Giải tích 2 đề số 15

Giải tích – Đề số 15 Câu 1: Cho f  f (3 x  y , e xy ) Tính f  f , x xy Bài giải Đặt  u  x  y  xy v  e f  f (3 x  y , e xy )  f (u , v) f  f 'u  ye xy f 'v x 2 f  yf ''uu  3xe xy fuv''   xy  1 e xy f v'  ye xy  yfuv''  xe xy f vv''  xy   xy  1 e xy fv'  yf ''uu   3x  y  e xy fuv''  xye xy fvv'' Câu 2: Tìm điểm M hình nón z  x  y , cho MA nhỏ nhất, với A(4,2,0) Bài giải Cách 1: Gọi M(a,b,c) MA= (a  4)2  (b  2)2  c  (a  4)2  (b  2)  a  b MA2  (a  4)  (b  2)  a  b  2(a  b )  8a  4b  20  f (a, b) f 'a  4a    a=2,b=1 f 'b  4b   f ''a  4, f ''ab  => f đạt cực tiểu (2,1) đạt (2,1) f ''b   Vậy M 2,1,   Cách 2: Gọi M(x,y,z) Pháp véc tơ mặt S: n=(x,y,-z) (vì A nằm phía mặt nón)  MA ngắn MA,n hướng: x  4 x 2 y z     z x y z y 1 Làm hay sai? Suy nghĩ tí  2n  n n 1 Câu Tính tổng  Bài giải x5 , x   1,1  x2   x n 3  Ta có n 1 Lấy đạo hàm vế:    2n  3 x n   x  3x 2 1  x  n 1    2n  3 x  2n  n 1 Thế 5x  3x4 2 1  x  1 25  11 x S 16 25 Câu 4: Tìm chuỗi Maclaurint hàm f ( x )  arctan x3 tìm bán kính hội tụ x 3 chuỗi Bài giải 2n 1  n x       x2 n 0 9n 1   x n 1 x n 1 n n 1  f  x      1 n  C  C    1 n 0  2n  1 32 n 1  2n  1 n 0 f ' x  Vì: Vậy: 3  x 9 f    arctan  1   f  x        1 n0  C  x n 1 n 1  n 1  2n  1 Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3 Câu 5: Tính tích phân  max sin x,sin ydxdy với D miền  x   ,  y   D Bài giải: Chia D làm miền đường thẳng y=x x+y=Pi y f(x)=0 f(x)=x 3.5 f(x)=Pi Pi x(t)=0 , y(t)=t x(t)=Pi , y(t)=t D4 f(x)=Pi-x 2.5 D1 D3 1.5 D2 0.5 x -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 Pi -0.5 x y x y sin 2  x y sin 0 y  x     sin x  sin y D1 :  x  y   cos x  y   Xét sin x  sin y  cos Em xét tương tự miền lại: D2 , D4 : s inx  sin y D1 , D3 : sin x  sin y I     sin ydxdy   sin ydxdy   sin xdxdy   sin ydxdy  D D1 D3 D2  D4      Câu 6: Tính tích phân đường I   y  z dx  z  x dy  x  y dz , với C C giao mặt phẳng x  y  z  mặt cầu x  y  z  ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz Bài giải Chọn S mặt phần mp x  y  z  nằm mặt cầu x  y  z  Áp dụng công thức Stoke:       I   y  z dx  z  x dy  x  y dz C   (2 y  2)dydz  (2 z  2)dxdz  (2 x  2)dxdy S  1 , , ) 3 2 4 I  (x  y  z  3)dS   (1  3)dS   dS 3S 3S 3S 11 S   r   ( R  d(2I ,  ) )   (4  )   3 Pháp véc tơ đơn vị S: n( 44  3 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   zdxdy với S nửa mặt cầu x  y  z  , I  S phần y  , phía (phía theo hướng trục Oy) Bài giải Cách 1:  y  D: 2  x  y  I   zdxdy    x  y dxdy      x  y dxdy (chú ý pháp vecto mặt S D D nhé)  0  2  x  y dxdy   d   r rdr  18 D Cách 2: gọi S1 mặt bên trái hình tròn x2+z2 ...Bài giải x5 , x   1,1  x2   x n 3  Ta có n 1 Lấy đạo hàm vế:    2n  3 x n   x  3x 2 1  x  n 1    2n  3 x  2n  n 1 Thế 5x  3x4 2 1  x  1 25  11 x S 16 25 ... Oz Bài giải Chọn S mặt phần mp x  y  z  nằm mặt cầu x  y  z  Áp dụng công thức Stoke:       I   y  z dx  z  x dy  x  y dz C   (2 y  2) dydz  (2 z  2) dxdz  (2 x  2) dxdy... kính hội tụ x 3 chuỗi Bài giải 2n 1  n x       x2 n 0 9n 1   x n 1 x n 1 n n 1  f  x      1 n  C  C    1 n 0  2n  1 32 n 1  2n  1 n 0 f ' x  Vì: