Đề số 15 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x 2 3 3 lim 2 3 →− + + − b) x x x 2 2 5 3 lim 2 →− + − + Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2: x x khi x f x x a khi x 2 7 10 2 ( ) 2 4 2 − + ≠ = − − = . Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x x 2 3 ( 1)( 2)= − + b) x y x 4 2 2 2 1 3 + = ÷ ÷ − Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ AA′). a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: n n 2 2 1 2 2 2 lim 1 3 3 3 + + + + + + + + . Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y xsin(sin )= . Tính: y ( ) π ′′ . b) Cho (C): y x x 3 2 3 2= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x a bc 2 = − , y b ca 2 = − , z c ab 2 = − . Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y x x.sin= . Chứng minh rằng: xy y x xy2( sin ) 0 ′ ′′ − − + = . b) Cho (C): y x x 3 2 3 2= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = x 1 1 3 − + . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 15 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) 2 3 3 3 3 lim lim ( 3)( 1) 2 3 x x x x x x x x →− →− + + = + − + − 0.50 3 1 1 lim 1 4 x x →− = − − 0.50 b) ( ) →− →− + − − + = + + + + x x x x x x x x 2 2 2 2 5 3 ( 2)( 2) lim lim 2 ( 2) 5 3 0.50 2 2 2 4 2 lim 6 3 5 36 x x x →− − − = = = − + + 0.50 2 x x khi x f x x a khi x 2 7 10 2 ( ) 2 4 2 − + ≠ = − − = 2 2 2 2 2 7 10 ( 2)( 5) lim ( ) lim lim lim( 5) 3 2 2 x x x x x x x x f x x x x → → → → − + − − = = = − = − − − 0,50 f(2) = 4 – a ( )f x liên tục tại x = 2 ⇔ 2 lim ( ) (2) 4 3 7 x f x f a a → = ⇔ − = − ⇔ = Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2. 0,50 3 a) 2 3 5 3 2 ( 1)( 2) 2 2y x x y x x x= − + ⇒ = − + − 0,50 4 2 ' 5 3 4y x x x⇒ = − + 0,50 b) 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 14 ' 4 3 3 ( 3) x x x y y x x x + + − = ⇒ = ÷ ÷ ÷ ÷ − − − 0,50 − + ⇒ = − x x y x 2 3 2 5 56 (2 1) ' ( 3) 0,50 4 0,25 a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK). ′ ′ ′ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥BC AC BC AA BC C C BC CK, (AA ) 0,25 ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥AB A B KH A B KH AB CH AB AB CHK, ' ', ' ' ( ) P 0,50 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). Có ' ( ), ' ( ' ' ) ( ' ' ) ( )AB CHK AB AA B B AA B B CHK⊥ ⊂ ⇒ ⊥ 0,50 0 (( ' ' ),( )) 90AA B B CHK = 0,50 2 c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). Ta đã có ' ( )( )AB CHK cmt⊥ tại H nên ( ,( ))d A CHK AH= 0,25 ( ), ' ( : ) ( ' ' ) 'AC BC gt CC AC gt lt AC CC B B AC CB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 = + = + = = + 2 2 2 2 2 2 , ' 2 2 2AB AC BC a b AB AB a b 0,25 Trong ∆ACB’ vuông tại C: ′ ′ ⊥ ⇒ = 2 .CH AB AC AH AB 2 2 2 2 2 ' 2 2( ) AC a a AH AB AB a b ⇒ = = = + 0,25 5a 1 2 2 1 2 1 1. 1 2 2 2 2 1 lim lim 1 3 3 3 3 1 1. 3 1 n n n n + + − + + + + − = = + + + + − − 0,50 1 1 1 1 1 2 2 2. 3 2.2 2 3 lim lim 0 1 3 1 1 3 n n n n n + + + + + − ÷ − = = − − 0,50 6a a) Cho hàm số y xsin(sin )= . Tính: y ( ) π ′′ . = ⇒ = − −y x x y x x x x x' cos .cos(sin ) " sin .cos(sin ) cos .cos sin(sin ) 0,50 π ⇒ = − − ⇒ =y x x x x y 2 " sin .cos(sin ) cos .sin(sin ) "( ) 0 0,50 b) Cho (C): y x x 3 2 3 2= − + . ′ = −y x x 2 3 6 . Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0), ( ) ( ) − +B C1 3;0 , 1 3;0 0,25 Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: = − +y x3 3 0,25 Tiếp tuyến tại ( ) −B 1 3;0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : 6 6 6 3y x= − + 0,25 Tiếp tuyến tại ( ) +C 1 3;0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : = − −y x6 6 6 3 0,25 5b CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành CSC, với: x a bc 2 = − , y b ca 2 = − , z c ab 2 = − . a, b, c là cấp số cộng nên + =a c b2 Ta có 2y = 2 2 2 2 2 , ( )b ca x z a c b a c− + = + − + 0,50 ⇒ 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2x z a c ac b b ac b b ac y+ = + − − = − − = − = (đpcm) 0,50 6b a) Cho hàm số y x x.sin= . Chứng minh rằng: xy y x xy2( sin ) 0 ′ ′′ − − + = . Ta có = + ⇒ = + − = −y x x x y x x x x x y' sin cos " cos cos sin 2cos 0,50 ′ ′′ ⇒ − − + = − + − + −xy y x xy xy x x x x x x y2( sin ) 2(sin cos sin ) (2cos ) 0,25 = 0 0,25 b) Cho (C): y x x 3 2 3 2= − + , d: y = x 1 1 3 − + . Vì tiếp tuyến vuông góc với d: y = x 1 1 3 − + nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3 0,25 Gọi x y 0 0 ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm. ⇒ ′ = ⇔ − − = ⇔ = − = +y x x x x x 2 0 0 0 0 0 ( ) 3 3 6 3 0 1 2; 1 2 0,25 Với = − ⇒ = ⇒ = + −x y PTTT y x 0 0 1 2 2 : 3 4 2 3 0,25 Với = + ⇒ = − ⇒ = − −x y PTTT y x 0 0 1 2 2 : 3 4 2 3 0,25 3 . x x x x 2 2 2 2 5 3 ( 2) ( 2) lim lim 2 ( 2) 5 3 0.50 2 2 2 4 2 lim 6 3 5 36 x x x →− − − = = = − + + 0.50 2 x x khi x f x x a khi x 2 7 10 2 ( ) 2 4 2 − + ≠ = − − = 2 2 2 2 2 7 10 ( 2) (. với: x a bc 2 = − , y b ca 2 = − , z c ab 2 = − . a, b, c là cấp số cộng nên + =a c b2 Ta có 2y = 2 2 2 2 2 , ( )b ca x z a c b a c− + = + − + 0,50 ⇒ 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2x z a c ac. ⊥ 0 ,25 = + = + = = + 2 2 2 2 2 2 , ' 2 2 2AB AC BC a b AB AB a b 0 ,25 Trong ∆ACB’ vuông tại C: ′ ′ ⊥ ⇒ = 2 .CH AB AC AH AB 2 2 2 2 2 ' 2 2( ) AC a a AH AB AB a b ⇒ = = = + 0 ,25 5a 1 2 2