thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng và qua các (n d, ) −tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Anh Nhân THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ QUA CÁC ( n, d ) − TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Anh Nhân THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ QUA CÁC ( n, d ) − TẬP Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ hoàn thành hướng dẫn khoa học TS.Nguyễn Thái Sơn Trong tiến trình viết luận văn, Thầy nhệt tình, tận tụy, sâu sát, dạy biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, xin chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi thành công nghiệp giáo dục Tôi xin trân trọng cảm ơn: + TS.Nguyễn Hà Thanh, suốt thời gian học cao học làm luận văn Thầy nhiệt tình dạy bảo, động viên, nhắc nhở học tập làm tốt luận văn Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi dào, thành công nghiệp giáo dục đạt nhiều kết công trình nghiên cứu + Quí Thầy cô Phòng Sau đại học Khoa Toán - tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hai năm qua + Trường Cao Đẳng Cộng Đồng Cà Mau, đặc biệt Thầy Hiệu trưởng ThS.Nguyễn Bình Đẳng trưởng phòng Khảo thí Kiểm định chất lượng Giáo dục ThS Phạm Quang Huỳnh, trưởng phòng tổ chức hành Nguyễn Văn Chung Mặc dù khối lượng công việc trường nhiều tạo điều kiện thuận lợi cho học + Cha mẹ, anh Lê Chí Cường, em Đặng Thị Bích Phượng thời gian qua gắn bó, động viên, nhắc nhở chăm học tập + Bạn bè lớp Hình học tôpô – K22, bạn Hoàng Thị Ngọc Lan, Trần Phong, Vũ Đình Tuấn Đặc biệt bạn Nguyễn Thành An chia với nhiều kinh nghiệm học tập viết luận văn Lê Anh Nhân DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN H ( ∆, X ) : Không gian ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X ( H ∆∗ , X ) : Không gian ánh xạ chỉnh hình từ ∆* vào X Hol (V , X ) : Tập ánh xạ chỉnh hình từ V vào X Hol (U , X ) : Tập ánh xạ chỉnh hình từ U vào X ( HEP ) : Tính chất thác triển Hartogs H (W1 ) : Tập tất hàm chỉnh hình W1 ( n, d ) − EP : Tính chất ( n, d ) − thác triển hội tụ qua ( n, d ) − tập O ( Ω ) : Tập hàm chỉnh hình Ω n − PEP : Tính chất n − thác triển hội tụ qua tập cực n − PPEP : Tính chất n − thác triển hội tụ qua tập đa cực Kˆ Ω : Bao lồi chỉnh hình K Ω Kˆ ΩP : Bao đa điều hòa K Ω P ( Ω ) : Tập hàm đa điều hóa Ω ∆* − EP PSH ( X ) K : Tính chất ∆* − thác triển : Hàm đa điều hòa X : Giả chuẩn K ∆ ( a; r ) : Đa đĩa tâm a bán kính r MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học luận văn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức  n 1.2 Định nghĩa hàm chỉnh hình 1.3 Định nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 10 1.4 Hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa 11 1.5 Bao đa điều hòa 14 1.6 Miền giả lồi 14 1.7 Nguyên lý mô đun cực đại 15 1.8 Không gian hyperbolic Banach 16 1.9 Điều kiện lồi – đĩa yếu tính chất 16 1.10 Tính chất thác triển Hartogs 16 1.11 Định lý Shiffman 16 1.12 Định lý đồng thức 17 1.13 Định lý Picard tầm thường 17 1.14 Định lý lớn Picard 17 1.15 Định lý Picard mặt Riemann 17 CHƯƠNG 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC 18 2.1 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng 18 2.2 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập cực 22 2.3 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập đa cực 22 CHƯƠNG 3: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ( n, d ) − TẬP 36 3.1 Thác triển hội tụ kiểu – Noguchi qua ( n, d ) − tập 36 3.2 Một số toán thác triển tập kiểu Wermer 44 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thác triển ánh xạ chỉnh hình toán trọng tâm giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều Vấn đề nhiều nhà toán học giới Việt Nam quan tâm như: Shiffman, Kiernan, Kwack, Thomas, Kobayashi, Robert C Gunning, Fujimoto, Vesentini Franzoni, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thái Sơn, Lê Mậu Hải, Nguyễn Hà Thanh, Nguyễn Văn Đông cho kết nghiên cứu quan trọng Điển hình như, năm 1995 Đỗ Đức Thái chứng minh X không gian phức có tính chất 1− thác triển chỉnh hình thực qua tập cực X có tính chất n − thác triển chỉnh hình thực qua tập đa cực với n ≥ Hiện nay, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng: Dạng Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình hay gọi thác triển chỉnh hình Hartogs Dạng Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, tập cực, tập đa cực Thác triển gọi thác triển chỉnh hình Riemann Thác triển chỉnh hình Riemann phức tạp nhiều so với thác triển chỉnh hình Hartogs Sự hình thành ngành giải tích phức hyperbolic, tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình qua đĩa thủng, tập mỏng, tập cực, tập đa cực Từ định lý Kwack, Đỗ Đức Thái có công trình nghiên cứu tính chất ∆* − thác triển Cũng từ đó, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thị Tuyết Mai, Nguyễn Thái Sơn nghiên cứu thành công định lý thác triển hội - tụ kiểu Noguchi qua ( n, d ) − tập Cùng định hướng nói trên, (2013) Tobias Harz, Nikolay Shcherbina, Giuseppe Tomassini có kết thác triển chỉnh hình tập kiểu Wermer [11] Câu hỏi đặt rằng: Nếu ánh xạ chỉnh hình xác định tập mở ( Ω − A) ⊆ n ( n ≥ 1) với A thay đổi tập mỏng, tập cực, tập đa cực hay ( n, d ) − tập ánh xạ chỉnh hình thác triển toàn Ω hay không? Muốn xây dựng thác triển cần có công cụ gì? Và mở rộng chúng nhằm mục đích gì? Trên sở đó, định nghiên cứu chọn đề tài “thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng qua ( n, d ) − tập” làm luận văn, nhằm giải vấn đề đặt nêu Mục đích nghiên cứu đề tài Trong luận văn nghiên cứu: thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, tập cực tập đa cực Từ nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình qua ( n, d ) − tập toán thác triển tập kiểu Wermer Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tập mỏng, tập cực, tập đa cực, ( n, d ) − tập tập kiểu Wermer Phạm vi nghiên cứu hình học giải tích hình học tôpô Cấu trúc luận văn • Mở đầu: Nêu số vấn đề vắn tắt dẫn dắt đến nội dung luận văn; mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức  n 1.2 Định nghĩa hàm chỉnh hình 1.3 Định nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 1.4 Hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa 1.5 Bao đa điều hòa 1.6 Miền giả lồi 1.7 Nguyến lý mô đun cực đại 1.8 Không gian Banach hyperbolic 1.9 Điều kiện lồi – đĩa yếu tính chất 1.10 Tính chất thác triển Hartogs 1.11 Định lý Shiffman 1.12 Định lý đồng thức 1.13 Định lý Picard tầm thường 1.14 Định lý lớn Picard 1.15 Định lý Picard mặt Riemann • Chương 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC 2.1 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng 2.2 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập cực 2.3 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập đa cực 2.4 Một số ứng dụng • Chương 3: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ( n, d ) − TẬP 3.1 Thác triển hội tụ kiểu Noguchi qua ( n, d ) − tập 3.2 Một số toán thác triển tập kiểu Wermer • Kết luận: Tóm tắt số kết đạt vấn đề mở đề tài • Tài liệu tham khảo Phương pháp nghiên cứu • Bước Căn vào tài liệu thu thập Bước đầu tiếp cận với nguồn tài liệu cách tìm hiểu khái niệm, định lý, kết có liên quan đến đề tài để làm công cụ phục vụ cho việc nghiên cứu • Bước Xử lý, chọn lọc nội dung thích hợp viết luận văn • Bước Tiếp tục thu thập, xử lý thông tin từ giảng viên hướng dẫn, tìm nguồn tài liệu khác để bổ sung hoàn chỉnh đề tài • Bước Căn vào kết nghiên cứu: định hướng, mở rộng đề tài hướng dẫn giảng viên • Bước Tổng hợp, kiểm ta, thống hoàn thành luận văn Ý nghĩa khoa học luận văn + Nội dung luận văn cho thấy thác triển ánh xạ chỉnh hình toán hình học tôpô quan trọng nào? + Hệ thống lại phương pháp thác triển sử dụng với nhiều cách thác triển khác tập mỏng, tập cực, tập đa cực ( n, d ) − tập + Ứng dụng toán thác triển tập kiểu Wermer Định lý 3.1.4 Cho Ω miền siêu lồi thực  n Khi Ω có ( n, d ) − EP với ∀n ≥ 1, < d ≤ Bỗ đề Cho S tập đóng ∆ có độ đo Hausdorff H1 ( S ) = Khi với z0 ∈ S , tồn r > cho {z ∈  : z − z ≤ r} ⊂ ∆ \ S Chứng minh Xét hàm σ :  → [ 0; ∞ ) xác định bở σ ( z )= z − z0 Khi H (σ ( S ) ) ≤ H ( S ) = Ta thấy  \ (σ ( S ) ) trù mật  Như tồn r > cho { z ∈ ; z − z = r} ⊂ ∆ \ S  Bỗ đề Cho S tập đóng ∆ với H1 ( S ) = Khi với hàm f chỉnh hình bị chặn ∆ \ S có thác triển chỉnh hình toàn ∆ Chứng minh Ta có S không trù mật khắp nơi ∆ , f thác triển chỉnh hình vào lân cận điểm S , mà chúng xem tọa độ gốc Theo bổ đề 1, có r ∈ ( 0,1) cho đường cong γ : z = r không cắt S S r = S ∩ ∆ r compact, ∆= r { z < r} ⊂ ∆ δ   Cho z ∈ ∆ r \ S= dist ( z , S r ) > Khi H1 ( S r ) = Cho ε ∈  0,  tồn r , đặt δ  2 phủ hữu hạn Sr nhiều đĩa rời từ γ với toàn tổng bán kính nhỏ ε Hợp đĩa ký hiệu Vε , ta đặt U ε = ∆ r \ Vε Khi z ∈ U ε , f chỉnh hình bao đóng U ε , ta có f (z) = f (ζ )  f (ζ ) dζ − ∫ dζ ∫ 2π i  γ ζ − z ζ −z ∂Vε Mặt khác, ta có 42     ∫ ∂Vε f (ζ ) ζ −z d ζ ≤ M 2πε → , ε → , M = sup f ∆\S δ −ε Như hàm f biểu diễn ∆ r \ Sr lấy tích phân đầu Nhưng tích phân chỉnh hình toàn đĩa ∆ r , xác định thác triển chỉnh hình cần tìm f vào lân cận mở  Chứng minh định lý 3.1.4 Cho Ω miền siêu lồi thực  n Theo định lý 3.1.3 thỏa mãn để chứng minh Ω có (1, d ) − EP Chứng minh chia làm hai bước: i) ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình f : ∆ \ S → Ω thác triển lên thành ánh xạ chỉnh  ∧  hình fˆ : ∆ → Ω ; ii) ta chứng minh hội tụ địa phương dãy  f k    Thật i) Cho f : ∆ \ S → Ω ánh xạ chỉnh hình bất kỳ, S (1, d ) − tập đóng ∆ Đặt f = ( f1 , , f N ) Theo bổ đề 2, f j thác triển đến hàm ∧ chỉnh hình f j ∆ Khi= fˆ ( fˆ , , fˆ ) ∈ H ( ∆, Ω ) Cho  cho Ω= đa điều hòa vét kiệt Ω N g hàm {z ∈ Ω , g ( z ) < 0} , Ω lân cận biên Ω  n Đặt h = g  fˆ Khi h điều hòa ∆ Khi h âm ∆ \ S , tức h ≤ ∆ Giả sử tồn z0 ∈ S cho fˆ ( z0 ) ∈ ∂Ω , ta có h ( z0 ) = Từ nguyên lý cực đại suy h = ∆ Điều mâu thuẫn nên suy f ∈ H ( ∆, Ω ) ii) Cho {f } k dãy H ( ∆ \ S , Ω ) mà hội tụ địa phương đến f ∈ H ( ∆ \ S , Ω ) Cho x0 ∈ S , theo bổ đề 1, tồn lân cận V x0 φ Khi { fˆ k |∂V } hội tụ fˆ |∂V , theo nguyên ∆ cho ∂V ∩ S = lý cực đại suy hội tụ { fˆ k |V } fˆ |V Như fˆ k → fˆ H ( ∆, Ω ) 43  Đến trình bày số toán thác triển tập kiểu Wermer nhằm để ứng dụng tính chất thác triển tập cụ thể 3.2 Một số toán thác triển tập kiểu Wermer Trước tiên, ta xây dựng tập kiểu Wermer không bị chặn  n Cho ( z, w ) = ( z1 , , zn −1 , w ) ký hiệu tọa độ địa phương  n = v : { } {1, 2, , v} , v ∈  Cho p ∈  n −1 , cố định tập trù mật khắp nơi alp ∞ l =1  cho alp ≠ alp , l ≠ l ' Hơn nữa, cố định song ánh ' Φ := ([⋅] , φ ) :  →  n −1 × định nghĩa dãy {al }l =1  a := aφ[l(]l ) Ngoài ra, cho {ε l }l =1 dãy giảm ∞ ∞ số dương hội tụ Khi đó, với v ∈  ta định nghĩa gv hàm đại số Ev := v = gv ( z ) : ∑ε {( z, w) ∈  n l =1 l z[l ] − al } : w = gv ( z ) Theo định nghĩa trên, hàm gv hàm đa trị có 2v giá trị điểm z ∈  n −1 Cho nên chọn hàm đơn trị w1( v ) , , w2( v )  n−1 cho v = gv ( z ) (z) : j {w( )= v j } 1, , 2v , ∀z ∈  n −1 Lưu ý hàm không liên tục không xác định nhất, tập gv ( z ) định nghĩa tốt với z ∈  n −1 Ta thay đổi tự số giá trị w1( v ) ( z ) , , w2( vv ) ( z ) với z ∈  n −1 Với v ∈  , ta định nghĩa hàm Pv :  n →  cho ( ) ( Pv ( z , w ) := w − w1( v ) ( z ) w − w2( vv ) ( z ) ) Bổ đề 3.2.1.1 Dãy {Pv }v =1 bao gồm đa thức chỉnh hình  n thỏa mãn ∞ hai tính chất sau i) Ev = 0} ; {( z, w) ∈ n : Pv ( z, w) = 44 ii) Pv +1 hội tụ Pv2 tập compact  n ε v +1 → Chứng minh i) Với p ∈  n −1 , U p tập mở lồi  không giao với v Avp :={al : l ∈  v , [l ] =p} Với giá trị w(j ) ( z ) , z ∈ U := U1 × × U n −1 , giả sử hàm w1( v ) , , w2( v ) chỉnh hình U Khi đó, giá trị v Pv ( z , w ) độc lập với số w(jv ) ( z ) , điều cho thấy Pv hàm chỉnh hình bên tập Av =: {( z , w) ∈  } : z p ∈ Avp , p ∈  n −1 n p Thấy Pv bị chặn địa phương gần điểm Av Áp dụng định lý Riemann điểm kỳ dị bỏ ta kết luận Pv chỉnh hình thực toàn  n Khi Pv bên số cầu B n ( 0, R ) ⊂  n biểu diễn n −1 w2 + ∑ z 2p v v −1 p =1 Dễ dàng thấy Pv đa thức chỉnh hình ii) Ta biết Pv +1 ( z, w ) tích 2v thừa số ( ( ) ) (v)    w − w j ( z ) − ε v +1 z[v +1] − av +1  , j ∈  z v   Do  − Pv +1 ( z , w ) =  ε v +1 z[v +1] − av +1 ( ) ∑ p =0  2v p ( ( )) 2v − p ∑ 1≤ j1 < < j p ≤ 2v ( 2 w − w(j1v ) ( z ) w − w(jvp ) ( z )   ) ( ) Khi p = 2v ta có ( ) ( Pv2 ( z , w ) =− ∑ w w1(v) ( z ) w − w2(vv ) ( z ) p = 2v ) Cho nên w1( v ) , , w2( v ) độc lập với ε v +1 bị chặn tập compact v  n−1 Chúng ta kết luận Pv +1 hội tụ Pv2 tập compact ε v +1 →  45 Bổ đề 3.2.1.2 Cho {ε l } cho ε l z[l ] − al < B n −1 ( 0, l ) ⊂  nz−1 với l ∈  l Khi khẳng định sau 1) Với R > v, µ ∈ , v ≥ R , khoảng cách Hausdorff Ev ∩ B n ( 0, R ) Ev + µ ∩ B n ( 0, R ) bé { } Đặt biệt dãy Ev + µ ∩ B n ( 0, R ) 2 n v =1 hội tụ metric Hausdorff đến tập đóng E( R ) ⊂ B n ( 0, R ) 2) Hợp E :=  E( R ) tất E( R ) tập đóng không bị chặn khác rỗng R>  n điểm ( z, w ) ∈  n nằm E tồn dãy số phức wv hội tụ w cho ( z, wv ) ∈ Ev với v ∈  3) Với z ∈  n −1 tập Ez :=E ∩ ({ z} ×  ) có độ đo Lebesgue − chiều Chứng minh n −1 Cho= ∆ R : B ( 0, R ) ∩ E , với ( z, w( ) ) ∈ E ∩ ∆ v j v R ( z, w( v+µ ) j ( z ) ) ∈ Ev + µ ∩ ∆ R tồn cho biểu thức sau thõa mãn w(jv + µ ) ( z= ) wk( v ) ( z ) + Giả sử ta có ε l z[l ] − a= ε l z[l ] − al < l v+µ ∑ ±ε l = v +1 l z[l ] − al n −1 B ( 0, R ) , l > v Do l w(jv + µ ) ( z ) − wk( v ) ( z ) < 2v Khi đó, khoảng cách Hausdorff Ev + µ ∩ ∆ R Ev ∩ ∆ R bé { } dãy Ev ∩ B n ( 0, R ) n v =1 Đặt biệt 22 dãy Cauchy metric Hausdorff hội tụ đến tập đóng E( R ) ⊂  n Do E ⊂ B n ( 0, R=) E( R ) , ∀R > suy E tập đóng Rõ ràng E không bị chặn khác rỗng Lưu ý với điểm ( z, w ) ∈ E xem giới hạn điểm ( z, w ) ∈ Ev Thật lân cận đóng ( z, w ) tập 46 E giới hạn { Ev } metric Hausdorff {Ev } ∩ ({ z} ×  ) ≠ ∅, z ∈  n −1 Cuối thấy khoảng cách Hausdorff Ev ∩ ∆ R E( R ) không lớn v ≥ R Do 2v cố định z ∈  n −1 tập Ez chứa { z} ×  j =1 ∆1  wvj ( z ) ,  , v ∈  đủ lớn (ở  2v  2v ∆1 ( a, r ) ⊂  ký hiệu đĩa đóng tâm a , bán kính r ) Nhưng thể tích tập sau không lớn π 2v Như Ez có độ đo − chiều Nếu dãy {ε l } hội tụ đủ nhanh theo bổ đề tập giải tích Ev có giới hạn tập E Định nghĩa 3.2.1.3 Với v ∈  , ta có hàm ϕv :  n → [ −∞, +∞ ) cho ϕv ( z , w ) := log Pv ( z , w ) 2v Khi ϕv hàm đa điều hòa  n , hàm đa điều hòa  n \ Ev ϕv ( z, w ) = −∞ với ( z, w ) ∈ Ev Định lý 3.2.1.4 Cho dãy {ϕv } hội tụ tập compact  n \ E đến hàm đa điều hòa ϕ :  n \ E →  lim ( z , w)→( z0 , w0 ) ϕ ( z , w ) = −∞ với ( z0 , w0 ) ∈ E Khi đó, ϕ có thác triển đến hàm đa điều hòa  n Chứng minh Ta có dãy {ϕv } hội tụ tập compact  n \ E , ϕ hàm đa điều hòa  n \ E Cho ( z0 , w0 ) ∈ E {( z , w )} j j j ≥1 dãy tùy ý điểm hội tụ ( z0 , w0 ) Cho R ∈  cho ( z0 , w0 ) ∈ B n ( 0, R ) Khi     Pµ +1 <    µ +1   µ +1   n 1  ∩ B ( 0, R ) ⊂  Pµ <   µ   Như 47 µ   , với µ ≤ R   1 E    Pµ <   = v∈ µ ≥ v  µ  cho  1 E ∩ B ( 0, R ) ⊂  Pv <   v  n v µ      , với v ≥ R  Khi đó, với v ≥ R , tồn j ( v ) ∈  cho  1 ∈ < z w P , ( j j )  µ  v   v  n  ∩ B ( 0, R ) , với j ≥ j ( v )  Nhưng  1 ( z j , w j ) ∈  Pµ <  v   v  n  ∩ B ( 0, R )  mà    ( z j , w j ) ∈  Pµ <  v −   v  n  ∩ B ( 0, R ) , với µ ≥ v  Nên ta có ϕ µ ( z j , v j ) ≤ −log ( v − 1) , với µ ≥ v Do ϕ µ ( z j , v j ) < −log ( v − 1) , với j ≥ j ( v ) Vì lim ϕ ( z j , w j ) = −∞ j →∞  Định lý 3.2.1.5 Cho ( n ∈ , n ≥ ) , tồn tập đóng E ⊂  n mà không chứa đa tạp giải tích có số chiều dương hàm đa điều hòa ϕ :  n → [ −∞, +∞ ) cho i) E = { z ∈  n : ϕ ( z ) = −∞} ; ii) Hàm ϕ đa điều hòa  n \ E ; iii) Miền  n \ E giả lồi; 48 n  n ∩ E B ( 0, R ) ∩ E với B n ( 0, R ) ⊂  n iv) Cho R > có ∂ B ( 0, R )=  n cầu tâm , bán kính R ∂ B ( 0, R ) ký hiệu bao đa thức tập ∂B n ( 0, R ) ∩ E Chứng minh Hiển nhiên E = { z ∈  n : ϕ ( z ) = −∞} ϕ hàm đa điều hòa  n \ E Khi = n \ E  µ {ϕµ ≥ −log µ} suy  n \ E giả lồi v∈ ≥ v Phần lại ta chứng minh  n ∂B ( 0, R= ) ∩ ε B ( 0, R ) ∩ ε n  Với ( z, w ) ∈  \ E , tồn v ∈  cho B ( 0, R ) ∩ E ⊂  Pv <   v  n n 1 Pv ( z , w ) ≥   v 2v v   Nhưng   n nghĩa ( z, w ) ∉ ∂ B ( 0, R ) ∩ E  n ∂B ( 0, R ) ∩ E ⊂ B ( 0, R ) n Tuy nhiên  n ∂B ( 0, R ) ∩ E ⊂ B ( 0, R ) ∩ E Điều cho thấy n  n ∂B Ev B ( 0, R ) ∩ Ev , ( 0, R ) ∩= Theo nguyên lý môđul cực đại, ta có n với v ∈  Ev tập đa thức Pv Do đó, tập bị chặn  n dãy {Ev } hội tụ E metric Hausdorff Vậy ta kết luận n n  n n B ( 0, R ) ∩ E = lim B ( 0, R ) ∩ Ev = lim ∂ B ( 0, R ) ∩ Ev ⊂ ∂ B ( 0, R ) ∩ E v →∞ v →∞  49 KẾT LUẬN Thác triển ánh xạ chỉnh hình chủ đề mang tính thời Trong luận văn nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng qua ( n, d ) − tập nhằm để mô tả cụ thể trình thác triển ánh xạ chỉnh tập thay phần thủng Ω* tập lớn tập mỏng, tập cực, tập đa cực, ( n, d ) − tập; ứng dụng thác triển vào số toán tập kiểu Wermer  n Nội dung luận văn xếp theo trình tự hợp lý để làm rõ ý tưởng thác triển ánh xạ chỉnh hình tập, cụ thể: Trong chương trình bày số kiến thức, khái niệm mô sơ lược dạng khác định lý Picard nhằm làm sở lý luận cho chương Chương dành cho việc xây dựng thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, tập cực tập đa cực Trên tập trình bày số kết trọng tâm tính thác triển Lưu ý rằng, điểm tập cực mỏng có đầy đủ tính chất thác triển tập mỏng Nhưng xét toàn tập tập cực tính chất thác triển chỉnh hình Do đó, để tính thác triển chỉnh hình đa dạng, mở rộng tập cực lên thành tập đa cực để nghiên cứu thác triển Tiếp theo, trình bày số ứng dụng cụ thể tập đa cực để làm rõ tính thác triển Qua chương này, ta thấy tập đa cực trường hợp tổng quát mỏng; có đầy đủ tính chất thác triển tập mỏng Nối tiếp toán thác triển, chương đặc biệt quan tâm đến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình ( n, d ) − tập Trên sở định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi, trình bày kết tính chất thác triển chỉnh hình ( n, d ) − tập Trên ( n, d ) − tập tính thác triển rộng tập đa cực, tập đa cực thực ( n, d ) − tập Để thấy tính thác triển ánh xạ chỉnh hình phong phú có tính thời cao Kết thúc chương này, trình bày số toán thác triển chỉnh hình tập kiểu Wermer mà 50 kết công trình nghiên cứu Tobias Harz, Nikolay Shcherbina and Giuseppe Tomassini công bố vào ngày 20 tháng năm 2013 Qua luận văn rút số kỹ thuật thác triển ánh xạ chỉnh sau • Như nêu phần mở đầu chương 2, định lý Kwack nói Cho f ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng Ω* vào không gian hyperbolic H Giả sử không gian hyperbolic phức H compact, f thác triển lên thành ánh xạ chỉnh hình từ toàn đĩa vào H • Trong định lý 2.1.2, với M ⊂ Ω tập mỏng  n Nếu f chỉnh hình Ω − M muốn thác triển lên thành hàm f chỉnh hình toàn Ω f ( z ) f ( z ) , z ∈ Ω − M điều kiện f phải bị chặn Ω − M cho= • Trong định lý 2.3.4, với D ⊂ Ω tập đa cực đóng  n Nếu hàm đa điều hòa ϕ Ω − D muốn thác triển lên thành hàm đa điều hòa toàn Ω điều kiện ϕ phải lim z → a , z∈Ω− D sup ϕ ( z ) < ∞ điểm a∈ D • Nếu tập đa cực D tập đóng tập mở Ω ⊆  n f chỉnh hình Ω − M muốn thác triển lên thành hàm f chỉnh hình toàn Ω điều f ( z ) f ( z ) , z ∈ Ω − D kiện f phải bị chặn Ω − M cho= • Nếu xét điểm tập đa cực D mỏng hàm đa điều hòa ϕ trở thành hàm chỉnh hình f bị chặn Ω − D Qua nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình tập cho ta số kết luận sau • Sự thác triển ánh xạ chỉnh hình xác định • Dãy ánh xạ chỉnh hình thác triển hội tụ tập compact theo quy luật sau {f :Ω \ S → X} ∞ j j =1 thác triển chỉnh hình lên thành 51 {f j :Ω → X } ∞ j =1 Nếu hội tụ { f :Ω \ S → X} hội tụ thác triển chỉnh hình lên thành { f :Ω → X} Như đề cập, vấn đề thác triển chỉnh hình quan tâm nhà toán học, việc nảy sinh số vấn đề quan tâm + Cho ( n ∈ , n ≥ ) , tồn miền giả lồi thực không bị chặn Ω ⊂  n với biên trơn, tập đóng E  n CR hàm f trơn ∂Ω ba mệnh đề sau xảy hay không? i) E ⊂ Ω không chứa đa tạp phức có số chiều dương; ii) f có Ω thác triển chỉnh hình đơn trị đến Ω \ E ; iii) Bao chỉnh hình E ( ∂Ω ) tập ∂Ω tầng E ( ∂Ω ) = Ω \ E + Cho Ω ⊂  n ( n ≥ ) miền giả lồi thực không bị chặn Với R > , A( Ω )  n n xét bao ∂Ω ∩ B ( 0, R ) tập ∂Ω ∩ B ( 0, R ) với đại số A ( Ω ) hàm chỉnh hình Ω mà liên tục biên ∂Ω có trường hợp A( Ω )  n ∂Ω ∩ B R =Ω ? 0, ( )  R >0 + Đúng hay không? Khi tồn phép nhúng thực vào  n ( n ≥ ) , siêu diện phẳng - Levi trơn M miền giả lồi thực không bị chặn Ω ⊂  n cho M ⊂ Ω ? + Cho Ω ⊂  n ( n ≥ ) đa tạp giả lồi thực không bị chặn Hỏi biên ∂Ω có liên thông hay không? Trên tổng thể luận văn thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng qua ( n, d ) − tập Chúng cố gắng trình bày cách hệ thống chi tiết cần thiết làm tảng sở cho việc nghiên cứu vấn đề đặt nghiên cứu đề tài liên quan đến thác triển ánh xạ chỉnh hình Do thời gian nghiên cứu luận văn có hạn, trình độ nghiên cứu hạn chế nên trình trình bày luận 52 văn nhiều thiết sót Kính mong Quí Thầy Cô xem xét, đọc giả quan tâm đến vấn đề góp ý để luận văn trình bày cách hoàn thiện hơn./ 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu cấp (2005), Tôpô đại cương, Nxb Giáo Dục Nguyễn Bích Huy (2012), Giáo trình giải tích hàm nâng cao, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Nguyễn Thái Sơn (1998), Thác triển Rieman-Hartogs ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến, Luận án Tiến sĩ, bảo vệ Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Nguyễn Hà Thanh (1996), Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương tính chất (W), (DN), Tạp Chí Thông Tin Khoa học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, 21-24 Nguyễn Hà Thanh (1997), Tôpô Nachbin tính đầy đủ không gian mềm hàm chỉnh hình lấy giá trị Frechet, Tạp Chí Thông Tin Khoa Học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, 18-20 Nguyễn Hà Thanh (2000), Hàm chỉnh hình bị chặn số cấu trúc không gian hàm nguyên mầm hàm chỉnh hình Luận án Tiến sĩ, bảo vệ Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Uban Cegrell (1985), Thin sets in  n , Universitatis Lagellonicae Acta Mathmatica, Fasiculus XXV Shiffman Bernard (1989), Separate analyticity and Hartogs theorem, Indiana Univ, Math, J38, 943-957 Shiffman Bernard (1990), Hartogs theorems for separately holomorphic mappings into complex spaces, C.R Acad Sci Paris Sér, I310, 89-94 54 10 Robert Clifford Gunning (1990), Introduction to holomorphic functions of sevaral variables, Cole Publishing company, Pacipic Grove, California 93950, a division of Wadworth, Inc 11 Tobias Harz, Nikolay Shcherbina and Giuseppe Tomassini (2013), Wermer type sets and extensions of CR functions 12 Javi P (1991), Generalizations of Picard’s theorem for Riemann surfaces, Trans Amer Math Soc 2, 749-763 13 Myung He Kwack (1968), Generalization of the big Picard theore Communacated bay S Smale, 759 14 Norman Levenberg (1998), Polynomial hulls with no analytict structure 143–146 15 H L Roden (1984), The Picard theorem for Riemann surfaces, Proceed Amer Math Soc 90, 571-574 16 Masakazu Suzuky (1988), Comportement des applications holomorphes autourd’un ensembles polaire II, C.R Acad Sci Paris Sér I Math, 306, 535-538 17 Đỗ Đưc Thái, Nguyễn Thị Tuyết Mai, Nguyễn Thái Sơn (2001), Noguchi - type convergence - extension theorems for ( n, d ) − sets 18 Đỗ Đức Thái, Trần Ngọc Giao (2001), The convergence – extension theorem of Noguchi in infinite dimensions 19 Nguyễn Thái Sơn, Nguyễn Văn Khuê (1997), Separately holomorphic functions on compact sets and the property (DN), Publications of CFCA Vol, 1, 1997, 87-92 20 Nguyễn Thái Sơn, Nguyễn Văn Đông (1998), Fréchet- valued analytic functions and linear topological invariants, Portugaliae Mathematica, Vol 55 Fase.1 55 21 Nguyễn Thái Sơn (1998), Separately holomorphic functions on compact sets Acta Mathematica Vietnamica, Vol 23, Number 2, pp 207216 22 Nguyễn Thái Sơn Đỗ Đức Thái (1999), Extensions of holomorphic maps through hypersurfaces and relations to the Hartogs extensions in infinite dimension, Proceedings of the American mathematical society, Vol.128, Number 3, Page 745-754 23 Nguyễn Hà Thanh (1997), Regularity and completeness of spaces of germs of Frechet –Valued holomorphic functions, Résumés, colloque Franco Vietnamien de Mathematiques, Hồ Chí Minh ville (du au Mars) 28-29 24 Nguyễn Hà Thanh (1997), On spaces of germs of holomorphic functions on quasinormable Frechet spaces, Publ of CF.CA, Vol1 143-150 25 Nguyễn Hà Thanh (1999), Regularity of spaces of germs of Frechet valued bounded holomorphic functions, Acta Math Vietnamica 24, 117128 26 Nguyễn Hà Thanh, Nguyễn Văn Khuê (1999), Locally bounded holomorphic functions and the mixed Hartogs theorem, Southeast Asian Bulleton of Mathematics 23:643 - 655 27 http://www.proofwiki.org/wiki/Picard’s_Theorem 28 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Thin_set 29 http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_set_(potential_theory) 30 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Thinness_of_a_set 31 http://en.wikipedia.org/wiki/Pluripolar_set 56 [...]... bởi một tập khác, ví dụ như tập mỏng hay tập đa cực thì các ánh xạ chỉnh hình f có thể thác triển lên toàn bộ đĩa hay không? Nếu thác triển được thì f phải thỏa mãn những tính chất gì? Để trả lời cho câu hỏi này trước tiên chúng ta nghiên cứu sự thác triển của các ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng 2.1 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng Định nghĩa 2.1.1 Tập mỏng M trong tập mở Ω ⊆  n là một tập con... của tập cực là mỏng thì nó có đầy đủ tính chất thác triển chỉnh hình của tập mỏng Như đã nêu trên, khi thay tập mỏng M bởi tập cực D thì ánh xạ chỉnh hình trên Ω − D kông thể thác triển lên thành ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ Ω , với Ω là một miền bất kỳ nào đó trong  Vậy, bằng kỹ thuật nào chúng ta có thể thác triển f lên thành ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ Ω ? Câu trả lời là: bằng cách mở rộng tập. .. sự thác triển của các ánh xạ chỉnh hình trên tập đa cực, chúng ta sẽ tìm hiểu một định lý để thấy rằng tập đa cực rộng hơn tập cực và tính chất thác triển chỉnh hình trên tập đa cực rất phong phú Định nghĩa 2.3.8 Cho X là một không gian phức Ta nói rằng X có tính chất n − thác triển qua các tập đa cực nếu với mỗi đa tạp phức Z ( n − chiều) thì ánh xạ hạn chế R : H ( Z , X ) → H ( Z \ D, X ) là toàn ánh, ... mặt Riemann W= ánh xạ từ đĩa ∆ vào trong W * 17 CHƯƠNG 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC Từ định lý lớn Picard, MYUNG HE KWACK đã tổng quát hóa thành định lý “Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng Ω* vào trong một không gian hyperbolic phức H Nếu không gian hyperbolic phức H là compact thì f có thể thác triển lên thành một ánh xạ chỉnh hình từ toàn bộ đĩa vào trong H ” Nếu... dãy các ánh xạ chỉnh hình { f k } trong (U × (W \ D ) , X ) hội tụ về f trong H (U × (W \ D ) , X ) • Cho mỗi w∉ D" và với k ≥ 1 , xét ánh xạ chỉnh hình f kw : U \ D w → X z  f kw ( z ) = f k ( z , w ) ta suy ra f kw → f w trong H (U , X ) • Tương tự, cho mỗi z ∉ D' , dãy các ánh xạ chỉnh hình { f k , z } ⊂ H (W \ D' , X ) , được cho bởi f k , z ( w ) = f k ( z, w ) hội tụ về f z trong H (W , X ). .. khi ( ) ( ) U × (W \ D ) ⊂ U \ D' × W \ D" và U × (W \ D ) trù mật trong U × W , ta có f1 | U \ D' × W \ D" = f 2 | U \ D' × W \ D" ( )( ) ( )( ( *) ) Ngoài ra f 2 ( w ) f= f= f w ( z ) , với z ∈ U \ D' và w ∈ W \ D" = 1 ( z, w) 2 ( z, w) Vậy f1 là chỉnh hình trên (U \ D' ) × (W \ D" ) • Tương tự f 2 cũng chỉnh hình trên (U \ D' ) × (W \ D" ) Do • f1 liên tục trên (U \ D' ) × W nên f1 chỉnh hình trên... mở trong  n được gọi là song chỉnh hình (đồng phôi chỉnh hình) nếu f chỉnh hình trên U và ánh xạ ngược của nó f −1 chỉnh hình trên V 1.3 Định nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình Định nghĩa 1.3.1 Cho Ω ⊂  n gọi là miền chỉnh hình hay miền tồn tại của hàm f chỉnh hình trên Ω nếu không thể mở rộng chỉnh hình f tới một miền lớn hơn Ω Nói một cách chính xác, khai triển f thành chuỗi lũy thừa... có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs 1.10 Tính chất thác triển Hartogs Cho X là một không gian phức Ta nói rằng X có tính chất thác triển Hartogs (vắn tắt X có ( HEP ) ) nếu mỗi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann Ω trên đa tạp  , với Ω  là bao chỉnh hình Stien vào trong X có thể được thác triển chỉnh hình lên Ω của Ω 1.11 Định lý Shiffman Giả sử X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs,... cực D lên tập đa cực D thì ánh xạ chỉnh hình f trên Ω − D sẽ thác triển lên thành ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ Ω với f thỏa mãn điều kiện nào đó 2.3 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập đa cực Định nghĩa 2.3.1 Tập con D của một tập mở Ω ⊆  n được gọi là tập đa cực trên Ω nếu với mỗi điểm a ∈ Ω có một lân cận mở U và một hàm đa điều hòa dưới ϕa trên U sao cho ϕa không đồng nhất bằng −∞ và 22 D ∩... tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω − X mà không có bất kỳ giả định nào của bị chặn địa phương, vẫn có thể thác triển lên các hàm chỉnh hình trên Ω Bây giờ nếu ta mở rộng tập mỏng M thành tập cực D thì vấn đề đặt ra là liệu ánh xạ chỉnh hình trên Ω − D có thể thác triển lên thành ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ Ω hay không? Câu trả lời là không, mà ta chỉ thác triển được nếu xét tại mỗi điểm thuộc tập cực ... ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC 2.1 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng 2.2 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập cực 2.3 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập đa cực 2.4 Một... thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng: Dạng Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình hay gọi thác triển chỉnh hình Hartogs Dạng Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, tập cực, tập. .. 2: THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA TẬP MỎNG VÀ TẬP ĐA CỰC 18 2.1 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng 18 2.2 Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập cực 22 2.3 Thác