Xử lý tín hiệu số chương IV (phần 2)

Còn đối với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N, chúng ta có thể coi chúng tương ứng với mộtchu kỳ của các dãy tuần haòn chu kỳ N, vì vậy chúng ta cũng có định nghĩa và tính chấtt

) ( )]

( [x2 n X2 k

)()]

([x3 n X3 k

thì

)()

()

)]

([x3 n N3 N1 N2

và tất cả các DFT[x1(n)], DFT[x2(n)] và DFT[x3(n)] đều phải tính đến N3 mẫu Giả sửnếu N1 < N2 thì dãy x1(n) phải được kéo dài thêm N2 – N1 mẫu không và DFT[x1(n)]phải được tính trên N3 = N2 mẫu và DFT[x2(n)] và DFT[x3(n)] cũng được tính trên N3 +

N2 mẫu Cụ thể là :

3 1

) ( )

1 0 1

n x k

=

, 0 ≤ k ≤ N2 – 1

3 2

) ( )

n x k

=

, 0 ≤ k ≤ N2 – 1

3 3

) ( )

1 0 3

n x k

n,0

4n0,4

n1)n(x

Hãy tìm trễ tuyến tính x(n - 2) và x(n + 2)

n,0

4n0,4

n1)n(x

Hãy tìm ~ −x(n 2 )4 và ~ +x(n 2 )4, sau đó lấy ra một chu

kỳ của hai dãy này

n

Hình 4.12b

)2n(

n

Hình 4.12c

)2n(

n

Hình 4.13a

)n

n

Hình 4.13d

4

)2n(

Để phân biệt được các loại trễ ta có thể ký sau :

x~ − : Trễ tuần hoàn chu kỳ N

x(n – n0)N : Trễ vòng với chiều dài N

Từ ví dụ, ta thấy nếu trích ra một chu kỳ từ (từ 0 đến N-1) của trễ tuầ hoàn chukỳ N thì ta sẽ có trễ vòng x(n ± n0)N, so sánh với trễ tuyến tính x(n ± n0), nếu nó vượt rakhỏi (từ 0 đến N-1) thì nó sẽ vòng lại để x(n)N xác định trong khoảng [0, N-1], thì lúcnày trễ vòng cũng được xác định trong khoảng [0, N-1]

Ta có thể viết như sau :

)n(rect)n(x~

)n(

)n(rect)nn(x~

)nn(

n

Hình 4.13f

4

)2n(

n

Hình 4.14b

)2n(

)n(x)2n(

Nếu ta xét trong miền k, bản chất của nó cũng tương tự :

) k ( rect ) k (

X~) k (

) k ( rect ) k k (

X~) k k (

Xét tính chất trễ trong miền n, thì trong miền k :

N

N] X(k))

n(x[

N

kn N N

0) ] W X(n)n

n(x[

Chứng minh :

Dựa vào cách chứng minh trong tính chất trễ, ta có :

kn X~( n ) W

] ) n n ( x~

n

Hình 4.14f

)n(x)2n(

4 =+

Nếu lấy hai vế ra chu kỳ [0, N-1], lúc này

)n(rect)nn(x~

)nn(

) n ( rect ) k (

X~) k (

Vậy ta có được :

N

kn N N

0) ] W X(n)n

n(x[

k(X[

thì

N

kn N N

0) ] W x(n)k

k(X[

Nhận xét :

Nếu trích ra một chu kỳ (từ 0 đến N -1) của dãy tuần hoàn biến đảo x~(−n)N thìsẽ được dãy biến đảo vòng chiểu dài hữu hạnx(−n)N, nghĩa là chiều dài hữu hạn sẽkhông vượt ra khỏi [0, N-1] Ta có thể viết lại

)n(rect)n(x~

)n(

Ta cũng xét được trong miền k:

) k ( rect ) k (

X~) k (

Do tính tuần hoàn của x~(n), ta có

)Nn(x~

)n(

)nN(x~

)Nn(x~

)n(

Và ta cũng có :

)n(rect)n(x~

)n(

N

N] X(N k))

nN(x[

n(x[

thì ta có :

* N

*(n) ] X ( k)x

)n(

N

) n ( rect ) k (

X~) k (

X * − N = − Nnhư vậy ta có :

