy tính X(N/2)N Bài tập 4.15 Cho hai dãy x1(n) x2(n) : n 1 x (n ) =   u (n )  2 jω X (e ) = FT[ x (n )] với ≤ n ≤ 10  ≠0 x (n ) =  với n lại  =0 X (k )10 = DFT[ x (n )10 ]  j 210π k   ta biết X (k )10 = X  e    Hãy tính x2(n) Bài tập 4.16 Cho hai dãy x1(n) x2(n) có chiều dài hữu hạn : ≠ x (n ) =  = ≠ x (n ) =  = với ≤ n ≤ N − với n lại với ≤ n ≤ N − với n lại Giả sử N1 < N2 Nếu thực tích chập tuyến tính : x3(n) = x1(n) * x2(n) tích chập vòng với chiều dài N2 : x3(n)N2 = x1(n)N1 (*)N2 x2(n)N2 Hãy xác đònh số mẫu mà tích chập tuyến tính trùng với tích chập vòng Bài tập 4.17 x1(n) x1(n) n a) Xử Lý Tín Hiệu Số n N –1 166 N –1 N 2N - Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Cho hai dãy x1(n) x2(n) hình BT 4.17 x1(n) x1(n) n b) N –1 n Hình BT 4.17 N –1 N 2N - Hãy tìm X2(k) theo hàm X1(k) Bài tập 4.18 Hãy dùng đồ thò để tính tích chập phân đoạn hai dãy x(n) h(n) cho hình BT 4.18 x(n) n h(n) n Hình BT 4.18 a Dùng phương pháp cộng xếp chồng b Dùng phương pháp đặt kề Bài tập 4.19 nhân Giả sử tính phép nhân 1µs, thời gian để tính DFT nhiều phép a b c Hãy xác đònh thời gian tính toán trực tiếp DFT cho 1024 – điểm Thời gian tính FFT ? Lặp lại câu a câu b DFT 4069 – điểm Xử Lý Tín Hiệu Số 167 [...]... x 0 (n ) n c) 0 Xử Lý Tín Hiệu Số 7 149 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x 1 (n ) n d) 0 7 15 x 2 (n ) n e) 0 7 16 23 24 y 0 (n ) n f) 0 8 y1 (n ) n g) 0 8 y 2 (n ) n h) 0 Xử Lý Tín Hiệu Số 8 15 150 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc y( n ) n i) 0 Hình 4.17 Nhận xét : - Nếu n1 rất dài thì ta có lợi là số lượng các đoạn... nhất Trong thực tế người ta chọn N1 theo bảng HEJMS bảng 4.2 Xử Lý Tín Hiệu Số 152 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x (n ) n a) 0 h (n ) n b) 0 x 0 (n ) n c) 0 8 9 x 1 (n ) n d) 0 7 16 23 24 x 2 (n ) n e) 0 Xử Lý Tín Hiệu Số 7 16 153 23 24 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc y ' 0 (n ) 2,5 n f) 0 8 y '1 ( n ) 2,5 n g) 0... 2(N /2)2 = N + N2/2 phép nhân phức và phép cộng phức để tính tất cả các giá trò của X(k) Xử Lý Tín Hiệu Số 157 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc - Nếu số điểm N có dạng N = 2M thì ta tiếp tục chia đôi sang M lần cho đến khi số x(0) X0(0) DFT N/2 điểm x (2) x(4) X0(1) X0 (2) x(6) X0(3) X(0) W0 W1 W2 X(1) X (2) X(3) W3 x(1) X1(0) DFT N/2 điểm x(3) x(5) X1(1) X1 (2). .. theo thời gian và số phép cộng cũng vậy Xử Lý Tín Hiệu Số 162 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc g(0) x(0) X(0) g(1) x(1) DFT N/2 điểm g (2) x (2) X(4) X(6) g(3) x(3) h(0) x(4) x(5) X (2) X(1) -1 x(6) -1 x(7) -1 h(1) DFT N/2 điểm h (2) X(3) X(5) h(3) X(7) -1 Hình 4.24 X0(0) X0(0) X0(1) X0(4) -1 W0 X0 (2) -1 W0 N -1 2 X0 (2) X0(3) X0(4) X0(5) X0(6) X0(6) -1 W0 N -1... hạn N, DFT được tính trên N mẫu : x(k)N = DFT[x(n)N] Xử Lý Tín Hiệu Số 165 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Nếu x(n) thoả mãn quan hệ sau : x(n) = -x(N-1-n) Hãy tính X(0)N Bài tập 4.14 Cho một dãy x(n) có chiều dài hữu hạn N, DFT được tính trên N mẫu : x(k)N = DFT[x(n)N] Nếu x(n) thoả mãn quan hệ sau : x(n) = -x(N-1-n) với N chẵn Hãy tính X(N/2)N Bài tập 4.15... có chỉ số chẵn - X 01 (k ) : DFT của dãy g(r) có chỉ số lẻ Hình 4.20 x(0) X(0) DFT N/4 điểm x(4) x (2) x(1) x(3) Hình 4.22 X0(0) W0 N = 1 X0(4) W2 = WN/2N = -1 Hình 4.23 Xử Lý Tín Hiệu Số W1 W4 W2 W6 W3 X(3) W0 W4 W2 W5 X(5) X(6) DFT N/4 điểm x(7) W2 X(1) X(4) DFT N/4 điểm x(5) W0 X (2) DFT N/4 điểm x(6) W0 159 W4 W6 W6 W7 X(7) Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc... là tích chập tuyến tính, nếu dùng DFT thì mỗi tích chập phân đoạn này ta phải tính DFT với chiều dài N1 + M – 1 Tức là ta phải tính tích chập vòng với chiều dài N1 + M – 1: y i (n) N1 + M −1 = h(n) N1 + M −1 (*) x i (n) N1 + M −11 Xử Lý Tín Hiệu Số 148 (4.56) Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc như vậy tích chập vòng này sẽ bằng tích cập tuyến tính Thế thì h(n)M... là FFT cơ số 2 và cũng có thể chi với FFT cơ số 4 nếu N = 4M … xem hình 4.20 , cụ thể ta có có thể tách X0(k) ra như sau : N −1 2 N −1 2 r =0 n = 0û X 0 (k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ 2 = WNk ∑ g (r ) WNrk/ 2 x(0) x(4) x (2) x(6) X0(0) DFT N/4 điểm W0N/2 W1N/2 X0 (2) DFT N/4 điểm W2N/2 Hình 4.21 Xử Lý Tín Hiệu Số X0(1) 158 W3N/2 X0(3) Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc... bướm đã được cải tiến hình 4.27 Số phép nhân trong lưu đồ này đã giảm đi được một nửa X0(0) W 0 X0(0) X0(1) X0(4) W0 -1 X0 (2) W1 W0 X0(6) W0 -1 W2 X0 (2) 2 -1 W -1 W3 X0(3) X0(4) X0(1) X0(5) W0 -1 X0(3) W0 X0(7) W0 -1 W2 W4 W1 W5 -1 W2 -1 W3 Hình 4.27 Xử Lý Tín Hiệu Số W0 161 X0(5) X0(6) W 6 W7 X0(7) Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Sơ đồ hình 4.27 sau ba... N− k K= 7 và ta có thể viết : Xử Lý Tín Hiệu Số Hình 4.19 155 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 X ( z) z =W N− k = ∑ x(n) N W Nkn = X (k ) N n =0 Đến đây ta có thể nói rằng biểu thức (4. 62) cho chúng ta công thức biến đổi z của một dãy có chiều dài hữu hạn N từ N “mẫu tần số của X(z) trên vòng tròn đơn vò Vò trí “các mẫu tần số trên vòng tròn đơn vò trong ... c) Xử Lý Tín Hiệu Số 149 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x (n ) n d) 15 x (n ) n e) 16 23 24 y (n ) n f) y1 (n ) n g) y (n ) n h) Xử Lý Tín Hiệu Số 15... Hình 4.13b ~ x (n − 2) x ( n − 2) n n Hình 4.13c Xử Lý Tín Hiệu Số Hình 4.13d 139 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ x (n + 2) x (n + 2) n n Hình 4.13e... X0 (2) = x (2) ; X0(6) = x(6) X0(3) = x(3) ; X0(7) = x(7) Xử Lý Tín Hiệu Số 160 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Sử dụng ký hiệu từ sơ đồ, ta thấy phép tính

Ngày đăng: 06/12/2015, 17:54

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan