Xử lý tín hiệu số chương IV (phần 1)

Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Chương IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 Mở Đầu Trong chương ba, nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số liên tục ω (hoặc f) Chúng ta sử dụng biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc để chuyển tín hiệu hệ thống rời rạc từ miền biến số n sang miền tần số liên tục ω Việc nghiên cứu miền ω thuận lợi cho việc phân tích tổng hợp hệ thống số, đặc biệt lọc số mà xét sau Như vậy, nghiên cứu việc biểu diễn tín hiệu ba miền : Miền biến số, miền Z, miền ω Trong miền có thuận lợi riêng miền có liên hệ với nhau, hình 4.1 cho ta sơ đồ chuyển đổi miền liên hệ chúng với Trong chương này, nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu hệ thống rời rạc miền tần số rời rạc ωk (để ngắn gọn ta gọi k) Thực chất cách biểu diễn lấy điểm rời rạc vòng tròn đơn vò mặt phẳng Z để biểu diễn Để chuyển cách biểu diễn tín hiệu hệ thống rời rạc sang miền tần số rời rạc, dùng công cụ toán học gọi biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform: DFT) Việc biểu diễn miền tần số rời rạc có hiệu dùng thuật toán tính nhanh cho DFT, gọi phép biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform : FFT) Miền n Miền Z Miền ω Miền k Hình 4.1 4.2 Biến Đổi Fourier Rời Rạc Đối Với Các Tín Hiệu Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N 4.2.1 Đònh Nghóa a Tổng quan Giả sử có dãy tuần hoàn có chu kỳ N ~x (n) Chúng ta viết sau : ~ x ( n) = ~ x (n + lN ) (4.1) Xử Lý Tín Hiệu Số 121 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc j số nguyên Hình 4.2 cho ví dụ dãy tuần hoàn có chu kỳ N = Ta thấy dãy tuần hoàn có chu kỳ N biểu diễn chuỗi Fourier, tức tổng dãy sin cosin tổng dãy hàm mũ phức có tần số 2π N ~ x ( n) n −4 Hình 4.2 Giả sử có dãy hàm mũ phức sau : e k ( n) = e ta biết : j 2π n.k N k = 0,1, , ( N − 1) (4.2) e0(n) = e0 = e N ( n) = e j 2π n N N = e j 2πn = e0(n) = eN(n) tương tự ta có e1(n) = eN+1(n) e2(n) = eN+2(n) e3(n) = eN+3(n) … Như biểu diễn dãy tuần hoàn có chu kỳ N ~x (n) dạng sau : ~ x ( n) = N 2π N −1 j n k ~ ∑ X (k )e N k = 0,1, , ( N − 1) (4.3) k =0 ~ X (k ) dãy tuần hoàn có chu kỳ N, hệ số 1/N công thức (4.3) dùng để tính ~ toán X (k ) dạng gọn ~ Bây tiến hành tính X (k ) Nhân hai vế biểu thức (4.3) với : e Ta có : 2π −j m n ~ x ( n )e N = N N −1 −j 2π m.n N 2π 2π j n k −j m.n ~ ∑ X (k )e N e N k =0 sau lấy tổng theo n từ đến (N-1) ta có : Xử Lý Tín Hiệu Số 122 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 ∑ n=0 2π −j m.n ~ x ( n )e N = N N −1 ∑ n =0 2π N −1 j ( k − m ).n ~ ∑ X (k )e N k =0 đổi thứ tự hai tổng ta có : N −1 ∑ n=0 2π N −1 m.n −j ~ ~ x ( n)e N = ∑ X (k )[ N k =0 N −1 ∑ e j 2π ( k − m ).n N ] n =0 ta biết N −1 ∑ e j 2π n r N n =0 , r = lN , r lại N = 0 với l : số nguyên với l : số nguyên (4.4) ta có : 2π N −1 j N ( k − m ) n  N , (k − m) = lN = ∑e N n =0 0 , (k − m) lại Nếu ta lấy giá trò l = k = m Vậy ta có N −1 ~ X (k )[ ∑ N k =0 N −1 ∑ e j 2π ( k − m ).n N ~ ] = X ( m) n=0 Vậy 2π j k n N −1 ~ X ( m) = ∑ ~ x (n)e N (4.5) N n =0 ~ Chú ý X (k ) miền phức (4.5) dãy tuần hoàn có chu kỳ N, tức : ~ ~ X (0) = X ( N ) ~ ~ X (1) = X( N − 1) ~ Chúng ta lấy cách biểu diễn X (k ) biểu thức (4.5) để làm đònh nghóa cho biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn b Đònh nghóa biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn ~x (n) có chu kỳ N đònh nghóa sau : 2π N −1 −j k n ~ X (k ) = ∑ ~ x (n)e N (4.6) n=0 Nếu đặt : WN = e −j 2π N Ta có viết : (W n ) kn Xử Lý Tín Hiệu Số  − j2π  =  e N    kn 123 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc hay W kn N =e −j 2π kn N (4.7a) luỹ thừa hai vế phương trình (4.7a) cho mũ (-1), suy (W ) kn −1 N W − kn N =e  − j π kn  =  e N    j −1 2π kn N (4.7b) Vậy ta viết lại biểu thức biến đổi Fourier rời rạc (4.7) sau : N −1 ~ X (k ) = ∑ ~ x (n)W Nkn (4.8) n =0 Ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc DFT ký hiệu toán tử sau : ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) ~ DFT ~ x (n)  → X (k ) Ví du ï4.1 : Cho dãy tuần hoàn ~x (n) sau : ~ 1 ~ x ( n) =  0 0≤n≤4 5≤n≤9 ; với chu kỳ N = 10 Hãy tìm X (k ) ~ x ( n) n -6 -5 -4 -3 -2 -1 10 Hình 4.3 Giải : Dạng ~x (n) cho hình 4.3 Ta viết : ~ x ( n) = ~ x (n + l.10) áp dụng biểu thức (4.6) ta có : ~ Ta viết : x ( n) = ~ x (n + l.10) 4 ~ X (k ) = ∑ ~ x (n)W10kn = ∑ e n =0 Xử Lý Tín Hiệu Số n=0 2π −j kn 10 = 1− e −j 1− e 124 2π k5 10 −j 2π k 10 = j sin πk π e −j k 2 π πk − j 10 k e j sin 10 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ X (k ) = e sin − jπk 10 sin đặt ~ A( k ) = π sin sin π 10 k/ k/ π k π sin k 10 π = 5e sin 4π −j k 10 π π 10 k/ k/ π k π 10 k k π 10 k Ta có 4π −j k ~ ~ ~ ~ ~ X (k ) = e 10 A(k ) = X (k ) e j arg[ x ( k )] = X (k ) e jϕ ( k ) ~ ϕ (k ) ≡ arg[ X (k )] Cần ý A(k) thực, âm dương, ta có hàm dấu A(k) : ~ A( k ) ~ Sgn[ A(k )] = ~ A( k ) 1 Sgn[ A(k )] =  − ~ , A( k ) > ~ , A( k ) < Vậy ta có : ~ ~ X ( k ) = A( k ) ϕ (k ) = − π 4π k + {1 − Sng[ A(k )]} 10 ~ Trong hình 4.4 cho ta đồ thò X (k ) vào ϕ (k ) ~ X(k ) k -6 -5 -4 -3 -2 -1 10 Hình 4.4a Xử Lý Tín Hiệu Số 125 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ϕ (k ) π k 4π 10 Hình 4.4b c Đònh nghóa biến đổi Fourier rời rạc ngược Biến đổi Fourier rời rạc ngược đònh nghóa sau : 2π N −1 ~ x ( n) = N j k n ~ ∑ X (k )e N ~ x (n) = N N −1 (4.9) n =0 ~ ∑ X (k )W n =0 − kn N ta lấy cách biểu diễn dãy tuần hoàn ~x (n) có chu kỳ N tổng dãy hàm mũ làm đònh nghóa cho biến đổi Fourier rời rạc ngược Chúng ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform) ta ký hiệu toán tử sau : ~ IDFT [ X (k )] = ~ x ( n) ~ IDFT X (k )  → ~ x ( n) ý rằng, trường hợp cần nhấn mạnh chu kỳ dãy tuần hoàn ta dùng ký hiệu sau : ~ ~ x (n) N X (k ) N tức dãy tuần hoàn có chu kỳ N d Bản chất DFT DFT chất biến đổi phức : Xử Lý Tín Hiệu Số 126 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 N −1 N −1 2π 2π ~ X (k ) = ∑ ~ x (n)W Nkn = ∑ ~ x (n) cos kn − j ∑ ~ x (n) sin kn N N n =0 n=0 n=0 ~ ~ = A ( k ) + jB ( k ) N −1 2π ~ A( k ) = ∑ ~ x (n) cos kn N n=0 N −1 2π ~ B (k ) = −∑ ~ x (n) sin kn N n=0 ~ A(k ) : Gọi biến đổi cosin ~ B (k ) : Gọi biến đổi sin 4.2.2 Tính Chất Của DFT Rời Rạc Đối Với Các Dãy Tuần Hoàn Có Chu Kỳ N a Tính tuyến tính DFT biến đổi tuyến tính, tức ta có hai dãy ~x1 (n) ~x (n) hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N ta có dãy ~x (n) tổ hợp tuyến tính ~x1 (n) ~ x (n) : ~ x (n) = a~ x1 (n) + b~ x ( n) a b số ~ DFT [ ~ x1 (n)] = X (k ) ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) ta có ~ ~ ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) = aX (k ) + bX (k ) (4.10) tất dãy tuần hoàn có chu kỳ N b Tính chất trễ Nếu ~ x (n ) dãy tuần hoàn có chu kỳ N : ~ DFT[~ x (n )] = X( k ) ta có dãy ~x (n −n ) dãy trễ dãy ~ x (n ) tuần hoàn có chu kỳ N ~ DFT[~ x (n − n )] = W − kn X(k ) (4.11) 0 N Chứng minh : N −1 kn DFT[~ x (n )] = ∑ ~ x (n )WN n =0 N −1 kn DFT[~ x (n + n )] = ∑ ~ x (n + n )WN n =0 biến số : hay Ta có : Xử Lý Tín Hiệu Số l = n - n0 n = l + n0 127 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc DFT[~ x (n − n )] = N −1− n ∑ ~x (l)WNk ( l+ n ) = l= − n N −1− n ∑ ~x (l)W l=− n kl N WNkn ~x (l ) tuần hoàn với chu kỳ N W Nkl tuần hoàn với chu kỳ N nên : N −1− n N −1 ~ kl ~ x ( l ) W = ∑ ∑ ~x (l)Wkkl = X(k ) N l=n ta có : l=0 ~ DFT[~ x (n − n )] = WN− kn X(k ) cần lưu ý n0 ≥ N, tính tuần hoàn ta lập luận sau : c Tính đối xứng Nếu ta có dãy ~x (n) tuần hoàn với chu kỳ N có : ~ X (k ) = DFT [ ~ x (n)] ~ * DFT [ ~ x (n)] = X * (k ) dấu * liên hợp phức Chứng minh : N −1 N −1 n =0 n =0 * DFT [ ~ x (n)] = ∑ ~ x * (n)W Nkn = {[ ∑ ~ x * (n)W Nkn ]* }* N −1 ~ = [∑ ~ x (n)W N− kn ]* = X * (−k ) n =0 Tương tự ta có ~ * DFT [ ~ x (−n)] = X * (k ) (4.12) chứng minh : N −1 * DFT [ ~ x (− n)] = ∑ ~ x * (−n)W Nkn n =0 ta đổi biến –n = m : * DFT [ ~ x (− n)] = − ( N −1) ∑ ~x m=0 * (m)W Nkm tính tuần hoàn với chu kỳ N ~x (m) W Nkn , N −1 ~ * DFT [ ~ x (−n)] = [ ∑ ~ x (m)W Nkm ]* = X * (k ) m=0 Ta có : ~ ~ DFT [Re ~ x (n)] = [ X (k ) + X * (−k )] Chứng minh : ~ x (n) = Re[ ~ x (n) + jI m ~ x (n)] ~ x * (n) = Re[ ~ x (n) − jI m ~ x (n)] Xử Lý Tín Hiệu Số 128 (413) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc Re[ ~ x (n)] = [ ~ x ( n) + ~ x * (n)] N −1 ~ DFT {Re[ ~ x (n)]} = ∑ [ x ( n) + ~ x * (n)]W Nkn = n =0 N −1 N −1 ~ ~ = [∑ ~ x (n)W Nkn + ∑ ~ x * (n)W Nkn ] = [ X (k ) + X * (− k )] n =0 n=0 Tính DFT phần tử ~x (n) ta có : ~ ~ DFT {I m [ ~ x (n)]} = [ X (k ) − X * (− k )] 2j (4.7) Chứng minh : N −1 DFT {Im[~ x (n)]} = ∑ n=0 ~ [ x ( n) − ~ x * (n)]W Nkn = 2j N −1 N −1 ~ ~ ~ kn = [ ∑ x (n)W N − ∑ ~ x * (n)W Nkn ] = [ X (k ) − X * (− k )] j n=0 2j n =0 j ~ ~ = [ X * (− k ) − X (k )] tổng kết lại tính chất đối xứng DFT x(n) phức ta có : ~ DFT [ ~ x * (n)] = X * (−k ) ~ DFT [ ~ x * (− n)] = X * (k ) ~ ~ DFT [Re ~ x (n)] = [ X (k ) + X * (−k )] j ~ ~ DFT {I m [ ~ x (n)]} = [ X (−k ) − X * (k )] Thường thực tế, ta hay xử lý tín hiệu thực, ta xét tính đối xứng DFT dãy x(n) thực ~ DFT [ ~ x * (n)] = X * (−k ) (4.14) Chứng minh : ~ ~ ~ X (k ) = Re[ X (k ) + j Im[ X (k )] ~ ~ ~ X * (k ) = Re[ X (k ) − j Im[ X * (k )] Vậy ~ ~ ~ Re[ X (k )] = [ X (k ) + X * (k )] ~ ~ Vì x (n) thực nên x (n) = ~x * (n) , DFT [ ~ x (n)] = DFT [ ~ x * (n)] theo tính chất (4.4) ta có : Xử Lý Tín Hiệu Số 129 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ ~ X (k ) = X * (k ) Lấy liên hợp phức hai vế ta có : ~ ~ X * (k ) = X (−k ) Vậy ta có : ~ ~ ~ Re[ X (−k )] = [ X (−k ) + X * (−k )] ~ ~ ~ = [ X * (k ) + X (k )] = Re[ X (k )] Vậy ta có ~ ~ Re[ X (k )] = Re[ X (−k )] Tương tự x(n) thực : ~ ~ Im[ X (k )] = − Im[ X (−k )] (4.15) Chứng minh : ~ ~ ~ [ X (k ) − X * (k )] Im[ X (k )] = 2j ~* ~ ~ = [ X (− k ) − X (−k )] = − Im[ X (− k )] 2j Tương tự, ~x (n) thực ta có : ~ ~ X (k ) = X (−k ) ~ ~ arg[ X (k )] = − arg[ X (−k )] (4.16) (4.17) d Tích chập tuần hoàn Tích chập tuyến tính x (n) = x1 (n) * x (n) = ∞ ∑ x ( m) x m = −∞ ( n − m) Tích chập tuần hoàn có khác với tích chập tuyến tính chút chiều dài dãy tuần hoàn vô chu kỳ lặp lại giống nhau, tổng lấy chu kỳ, ta có đònh nghóa tích chập tuần hoàn sau ; Tích chập tuần hoàn hai dãy tuần hoàn ~x1 (n) ~x (n) có chu kỳ N dãy ~x (n) tuần hoàn có chu kỳ N đònh nghóa sau : N −1 ~ x ( n) = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x ( n − m) (4.18) m =0 ~ ~ x ( n) = ~ x1 (n)( * ) N ~ x ( n) Xét miền k ~ DFT [ ~ x1 (n)] = X (k ) Nếu Xử Lý Tín Hiệu Số 130 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) ~ ~ ~ X (k ) = X (k ).X (k ) (4.19) Chứng minh : N −1 N −1 N −1 N −1 ~ X (k ) = ∑ [ ∑ ~ x1 (m) ~ x (n − m)]W Nkn = ∑ ~ x1 ( m ) ∑ ~ x (n − m)W Nkn n =0 m=0 m=0 n=0 đổi biến l=n-m n=l+m Và chu kỳ ~ x (n) dãy tuần hoàn có chu kỳ N ta có N −1 N −1 N −1 N −1 ~ ~ ~ X (k ) = ∑ ~ x ( m )∑ ~ x (l) WNk ( l+ n ) = ∑ ~ x (m) WNkm ∑ ~ x (l) WNkl = X (k ).X (k ) m =0 l=0 m =0 l=0 Ví dụ 4.2 : Cho hai dãy tuần hoàn ~x1 (n) ~x (n) có chu kỳ N = hình 4.5 ~ Hãy tìm ~x (n) = ~x1 (n)( * ) ~x (n) Giải : Theo công thức (4.18) N −1 ~ x ( n) = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x ( n − m) m=0 ta phải tiến hành tính giá trò ~x (n) chu kỳ, tức tính ~x (0) đến ~ x (7) Chúng ta tiến hành đồ thò, sau tính toán ta thu kết sau : ~ x (0) = 1,75 ~ x (1) = ~ x (2) = 2.25 ~ ~ ~ x (4) = 2,5 x (5) = 2,5 x (6) = 2,5 đồ thò ~x (n) hình 4.6 ~x (n) ~ x (3) = 2,5 ~ x (7) = 1,5 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Hình 4.5a Xử Lý Tín Hiệu Số 131 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ x ( n) n -6 -5 -4 -3 -2 -1 10 Hình 4.5b e Tích hai dãy Nếu coi tích hai dãy tuần hoàn ~x1 (n) ~x (n) có chu kỳ N dãy ~x (n) tuần hoàn có chu kỳ N sau : ~ x (n ) = ~ x (n ).~ x (n ) có : ~ DFT [ ~ x1 (n)] = X (k ) ~ x (n ) k -6 -5 -4 -3 -2 -1 Hình 4.6 ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) ~ DFT [ ~ x (n)] = X (k ) ta có : ~ ~ ~ ~ X (k ) = X (k )( * ) N X (k ) = N N −1 ~ ∑X l =0 ~ (l ) X (k − l ) Chứng minh : N −1 ~ DFT [ ~ x (n)] = ∑ ~ x1 (n).~ x (n).W Nkn =X (k ) n =0 thay ~ x ( n) = N Xử Lý Tín Hiệu Số N −1 ~ ∑X l =0 (l )W N− ln 132 (4.20) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 N −1 N −1 ~ N −1 ~ ~ X (k ) = ∑ ~ x1 (n) ∑ X (l )W N− ln W Nkn = ∑ X (l ) ∑ ~ x1 (n)W N− ln W Nkn N l =0 N n =0 n=0 l =0 N −1 N −1 N −1 1 ~ ~ ~ = ∑ X (l ) ∑ ~ x1 (n)W Nn ( k − l ) = ∑ X (l ) X (k − l ) N n =0 N l =0 l =0 ~ X (k ) = N N −1 ~ ∑X l =0 ~ ~ ~ ~ (l ) X (k − l ) = X (k )( * ) N X (k ) f Tương quan tuần hoàn Nếu có hai dãy tuần hoàn ~x1 (n) ~x (n) có chu kỳ N, hàm tương quan chéo hai dãy tính toán chu kỳ cho công thức sau : N −1 ~ r~x1~x2 (n) = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x ( n − m) (4.21) m=0 ta thấy hàm tương quan chéo hai dãy có chu kỳ N dãy tuần hoàn có chu kỳ N g Tổng kết tính chất DFT dãy tuần hoàn có chu kỳ N kỳ N Bảng 4.1 cho ta tính chất DFT dãy tuần hoàn có chu Miền n Miền k ~ X (k ) ~ x ( n) N −1 a~ x1 (n) N + b~ x ( n) N N −1 ~ X (k ) = ∑ ~ x (n)W Nkn N n=0 ~ ~ aX ( k ) N + bX ( k ) N ~ x (n − n0 ) ~ W Nkn0 X (k ) W Nln ~ x ( n) ~ X (k + l ) N −1 ~ ~ X (k ) N X (k ) N ~ x ( n) = N ∑ m =0 ~ ∑ X (k )W N− kn k =0 ~ ~ x1 ( m ) ~ x ( n − m) = ~ x1 ( n ) N ( * ) ~ x (n) N N ~ x1 (n) N ~ x ( n) N N −1 N −1 ~ ∑X l =0 ~ ~ ~ ~ (l ) N X (k − l ) N = X (k )( * ) X (k ) ~ r~x1~x2 (n) = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x ( n − m) ~ ~ ~ R ~x1~x2 (k ) = X (k ) • X (−k ) ~x (n) thực ~ ~ ~ R ~x1~x2 (k ) = X (k ) • X 2* (k ) m=0 Xử Lý Tín Hiệu Số 133 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 ~ r~x1~x2 (n) = ∑ ~ x1 (m) ~ x 2* (n − m) ~ ~ ~ R ~x1~x2 (k ) = X (k ) • X 2* (k ) ~ x * ( n) ~ X * (− k ) ~ X * (k ) m=0 ~ x * ( − n) Re[ ~ x (n)] ~ ~ [ X (k ) + X * (−k )] j Im[~ x (n)] ~ ~ [ X (k ) − X * (− k )] ~ ~ X (k ) = X * (−k ) ~ ~ Re[ X (k )] = Re[ X * (−k )] ~ ~ Im[ X (k )] = − Im[ X (−k )] ~x (n) thực ~ ~ X (k ) = X (−k ) ~ ~ arg[ X (k )] = arg[ X (−k )] 4.3 Biến Đổi Fourier Rời Rạc Với Các Dãy Không Tuần Hoàn Có Chiều Dài Hữu Hạn N 4.3.1 Đònh nghóa a Tổng quan Nếu có dãy kông tuần hoàn có chiều dài hữu hạn M dãy tuần hoàn có chu kỳ N Nếu M = N dãy có chiều dài hữu hạn M x(n) M chu kỳ dãy tuần hoàn chu kỳ N = M ~x (n) N Hình 4.7 cho ta ví dụ M = N = x ( n) M ~ x ( n) M n n Hình 4.7b Hình 4.7a Nếu M < N dãy có chiều dài hữu hạn M x(n) M chu kỳ dãy tuần hoàn chu kỳ N = M ~x (n) N xem dãy có chiều dài hữu hạn M Xử Lý Tín Hiệu Số 134 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x(n) M dãy có chiều dài N cách kéo dài dãy thêm N – M mẫu có giá trò không x ( n) M → x ( n) N Hình 4.8 cho ta ví dụ M = 4, N = x ( n) M n Hình 4.9a ~ x ( n) N n Hình 4.9b Như ta thấy từ dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn M x(n) M lập dãy tuần hoàn có chu kỳ N ≥ M ~ x (n) N chu kỳ ~ x (n) N dãy có chiều dài hữu hạn ~ x (n) M Còn trường hợp N < M làm việc ~ x ( n) N = ∞ ∑ ( x(m + rN )) r = −∞ M ~ x (n) = x(n mod N ) = x(n) N Rõ ràng dãy x(n) N có chiều dài hữu hạn N nhận cách trích chu kỳ dãy tuần hoàn ~x (n) N có chu kỳ n, tức : ~ x (n ) N x (n ) N =   ,0 ≤ n ≤ N − , n lại Để nhận dãy x(n) có chiều dài hữu hạn, sử dụng dãy chữ nhật ,0 ≤ n ≤ N − 1 rect N (n ) =  , n lại 0 Xử Lý Tín Hiệu Số 135 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ta có : x ( n) N = ~ x (n) N rect N (n) Chúng ta có tính đối ngẫu miền n miền k (hoặc dãy x(n) dãy X(k)) Vì miền k, X(k) ta viết : X(k ) = X(k , mod N) = X(k ) N ~ X(k ) ,0 ≤ k ≤ N − X(k ) =  , k lại  ~ X (k ) = X (k ).rect N (k ) Hơn nữa, thấy biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N tính chu kỳ, kết tuần hoàn hoá từ - ∞ đến + ∞ với chu kỳ N Vậy ta lấy đònh nghóa biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hoàn có chu kỳ N để làm đònh nghóa cho biến Fourier rời rạc dãy số chiều dài hữu hạn N không tuần hoàn hoá mà từ đến N – b Đònh nghóa Cặp biến đổi Fourier rời rạc (DFT) dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N đònh nghóa sau : Biến đổi Fourier thuận (DFT)  N −1  x (n ) WNkn X(k ) = ∑ n =0  ,0 ≤ k ≤ N − , k lại (4.22) Ký hiệu DFT[x(n)] = X(k) DFT ) x(n) ( → X (k ) Biến đổi Fourier ngược (IDFT)  N −1 X(k ) WN− kn  x (n ) =  N ∑ k =0  ,0 ≤ n ≤ N − , n lại (4.23) Ký hiệu IDFT[X(k)] = x(n) IDFT ) X (k ) ( → x(n) Ở ta gọi X(k) phổ rời rạc tín hiệu x(n), biểu diễn dạng modul argument ta có : X ( k ) = X ( k ) e jϕ ( k ) Xử Lý Tín Hiệu Số 136 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc (4.24) ϕ (k ) = arg[ X (k )] X (k ) : gọi phổ rời rạc biên độ ϕ (k ) : gọi phổ rời rạc pha Ví dụ 4.3 : Hãy tìm DFT dãy có chiều dài hữu hạn x(n) sau : x(n) = δ(n) Giải : Muốn tìm DFT, trước hết ta phải chọn chiều dài DFT, tức chọn chiều dài dãy Giả sử ta chọn N, dãy x(n) có dạng sau hình 4.10 x(n) Và X(k) tính sau : N −1 X (k ) = ∑ δ(n ) WNkn n n =0 ,0 ≤ k ≤ N − 1 =  , k lại -2 -1 N-1 Hình 4.10 X ( k ) = X ( k ) e jϕ ( k ) ,0 ≤ k ≤ N − , k lại 1 X(k ) =  0 ϕ(k) = X(k ) , ∀k X (k ) có dạng sau hình 4.11 k -2 -1 N-1 Hình 4.11 4.3.2 Tính Chất Của DFT Đối Với Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn N a Tính Tuyến Tính DFT biến đổi tuyến tính, tức ta có hai dãy có chiều dài hữu hạn x1 (n) x (n) x (n) tổ hợp tuyến tính hai dãy này, tức : (4.25) x (n) = ax1 (n) + bx (n) mà ta có : DFT [ x1 (n)] = X (k ) Xử Lý Tín Hiệu Số 137 [...]... (4.22) Ký hiệu DFT[x(n)] = X(k) DFT ) x(n) ( → X (k ) Biến đổi Fourier ngược (IDFT)  1 N −1 X(k ) WN− kn  x (n ) =  N ∑ k =0  0 ,0 ≤ n ≤ N − 1 , n còn lại (4.23) Ký hiệu IDFT[X(k)] = x(n) IDFT ) X (k ) ( → x(n) Ở đây ta gọi X(k) là phổ rời rạc của tín hiệu x(n), và biểu diễn ở dạng modul và argument ta có : X ( k ) = X ( k ) e jϕ ( k ) Xử Lý Tín Hiệu Số 136 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và... dãy x(n) có chiều dài hữu hạn, chúng ta có thể sử dụng một dãy chữ nhật ,0 ≤ n ≤ N − 1 1 rect N (n ) =  , n còn lại 0 Xử Lý Tín Hiệu Số 135 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc vậy ta có : x ( n) N = ~ x (n) N rect N (n) Chúng ta cũng có tính đối ngẫu giữa miền n và miền k (hoặc là giữa dãy x(n) và dãy X(k)) Vì vậy trong miền k, đối với X(k) ta cũng có thể... hình 4.11 k -2 -1 0 1 2 N-1 Hình 4.11 4.3.2 Tính Chất Của DFT Đối Với Dãy Có Chiều Dài Hữu Hạn N a Tính Tuyến Tính DFT là một biến đổi tuyến tính, tức là nếu ta có hai dãy có chiều dài hữu hạn x1 (n) và x 2 (n) và x 3 (n) là tổ hợp tuyến tính của hai dãy này, tức là : (4.25) x 3 (n) = ax1 (n) + bx 2 (n) mà ta có : DFT [ x1 (n)] = X 1 (k ) Xử Lý Tín Hiệu Số 137 ... N −1 ~ ∑X l =0 1 ~ (l ) X 2 (k − l ) Chứng minh : N −1 ~ DFT [ ~ x 3 (n)] = ∑ ~ x1 (n).~ x 2 (n).W Nkn =X 3 (k ) n =0 thay 1 ~ x 2 ( n) = N Xử Lý Tín Hiệu Số N −1 ~ ∑X l =0 2 (l )W N− ln 132 (4.20) Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 N −1 1 N −1 ~ 1 N −1 ~ ~ X 3 (k ) = ∑ ~ x1 (n) ∑ X 2 (l )W N− ln W Nkn = ∑ X 2 (l ) ∑ ~ x1 (n)W N− ln W Nkn N l =0 N n =0 n=0... (k ) ~ r~x1~x2 (n) = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x 2 ( n − m) ~ ~ ~ R ~x1~x2 (k ) = X 1 (k ) • X 2 (−k ) nếu ~x 2 (n) thực ~ ~ ~ R ~x1~x2 (k ) = X 1 (k ) • X 2* (k ) m=0 Xử Lý Tín Hiệu Số 133 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc N −1 ~ r~x1~x2 (n) = ∑ ~ x1 (m) ~ x 2* (n − m) ~ ~ ~ R ~x1~x2 (k ) = X 1 (k ) • X 2* (k ) ~ x * ( n) ~ X * (− k ) ~ X * (k ) m=0 ~ x * ( − n) Re[... < N thì dãy có chiều dài hữu hạn M là x(n) M có thể bằng một chu kỳ của dãy tuần hoàn chu kỳ N = M là ~x (n) N khi chúng ta xem là dãy có chiều dài hữu hạn M Xử Lý Tín Hiệu Số 134 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc x(n) M là một dãy có chiều dài N bằng cách kéo dài dãy này thêm N – M mẫu có giá trò không x ( n) M → x ( n) N Hình 4.8 sẽ cho ta một ví dụ M = 4,... 2,5 x 3 (6) = 2,5 và đồ thò của ~x 3 (n) như trên hình 4.6 ~x (n) 1 8 ~ x 3 (3) = 2,5 ~ x 3 (7) = 1,5 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Hình 4.5a Xử Lý Tín Hiệu Số 131 Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ x 2 ( n) 8 n -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hình 4.5b e Tích của hai dãy Nếu chúng ta coi tích của hai dãy tuần hoàn ~x1 (n) và ~x 2 (n)... hành tính từng giá trò của ~x 3 (n) trong một chu kỳ, tức là tính ~x 3 (0) đến ~ x 3 (7) Chúng ta sẽ tiến hành bằng đồ thò, sau khi tính toán ta thu được kết quả sau : ~ x 3 (0) = 1,75 ~ x 3 (1) = 2 ~ x 3 (2) = 2.25 ~ ~ ~ x 3 (4) = 2,5 x 3 (5) = 2,5 x 3 (6) = 2,5 và đồ thò của ~x 3 (n) như trên hình 4.6 ~x (n) 1 8 ~ x 3 (3) = 2,5 ~ x 3 (7) = 1,5 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Hình 4.5a Xử. .. hàm tương quan chéo của hai dãy này sẽ được tính toán trên một chu kỳ và được cho bởi công thức sau : N −1 ~ r~x1~x2 (n) = ∑ ~ x1 ( m ) ~ x 2 ( n − m) (4. 21) m=0 vậy ta thấy rằng hàm tương quan chéo của hai dãy cùng có chu kỳ N là một dãy tuần hoàn cũng có chu kỳ N g Tổng kết các tính chất của DFT đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N kỳ N Bảng 4.1 cho ta các tính chất cơ bản của DFT đối với các dãy tuần.. .Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc ~ DFT [ ~ x 2 (n)] = X 2 (k ) ~ DFT [ ~ x 3 (n)] = X 3 (k ) thì ~ ~ ~ X 3 (k ) = X 1 (k ).X 2 (k ) (4.19) Chứng minh : N −1 N −1 N −1 N −1 ~ X 3 (k ) = ∑ [ ∑ ... phổ rời rạc tín hiệu x(n), biểu diễn dạng modul argument ta có : X ( k ) = X ( k ) e jϕ ( k ) Xử Lý Tín Hiệu Số 136 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc (4.24)... ký hiệu sau : ~ ~ x (n) N X (k ) N tức dãy tuần hoàn có chu kỳ N d Bản chất DFT DFT chất biến đổi phức : Xử Lý Tín Hiệu Số 126 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số. .. n )] = ∑ ~ x (n + n )WN n =0 biến số : hay Ta có : Xử Lý Tín Hiệu Số l = n - n0 n = l + n0 127 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc DFT[~ x (n − n )] = N −1−