N

n x DFT[ * ( ) ] = ~* ( − )tương tự ta cũng có :

)(])([x* n X* k

Các tính chất đối xứng của DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn có thể suy ratừ các tính chất của DFT đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N, hoặc các tính chất của biếnđổi Fourier (FT) trong chương 3

Bây giờ ta xét chi tiết tính đối xứng đối với dãy phức có chiều dài hữu hạn Nx(n)N

Dãy x(n)N có thể được biểu diễn dưới dạng sau :

])(Im[

])(Re[

)

])(Im[

])(Re[

)(

*

N N

*

N N

N

n x n x n

2

])()(])(Im[

*

N N

N

n x n x n

N N

n

N

kn N N N

k X k

X k X

n x n x DFT W

n x n

x DFT

)(])()

([21

])()

([2

1]

)(Re[

]}

)({Re[

*

* 1

0

=

−+

Xe(k)N là phần đối xứng liên hợp của X(k)N

Trong thực tế thường gặp các dãy tín hiệu thực, vì vậy ta hãy xét trường hợpriêng khi x(n)N là thực

Ta có thể biểu diễn X(k)N dưới dạng sau đây :

])(Im[

])(Re[

)

])(Im[

])(Re[

)(

*

N N

k

])()

([2

1])(

N N

k

])()

([

1])(

và nếu x(n) là thực thì ta có : x(n)N = X*(n)N

N

N DFT x n n

Lấy liên hợp phức hai vế ta có :

N N

([2

1])(

N N

(

*[2

1])(Re[X −k N = X k N +X k N

Vậy với x(n) thực ta có :

])(Re[

])(

tương tự ta có :

])(Im[

])(

Bây giờ ta xét module và Argument

N N

N N

] ) ( Re[

] ) ( Im[

] ) ( Re[

] ) ( Im[

] ) (

k X arctg

k X

k X arctg k

m N

N x n x m x n m n

x n x

và trong miền k ta có :

) (

~ ).

(

~ ) (

~

2 1

Chú ý : tất cả các dãy ở quan hệ trên đều là tuần hoàn chu kỳ N Còn đối với dãy

không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N, chúng ta có thể coi chúng tương ứng với mộtchu kỳ của các dãy tuần haòn chu kỳ N, vì vậy chúng ta cũng có định nghĩa và tính chấttương tự như đối với các dãy tuần hoàn chu kỳ N

Định nghĩa :

Tích chập vòng của hai dãy không tuần hoàn x1(n)N và x2(n)N có chiều dài hữuhạn N là một dãy không tuần hoàn cũng có chiều dài hữu hạn N x3(n)N được cho bởiquan hệ sau :

m

N N

N x m x n m n

N

N x n n

x1( ) (~* ) 2( )

(*)N là tích chập vòng chiều dài N

Nếu trong miền n là tích chập vòng thì trong miền k ta dễ dàng chứng minh đượctính chất sau đây :

N N

N X k X k k

ở đây

])([)

])([)

])([)

,

0

4n04

n1)n(

1 4

2 4 1 4

m

m n x m x n

x n x n x

4 1 4

m

m x

m x x

4 1 4

m

m x m x x

4 1 4

m

m x

m x x

4 1 4

m

m x

m x x

để thấy rõ bản chất của tích chập vòng, chúng ta hãy xem quá trình tính toán và kết

quả bằng đồ thị cho trên hình 4.15.

Nhận xét :

Chúng ta có thể áp dụng tính chất của biểu thức (4.38) để tính tích chập vòng,

đây là cách tính gián tiếp thông qua DFT, nhưng cho ta hiệu quả cao hơn Để thấy rõ,

chúng ta hãy xét ví dụ dưới đây

Ví dụ 4.7 :

Cho hai dãy có chiều dài hữu hạn sau đây :

)n(rect)

n(x)n(

,

0

0kN

W)

k(X)k(

0 n

kn N N

2 N 1

Aùp dụng biểu thức (4.53) ta có :

n

Hình 4.15a

) 1 n ( )

4

3(n) x (n 1)

0 k , N )

k ( X ) k ( X ) k ( X

2 N

2 N 1 N 3

Để tìm x3(n)N ta áp dụng công thức của IDFT

lại còn

n,0

1Nn0,N

n,0

1Nn0,W)0(Xn1

W)k(XN

1)n(x

0 N N 3

1 N 0 k

kn N N 3 N

3

minh hoạ bằng đồ thị cho trên hình 4.16 với N = 4.

4.3.3 Tích chập nhanh (hay tích chập phân đoạn)

a Tổng quan

Để ứng dụng DFT vào việc tính tích chập không tuần hoàn, tức là tích chậptuyến tính, trước hết chúng ta phải phân biệt hai trường hợp Trường hợp thứ nhất khicác dãy chập với nhau có chiều dài gần bằng nhau và ngắn; trường hợp thứ hai khi cácdãy chập với nhau có chiều dài khác nhau

Trường hợp thứ nhất chính là trường hợp chúng ta đã nghiên cứu ở các phần trên.Nhưng trong thực tế, chúng ta thường gặp trường hợp thứ hai Việc tính toán DFT của

-1 0 1 2 3

Hình 4.16b

4

2 ( n ) x

n -1 0 1 2 3

Hình 4.16a

4

1 ( n ) x

k16

-1 0 1 2 3

Hình 4.16c

4 2 4

1 ( k ) X ( k )

k4

-1 0 1 2 3

Hình 4.16e

4

3(n)x

n4

dãy có chiều dài quá dài sẽ xảy ra trường hợp vượt quá dung lượng của bộ nhớ của máytính và cần phải có thời gian tính toán quá lớn không cho phép Hơn nữa để có đượcmẫu đầu tiên của kết quả ta phải đợi kết thúc tất cả các tính toán.

Để giải quyết các vấn đề trên, chúng ta phải chia tính toán ra nhiều giai đoạn.Chúng ta có hai phương pháp (Stockham nghiên cứu phát triển) nội dung như sau :

- Chia dãy thành nhiều dãy con

- Chập từng dãy con một

- Tổ hợp các kết quả thành phần

- Giả sử dãy x(n) có chiều dài N, dãy h(n) có chiều dài M, và N rất lớn so vớiM(N>>M) và dãy y(n) = x(n)*h(n) có chiều dài N + M – 1 sẽ rất lớn Vậy nếu tadùng DFT thì DFT sẽ được tính với chiều dài N + M – 1 Vậy nếu muốn dùng DFTthì ta phải phân dãy x(n) ra làm nhiều đoạn nhỏ

b Phương Pháp 1: cộng xếp chồng

Giả sử ta cần tính tích chập tuyến tính

y(n) = x(n)*h(n)L[x(n)] = NL[h(n)] = MN>>MDãy x(n) được xem như tổng của các dãy thành phần xi(n), mà L[xi(n)] = N1

n,0

1N)1i(niN,)n(x)

n(

*)n(h)

mn(x)m(h

]mn(x)[

m(h)

mn(x)m(h)

n(h

1 1 1

)( N+M− = N +M− i N+M−

như vậy tích chập vòng này sẽ bằng tích cập tuyến tính Thế thì h(n)M sẽ được kéo dài(N1 – 1) mẫu không và xi(n)N1 sẽ được kéo dài M –1 mẫu không.

Trong miền tần số rời rạc k ta có :

1 1 1

)( N+M− = N+M− i N +M−

≤

≤

−+

− +

− +

− +

lại còn n ,

0

2MN)1i(niN,W

)k(Y1MN1

])k(Y[IDFT)

n

(

y

2 M N 0 k

1 1

nk 1 M N 1 M N i 1

1 M N i 1

M N

i

1

1 1

1 1

hình 4.17 cho ta một ví dụ minh hoạ tích chập phân đoạn theo phương pháp cộng xếp

chồng với M = 4, N1 = 8

a) 0

)n(x

n

b) 0 4

)n(h

n

c) 0 7

)n(

x0

n

d) 0 7 15

) n (

x1

n

e) 0 7 16 23 24

) n (

x2

n

f) 0 8

)n(

y0

n

g) 0 8

) n (

y1

n

h) 0 8 15

) n (

y2

n

c Phương pháp 2 : Đặt kề nhau

Chúng ta có một phương pháp nữa để tính tích chập nhanh gọi là phương phápđặt kề nhau, cũng giống như phương pháp cộng xếp chồng Giả sử ta có :

L[x(n)] = NL[h(n)] = M

i) 0

)n(y

n

Hình 4.17

Ta cần tính tích chập tuyến tính cho

y(n) = x(n)*h(n)Trong phương pháp này, x(n) được xem như là tổng của các dãy thành phần đặtkề lên nhau M – 1 điểm, tức là M – 1 điểm đầu tiên của dãy thành phần xi+1(n) sẽ kềlên M – 1 điểm cuối cùng của dãy thành phần xi(n) Còn dãy thành phần đầu tiên x0(n)sẽ được bổ sung m – 1 mẫu không đầu tiên

Chúng ta gọi chiều dài của các dãy thành phần xi(n) là N1 :

L[xi(n)] = N1

Sau đó ta phải chọn N1 > M Để ứng dụng biến đổi Fourier rời rạc (DFT)tính tíchchập phân đoạn này, chúng ta tính tích chập vòng của xi(n)N1 với h(n)M như sau :

1 1

' i M N N

) (

'

N N

i N

k , 0

1 N k 0 , W ) n ( x )

k ( X

1

1 1 1

N 0 n

1

kn N N i N

k , 0

1 N k 0 , W ) n ( h )

k ( H

1

1 1

N 0 n

1

kn N M N

Sau đó dùng biến đổi Fourier ngược (IDFT) để tìm y’(n)N1 như sau :

n,0

1Nn0,W

)k(YN

1)

n(y

1

1 1 1

N 0

kn N N

' i 1 N

'

Sau khi tính được y’

i(n)N chúng ta phải bỏ đi M – 1 điểm đầu tiên để thu được yi(n) Sauđó cộng các giá trị yi(n) ta thu được y(n) :

∑

=

i

i n y n

c) 0 8 9

)n(

x0

n

a) 0

)n(x

n

b) 0

)n(h

n

d) 0 7 16 23 24

) n (

x1

n

e) 0 7 16 23 24

) n (

x2

n

g) 0 8

)n(

y'0

n

2,5

Hình 4.18

4.4 Khôi Phục Biến Đổi Z Và Biến Đổi Fourier Từ DFT

a Khôi Phục Biến Đổi Z

Giả sử có một dãy x(n)N có chiều dài hữu hạn N

()

n

n N n

n

N z x n z n

x z

k , 0

1 N k 0 , W

) n ( x )

k ( X ] ) n ( x [ DFT

1 N 0 n

kn N N N

0

1 N n 0 , W

) k ( X N

1 )

n ( x ] ) k ( X [ IDFT

1 N 0 k

kn N N N

0

1 0

1

1 0

1 0

1 0

1 0

1

) (

1 ) (

1 ) (

) ( 1

) (

1

) (

1 )

(

N

N k N N

n

n N

k

kn N N

z W

z W k

X N z

W k

X N

z W k

X N z W k X N z

)

k N k

N N

z W

k X N

z z

Nhận xét :

- Có thể nói rằng, chúng ta có thể nhận được

biến đổi z của một dãy có chiều dài hữu hạn

từ N giá trị của X(k)N

- Các giá trị (N giá trị) của X(k)N chính là các

mẫu của X(z) được đánh giá trên vòng tròn

đơn vị tại các điểm rời rạc k

N

π

2 , vậy trênvòng tròn đơn vị ta lấy mẫu x(z) tại các điểm

như sau :

k N

k N j k

N N

n

kn N N W

b Khôi Phục Biến Đỗi Fourier

Chúng ta có thể nhận được biến đổi Fourier từ biến đổi z, nếu vòng tròn đơn vịnằm trong miền hội tụ của biến đổi z

1

) ( 1

) ( ) (

N

k j N k

N N

j

N

k j N k j

N N

j

e z j

e

k X N

e

e e

k X N

e z

X e

ω π ω

ω π

ω ω

ω

ta biết rằng :

2sin2

e e

e e e

x j x

j x j x j

) 2

sin(

2

sin )

(

1 )

k

k N

N j N

k N

N k

X N e

X

π ω ω

πω

ω

(4.62)

Biểu thức (4.62) chính là quan hệ cho phép ta tìm biến đổi Fourier bằng cách nội suy từcác giá trị X(k)N

4.5 Biến Đổi Fourier Nhanh (FFT)

Để tiết kiệm thời gian tính toán trong biến đổi Fourier rời rạc (DFT), ta sử dụngthuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) bằng cách chia nhỏ số điểm để xử lý

