mô hình thời gian rời rạc nhiều chu kỳ trong thị trường chứng khoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đinh Nhật Minh MƠ HÌNH THỜI GIAN RỜI RẠC NHIỀU CHU KỲ TRONG THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đinh Nhật Minh MƠ HÌNH THỜI GIAN RỜI RẠC NHIỀU CHU KỲ TRONG THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 i LỜI CÁM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS NGUYỄN CHÍ LONG tận tình bảo hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giảng viên khoa Tốn – Tin học trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tận tình dạy bảo cho tơi q trình học tập khoa Tơi xin cám ơn cán Phịng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác học tập nghiên cứu hiệu Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè ln giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 ĐINH NHẬT MINH HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG ii LỜI MỞ ĐẦU Tốn học tài đời 100 năm nay, đặc biệt phát triển khoảng ba bốn thập kỷ tỏ hữu ích thực tiễn đời sống kinh tế quốc gia cộng đồng kinh tế giới Nó gắn liền với việc phân tích cách khoa học kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm,… vốn vấn đề tài thời sự, suy thối kinh tế tồn cầu Ở Việt Nam, việc học nghiên cứu Tốn tài chục năm trở lại Nhiều trường Cao đẳng – Đại học xây dựng chương trình học phục vụ cho Tốn tài Nên mục đích luận văn khái niệm kết Mơ hình thời gian rời rạc thị trường chứng khốn Nhằm dự đốn biến động giá hay nghiên cứu sâu Tốn tài Luận văn trình bày kiến thức mơ hình chứng khốn thời gian rời rạc chu kỳ sau tập trung mở rộng vào mơ hình nhiều chu kỳ Luận văn gồm chương: CHƯƠNG 1: MƠ HÌNH CHỨNG KHỐN MỘT CHU KỲ HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG iii Chương trình bày mơ hình chứng khốn đơn giản nhất, số khái niệm nguyên lý nhằm tạo sở để mở rộng chương sau CHƯƠNG 2: THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN NHIỀU CHU KỲ Chương mơ tả yếu tố mơ hình thị trường chứng khoán giới thiệu khái niệm quan trọng q trình cổ tức mơ hình nhị thức CHƯƠNG 3: QUYỀN CHỌN VÀ HỢP ĐỒNG KÝ KẾT TRƯỚC Chương đề cập đến quyền phái sinh Trong trình làm luận văn này, dù cố gắng thời gian làm cịn hạn chế nên khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Mong bạn đọc thông cảm Mọi thắc mắc xin bạn liên hệ địa mail: minhmourinho@gmail.com Mình xin cám ơn HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN………………………………………………………… …….i LỜI MỞ ĐẦU…………………………………………………………… … ii MỤC LỤC CHƯƠNG 1: MƠ HÌNH THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHỐN MỘT CHU KỲ 1.1 Một số khái niệm, định nghĩa: 1.2 Thị trường tài đầy đủ 1.3 Hàm lợi ích tốn đầu tư tối ưu 11 CHƯƠNG 2: 18 MƠ HÌNH THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHỐN NHIỀU CHU KỲ 18 2.1 Chi tiết mơ hình, cấu trúc thông tin chiến lược kinh doanh 18 2.2 Quá trình lợi tức (return) 23 2.3 Quá trình cổ tức 27 2.4 Kỳ vọng điều kiện martingale 28 2.5 Thị trường tài lành mạnh 34 2.6 Mơ hình nhị thức 43 CHƯƠNG 3: 52 QUYỀN CHỌN VÀ HỢP ĐỒNG KÝ KẾT TRƯỚC 52 3.1 Quyền phái sinh 52 3.2 Quyền chọn kiểu châu Âu mơ hình nhị thức 56 3.3 Thị trường đầy đủ không đầy đủ 58 3.4 Quyền chọn kiểu Mỹ: 60 3.5 Giá hợp đồng ký kết trước (forward contract) 72 KẾT LUẬN 76 HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG CHƯƠNG 1: MƠ HÌNH THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHỐN MỘT CHU KỲ Các khái niệm kết chương trính dẫn từ tài liệu [2], [3], [4] 1.1 Một số khái niệm, định nghĩa: Xét mơ hình tài chu kỳ với thời gian giao dịch t = {0,1} Thời điểm t=0 thời điểm tại, bắt đầu giao dịch thời điểm t=1 thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch Thị trương tài gồm N+1 tài sản tảng để đầu tư Đó tài sản tính dụng ngân hàng (hay trái phiếu không rủi ro) Bt , t = 0,1 ; với lãi suất cố định chu kỳ r N chứng khoán = = N ; t 0,1 {Sti } , i 1, , Đối với tài khoản tín dụng Bt , giả thiết B0 = đơn vị tiền tệ gửi vào ngân hàng thời điểm t=0 có B1 = + r đơn vị tiền tệ t=1 Giá N chứng khoán thời điểm t=0 S01 , S02 , , S0N xác định, giá chứng khoán thời điểm t=1 lại phụ thuộc vào k kịch tài ωi , i = 1, 2, , k thuộc Ω ={ω1 , ω2 , , ωk } Giả sử xuất kịch ωi ∈ Ω có xác suất P(ωi ) > 0, i = 1, 2, , k Gọi ℱ = ℙ(Ω) tập hợp tất tập Ω  trường thơng tin lớn thị trường tài xét Lúc S1i , i = 1, 2, , N biến ngẫu nhiên xét (Ω,  , P) S1i (ω ) giá chứng khoán thứ i thời điểm t=1 kịch ω ∈ Ω xuất Định nghĩa 1.1.1: Một phương án đầu tư cặp ( x, φ ) x tổng số tiền đầu tư ban đầu φ danh mục chứng khoán đầu tư, vectơ gồm N thành phần HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG φ := (φ , φ , , φ N ) với φ i số đơn vị cổ phiếu chứng khoán thứ i mua thời điểm t=0 Số tiền cịn lại sau mua N chứng khốn là: N φ 0= x − ∑ φ i S0i i =1 gửi vào tài khoản tín dụng (hay mua trái phiếu không rủi ro) Định nghĩa 1.1.2: Quá trình giá phương án đầu tư ( x, φ ) cặp (V0 ( x, φ );V1 ( x, φ ) ) Trong V0 ( x, φ ) = x V1 ( x, φ ) biến ngẫu nhiên: N V1 ( x= , φ ) φ B1 + ∑ φ i S1i i =1 Định nghĩa 1.1.3: Lợi tức chứng khoán thứ i, i = 1, 2, , N , ghi R i , thoả mãn biểu thức sau: Ri = S1i − S0i S0i Và R lợi tức chứng khốn tín dụng, số xác định dương r: = R0 B1 − B0 = r B0 Định nghĩa 1.1.4: Quá trình lời G ( x, φ ) phương án đầu tư ( x, φ ) biến ngẫu nhiên: N G ( x, φ ) =φ r + ∑ φ i ∆S i với ∆S i = S1i − S0i i =1 Và biểu diễn lời qua trình lợi tức thì: N G = ( x, φ ) φ R B0 + ∑ φ i R i S0i i =1 Định nghĩa 1.4.5: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG Trong trường hợp hàng hố thị trường phải chiết khấu trình giá chứng khoán chiết khấu là: i i S = S0i S = S1i B1 Lúc q trình giá chiết khấu phương án đầu tư ( x, φ ) là: N i V ( x, φ ) = x V ( x, φ= ) φ + ∑ φ i S i =1  ( x= Và trình lời chiết khấu là: G ,φ ) N ∑ φ ∆ S i i i =1 i i i Với ∆ S = S − S Từ khái niệm ta có: V= V0 ( x, φ ) + G ( x, φ ) ( x, φ ) = V t  ( x, φ ) V ( x, φ ) + G (t 0,1) V= = Vt , ( x, φ ) Bt Định nghĩa 1.1.6: Thị trường tài lành mạnh, thị trường không tồn phương án đầu tư ( x, φ ) thoả mãn điều kiện sau: i x V= = ( x, φ )  ( x, φ ) ≥ ) ii V1 ( x, φ ) ≥ (hoặc G  ( x, φ )(ω ) > ) iii ∃ω ∈ Ω : V1 ( x, φ )(ω ) > (hoặc G Định nghĩa 1.1.7: Một độ đo xác suất Q Ω gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính nếu: i Q(ω ) > 0, ∀ω ∈ Ω (mỗi kịch xảy với xác suất dương) i ii EQ  ∆ S  = (kỳ vọng số gia chứng khoán chiết khấu lấy theo độ đo Q   0) HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 63 Định nghĩa 3.4.4: Thời gian dừng τ đại diện cho thời điểm thực thi gọi chiến lược thực thi Định nghĩa 3.4.5: Quyền phái sinh Yτ với trình thu hoạch {Yt : t = 0,1, , T } chiến lược thực thi gọi quyền phái sinh kiểu Mỹ Định nghĩa 3.4.6: - Một quyền chọn kiểu Mỹ gọi đạt tồn chiến lược kinh doanh tự tài trợ cho giá danh mục đầu tư tương ứng thoả mãn: Vτ (φ ) = Yτ - Một trình toán kiểu Mỹ {Yt : t = 0,1, , T } gọi đạt với thời gian dừng τ , quyền chọn kiểu Mỹ Yτ đạt Định lý 3.4.7: Nếu mơ hình đầy đủ quyền chọn kiểu châu Mỹ đạt Chứng minh: Cho q trình tốn {Yt : t = 0,1, , T } chiến lược thực thi τ Ta phải tìm chiến lược kinh doanh tự tài trợ cho Vτ = Yτ Ta xem chiến lược kinh doanh, viết φ , bắt đầu thời gian τ với giá V τ (φ ) = Yτ Tất lượng tài sản đầu tư vào tài khoản ngân hàng thời gian T Với chiến lược này, có Yτ BT thời điểm T Trong đó, mơ Bτ hình đầy đủ, nên có chiến lược kinh doanh đáp ứng φ thời gian t = cho VT (φ ) = Yτ BT Bτ Vì thời điểm t = T , giá hai danh mục đầu tư trùng nêngiá hai  Y danh mục đầu tư thời điểm t = τ phải trùng Tức V= V= τ (φ ) τ (φ ) τ (ĐPCM) Nếu thị trường khơng đầy đủ, quyền chọn kiểu Mỹ đạt khơng đạt HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 64 Định lý 3.4.8: Quyền chọn kiểu Mỹ Y đạt với thời gian dừng τ Y  EQ  τ  mang giá trị với Q ∈ M  Bτ  Điều kiện không dễ kiểm tra nhiều trường hợp riêng lẻ Định nghĩa 3.4.9: Với trình ngẫu nhiên cho trước { X t , t = 0,1, , T } Bao hình Snell X trình ngẫu nhiên {Z t , t = 0,1, , T } định nghĩa bởi: t =T  X T , Zt =  max { X t , E [ Z t +1 | Ft ]} , t < T Định lý 3.4.10: Bao hình Snell Z X supermatingale nhỏ X thoả mãn: Z t ≥ X t , ∀t Chứng minh: Đầu tiên, theo định nghĩa Z t , rõ ràng ta có Z t ≥ X t , ∀t Hơn Z t ≥ E [ Z t +1 | Ft ] , Z supermatingale = U Tiếp theo, đặt Ut : t {= 0,1, , T } supermatingale khác U t ≥ X t , ∀t Vì U t ≥ X t , ∀t ZT = X T nên U T ≥ ZT Ta sử dụng bước lùi thời gian Giả sử quy nạp U t ≥ Z t Khi đó, U supermatingale nên U t −1 ≥ E [U t | Ft −1 ] ≥ E [ Z t | Ft −1 ] Mặt khác, U t −1 ≥ X t −1 nên ta U t −1 ≥ max { X t −1 , E [ Z t | Ft −1 ]} = Z t −1 Do U t ≥ Z t , ∀t Định lý 3.4.11: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 65 Cho { X t , t = 0,1, , T } q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc {Ft : t = 0,1, , T } cho Z t bao hình Snell { X t } Với t = 0,1, , T ta định nghĩa thời gian dừng sau: τ (t ) = {s ≥ t : X s = Z s } Thì đó, ta có:  X τ (t ) | Ft  max { E [ X τ | Ft ]:τ ∈ ς (t , T )} với t = 0,1, , T = Z t E= (3.2) Trong ς (t , T ) tập hợp thời gian dừng mang giá trị đoạn [t , T ] Mặt khác,  X τ (0)  max { E [ X τ ] : τ ∈ ς (0, T )} = Z E= Chứng minh: - Ta chứng minh với thời gian lùi dần - Nhận xét với t = T theo định nghĩa ZT = X T thời gian dừng τ (T ) dừng T - Giả sử (3.2) với t < T Đặt τ ∈ ς (t − 1, T ) Ta định nghĩa thêm thời gian dừng khác: τ = max {τ ,t} , E [ X τ | Ft −1 ] E 1{τ = X t −1 + 1{τ ≥t} X τ | Ft −1  = t −1} X t −1 + 1{τ ≥t} X τ | Ft −1  (vì τ ≥ t ⇒ τ = = E 1{τ = τ ) t −1} = 1{τ = X t −1 + 1{τ ≥t} E  X τ | Ft −1  t −1} = 1{τ = X t −1 + 1{τ ≥t} E  E  X τ | Ft  | Ft −1  t −1} Ta có: τ ∈ ς (t , T ) Theo điều giả sử ta E  X τ | Ft  ≤ Z t = - Theo định nghĩa Z t −1 : Z t −1 max { X t −1 , E [ Z t | Ft −1 ]} ⇒ X t −1 ≤ Z t −1 Do đó: E [ X τ | Ft −1 ] ≤ 1{τ = X t −1 + 1{τ ≥t} E [ Z t | Ft −1 ] t −1} Z + 1{τ ≥t} E [ Z t | Ft −1 ] ≤ E [ Z t −1 | Ft −1 ] = Z t −1 ≤ 1{τ = t −1} t −1 HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 66 t − 1, - Trong trường hợp này, ta có: τ (t − 1) =  τ (t ), Z t −1 = X t −1 Z t −1 > X t −1 Do đó: E  X= | Ft −1  1{Zt −1 τ ( t −1)= X t −1} X t −1 + 1{Zt −1 > X t −1} E  X τ (t ) | Ft −1  = 1{Zt −1 = X t −1} X t −1 + 1{Zt −1 > X t −1} E  E  X τ (t ) | Ft  | Ft −1  1{Zt −1 = = X t −1} Z t −1 + 1{Zt −1 > X t −1} E [ Z t | Ft −1 ] (do giả thiết quy nạp E  X τ (t ) | Ft  = Z t ) = Z t −1 Vậy (3.2) với thời gian t-1 Mệnh đề 3.4.12: Xem thị trường tài với độ đo xác suất trung tính rủi ro Q q trình thu hoạch kiểu Mỹ {Yt } mà bảo hộ Thì bao hình Snell Z trình thu hoạch chiết khấu Y trình giá chiết khấu Y B Chứng minh:  YT B , Y  T nên Z t =  Z bao hình Snell B max  Yt , E[Z | F ] ,  t +1 t    Bt   Y   Bτ (t )  t =T t Bs Wt −1 Bt −1 - Nếu τ (t − 1) =t − ta thực thi quyền chọn Z= t −1 Yt −1 Wt −1 = Bt −1 Bt −1 - Nếu τ (t − 1) > t − ta thực thi quyền chọn thời gian τ (t − 1) Ta xem trình Y bắt đầu thời gian t-1, thực thi thời gian τ (t − 1) Do trình thu hoạch kiểu châu Mỹ Y thực thi nên với thời gian dừng τ (t − 1) quyền Yτ (t −1) thực thi Do tồn chiến lược kinh doanh tự tài trợ cho giá danh mục đầu tư tương ứng có giá Wτ (t −1) = Yτ (t −1) Khi giá chiết khấu của danh mục đầu tư bảo W Bt −1 Y   Bτ (t −1)  τ ( t −1) hộ thời gian t-1 là: t −1 E= = | Ft −1  Z t −1 (Theo nguyên tắc xác định giá  trung tính rủi ro) Ví dụ: Ta xét mơ hình với N=1 chứng khốn T=2 chu kỳ k=4 trạng thái xảy Để đơn giản ta thay đổi ký hiệu trình giá S n thay cho Stn Quá trình cho bảng sau: ωk ω1 ω2 ω3 ω4 HV: ĐINH NHẬT MINH t=0 t =1 t=2 S0 = S1 = S = 10 S0 = S1 = S2 = S0 = S1 = S2 = S0 = S1 = S2 = GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 68 Trong trường hợp r = , ta có Q =  ; ; ;  3 6 3 1 1 Ta xem quyền chọn kiểu châu Mỹ với giá thực thi K = Quá trình thu hoạch là: ωk ω1 ω2 ω3 ω4 t=0 t =1 t=2 Y0 = Y1 = Y2 = Y0 = Y1 = Y2 = Y0 = Y1 = Y2 = Y0 = Y1 = Y2 = Tại thời gian t = , ta có Z = Y2 Tại thời gian t = Trong trạng thái ω1 ω2 giá 1  max 4;5 + 2.= 4} = Z1 max {Y1 ; EQ [ Z | F=  max {4;= ]} 3  Rõ ràng Z1 (ω1 , ω2 ) = V1 (ω1 , ω2 ) giá quyền chọn kiểu châu Âu ví dụ trước Trong trạng thái ω3 ω4 giá 1   2 Z1 max {Y1 ; EQ [ Z | = = F1 ]} max 0; + =  max 0;=  3   3 Tương tự Z1 (ω3 , ω4 ) = V1 (ω3 , ω4 ) Tại thời gian t = giá 1   7 ( Z = V0 ) max 1; + = = Z max {Y0 ; EQ [ Z1 | F=  max 1;=  ]} 2   3 Bây ta xem quyền chọn kiểu châu Mỹ khác với trình thu hoạch thay đổi Y= Y= Quá trình thu hoạch là: (ω1 ) (ω2 ) ωk ω1 ω2 HV: ĐINH NHẬT MINH t=0 t =1 t=2 Y0 = Y1 = Y2 = Y0 = Y1 = Y2 = GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 69 ω3 ω4 Y0 = Y1 = Y2 = Y0 = Y1 = Y2 = Tại thời gian t = , ta có Z = Y2 Tại thời gian t = Trong trạng thái ω1 ω2 giá 1  max 5;6 + 3.= = Z1 max {Y1 ; EQ [ Z | F= = }  max {4;5 ]} 3  Trong trạng thái ω3 ω4 giá 2   2 = Z1 max {Y1 ; EQ [ Z | = F1 ]} max 0; + 0.=  max 0;=  3   3 Tại thời gian t = giá 1   17  17 max 1;5 + = = Z max {Y0 ; EQ [ Z1 | F=  max 1; =  ]} 2   6 - Chiến lược thự thi tối ưu là: 1, 2, τ= (0)(ω ) τ= (1)(ω )  ω = ω1 , ω2 ω = ω3 , ω4 Và τ (2)(ω )= 2, ∀ω ∈ Ω 3.4.3 Mối quan hệ quyền chọn kiểu Mỹ quyền chọn kiểu châu Âu Ta biết giá chiết khấu quyền chọn kiểu châu Âu martingale theo độ đo Q châu Mỹ supermartingale theo độ đo Q Bây ta có số kết so sánh hai loại quyền chọn Mệnh đề 3.4.13: = Y Xem Yt : t {= 0,1, , T } quyền chọn kiểu Mỹ quyền chọn kiểu châu Âu tương ứng với thu hoạch thời gian T X = YT Ký hiệu Vt giá thời điểm t HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 70 quyền chọn kiểu châu Âu Khi Vt ≥ Yt , ∀t , ω V= Wt , ∀t , ω Trong t Wt giá quyền chọn kiều châu Mỹ thời điểm t Chứng minh:  t supermartingale theo độ đo Q, ta có: Vì W  t ≥ E W  T | F  = E V T | F  =V t W Q  t Q  t ⇒ Wt ≥ Vt Nếu ta có Vt ≥ Yt , ∀t , ω Vì V t martingale theo độ đo Q nên  t (vì W  t supermartingale nhỏ supermatingale vượt trội Y t nên ta có V t ≥ W vượt trội Y t ) Từ suy Vt ≥ Wt Vậy V= Wt , ∀t , ω (đpcm) t Nhận xét: Bất đẳng thức Wt ≥ Vt lẽ tự nhiên quyền chọn kiểu châu Mỹ cho nhiều lựa chọn so với quyền chọn kiểu châu Âu Ví dụ: Cho thị trường với tài sản rủi ro với giá St ; t = 0,1, , T tài khoản ngân hàng với lãi suất r ≥ Bt= (1 + r )t Với ký hiệu tương tự mệnh đề Yt Quyền chọn kiểu Mỹ mô tả dãy = + ( St − K ) đơn vị tài sản rủi ro, Vt= Wt , ∀t= 0,1, , T Thật vậy, ta có: = V t (1 + r ) T + EQ ( ST − K ) | Ft  ≥ E  S − K ) | Ft    (1 + r )T Q ( T  K = EQ  S T − T  (1 + r )   K K  | Ft  = S t − ≥ S t − T t   (1 + r ) (1 + r )  Yt ⇒ Vt ≥ St − K Mặt khác, ta có: Vt ≥ , suy Vt ≥ max ( St − K ;0 ) = Vậy Vt = Wt HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 71 Mệnh đề 3.4.14: Nếu Y quyền chọn kiểu châu Mỹ Y submartingale theo độ đo Q B τ = T ln chiến lược thực thi tối ưu, giá quyền chọn kiểu châu Mỹ trùng với giá quyền chọn kiểu châu Âu X = YT Chứng minh: Theo định lý mẫu tối ưu: Nếu Y EQ  τ  Bτ Y submartingale theo độ đo Q, B   YT   ≤ EQ   với thời gian dừng τ ≤ T Do τ = T ln chiến  BT   lược thực thi tối ưu  YT  BT Mặt khác theo định lý ta được: W0 = EQ    , suy W0 = V0 giá quyền chọn  kiểu châu Âu X = YT Nhận xét: Tính chất điều kiện mà đơi tiện cho việc kiểm tra giá hai quyền chọn có trùng hay khơng Ví dụ Trong khơng gian lãi suất khơng âm khơng có cổ tức, hợp đồng mua trước kiểu Mỹ viết tài sản rủi ro riêng không thực thi sớm Thật vậy: + ( S − K ) +  St K  =  −  submartingale Tức kiểm tra: Ta cần chứng minh t Bt  Bt Bt  + S K Với s, t ≥ :  t −  ≤ EQ  Bt Bt  +  S  K  t+s  −  | Ft   Bt + s Bt + s   +  S   St + s  K  K  t+s Thật vậy, ta có EQ  − −  | Ft  ≥ EQ   | Ft   Bt + s Bt + s    Bt + s Bt + s   HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 72 S    | Ft  = EQ  t + s | Ft  − KEQ   Bt + s   Bt + s    S St | Ft  (do t Q-martingale) − KEQ  Bt Bt  Bt + s  = Vì Bt + s +  S  S K  1 t+s t nên EQ  − − KEQ ≥ Bt ⇒ ≤  | Ft  ≥ B B B Bt + s Bt  t + s  t+s  t 1  St K −  | Ft  =  Bt  Bt Bt +  S  K  t+s Mặt khác, EQ  − | F  t  ≥ nên  Bt + s Bt + s   +  S   St K  K  t+s − EQ   | Ft  ≥ max  − ;0   Bt + s Bt + s    Bt Bt  Vậy đến điều phải chứng minh 3.5 Giá hợp đồng ký kết trước (forward contract) Định nghĩa 3.5.1: Đó loại hợp đồng ký kết trước hai bên đối tác A B (thường cơng ty tài hay nhà mơi giới đầu tư, hay nhà đầu tư tài chính…) thời điểm ký hợp đồng t với quy ước sau: i Đến thời điểm đáo hạn τ ≤ T hợp đồng, bên A phải giao cho bên B khối lượng sản phẩm tài (cổ phiếu, ngoại tệ,…) mọt khối lượng hàng hoá đặc biệt (dầu mỏ, lúa,…) có giá trị thị trường X thời điểm τ ii Đến thời điểm đáo hạn τ đó, bên B phải trả cho bên A khoản tiền Ot ( O bắt nguồn từ fOrward) định trước từ lý ký kết (thời điểm t) iii Khơng có chi phí giao dịch trước thời điểm τ iv Đến thời điểm τ , hai bên bắt buộc phải thực thi quy ước đó, theo số điều khoản cụ thể Vấn đề ta xác định giá hợp đồng ký kết trước Ot Đầu tiên ta có kết sau, trường hợp S chứng khốn khơng trả cổ tức HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 73 Mệnh đề 3.5.2: Giá ký kết trước chứng khốn khơng trả cổ tức S thời gian t Ot nhận trả thời gian τ > t là: Ot = St B  EQ  t | Ft   Bτ  Chứng minh: Ý tưởng việc giữ hợp đồng ký kết trước trả Ot $ thời điểm τ giống với việc giữ đơn vị chứng khoán S thời điểm t bán chứng khốn với giá thời điểm t = τ Ot Ta xem quyền phái sinh Khi giá danh mục đầu tư đáp ứng cho quyền phái sinh thời điểm t là:  B  B  EQ Ot t | t  = Ot EQ  t | t   Bτ   Bτ  Giá chứng khốn S thời điểm t St , nên: B  St = Ot EQ  t | t   Bτ  Điều dẫn đến kết Tuy nhiên trường hợp S chứng khốn trả cổ tức kết khơng cịn Ta xét chứng khốn S mà người mua thời điểm t nhận ∆Dt +1 , , ∆Dτ đơn vị tiền tệ thời điểm t + 1, ,τ Khi ta có kết sau: Mệnh đề 3.5.3: Giá ký kết trước chứng khoán trả cổ tức S thời gian t Ot nhận trả thời gian τ > t là: = Ot τ   ∆Ds Bt  − | t   S  t ∑ EQ  B  s = t +1  Bs  EQ  t | t   B  τ  HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 74 Chứng minh: Khi ta giữ hợp đồng ký kết trước trả Ot $ thời điểm τ , tương tự trên, giá quyền phái sinh thời gian τ thời điểm t là: B  Ot EQ  t | t   Bτ  Công việc giống việc ta mua chứng khoán S thời điểm t cách trả St , mà: - Tại thời điểm t+1, ta nhận lượng tiền ∆Dt +1 , thực quyền phái sinh thời gian t+1, giá danh mục đầu tư đáp ứng cho thời điểm t là:  ∆D B  EQ  t +1 t | t   Bt +1  - Tại thời điểm t+2, ta nhận lượng tiền ∆Dt + , thực quyền phái sinh thời gian t+2, giá danh mục đầu tư đáp ứng cho thời điểm t là:  ∆D B  EQ  t + t | t   Bt +  …… - Tại thời điểm τ , ta nhận lượng tiền ∆Dτ , thực quyền phái sinh thời gian τ , giá danh mục đầu tư đáp ứng cho thời điểm t là:  ∆D B  EQ  τ t | t   Bτ  Vậy giá danh mục đầu tư thời gian t (lượng tiền phải trả) là: St − τ ∑E s = t +1 Q  ∆Ds Bt  | t    Bs  Do ta được: St − τ ∑E s = t +1 Q  ∆Ds Bt  B  | t  = Ot EQ  t | t    Bs   Bτ  HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 75 Hay = Ot τ   ∆Ds Bt  | t    St − ∑ EQ  B  s = t +1  Bs  EQ  t | t    Bτ  Vậy ta có điều phải chứng minh HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 76 KẾT LUẬN Mặc dù nội dung nghiên cứu đề tài khơng có nhiều mẻ, cảm thấy kiến thức củng cố mở rộng nhiều, cảm thấy tâm huyết bỏ thời gian qua thật xứng đáng Tuy khó tránh sai sót mà tơi khơng nhận ra, mong q thầy tận tình góp ý để tơi chỉnh sửa cho luận văn hồn chỉnh Xin chân thành cám ơn q thầy nhiều HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hồng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TPHCM [3] Nguyễn Chí Long (2010), "Nguyên lý định giá tài sản thị trường tài chính", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 21(55), tr.38-51 [4] Nguyễn Chí Long (2011), "Bổ đề Fakas áp dụng thị trường tài chính", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 27(61), tr.41-53 [5] Nguyễn Chí Long (2011), "Mơ hình định giá tài sản tư bản", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 30(64), tr.25-41 [6] Nguyễn Chí Long (2011), “Định giá tài sản mơ hình nhị thức”, Số chuyên đề ĐHSG: Hội thảo Quốc tế Giải tích Tốn ứng dụng, ĐHSG TPHCM, tr 513-525 [7] Trần Hùng Thao (2004), Nhập mơn tốn học Tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [8] Trần Trọng Ngun (2009), Cơ sở Tốn tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [9] Stanley R Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance (Discrete Time Models), Blackwell Publishers Inc [10] Nick Whiteley (2011), Financial Maths, University of Bristol HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG ... niệm kết Mơ hình thời gian rời rạc thị trường chứng khốn Nhằm dự đốn biến động giá hay nghiên cứu sâu Tốn tài Luận văn trình bày kiến thức mơ hình chứng khốn thời gian rời rạc chu kỳ sau tập trung... 2, , N , ω ∈ A n Nếu mơ hình chu kỳ có hội chênh lệch thị giá theo kiểu mơ hình chu kỳ mơ hình nhiều chu kỳ phải có hội chênh lệch thị giá theo kiểu mơ hình nhiều chu kỳ Để thấy điều này, ta... phải chứng minh 2.4 Kỳ vọng điều kiện martingale - Giống mơ hình chu kỳ, mơ hình thị trường chứng khốn nhiều chu kỳ khơng có hội chênh lệch thị giá có độ đo xác suất trung tính rủi ro Tuy nhiên trường