Chương IVBIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 Mở Đầu Trong chương ba, chúng ta đã nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số
Trang 1Chương IV
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 Mở Đầu
Trong chương ba, chúng ta đã nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ω (hoặc f) Chúng ta sử dụng biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc để chuyển tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số n sang miền tần số liên tục ω Việc nghiên cứu trong miền ω rất thuận lợi cho việc phân tích và tổng hợp các hệ thống số, đặc biệt đối với các bộ lọc số mà chúng ta sẽ xét sau
Như vậy, chúng ta đã nghiên cứu việc biểu diễn tín hiệu ở ba miền : Miền biến số, miền Z, và miền ω Trong mỗi miền đều có những thuận lợi riêng của nó và giữa các
miền cũng có sự liên hệ với nhau, hình 4.1 cho ta sơ đồ chuyển đổi giữa các miền và sự
liên hệ giữa chúng với nhau
Trong chương 4 này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc ωk (để ngắn gọn ta gọi là k) Thực chất của cách biểu diễn này là lấy từng điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z để biểu diễn Để chuyển cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc sang miền tần số rời rạc, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học gọi là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform: DFT) Việc biểu diễn trong miền tần số rời rạc có hiệu quả khi dùng thuật toán tính nhanh cho DFT, còn gọi là phép biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform : FFT)
4.2 Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu
Kỳ N
4.2.1 Định Nghĩa
a Tổng quan
Giả sử chúng ta có dãy tuần hoàn có chu kỳ N là ~ n x( ) Chúng ta có thể viết như sau :
) (
~ ) (
~ n x n lN
Miền k Miền ω
Hình 4.1
Trang 2ở đây j là số nguyên.
Hình 4.2 cho một ví dụ về dãy tuần
hoàn có chu kỳ N = 4
Ta thấy rằng một dãy tuần hoàn
có chu kỳ N có thể được biểu diễn bởi
một chuỗi Fourier, tức là bởi một tổng
của các dãy sin và cosin hoặc bởi tổng
các dãy hàm mũ phức có tần số cơ bản
N
π
2
Giả sử chúng ta có dãy hàm mũ phức như sau :
) 1 ( , , 1 , 0 )
2
−
=
n
k
π
(4.2)
ta biết rằng :
e0(n) = e0 = 1
1 )
2
=
=
= j N n N j n
N n e e
π
vậy
e0(n) = eN(n) tương tự ta có
e1(n) = eN+1(n)
e2(n) = eN+2(n)
e3(n) = eN+3(n)
…
Như vậy chúng ta có thể biểu diễn dãy tuần hoàn có chu kỳ N là ~ n x( ) dưới dạng sau đây :
) 1 ( , , 1 , 0 )
(
~ 1 ) (
0
−
=
= ∑−
=
N k
e k X N n
N k
π
(4.3)
ở đây X~(k) là dãy tuần hoàn có chu kỳ N, hệ số 1/N trong công thức (4.3) dùng để tính toán X~(k) dưới dạng gọn hơn
Bây giờ chúng ta tiến hành tính X~(k)
Nhân cả hai vế của biểu thức (4.3) với : e j N m.n
2 π
−
Ta có :
n m N j k N j N
k
n m N j
e e
k X N e
n
2 2 1
0
2
)
(
~ 1 )
(
=
−
∑
= sau đó lấy tổng theo n từ 0 đến (N-1) ta có :