4.5.1 Thuật Toán FFT Cơ Số 2 Chia Theo Thời Gian

a Tính đối xứng

* kn )

n N (

b Tính tuần hoàn

) N n )(

N k ( n ) N k ( ) N n ( k

Xét biến đổi Fourier rời rạc N điểm của chuỗi x(n)

=

=N 1

0 n

kn

W)n(x)k(

N n

kn x(n)WW

)n(x)

k(X

lẻ chẵn

hoặc thay thế biến n = 2r đối với n chẵn và n = 2r + 1 đối với n lẻ, ta có :

=

1 2 N

n

) 1 r 2 ( k

1 2 N

r

rk

W ) 2 ( x )

k ( X

0û 0

=

1 2 N

n

rk 2 / N

k N

1 2 N

r

rk 2 /

W ) 2 ( x )

k ( X

0û 0

=

=

1 2 N

r

rk 2 / N

n

rk 2 / N

Ta có thể làm một phép so sánh như sau :

- Một DFT có N điểm thì cần N2 phép nhân phức và khoảng N2 phép cộng phức

- Nếu tách thành 2 DFT có N/2 điểm thì cần 2(N/2)2 phép nhân phức và khoảng2N(/2)2 phép cộng phức để thực hiện X0(k) và X1(k) và mất thêm N phép nhânphức giữa W và X1(k) và thêm N phép cộng phức để tính X(k) từ X0(k) và W.X1(k).Như vậy, tổng cộng ta cần N + 2(N/2)2 = N + N2/2 phép nhân phức và phép cộngphức để tính tất cả các giá trị của X(k)

- Nếu số điểm N có dạng N = 2M thì ta tiếp tục chia đôi sang M lần cho đến khi số

điểm DFT là bằng 2, nên người ta còn gọi cách chia này là FFT cơ số 2 và cũng cóthể chi với FFT cơ số 4 nếu N = 4M … xem hình 4.20 , cụ thể ta có có thể tách X0(k)

n

rk 2 / N

k N

1 2 N

r

rk 2 / N

X

0û 0

x(0)x(2)x(4)x(6)

DFTN/2điểm

DFTN/2điểm

DFTN/4điểm

W 0 N/2

Hình 4.21

x(2)x(6)

DFTN/4điểm

W 1 N/2

X0(0)

X0(1)

W 2 N/2

W 3 N/2

X0(2)

X0(3)

Nếu ta đặt l = 2r, ta tách thành hai dãy chẵn và lẻ.

=

1 4 N

l

k ) 1 l 2 ( 2 / N

k N

1 4 N

l

lk 2 2 / N

0 ( k ) g ( 2 l ) W W g ( 2 l 1 ) W

X

0û 0

=

1 4 N

l

lk 4 / N

k 2 / N

1 4 N

l

lk 2 4 / N

X

0û 0

)k(XW)k(X)k(

2 / N 00

- X00(k) : DFT của dãy g(r) có chỉ số chẵn

- X01(k) : DFT của dãy g(r) có chỉ số lẻ Hình 4.20

x(0)

x(4)

DFTN/4điểm

W 0

x(2)

x(6)

DFTN/4điểm

W 2

X(0)X(1)

W 4

W 6

X(2)X(3)

x(1)

x(5)

DFTN/4điểm

W 2

X(4)X(5)

W 4

W 6

X(6)X(7)

Hình 4.22 là sau hai lần phân chia

Hình 4.23 : Lưu đồ tính cho hai điểm x(0) và x(4).

Hình 4.24 : sau ba lần phân chia(N = 8)

Theo bảng 4 , chúng ta thấy cách tính số phép toán.

M = log2N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

N2 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576N.log2N 2 8 24 64 160 384 896 2048 4608 10240

Trước tiên, chúng ta qui ước ký hiệu như sau :

- Nút thứ i của tầng thứ m được ký hiệu là Xm(i) Mỗi tầng có N nút và có M = log2N

tầng Để thuận tiện ta ký hiệu x(n) là tầng thứ 0

- Đối với tầng thứ (m + 1), ta có thể xem dãy Xm(i) như là dãy Xm+1(i) như là dãy ra.Đối với tầng đầu và khi N = 8 ta có :

Sử dụng ký hiệu này và từ sơ đồ, ta thấy

phép tính cơ bản trong các tầng đều có

dạng chung như sau :

Xm+1(p) = Xm(p) + WNr Xm(q) (*)

Xm+1(q) = Xm(p) + WNr+N/2 Xm(q)

= Xm(p) - WNr Xm(q)

Biểu diễn theo lưu đồ hình bướm hình 4.25

Cặp phép tính này, được biểu diễn trên

hình 4.25 Mỗi tầng đều có số hình bướm như nhau và bằng N/2 hình Nhờ tính chất là

WNr+N/2 = - WNr , nên ta có thể rút bớt số phép nhân đi một nửa, vì số hạng T = WNr

Xm(q) có thể chỉ cần tính một lần trong công thức (*) và N trong lưu đồ hình 4.25

W 0

W 1

-1 -1

Sơ đồ hình 4.27 sau ba lần phân chia (N = 8).

4.5.2 Thuật Toán FFT Cơ Số 2 Chia Theo Tần Số

Hình 4.24 phân chia theo tần số của DFT N điểm thành hai DFT N/2 điểm (N =

8) giả thiết N = 2M , ta có thể chia dãy ra làm hai nửa

n

nk N

1 2 N

n

nk

W ) n ( x )

k ( X

N/2û 0

(4.66)hoặc

=

1 2 N

n

nk N k

) 2 / N ( N

1 2 N

n

nk

W ) n ( x )

k ( X

0û 0

(4.67)với

1

W( N / 2 )

N =− rút gọn lại ta có :

nk N k

1 2 N

n

W )]

2 / N n ( x ) 1 ( ) n ( x [ ) k (

=0

xét k = 2r (k chẵn) và k = 2r + 1 (k lẻ), ta có :

rn 2 N

1 2 N

n

W )]

2 / N n ( x ) n ( x [ ) 2 (

2

W = nên X(2r) là DFT N/2 điểm của dãy g(n) = x(n) + x(n + N/2) và X(2r +1) là DFT N/2 điểm của tích W với dãy h(n) = x(n) - x(n + N/2)

Như vậy, sau khi có hai dãy h(n) và g(n), ta thực hiện h(n)Wn , sau đó lất DFT

của hai dãy này ta sẽ có các điểm của X(k) chỉ số chẵn và chỉ số lẻ, Hình 4.24 tính với

N = 8

Với mỗi DFT N/2 điểm, ta tiến hành tương tự và táchnthành N/4 Hình 4.25 cho

ta thấy lưu đồ tổng quát của cách tính DFT theo phương pháp phân chia tần số Nhưvậy, nếu có N/2 phép nhân thì ta có M = log2N tầng Số phép nhân tổng cộng là (N/2).log2N, bằng với số phép nhân trong cách tính theo phương pháp phân chia theo thời gianvà số phép cộng cũng vậy

g(0) g(1) g(2) g(3)

DFTN/2ñieåm

h(0) h(1) h(2) h(3)

Hình 4.24

-1 -1 -1 -1

W 0 N

-1 -1

W 0

W 2 N

W 0 N

W 2 N

W 1 N

W 2 N

W 3 N

-1 -1 -1 -1

W 0

W 0

W 0

-1 -1 -1 -1

BAÌ TẬP CHƯƠNG IV

r,0

lNr,N

[ DFT

)

k

(

X~2 2N = 2 2N Vậy X~2( k )2N có chu kỳ 2N

Hãy tìm X~2( k )2N theo hàm X~1( k )N

Bài tập 4.3

Giả sử x~(n) là một dãy tuần hoàn chu kỳ N và ta có X~(k)=DFT1[x~(n)]

Hãy tìm DFT[X~(k)]=x~1(l) theo hàm x~(l)

a Hãy tìm chu kỳ w~(n)

b Tìm W~(k) theo hàm X~(k) và Y(k)

Bài tập 4.5

Một tín hiệu tiếng nói có bề rộng phổ 20KHz được lấy mẫu bằng tần số Nyquist(fs = fNyquist) một DFT được tính trên 4096 mẫu của x(n) Hãy tính khoảng cách giữa haimẫu trong cùng tần số, tức khoảng cách tần số giữa X(k) và X(k + 1)

15 14, 2, 0,1, n với

0

1)

4 n 0 với

0

1)