4
− 0 4 8
) (
~ n x
n
Hình 4.2
Trang 3n m k N j N
k
N n
n m N j N
n
e k X N
e n
2 1
0
1 0
2 1
0
) (
~ 1
) (
=
−
=
−
−
đổi thứ tự của hai tổng ta có :
]
1 [ (
~ )
(
0
1 0
2 1
0
n m k N j N n
N k
n m N j N
n
e N k X e
n
=
−
=
−
−
π π
ta biết rằng
=
∑−
r , 0
lN r , N
e Nnr
2 j 1 N 0 n
π
với l : số nguyên (4.4) vậy ta có :
−
=
−
=
−
−
=
∑ e 0N , , ((kk mm))còn lạilN N
1 ( k m ) n
N
2 j 1 N 0 n
π
với l : số nguyên
Nếu ta lấy giá trị l = 0 thì k = m
Vậy ta có
) (
~ ]
1 [ (
0
1 0
m X e
N k
N n
N k
=
−
−
=
−
Vậy
n N j N
n
e n x N m
2 1
0 ) (
~ 1 ) (
=
Chú ý rằng X~(k) trong miền phức (4.5) là một dãy tuần hoàn có chu kỳ N, tức là :
) 1 N (
X~ ) 1 (
X~
) N (
X~ ) 0 (
X~
−
=
=
Chúng ta sẽ lấy cách biểu diễn X~(k) trong biểu thức (4.5) để làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn
b Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc
Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn ~ n x( ) có chu kỳ N được định nghĩa như sau :
n N j N
n
e n x k
2 1
0 ) (
~ )
(
=
∑
Nếu chúng ta đặt :
N j
N e W
π
2
−
=
Ta có viết :
2 j kn
W =
π
−
Trang 4-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
) (
~ n x
n
Hình 4.3
N e W
π
2
−
luỹ thừa hai vế phương trình (4.7a) cho mũ (-1), suy ra
( ) kn 1
N
2 j 1
kn
W
− π
−
−
=
hay là kn j N kn
N e W
π
2
=
Vậy ta có thể viết lại biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc (4.7) như sau :
kn N N
n
W n x k
=
= 1 0 ) (
~ )
(
Ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc là DFT và ký hiệu toán tử như sau :
) (
~ )]
(
~ [x n X k
hoặc ~x(n)DFT → X~(k)
Ví du ï4.1 :
Cho dãy tuần hoàn ~ n x( ) như sau :
≤
≤
≤
≤
=
9 5
0
4 0
1 ) (
~
n
n n
Hãy tìm X~(k)
Giải :
Dạng ~ n x( ) cho trên hình 4.3
Ta có thể viết :
) 10 (
~ ) (
~x n =x n+l áp dụng biểu thức (4.6) ta có :
Ta có thể viết : ~x(n)=~x(n+l.10)
k j
k j
k j
k j
n
kn j kn
n
e
k j
e
k j e
e e
W n x k
X
10
2
10 2
5 10
2 4
0 10 2 10
4 0
sin 2
2 sin 2 1
1 )
(
~ )
(
~
π
π
π
π π
π
π
−
−
−
−
=
−
=
=
−
−
=
=
Trang 5k k
k k e
k
k e
k
10
/ 10 sin
2
/ 2
sin 5
10 sin 2
sin )
(
π π
π π π
π
π
−
=
=
đặt
k k
k k k
A
10
/ 10 sin
2
/ 2
sin 5 ) (
~
π π
π π
=
Ta có
) ( )]
(
~ arg[
10
4
) (
~ )
(
~ ) (
~ )
(
~ k e j k A k X k e j x k X k e j k
π
=
=
= −
ở đây ϕ(k)≡arg[X~(k)]
Cần chú ý rằng A(k) là thực, nhưng có thể âm hoặc dương, vậy ta có hàm dấu của A(k) là :
) (
~( )
~ )]
(
~ [
k A
k A k A
<
−
>
=
0 ) (
~ , 1
0 ) (
~ , 1
)]
( [
k A
k A k
A Sgn
Vậy ta có :
)]}
( [ 1 2 10
4 ) (
) (
~ ) (
~
k A Sng k
k
k A k X
− +
−
=
=
π π ϕ
Trong hình 4.4 cho ta đồ thị của X~(k) vào ϕ(k)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
) k (
X~
k
Hình 4.4a
Trang 6c Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược
Biến đổi Fourier rời rạc ngược được định nghĩa như sau :
n N j N
n
e k X N n
2 1
0 ) (
~ 1 ) (
=
hoặc
kn N N
n
W k X N n
=
∑
0 ) (
~ 1 ) (
~
như vậy ta đã lấy cách biểu diễn dãy tuần hoàn ~ n x( ) có chu kỳ N bởi tổng các dãy hàm mũ làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc ngược
Chúng ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc ngược là IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform) và ta ký hiệu toán tử sau :
) (
~ )]
(
~ [X k x n
hoặc X~(k)IDFT → ~x(n)
chú ý rằng, trong những trường hợp cần nhấn mạnh chu kỳ của dãy tuần hoàn ta dùng ký hiệu sau :
N
n
x )(
~ và X )~(k N
tức là dãy tuần hoàn có chu kỳ N
d Bản chất của DFT
DFT bản chất là biến đổi phức bởi vì :
10 4π
)
(k
ϕ
k
Hình 4.4b
π
Trang 7) (
~ ) (
~
2 sin ) (
~ 2
cos ) (
~ )
(
~ )
(
0
1 0
1 0
k B j k A
kn N n
x j kn N n
x W
n x k
n
N n
kn N N
n
+
=
−
=
=
−
=
−
=
π π
ở đây
∑−
=
= 1 0
2 cos ) (
~ )
(
n
kn N n
x k
∑−
=
−
0
2 sin ) (
~ )
(
n
kn N n x k
)
(
~
k
A : Gọi là biến đổi cosin
)
(
~
k
B : Gọi là biến đổi sin
4.2.2 Tính Chất Của DFT Rời Rạc Đối Với Các Dãy Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N
a Tính tuyến tính
DFT là một biến đổi tuyến tính, tức là nếu ta có hai dãy ~x1(n) và ~x2(n) là hai dãy tuần hoàn có cùng chu kỳ N và nếu ta có dãy ~x3(n) là tổ hợp tuyến tính của ~x1(n) và )
(
~
2 n
) (
~ ) (
~ ) (
~
2 1
3 n a x n b x n
ở đây a và b là các hằng số
nếu DFT[~x1(n)]= X~1(k)
) (
~ )]
(
~ [x2 n X2 k
ta có DFT[~x3(n)] = X~3(k) =a X~1(k) +b X~2(k) (4.10)
ở đây tất cả các dãy đều tuần hoàn và có chu kỳ N
b Tính chất trễ
Nếu x~(n) là dãy tuần hoàn và có chu kỳ N và :
) k (
X~ )]
n ( x~
[
thì nếu ta có dãy ~x (n−n0) là dãy trễ của dãy x~(n) cũng là tuần hoàn có chu kỳ N thì
) k (
X~ W )]
n n ( x~
[
N 0
−
=
Chứng minh :
kn N
1 N 0 n
W ) n ( x~
)]
n ( x~
[
=
=
kn N
1 N 0
0)] x~(n n )W n
n ( x~
[
= +
= +
đối với biến số : l = n - n0
Ta có :
Trang 80 0
0 0
0 0
kn N
kl N
n 1 N n l
) n l k N
n 1 N n l
0)] x~(l)W x~(l)W W n
n ( x~
[
− +
−
−
−
=
=
− bởi vì ~ l x ( ) là tuần hoàn với chu kỳ N và kl
N
W cũng tuần hoàn với chu kỳ N nên : )
k (
X~ W ) l ( x~
W ) l (
k
1 N 0 l
kl N
n 1 N n l
0
=
=∑
=
−
−
= vậy ta có :
) k (
X~ W )]
n n ( x~
[
N 0
−
=
− cần lưu ý rằng n0 ≥ N, thì do tính tuần hoàn ta có thể lập luận như sau :
c Tính đối xứng
Nếu ta có dãy ~ n x ( ) tuần hoàn với chu kỳ N và cũng có :
)]
(
~ [ )
(
~
n x DFT k
k X n x
ở đây dấu * là liên hợp phức
Chứng minh :
) (
~ ] ) (
~ [
} ] ) (
~ {[
) (
~ )]
(
~ [
*
* 1
0
*
* 1
0
* 1
0
*
*
k X W
n x
W n x W
n x n
x DFT
kn N N
n
kn N N
n
kn N N
n
−
=
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
∑
∑
∑
Tương tự ta cũng có
) (
~ )]
(
~
k X n x
chứng minh :
kn N N
n
W n x n
x
=
−
=
0
*
*
) (
~ )]
(
~ [
ta đổi biến –n = m :
km N N
m
W m x n
x
=
=
− ( 1)
0
*
*
) (
~ )]
(
~ [
do tính tuần hoàn với chu kỳ N của ~ m x ( ) và kn
N
W , ) (
~ ] ) (
~ [ )]
(
~
0
*
k X W
m x n
x
N N
m
=
=
=
Ta cũng có :
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]
(
~ [Rex n X k X* k
Chứng minh :
)]
(
~ )
(
~ Re[
) (
~
~
~
Trang 9)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]
(
~ Re[x n = x n +x* n
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 ] ) (
~ )
(
~ [ 2 1
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]}
(
~ {Re[
*
* 1 0
1 0
* 1
0
k X k X W
n x W
n x
W n x n x n
x DFT
kn N N
n
kn N N
n
kn N N
n
− +
= +
=
= +
=
∑
∑
∑
−
=
−
=
−
=
Tính DFT của phần tử của ~ n x( ) ta có :
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]}
(
~ [
j n
x I
Chứng minh :
)]
(
~ ) (
~ [ 2
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 ] ) (
~ )
(
~ [ 2 1
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]}
(
~ {Im[
*
*
* 1 0
1 0
* 1
0
k X k X j
k X k X j W
n x W
n x j
W n x n x j n
x DFT
kn N N
n
kn N N
n
kn N N
n
−
−
=
−
−
=
−
=
=
−
=
∑
∑
∑
−
=
−
=
−
=
tổng kết lại các tính chất đối xứng của DFT đối với x(n) phức ta có :
) (
~ )]
(
~ [x* n X* k
) (
~ )]
(
~ [x* n X* k
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]
(
~ [Rex n X k X* k
)]
(
~ ) (
~ [ 2 )]}
(
~ [ {I x n j X k X* k
Thường trong thực tế, ta hay xử lý tín hiệu thực, vậy bây giờ ta xét tính đối xứng của DFT đối với dãy x(n) thực
) (
~ )]
(
~ [x* n X* k
Chứng minh :
)]
(
~ Im[
) (
~ Re[
) (
~
k X j k X k
)]
(
~ Im[
) (
~ Re[
) (
k X j k X k
Vậy
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]
(
~ Re[X k = X k +X* k
Vì ~ n x( ) là thực nên ~x(n)=~x*(n), vậy
)]
(
~ [ )]
(
~ [x n DFT x* n
Trang 10) (
~ ) (
k X k
Lấy liên hợp phức hai vế ta có :
) (
~ ) (
~*
k X k
Vậy ta có :
)]
(
~ Re[
)]
(
~ ) (
~ [ 2 1
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]
(
~ Re[
*
*
k X k
X k X
k X k X k
X
= +
=
− +
−
=
−
Vậy ta có
)]
(
~ Re[
)]
(
~ Re[X k = X −k
Tương tự nếu x(n) là thực thì :
)]
(
~ Im[
)]
(
~
Chứng minh :
)]
(
~ Im[
)]
(
~ ) (
~ [ 2 1
)]
(
~ ) (
~ [ 2
1 )]
(
~ Im[
*
*
k X k
X k X j
k X k X j k X
−
−
=
−
−
−
=
−
=
Tương tự, nếu ~ n x( ) là thực ta có :
) (
~ ) (
~
k X k
)]
(
~ arg[
)]
(
~
d Tích chập tuần hoàn
Tích chập tuyến tính
∑∞
−∞
=
−
=
=
m
m n x m x n
x n x n
x3( ) 1( )* 2( ) 1( ) 2( )
Tích chập tuần hoàn thì có khác với tích chập tuyến tính một chút là do chiều dài của các dãy tuần hoàn là vô cùng nhưng các chu kỳ thì lặp lại giống nhau, vì thế tổng chỉ lấy trong một chu kỳ, vậy ta có định nghĩa của tích chập tuần hoàn sau ;
Tích chập tuần hoàn của hai dãy tuần hoàn ~x1(n) và ~x2(n) có chu kỳ N là một dãy ~x3(n) tuần hoàn có chu kỳ N được định nghĩa sau :
∑−
=
−
= 1 0
2 1
3( ) ~ ( )~ ( )
m
m n x m x n
) (
~ )
*
~ )(
(
~ ) (
~
2 1
Xét trong miền k
Nếu DFT[~x (n)]= X~ (k)
Trang 11) (
~ )]
(
~ [x2 n X2 k
) (
~ )]
(
~ [x3 n X3 k
thì
) k (
X~ ).
k (
X~ ) k (
Chứng minh :
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
0
1
0 2 1
2 1 1
0
1 0
m
N n
kn N
kn N N
n
N m
W m n x m x W
m n x m x k
X
đổi biến
l = n - m
n = l + m Và chu kỳ
)
(
~
2 n
x là dãy tuần hoàn có chu kỳ N
ta có
=
−
= +
−
=
−
=
=
=
0
1 N 0 l
kl N 2
km N 1
) n l k N 2
1 N 0 m
1 N 0 l 1
3(k) x~ (m) x~ (l)W x~ (m)W x~ (l)W X~ (k).X~ (k)
X~
Ví dụ 4.2 :
Cho hai dãy tuần hoàn ~ n x1( )8 và ~ n x2( )8 có chu kỳ N = 8 như trên hình 4.5.
Hãy tìm ~x3(n) =~x1(n)(~* )~x2(n)
Giải :
Theo công thức (4.18) là
) (
~ ) (
~ )
(
~
2 1 1 0
m
−
=∑−
=
ta phải tiến hành tính từng giá trị của ~x3(n) trong một chu kỳ, tức là tính ~x3(0) đến )
7
(
~
3
x Chúng ta sẽ tiến hành bằng đồ thị, sau khi tính toán ta thu được kết quả sau :
75 , 1 ) 0 (
~
x ~x3(1)=2 ~x3(2)=2.25 ~x3(3)=2,5
5 , 2 ) 4 (
~
x ~x3(5)=2,5 ~x3(6)=2,5 ~x3(7)=1,5 và đồ thị của ~x3(n) như trên hình 4.6.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8
1( )
~ n x
n
Hình 4.5a
Trang 12e Tích của hai dãy
Nếu chúng ta coi tích của hai dãy tuần hoàn ~x1(n) và ~x2(n) có cùng chu kỳ N là một dãy ~x3(n) tuần hoàn cũng có chu kỳ N như sau :
) n ( x~
)
n ( x~
) n ( x~3 = 1 2 và nếu chúng ta có :
) (
~ )]
(
~ [x1 n X1 k
) (
~ )]
(
~ [x2 n X2 k
) (
~ )]
(
~ [x3 n X3 k
thì ta có :
∑−
=
−
=
2 1
3( ) ~ ( )(~*) ~ ( ) 1 ~ ( ).~ ( )
l
N k X k
X k
Chứng minh :
) (
~ )
(
~ )
(
~ )]
(
~
0
2 1
x
n
kn N
∑−
=
=
=
2
2( ) 1 ~ ( )
N
W l X N n x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
2( )
~ n x
n
Hình 4.5b
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
) n ( x~
k
Hình 4.6
Trang 13∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
=
=
=
=
1 0
1
) ( 1
1
0 2
1 0
ln 1
1 0 2 1
0
ln 2
1 0 1 3
) (
~ )
(
~ 1 )
(
~ ) (
~ 1
) (
~ ) (
~ 1
) (
~ 1 )
(
~ )
(
~
N l
N l
l k n N N
n
N l
kn N N N
n
N l
kn N N N
n
l k X l X N W
n x l X N
W W n x l X N W
W l X N n x k
X
hoặc là
) (
~ )
*
~ )(
(
~ ) (
~ )
(
~ 1 ) (
~
2 1
1
N k
l
=
−
= ∑−
=
f Tương quan tuần hoàn
Nếu chúng ta có hai dãy tuần hoàn ~x1(n) và ~x2(n) có chu kỳ N, thì hàm tương quan chéo của hai dãy này sẽ được tính toán trên một chu kỳ và được cho bởi công thức sau :
) (
~ ) (
~ )
(
~
2 1 1 0
~
2 n x m x n m
m
=
(4.21)
vậy ta thấy rằng hàm tương quan chéo của hai dãy cùng có chu kỳ N là một dãy tuần hoàn cũng có chu kỳ N
g Tổng kết các tính chất của DFT đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N
Bảng 4.1 cho ta các tính chất cơ bản của DFT đối với các dãy tuần hoàn có chu
kỳ N
Miền n Miền k )
(
~ n
kn N N
k
W k X N n
=
∑
0 ) (
~ 1 )
(
N N
n
W n x N k
=
0 ) (
~ 1 ) (
~
N
N b x n n
x
a~1( ) + ~2( ) a X~1(k)N +b X~2(k)N
) (
~
0
n
n
N
) (
~
lnx n
N N
N
m
n x n
x m n x m
x ( )~ ( ) ~ ( ) (~*)~ ( )
~
2 1
2 1
1
0
=
−
∑−
k X k
X~1( ) ~2( )
N
N x n
n
x ( ) ~ ( )
~
2
=
=
− 1
0
2 1
2
1( ) ~ ( ) ~ ( )(~*)~ ( )
~
1 N l
N
N X k l X k X k l
X N
) (
~ ) (
~ )
(
~
2 1 1 0
~
2 n x m x n m
m
=
) (
~ ) (
~ ) (
~
2 1
~
2
1 k X k X k
nếu ~x2(n) thực ~ ( ) ~ ( ) ~*( )
2 1
~
2
1 k X k X k
Trang 14) (
~ ) (
~ )
(
2 1 1 0
~
2 n x m x n m
m
=
) (
~ ) (
~ ) (
2 1
~
2
1 k X k X k
)
(
~* n
) (
~* n
)]
(
~
2
k X k
)]
(
~
Im[ n x
2
k X k
nếu ~ n x( ) thực X~(k)= X~*(−k)
)]
(
~ Re[
)]
(
~ Re[X k = X* −k
)]
(
~ Im[
)]
(
~ Im[X k =− X −k
) (
~ ) (
~
k X k
)]
(
~ arg[
)]
(
~ arg[X k = X −k
Dài Hữu Hạn N
4.3.1 Định nghĩa
a Tổng quan
Nếu chúng ta có một dãy kông tuần hoàn có chiều dài hữu hạn M và một dãy tuần hoàn có chu kỳ N
Nếu M = N thì dãy có chiều dài hữu hạn M x )(n M chính bằng một chu kỳ của dãy tuần hoàn chu kỳ N = M ~x )(n N Hình 4.7 sẽ cho ta một ví dụ M = N = 4.
Nếu M < N thì dãy có chiều dài hữu hạn M là x )(n M có thể bằng một chu kỳ của dãy tuần hoàn chu kỳ N = M là x )~(n N khi chúng ta xem là dãy có chiều dài hữu hạn M
M
n
x )(
n
Hình 4.7a
M
n
x )(
~
n
Hình 4.7b
Trang 15n
x )( là một dãy có chiều dài N bằng cách kéo dài dãy này thêm N – M mẫu có giá trị không
N
M x n n
x( ) → ( )
Hình 4.8 sẽ cho ta một ví dụ M = 4, N = 8.
Như vậy ta thấy rằng từ một dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn M
M
n
x )( có thể lập một dãy tuần hoàn có chu kỳ N ≥ M ~x )(n N và mỗi một chu kỳ của
N
n
x )(
~ sẽ chính bằng dãy có chiều dài hữu hạn x )~(n M Còn trong trường hợp N < M thì chúng ta không thể làm được việc đó
∑∞
−∞
=
+
=
N x m rN n
~ hoặc
N
n x N n
x n
x( ) ( mod ) ( )
Rõ ràng là dãy x )(n N có chiều dài hữu hạn N nhận được bằng cách trích ra một chu kỳ của dãy tuần hoàn ~x )(n N có chu kỳ n, tức là :
=
lại còn n , 0
1 N n 0 , ) n ( x~
) n (
2 N
Để nhận được dãy x(n) có chiều dài hữu hạn, chúng ta có thể sử dụng một dãy chữ nhật
=
lại còn n ,
0
1 N n 0 , 1
) n ( rectN
n
Hình 4.9a
M
n
x )(
N
n
x ( )
~ 2
n
Hình 4.9b